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河北省衡水中学2013届高三第八次模拟考试【数学(理)试题】(含答案)


2012~2013 学年度高三年级八模考试

数学试卷(理)2013.05.05
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分。考试时间 120 分钟。

第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)
注意事项:1.答卷Ⅰ前,考生将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。 2.答卷Ⅰ时,每小题选出答案后,用

铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。 一、 选择题(每小题5分,共60分。下列每小题所给选项只有一项符合题意,请将正确答

案的序号填涂在答题卡上) 1. 已知全集是 U ,集合 M 和 N 满足 M ? N ,则下列结论中不成立的是( A. M )

N?M

B. M

N?N

C. M M?C N? ? ?? UN U

?

?

D. C M ? UM U

?

?

N ??


2 2. 设 x ? R 则“ x ? 1 ”是“复数 z ? x ? 1 ? ? x ? 1? i 为纯虚数”的(

?

?

A.充分不必要条件 条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要

3. 右图是一个算法的流程图,最后输出的 W=( A.18 4. 二 项 式 (ax ?
a

) D.12

开始

B.16

C.14

S=0

3 3 3 ,则 ) 的展开式的第二项的系数为 ? 6 2
) C. 3 或

T=0

?

?2

x 2 dx 的值为(
B.

S=T-S

T=T+2 否

A. 3

7 3

7 3

D. 3 或 ?

10 3

S≥6

是 W=S+T 输出 W 结束

5. 10 张奖券中只有 3 张有奖,5 个人购买,每人 1 张,至少有 1 人中奖的概率是( 3 A. 10 C. 1 2 ) 1 B. 12 D. 11 12

(第 3 题图)

6. 将函数

? f ? x ? ? 2 sin ?2 x ? ? ? ? 3 的图象 F 向右平移 ,再向上平移 3 个单位,得到图

象 F′,若 F′的一条对称轴方程是 x ? A. ?

?
4

6

,则 ? 的一个可能取值是( D.



?
6

B. ?
x

?
3

C.

?
2

?
3


7. 已知函数 f ( x) ? e ? x, g ( x) ? ln x ? x, h( x) ? ln x ? 1 的零点依次为 a, b, c, 则 ( A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.b<a<c
4

8. 已知某几何体的三视图如图所示, 其中俯视图中圆的直 径为 4,该几何体的体积为 V1 ,直径为 4 的球的体积为 2
主视图 侧视图

V2 ,则 V1 : V2 ? (
A. 1: 4 C. 1:1

) B. 1: 2 D. 2 :1

.
? AB, ?B ? 45 °,AB=2CD=2,M 为腰 BC 的中点,
俯视图

9. 在直角梯形 ABCD 中,AB//CD, AD 则 MA ? MD ? ( A.4 10. 点 P 在 双 曲 线 ) B.3

C.2

D.1

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 上 , F1、F2 是 这 条 双 曲 线 的 两 个 焦 点 , a 2 b2

?F1 PF2 ? 90? ,
且 F1 PF2 的三条边长成等差数列,则此双曲线的离心率是( A . 2 11. 已知 f ? x ? ? B . 3 C. 2 D .5 ) )

1 2 ?? ? x ? sin ? ? x ? , f ? ? x ? 为 f ? x ? 的导函数,则 f ? ? x ? 的图像是( 4 ?2 ?

12. 已知

x ? R, 符号 ? x ? 表示不超过 x 的最大整数,若函数 f ? x ? ?

3 4? C. ? ? , ? ? 4 5?

? x? ? a
x

? x ? 0 ? 有且仅

有 3 个零点,则 a 的取值范围是(
1 2? A. ? ? , ? ? 2 3? 1 2? B. ? ? , ? ?2 3?

3 4? D. ? ? , ? ?4 5?

第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做 答。第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。

13. 已知点

? x+y-1≥ 0, ? P(x,y)在不等式组 ? x-y ≥ 0, 表示的平面区域内运动,则 z ? 3 x ? 4 y 的 ? x≤3 ?

最小值为________ 14. 已知数列{ an )满足 a1 ?

aa 1 , an ?1 ? an ? n n ?1 (n ? 2) ,则该数列的通项公式 an = 2 n(n ? 1)

15. 在四面体 ABCD 中, AB ? CD ? 6, AC ? BD ? 4, AD ? BC ? 5 ,则四面体 ABCD 的 外接球的表面积为 16. 圆 C1 的方程为 ( x ? 3) 2 ? y 2 ? 。

4 ,圆 C2 的方程 25 1 ( x ? 3 ? cos ? ) 2 ? ( y ? sin ? ) 2 ? (? ? R) ,过 C2 上任意一点 P 作圆 C1 的两条切线 PM、 25

PN,切点分别为 M、N,则∠MPN 最大值为_____________.

