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二次函数图像的应用

时间:2014-08-28


摘要:二次函数图象具有对称性,充分、合理地使用这一特性,对于解决有关二次函数 的问题,会使问题得到的正确、高效的解答,同时它也是一种重要的解题途径。 关键词:二次函数,抛物线,对称。 我们知道二次函数图象是一条具有对称性的抛物线, 合理使用抛物线的这一特征, 对于 解答有关二次函数的一类问题,会取得很好的效果,近年的中考命题及初中数学竞赛,涉及 这方面的题目不断出现,并产生了不少的上佳题目。本文试就初中毕业班总复习阶段,在二 次函数这部分内容教与学上, 如何引导学生应用抛物线的对称性解决所遇到的问题, 谈谈教 学感想和体会。 一、几个重要结论:

1、抛物线

的对称轴是直线



2、对于抛物线上两个不同点 P1(

) ,P2(

) ,若有

,则 P1,P2两

点是关于抛物线对称轴对称的点,且这时抛物线的对称轴是直线

;反之亦然。

3、 若抛物线与 轴的两个交点是 A (

, 0) , B (

, 0) , 则抛物线的对称轴是

(此结论是第2条性质的特例,但在实际解题中经常用到) 。

4、若已知抛物线与 轴相交的其中一个交点是 A( 另一个交点 B 的坐标可以用 定,在应用时要把图画出) 。

,0) ,且其对称轴是

,则

表示出来(注:应由 A、B 两点处在对称轴的左右情况而

5、若抛物线与 轴的两个交点是 B(

,0) ,C(

,0) ,其顶点是点 A,则?ABC 是

等腰三角形,且?ABC 的外接圆与内切圆的圆心都在抛物线的对称轴上。 二、在解题中的应用: 例1已知二次函数的图象经过 A(-1,0) 、B(3,0) ,且函数有最小值-8,试求二次函 数的解析式。

解题分析:注意到图象所过的两个点 A、B,都在 x 轴上,故可由性质3,容易得到该抛 物线的对称轴是直线 x=1,进而得出该抛物线的顶点坐标是(1,-8) ,所以,可以用顶点式 先设出所求的二次函数形式,再用待定系数法,求得结果。 从本题可得到这样的经验: 在求二次函数解析式的问题时, 要充分挖掘题中的隐含的条 件,再来选择最合适的二次函数形式,这样的就能使解题过程最简捷。

例2已知抛物线 标,且满足 (1)求抛物线的解析式; .

,设

,

是抛物线与 轴两个交点的横坐

(2)设点 P( 对称轴对称,求



) ,Q( 的值。



)是抛物线上两个不同的点,且关于此抛物线的

解题分析: 本题是2003年厦门中考试题, 原题目中的第一个问题是先“求证此抛物线与 轴总有两个不同的交点”在此略去。以下只针对本题中的第(2)个问题进行讨论,并由 第(1)个问题求解知该抛物线的函数解析式是 ;注意到 P、Q 两点是关于此抛

物线的对称轴对称,且抛物线的对称轴是直线 所以就有

,由性质2可得: , ) ,Q(

, ,

。在此法求解过程,我们不难发现原题中的“P(

)是抛物线上两个不同的点”,这一条件是多余的,因为若 P、Q 两点是相同的一个点, 且关于对称轴对称时,这样 P 点就只能是顶点了,而这时解题中所得的结论一样是成立的。

例3已知抛物线

经过点 A(-2,7) 、B(6,7) 、C(3,-8) ,则该抛物

线上纵坐标为-8的另一点的坐标是。 (2005年山东中考试题) 解题分析:本题若按常规的解法是先由已知的 A、B、C 三点的坐标求出抛物线的函数关 系式,然后再用 =-8,求出横坐标 ,进而得到答案。这样做显然没有充分利用到题中所

隐含的特性----(1)A、B 两点的纵坐标是相同的!(2)要求的纵坐标是-8的另一个点与 C 点的纵坐标相同!也就是所求点与 C 点关于抛物线的对称轴对称!由(1)的特点,即可求 得该抛物线的对称轴是直线 =2, 因此与 C 点关于抛物线的对称轴对称的点坐标是 (1, -8) , 这就是所求的答案。

例4已知抛物线 (1)求抛物线顶点的坐标;

的顶点 A 在直线

上。

(2)抛物线与 轴交于 B、C 两点,求 B、C 两点的坐标; (3)求?ABC 的外接圆的面积。 (初三总复习第二次月考试题) 解题分析:以下只对第(3)步加以讨论,并设由第(1) 、 (2)步求解知 A(2,-9) ,B (-1,0) ,C(5,0) 。注意到抛物线的对称轴是直线 =2,且 B、C 两点关于抛物线的对称 轴对称,A 是抛物线的顶点,故?ABC 是等腰三角形,由性质(5)可知,?ABC 的外接圆圆心 D 在对称轴上, (图略)设对称轴与 x 轴交于点 E,连结 DB、DC,则有 DA=DB=DC=r(外接圆 的半径) ,因为 CE=3,AD=9,所以,DE=9-r,在 Rt?DEC 中,有 CE2=AD2+DE2,即 r2=(9-r) 2+32,解得,r=5,故 S⊙D=25

