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2015年沈阳市高中三年级教学质量监测(一)数学理科试题及答案

时间:2016-03-04


2015 年沈阳市高中三年级教学质量监测(一)

数学(理科)参考答案
说明: 一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题 的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则. 二、对解答题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答末改变该题的 内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分;如果后继部分的解答有较严重的错误, 就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 题 号 参考答案 1 B 2 D 3 B 4 C 5 D 6 B 7 A 8 A 9 B 10 B 11 D 12 A

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. y ? ?

1 x 2

14.

32 (1 ? 4? n ) 3

15. 3 ? 2 2

16.

2 39 13

三、解答题:本大题共 70 分. 17.解: (I) f ( x) ? 2sin x(

3 1 1 ? cos 2 x 1 sin x ? cos x) ? 3 ? sin 2 x …………2 分 2 2 2 2
…………4 分 …………6 分

? 3 . ? sin(2 x ? ) ? 3 2
函数 f ( x) 的最小正周期为 T= ? . 因为 ?

?
2

? 2 k? ? 2 x ?

?
3

?

?
2

? 2k? , 解得 ?

?
12

? k? ? x ?

5 ? ? k? , k ? Z , 12
…………8 分

所以函数 f ( x) 的单调递增区间是 [?

?
12

? k? ,

5 ? ? k? ], k ? Z . 12

高三数学(理科)试卷

第 1 页 (共 12 页)

? ? ? 2 ? ? ? 3 ? ? ?? (II) x ? ?0, ? , 2 x ? ? ? ? , ? ? ,sin(2 x ? ) ? ? ? ,1? , 3 ? 3 3 ? 3 ? 2 ? ? 2?
? 3? f ( x ) ? ? 0,1 ? ?. 2 ? ?
18.(I)证明:如图建立空间直角坐标系 O ? xyz ,

…………10 分

…………12 分

则 A? a,0,0? , B ? a, a,0? , C ? 0, a,0? , D ? 0,0,0? , E ?0,0, ?a ? ,

??? ? ??? ? AC ? ? ?a, a,0? , BE ? ? ?a, ?a, ?a ? , ???? ??? ? ∴ AC ? BE ? 0 对任意 ? ? ? 0,1? 都成立,
即 AC⊥BE 恒成立. (II)解: 设平面 ABE 的一个法向量为 n1 ? ? x1 , y1 , z1 ? , ∵ AB ? ? 0, a,0? , AE ? ? ?a,0, ?a ? ,

…………3 分

…………5 分

??

??? ?

??? ?

?? ??? ? ? y1 ? 0 ? y ?0 ?n1 ? AB ? 0 ? ?? ?? 1 ∴ ? ?? ??? , ? ? ax ? ? az ? 0 x ? ? z ? 0 n ? AE ? 0 ? 1 1 ? 1 1 ? ? 1 ?? 取 z1 ? 1,则 x1 ? ? , n1 ? ? x1 , y1 , z1 ? ? ? ? ,0,1? . ?? ? 设平面 BCE 的一个法向量为 n2 ? ? x2 , y2 , z2 ? , ??? ? ??? ? ∵ BC ? ? ?a,0,0? , CE ? ? 0, ?a, ?a ? , ?? ? ??? ? ?n2 ? BC ? 0 ? x2 ? 0 ? x2 ? 0 ? ?? ?? ∴ ? ?? , ? ??? ? ? ay ? ? az ? 0 y ? ? z ? 0 n ? CE ? 0 ? 2 2 ? 2 2 ? ? 2 ?? ? 取 z2 ? 1 ,则 y2 ? ? , n2 ? ? x2 , y2 , z2 ? ? ? 0, ? ,1? ,
∵二面角 C-AE-D 的大小为 120 ,
?

…………7 分

…………9 分

?? ?? ? ?? ?? ? n1 ? n2 1 1 ? , ? ? ? 0,1? ? ? ? 1 , ∴ cos n1 , n2 ? ?? ?? ? ? 2 2 n1 n2 1 ? ?
∴ ? ? 1 为所求. …………12 分

高三数学(理科)试卷

第 2 页 (共 12 页)

9. 解: (I)设谋节目的投票结果是最终获一等奖这一事件为 A,则事件 A 包括:该节目 可以获 2 张“获奖”票,或者获 3 张“获奖”票。 ∵甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票,每人投三类票中的任何一类票的概率都为
1 ,且三人投票相互没有影响, 3

∴ P( A) ?

2? 1 ? C3 ? ?

7 ?2? 3? 1 ? . ? ? + C3 ? ? ? 27 ?3? ?3? ? 3?

2

3

????????6 分

(II)所含“获奖”和“待定”票数之和 X 的值为 0,1,2,3.

1 ?1? P? X ? 0? ? ? ? ? ; 27 ?3? P? X ? 2? ?
2? C3 ?

3

6 1 ? 2 ?? 1 ? P? X ? 1? ? C3 ? ?? ? ? ; 27 ? 3 ?? 3 ? 8 ?2? P? X ? 3? ? ? ? ? . 27 ?3?
3

2

2 ? ? 1 ? 12 ? ? ?? ; ? 3 ? ? 3 ? 27

2

……8 分

因此 X 的分布列为 X 0 1 2 3

P

1 27

6 27

12 27

8 27
…………10 分

所以 X 的数学期望为 E X ? 0 ?

? ?