三、解答题(共 6 个小题,第 17 题 10 分,其余每个小题 12 分,共 70 分)

17. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? m ? n ,其中 m ? (sin ? x ? cos ? x, 3 cos ? x) ,

n ? (cos ? x ? sin ? x, 2sin ? x), 其中? ? 0, 若f ( x) 相邻两对称轴间的距离不小于
(Ⅰ)求 ? 的取值范围; (Ⅱ)在 ?ABC中, a, b, c 分别角 A、B、C 的对边, a ?

?
2

.

3, b ? c ? 3 当? 最大时,

f ( A) ? 1, 求?ABC 的面积.

18. (本小题满分 12 分)为了响应学校“学科文化节”活动,数学组举办了一场数学知识比 赛,共分为甲、乙两组.其中甲组得满分的有 1 个女生和 3 个男生,乙组得满分的有 2 个女生和 4 个男生.现从得满分的学生中,每组各任选 2 个学生,作为数学组的活动代 言人. (1)求选出的 4 个学生中恰有 1 个女生的概率; (2)设 X 为选出的 4 个学生中女生的人数,求 X 的分布列和数学期望.

19. (本小题满分 12 分)平行四边形 ABCD 中,AB=2,AD= 2 2 ,且 ?BAD ? 45 ,以 BD 为
0

折线,把 ?ABD 折起,使平面 ABD ? 平面CBD ,连 AC. (Ⅰ)求证: AB ? DC ; (Ⅱ)求二面角 B-AC-D 的大小;

(Ⅲ)求四面体 ABCD 外接球的体积. D C A

D A B B

C

20. (本小题满分 12 分)已知椭圆 C1 , 抛物线 C2 的焦点均在 y 轴上, C1 的中心和 C2 的顶点 均为原点 O, 从每条曲线上取两个点,将其坐标记录于下表中:

x
y

0
?2 2

?1

2
?2

4
1

1 16

(1)求 C1 , C2 的标准方程; (2)设斜率不为 0 的动直线 l 与 C1 有且只有一个公共点 P, 且与 C2 的准线相交于点 Q, 试探 究:在坐标平面内是否存在定点 M , 使得以 PQ 为直径的圆恒过点 M ? 若存在,求出点 M 的 坐标;若不存在,请说明理由.

21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ln( x ? 1) ? kx 2 ( k ? R ). (1)若函数 y ? f ( x) 在 x ? 1 处取得极大值,求 k 的值;

?x ? 0 (2) x ? [0, ??) 时,函数 y ? f ( x) 图象上的点都在 ? 所表示的区域内,求 k 的取值范围; ?y ? x ? 0
(3)证明:

? 2i ? 1 ? ln(2n ? 1) ? 2 , n ? N
i ?1

n

2

*

.

请考生在第 22~24 三题中任选一题做答。如果多做,则按所做的第一题记分. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲

如图,已知 PE 切⊙ O 于点 E,割线 PBA 交⊙ O 于 A、B 两点,∠APE 的平分线和 AE、BE 分别交于点 C、D.求证: (Ⅰ) CE E C · O A

? DE ;

CA PE ? (Ⅱ) . CE PB

D B P

23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程
? x = cos ? 已知圆 C1 的参数方程为 ? ( ? 为参数) ,以坐标原点 O 为极点,x 轴的正半轴为 ? y = sin ?
). 3 (Ⅰ)将圆 C1 的参数方程化为普通方程,将圆 C2 的极坐标方程化为直角坐标方程;

极轴建立极坐标系,圆 C2 的极坐标方程为 ? ? 2 cos(? ?

?

(Ⅱ)圆 C1 、 C2 是否相交,若相交,请求出公共弦的长;若不相交,请说明理由.

24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| 2 x ? 1| ? | 2 x ? 3 | . (Ⅰ)求不等式 f ( x) ? 6 的解集; (Ⅱ)若关于 x 的不等式 f ( x ) ?| a ? 1 | 的解集非空,求实数 a 的取值范围.