例5若函数

,则当自变量 取1,2,3,?,

100这100个自然数时,函数值的和是() (1999年全国初中数学联合竞赛) (A)540(B)390(C)194(D)97

解题分析:记 注意到二次函数 有

, 图象的对称轴是直线 =50,且当 =1时, =97,所以 =97,这时有

,则 =97>0,所以

, =97,这时

=97,由对称性知当 =99时,

=97,而当自变量 在2到

98中取值时, 因 =196,所以这时

的值是小于或等于零, 故所得到的

的值均为零, 又当 =100时, =

的值为196,这样就可知当自变量 取1,2,3,?,100这100个自然数时,

函数值的和是97+97+196=390,故应选答案是 B。 三、教后体会: 通过以上几个例子可得到这样的经验: (1)在求二次函数解析式的问题时,要充分挖掘 题中的隐含的条件,再来选择最合适的二次函数形式; (2)在解答有关函数问题的题目时要 尽可能地去画出函数图象,那怕是它的草图,这样有利于寻找解题的思路; (3)在解答有关 二次函数的问题时,若能充分、合理地应用二次函数图象的对称性,就能使解题过程顺畅简 捷,提高解题效率。

一次函数图像的应用
1.(本小题 14 分) 某中学九年级甲、 乙两班商定举行一次远足活动, A, B 两地相距 10 千米, 甲班从 A 地出发匀速步行到 B 地,乙班从 B 地出发匀速步行到 A 地.两班同时出发,相向而 行.设步行时间为 x 小时,甲、乙两班离 A 地的距离分别为 数关系如图所示.则甲、乙两班相距 4 千米时所用时间是( 千米, )小时. 与 x 的函

?

A.

?

B.

?

C.

?

D. 核心考点: 一次函数应用题 2.(本小题 14 分) 甲、乙两地相距 60 千米,上周日上午小明骑自行车从甲地前往乙地,2 小时后,小明的父亲骑摩托车沿同一路线也从甲地前往乙地,他们行驶的路程 y(千米)与 小明行驶的时间 x(小时)之间的函数关系如图所示,小明父亲出发( 的两车相距 12 千米. )小时后,行进中

?

A.

?

B.

?

C.

?

D.

核心考点: 一次函数应用题 3.(本小题 14 分) 小亮骑自行车匀速从甲地到乙地, 在途中休息了一段时间后, 仍按原速行 驶.他距乙地的距离与时间的关系如图中折线 AB-BC-CD 所示.小明骑摩托车匀速从乙地到 甲地,比小亮晚出发一段时间,他距乙地的距离与时间的关系如图中线段 EF 所示.则小明 出发( )小时与小亮相距 10 千米.

?

A.

?

B.

?

C.

?

D. 核心考点: 一次函数应用题 4.(本小题 14 分) 甲、 乙两地相距 300km, 一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地. 如 图,线段 OA 表示货车离甲地的距离 y(km)与时间 x(h)之间的函数关系,折线 BC-CD-DE 表示轿车离甲地的距离 y(km)与时间 x(h)之间的函数关系,根据图象,轿车出发( 小时后两车相距 30km. )

? ?

A. 3.3 或 4.5 B. 2.3 或 3.5

? ?

C. D. 2.9 核心考点: 一次函数应用题 5.(本小题 14 分) 甲、乙两车分别从 A,B 两地同时出发相向而行.并以各自的速度匀速行 驶,甲车途径 C 地时休息 1 小时,然后按原速度继续前进到达 B 地;乙车从 B 地直接到达 A 地,如图是甲、乙两车离 B 地的距离 y(千米)与甲车出发时间 x(小时)的函数图象.当 两车相距 120 千米时,乙车行驶了( )小时.

?

A. 1

? ? ?

B. 3 C. 1.5 或 2.5 D. 1 或 3 核心考点: 一次函数应用题 6.(本小题 15 分) 已知 A,B 两港口相距 150 海里,甲船从 A 港行驶到 B 港后,休息一段时 间,速度不变,沿原航线返回,同时,乙船从 A 港出发驶向 B 港,甲、乙两船离 A 港的距离 s(海里)与甲船行驶时间 t(小时)之间的函数关系如图所示.当两船相遇时,两船到 A 港的距离为 90 海里,乙船在行驶过程中,速度不变,则甲船行驶( 船返航过程中相距 30 海里. (假设甲、乙两船沿同一航线航行) )小时后,两船在甲

?

A.

? ?

B. C. 10

?

D.

核心考点: 一次函数应用题 7.(本小题 15 分) A,B 两地相距 630 千米,客车、货车分别从 A,B 两地同时出发,匀速相 向行驶(客车的终点站是 C 站,货车的终点站是 A 站) ,客车需 9 小时到达 C 站,货车 2 小

时可到达图中 C 站(如图 1 所示) ,货车的速度是客车的

,客车、货车到 C 站的距离 y 与

行驶时间 x(小时)之间的函数关系如图 2 所示.则两车同时出发后,相距 360 千米的时刻 是( )

?

A. 6

?

B.

?

C.

?

D. 核心考点: 一次函数应用题


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