1 6 12 8 ? 2 ? ? 3? ? 2. ? 1? 27 27 27 27

. ……12 分

(亦可 X 服从二项分布 B(n,p)同样给分) (12 分)

20.解: (I)由条件可知, c ? 1, a ? 2 ,
高三数学(理科)试卷 第 3 页 (共 12 页)

…………2 分

故 b ? a ? c ? 3,
2 2 2

x2 y 2 ? ?1. 椭圆的标准方程是 4 3

…………4 分

(II)由 AM ? ? MB ,可知 A, B, M 三点共线,设 点A( x1 , y1 ), 点B( x2 , y2 ) . 若直线 AB ? x 轴,则 x1 ? x2 ? 4 ,不合题意. …………5 分

???? ?

????

当 AB 所在直线 l 的斜率 k 存在时,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 4) .

? y ? k ( x ? 4) ? 2 2 2 2 由 ? x2 y 2 消去 y 得 ? 3 ? 4k ? x ? 32k x ? 64k ? 12 ? 0 . ?1 ? ? ? 4 3
2 4 2 2 2



由 ① 的 判 别 式 ? ? 32 k ? 4(4k ? 3)(64k ?12) ? 144(1 ? 4k ) ? 0 , 解 得

k2 ?

1 . 4

? 32k 2 x ? x ? ? ? 1 2 4k 2 ? 3 , ? 2 64 k ? 12 ?x x ? ? 1 2 4k 2 ? 3 ?
由 x1 ? x2 ?

…………7 分

1 16k 2 4 2 ? ,可得 k 2 ? ,如图 k ? . 2 8 4k ? 3 7 4

…………9 分

将k ?
2

1 2 代入方程①,得 7 x ? 8 x ? 8 ? 0 , x1,2 ? 8 ? 8

64 ? 4 ? 7 ? ? ?8? 2? 7

?

4?6 2 . 7

又因为 AM ? (4 ? x1,? y1 ) , 所以 ? ?

MB ? ( x2 ? 4, y2 ) , AM ? ? MB ,
…………12 分

4 ? x1 ?9 ? 4 2 . , 所以? ? x2 ? 4 7
a a , f ?(2) ? ? 2 , a ? 4 . x 2
高三数学(理科)试卷 第 4 页 (共 12 页)

21.解答: (I) f ?( x ) ?

…………2 分

(Ⅱ)令 g ( x ) ? a (ln x ? 1 ? ), g ?( x) ? a ( ?

1 x

1 x

1 ). x2

………4 分

令 g ?( x) ? 0 ,即 a ( ?

1 x

1 ) ? 0 ,解得 x ? 1 , x2

所以 g ( x) 在(0,1)上递减,在 (1, ??) 上递增. 所以 g ( x) 最小值为 g (1) ? 0 ,所以 f ( x) ? a (1 ? ) .
x 1

1 x

???6 分

(Ⅲ) 由题意可知 e a ? e a x ,化简得

x ?1 x ?1 ? ln x , a > . a ln x

…………8分

令h( x) ?

1 x ?1 ln x ? ? x ? 1? , x, ln x 则h' ( x) ? 2 ?ln x ?
ln x ? 1 ? 1 x.
????9 分

? h' ? x ? ?

?ln x ?2

ln x ? 1 ? 由(Ⅱ)知,在 x ? ?1, e ?时,

1 ? 0, x

? h' ?x? ? 0,即h?x?在?1, e?上单调递增,
? h?x? ? h?e? ? e ?1.
? a ? e ? 1.
??????12 分 22.解: (I)? CF=FG ,? ?CGF ? ?FCG . ??????11 分

? AB 圆 O 的直径,? ?ACB ? ?ADB ?

?
2

.

? CE ? AB ,? ?CEA ? ? ?CBA ?

?
2

.

?
2

? ?CAB , ?ACE ?

?
2

? ?CAB ,? ?CBA ? ?ACE .
第 5 页 (共 12 页)

高三数学(理科)试卷

? ?CGF ? ?DGA , ?DGA ? ?ABC ,?

?
2

? ?DGA ?

?
2

? ?ABC ,
…………5 分

? ?CAB ? ?DAC ,? C为劣弧BD的中点 .
(II) ? ?GBC ?

?
2

? ?CGB , ?FCB ?

?
2

? ?GCF ,
…………10 分 ????2 分

? ?GBC ? ?FCB ,? CF ? FB ,? BF ? FG .
23.解: (I)圆的标准方程为 x ? y ? 16 .
2 2

? ? ? 3 x ? 1 ? t cos x ? 1? t ? ? ? ? 6 2 ( t 为参数). 直线 l 的参数方程为 ? ,即 ? ? y ? 2 ? t sin ? ?y ? 2? 1 t ? ? 6 ? ? 2

…………5 分

? 3 x ? 1? t ? ? 2 2 2 (Ⅱ)把直线的方程 ? 代入 x ? y ? 16 , ?y ? 2? 1 t ? ? 2
3 2 1 t ) ? (2 ? t ) 2 ? 16 , t 2 ? ( 3 ? 2)t ?11 ? 0 , 2 2 所以 t1t2 ? ?11,即 PA ? PB =11 .
得 (1 ? ????8 分 …………10 分

24.解: (I)当 x ? 4 时, f(x)=2x+1-(x-4)=x+5>0,得 x>-5,所以 x ? 4 成立. 当?

1 ? x ? 4 时,f(x)=2x+1+x-4=3x-3>0,得 x>1,所以 1<x<4 成立. 2
1 时, f(x)=-x-5>0,得 x<-5,所以 x<-5 成立. 2
. …………5 分

当x??

综上,原不等式的解集为{x|x>1 或 x<-5}

(II)f(x)+ 3 x ? 4 =|2x+1|+2|x-4| ?| 2 x ? 1 ? (2 x ? 8) |? 9 . 当 x ? 4或x ? ? 时等号成立 ,所以 m<9.

1 2

…………10 分

高三数学(理科)试卷

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