2012~2013 学年度高三年级八模考试 数学试卷(理)答案
二、 选择题 DCBCD BABCD AC C7 1 1 11 .故至少有 1 人中奖的概率为 1- = . 5= C10 12 12 12
5

5.解析:无人中奖的概率为

6.解析:F′的解析式 g ( x) ? 2sin(2 x ?

?
3

? ? ) ? 3 ,若一条对称轴方程是 x ?

?
4

,则或

2?

?
4

?

?
3

? ? ? k? ?

?
2

, k ? Z ,当 k ? 0时? ? ?

?
3



7.解析:

e a ? ?a,? a ? 0, ln b ? ?b, b ? 0,? 0 ? b ? 1

ln c ? 1,? c ? e ? 1, 故选 A。
9.解析: MA ? MD ? ( MB ? BA) ? ( MC ? CD )

1 1 MB ? MC ? ? , MB ? CD ? ? , BA ? MC ? 1 , BA ? CD ? 2 2 2
1 1 ? MA ? MD ? ? ? ? 1 ? 2 ? 2 2 2
10. 解 析 : 不 妨 设 点 P 在 双 曲 线 的 左 支 上 , 设 PF1 ? r1 , PF2 ? r2 , 则

r1 ? r2 ? 2a, 2r1 ? r2 ? 2c
解得 r1 ? 2c ? 2a, r2 ? 2c ? 4a ,又 r12 ? r2 2 ? 4c 2 代入两边同除以 a 2 得 e 2 ? 6e ? 5 ? 0 解得 e ? 1或e ? 5 ,

e ? 1 ,故选 D。
1 1 2 2

二、13 解析:可行域是以 A( , ), B (3,3), C (3, ?2) 三点为顶点的三角形,当过点 B 时, z 取 最小值是 ?3 。 14. an ?

n 3n ? 1 77 ,而长方体的外接球就是四面体的外接球,所以 2

15.解析:构造一个长方体,使得它的三条面对角线分别为 4、5、6,设长方体的三条边分 别 为 x, y , z , 则 x 2 ? y 2 ? z 2 ?

S ? 4? R 2 ?

77 ?. 2 2 2 16.解析:圆 C2 的圆心的轨迹方程是 ( x ? 3) ? y ? 1 ,当∠MPN 取最大值时,是 P 点距

离圆 C1 上的点的距离最小的时候,此时 d ?

4 2 ? , r1 ? ,所以 ?MPN ? . 5 5 3

三、解答题(共 6 个小题,第 17 题 10 分,其余每个小题 12 分,共 70 分) 17.解: (Ⅰ) f ( x) ? m ? n ? cos 2 ?x ? sin 2 ?x ? 2 3 cos ?x ? sin ?x

? cos 2?x ? 3 sin 2?x ? 2 sin( 2?x ?

? 2? ? ) ? ? ? 0 ?函数f ( x)的周期T ? ? , 由题意 6 2? ?

可知

T ? ? ? ? ,即 ? , 2 2 2? 2
???????????? 6

解得 0 ? ? ? 1, 即?的取值范围是{? | 0 ? ? ? 1} 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知 ? 的最大值为 1,

? f ( x) ? 2 sin(2 x ?

? ? 1 ) ? f ( A) ? 1 ? sin(2 A ? ) ? ,而 6 6 2

? ? 13 ? 5 ? ? 2A ? ? ? ?2A ? ? ? ? A ? 6 6 6 6 6 3
由余弦定理知 cos A ?

b2 ? c2 ? a2 2 2 ? b ? c ? bc ? 3, 又b ? c ? 3 2bc
? S ?ABC ? 1 3 bc sin A ? 2 2
???????12 分

联立解得 ?

?b ? 2 ?b ? 1 或? c ? 1 ? ?c ? 2

18.解: (1)设“从甲组内选出的 2 个同学均为男同学;从乙组内选出的 2 个同学中,1 个是 男同学,1 个为女同学”为事件 A ,“从乙组内选出的 2 个同学均为男同学;从甲组内选出的 2 个同学中 1 个是男同学,1 个为女同学”为事件 B ,由于事件 A ? B 互斥,且
1 1 1 2 C32C2 C4 4 C3 C 1 P( A) ? 2 2 ? ,P ( B ) ? 2 42 ? C4 C6 15 C4 C6 5

∴选出的 4 个同学中恰有 1 个女生的概率为

P( A ? B ) ? P ( A) ? P ( B ) ?

4 1 7 ????????5 分 ? ? 15 5 15

(2) X 可能的取值为 0,1,2,3,
1 7 3 1 P( X ? 0) ? , P( X ? 1) ? , P( X ? 2) ? , P( X ? 3) ? 5 15 10 30

∴ X 的分布列为

X

0

1

2

3

P

1 5

7 15

3 10

1 30
????10 分

∴ X 的数学期望 EX ?

7 3 1 7 ? 2 ? ? 3? ? 15 10 30 6

??????????12 分

19.解: (Ⅰ)在 ?ABD 中,

BD 2 ? AB 2 ? AD 2 ? 2 AB ? AD cos 450 ? 4, ? BD ? 2 ,
面 ABD ? 面 BDC

易得 AB ? BD , ?4 分

? AB ? 面 BDC

? AB ? DC

(Ⅱ)在四面体 ABCD 中,以 D 为原点,DB 为 x 轴,DC 为 y 轴,过 D 垂直于平面 BDC 的射线 为 z 轴,建立如图空间直角坐标系. z A

D C x B

y

则 D(0,0,0) ,B(2,0,0) ,C(0,2,0) ,A(2,0,2) 设平面 ABC 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,而 BA ? (0, 0, 2), BC ? ( ?2, 2, 0) , 由?

? ?n ? BA ? 0 ? ?n ? BC ? 0

得: ?

?2 z ? 0 ,取 n ? (1,1, 0) . ??2 x ? 2 y ? 0

再设平面 DAC 的法向量为 m ? ( x, y, z ) ,而 DA ? (2, 0, 2), DC ? (0, 2, 0) , 由?

?m ? DA ? 0 ? ? ?m ? DC ? 0

得: ?

?2 x ? 2 z ? 0 ,取 m ? (1, 0, ?1) , ?2 y ? 0
???????8

所以 cos ? n, m ?? 分

n?m 1 ? ,所以二面角 B-AC-D 的大小是 600 | n |?| m | 2

(Ⅲ)由于 ?ABC , ?ADC 均为直角三角形,故四面体 ABCD 的外接球球心在 AD 中点,

又 AC ? 2 3 ,所以球半径 R ? 分

4 3 ,得 VABCD ? ? R 3 ? 4 3? . 3

???????12

20.解析: (1)设 C1 , C2 的标准方程分别为:

y 2 x2 1? ? ? 2 ? 1(a ? b ? 0), x 2 ? 2 py, ? ?1, ? 2 a b ? 16 ?

和 ? 4,1? 代入抛物线方程中得到的解相同,? 2 p ? 16, ??????????2 分, 且 0, ?2 2 和

?

? ?

2, ?2 在椭圆上,代入椭圆方程得 a ? 2 2, b ? 2, 故 C1 , C2 的标准方程分
??????????5 分

?

别为

y 2 x2 ? ? 1, x 2 ? 16 y. 8 4

(2)设直线 l 的方程为 x ? my ? n, 将其代入

y 2 x2 ? ? 1 消去 x 并化简整理得 8 4

?1 ? 2m ? y
2

2

? 4mny ? 2n 2 ? 8 ? 0, 与 C1 相切,

?? ? 16m 2 n 2 ? 4 ?1 ? 2m 2 ?? 2n 2 ? 8 ? ? 0,? n 2 ? 4 ?1 ? 2m 2 ? , ??????????7 分,
设切点 P ? x0 , y0 ? , 则 y0 ? ?

2mn 8m n 2 ? 8m 2 4 ? ? , x ? my ? n ? ? ; 又直线 l 与 C2 的 0 0 1 ? 2m 2 n n n

准线 y ? ?4 的交点 Q ? n ? 4m, ?4 ? ,?以 PQ 为直径的圆的方程为

4? 8m ? ? ? ? x ? ? ? x ? n ? 4m ? ? ? y ? ? ? y ? 4 ? ? 0, n? n ? ? ?
化简并整理得 x 2 ?

??????????10 分,

4 8m 2 x ? ? 4m ? n ? x ? ? y ? 2 ? ? ? y ? 2 ? ? 0 恒成立,故 x ? 0, y ? ?2, 即 n n
?????????? 12

存在定点 M ? 0, ?2 ? 合题意。 分 21.解析:(1) f ( x) ?
'

1 1 ? 2kx ,由 f ' (1) ? 0得k ? ? 经检验符合题意??3 分 1? x 4
2

(2) 依 题 意 知 , 不 等 式 x ? ln( x ? 1) ? kx ? 0 在 x ? ?0,?? ? 恒 成 立 . 令

g ( x) ? x ? ln( x ? 1) ? kx 2 ,
当 k≤0 时,取 x=1,有 g (1) ? 1 ? ln 2 ? k ? 0 ,故 k≤0 不合. 当 k>0 时, g′(x)=

x x+1

-2kx=

? x[2kx ? 1 ? 2k ] . x ?1

令 g′(x)=0,得 x1=0,x2=

1-2k >-1. 2k

???????????4 分

1 1-2k ①当 k≥ 时, ≤0,g′(x)<0 在(0,+∞)上恒成立,因此 g(x)在[0,+∞)上单 2 2k 1 调递减,从而对任意的 x∈[0,+∞),总有 g(x)≤g(0)=0,故 k≥ 符合题意. 2 1 1-2k ? 1-2k?,g′(x)>0, ②当 0<k< 时, >0, 对于 x∈?0, ? 2k ? 2 2k ? 故 g(x)在?0, 综上, k ?

? ?

1-2k? ? 1-2k?时,g(x )>g(0)=0,不合. 内单调递增,因此当取 x0∈?0, ? ? 0 2k ? 2k ? ?

1 . ??????????8 分 2

(3)证明:当 n=1 时,不等式左边=2-ln3<2=右边,所以不等式成立. 1 x 当 n≥2 时,在(2)中取 k= ,得 x ? ln( x ? 1) ? ?????9 分 2 2 取 x=
n

2

2 2 2 代入上式得: -ln(1+ )≤ 2i-1 2i-1 2i-1 2 2
n

2

i-

2



2 ???10 分 (2i ? 3)(2i ? 1)

? ? ??≤2-ln3+ -ln?1+ ?? ?? ? 2 i - 1 2 i - 1 ? ?? ? i=1 i=2
n

2 (2i ? 3)(2i ? 1)

? 2i-1-ln(2n+1)≤2-ln3+1-2n-1<2. i=1
综上, ?
i=1 n

2

1

2 -ln(2n+1)<2, n ? N ? 2i-1

???????????? 12 分

22.(Ⅰ)证明: PE 切⊙ O 于点 E ,??A ? ?BEP
PC 平分??A ? ?CPA ? ?BEP ? ?DPE

?ECD ? ?A ? ?CPA , ?EDC ? ?BEP ? ?DPE , ??ECD ? ?EDC ,? EC ? ED

??????5 分

(Ⅱ)证明: ?PDB ? ?EDC , ?EDC ? ?ECD , ?PDB ? ?PCE
??BPD ? ?EPC ,??PBD ∽ ?PEC ,?
PE PC ? PB PD

同理 ?PDE ∽ ?PCA ,?
? PE CA ? PB DE DE ? CE , ? CA PE ? CE PB

PC CA ? PD DE

??????10 分

? x = cos ? 2 2 23.解: (Ⅰ)由 ? 得 x +y =1, y = sin ? ?

又∵ρ =2cos(θ +
2

π )=cosθ - 3sinθ , 3

∴ρ =ρ cosθ - 3ρ sinθ .
1 3 2 2 2 ∴x +y -x+ 3y=0,即 ( x ? ) 2 ? ( y ? ) ?1 2 2
1 3 2 (Ⅱ)圆心距 d ? (0 ? ) 2 ? (0 ? ) ? 1 ? 2 ,得两圆相交 2 2

??????5 分

?x +y =1 由? 2 ?x +y2-x+ 3y=0

2

2

1 3 得,A(1,0),B (? , ? ) , 2 2

1 3 2 ∴ | AB |? (1+ ) 2 +(0+ ) = 3 2 2

??????10 分

24. 解: (Ⅰ)原不等式等价于

3 3 ? ? 1 ?x ? ?? ? x ? 或? 2 2 2 ? ? ? ?(2 x ? 1) ? (2 x ? 3) ? 6 ?(2 x ? 1) ? (2 x ? 3) ? 6 1 ? ?x ? ? ??????3 分 2 ? ? ??(2 x ? 1) ? (2 x ? 3) ? 6
解,得



3 1 3 1 ? x ? 2或 ? ? x ? 或 ? 1 ? x ? ? 2 2 2 2
??????5

即不等式的解集为 {x | ?1 ? x ? 2} 分 (Ⅱ) ?| 2 x ? 1 | ? | 2 x ? 3 |?| ( 2 x ? 1) ? ( 2 x ? 3) |? 4 分

??????8

?| a ? 1 |? 4


? a ? ?3或a ? 5 。

??????10


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