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高中数学必修3第二章复习课


必修3 第二章 《统计》复习课

知识结构
随机抽样

简单随机抽样 系统抽样 分层抽样
用样本的频率 布估计总体分布

统计

用样本估计总体

用样本 的数字 特征 估计总体数字特征

变量间的相关关系

线性回归分



知识梳理

1. 简单随机抽样
(1)思想:设一个总体有N个个体, 从中逐
个不放回地抽取n个个体作为样本, 如果每次抽

取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等, 则
这种抽样方法叫做简单随机抽样.

(2)步骤:
抽签法:

第一步,将总体中的所有个体编号,并把号
码写在形状、大小相同的号签上. 第二步,将号签放在一个容器中,并搅拌均 匀. 第三步,每次从中抽取一个号签,连续抽取n 次,就得到一个容量为n的样本.

随机数表法:
第一步,将总体中的所有个体编号. 第二步,在随机数表中任选一个数作为起始 数. 第三步,从选定的数开始依次向右(向左、 向上、向下)读,将编号范围内的数取出,编号 范围外的数去掉,直到取满n个号码为止,就得到 一个容量为n的样本.

2. 系统抽样
(1)思想:将总体分成均衡的n个部分,再按照预先

定出的规则,从每一部分中抽取1个个体,即得到容量为n
的样本. (2)步骤: 第一步,将总体的N个个体编号. 第二步,确定分段间隔k,对编号进行分段. 第三步,在第1段用简单随机抽样确定起始个体编号. 第四步,按照一定的规则抽取样本.

3. 分层抽样

(1)思想:若总体由差异明显的几部分组成,抽样时, 先将总体分成互不交叉的层,然后按照一定的比例,从各 层独立地抽取一定数量的个体,再将各层取出的个体合在 一起作为样本. (2)步骤: 第一步,计算样本容量与总体的个体数之比. 第二步,将总体分成互不交叉的层,按比例确定各层 要抽取的个体数. 第三步,用简单随机抽样或系统抽样在各层中抽取相 应数量的个体. 第四步,将各层抽取的个体合在一起,就得到所取样 本.

4. 频率分布表
(1)含义:表示样本数据分布规律的表格. (2)作法: 第一步,求极差. 第二步,决定组距与组数. 第三步,确定分点,将数据分组. 第四步,统计频数,计算频率,制成表格.

分 组 [0,0.5) [0.5,1) [1,1.5) [1.5,2) [2,2.5) [2.5,3) [3,3.5) [3.5,4) [4,4.5] 合计

频数 4 正 8 正 正 正 15 正 正 正 正 22 正 正 正 正 正 25 正 正 14 正 一 6 4 2 100

频数累计

频率 0.04 0.08 0.15 0.22 0.25 0.14 0.06 0.04 0.02 1.00
9

5. 频率分布直方图
(1)含义:表示样本数据分布规律的图形.

(2)作法:
第一步,画平面直角坐标系. 第二步,在横轴上均匀标出各组分点,在纵 轴上标出单位长度. 第三步,以组距为宽,各组的频率与组距的 商为高,分别画出各组对应的小长方形.

频率分布直方图如下:
频率/组距 (组距=0.5)
0.6 0.5 0.4 0.3 0.2
0.16 0.3 0.44 0.3 0.5

0.1 0.08

0.1

0.08

0.04

0

0.5

1 1.5

2

2.5

3

3.5 4

4.5 月均用水量/t

6. 频率分布折线图
在频率分布直方图中,依次连接各小长方形

上端中点得到的一条折线,称为频率分布折线图.

频率

组距

连接频率分布直方图 中各小长方形上端的 中点,得到频率分布折 线图

0.50 0.40 0.30 0.20 0.10 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

月均用水量/t

3.5 4

4.5
13

7. 总体密度曲线
当总体中的个体数很多时,随着样本容量的 增加,所分的组数增多,组距减少,相应的频率 分布折线图越来越接近于一条光滑曲线,统计中 称这条光滑曲线为总体密度曲线.

当样本容量无限增大,分组的组距无限缩小,那么频率分 布直方图就会无限接近一条光滑曲线——总体密度曲线.

频率
组距

月均用水量 (mm)

8. 茎叶图
作法:
第一步,将每个数据分为“茎”(高位)和 “叶”(低位)两部分; 第二步,将最小的茎和最大的茎之间的数按 大小次序排成一列,写在左(右)侧; 第三步,将各个数据的叶按大小次序写在茎 右(左)侧.

茎叶图



8 4 6 3 3 6 8 3 8 9

0
1 2 3 4 2 5 5 4 1 6 1 6 7 9 4 9 0

1

5

甲:13,51, 23,8,26, 38,16,33,14,28,39

乙:49,24,12,31,50,31,44,36,15,37,25,36,39

9. 众数、中位数和平均数
众数:频率分布直方图最高矩形下端中点的

横坐标.
中位数:频率分布直方图面积平分线的横坐 标. 平均数:频率分布直方图中每个小矩形的面 积与小矩形底边中点的横坐标之积的总和.

10. 标准差
(x 1 ? x ) ? (x 2 ? x ) ? ? ? (x n ? x ) s? n
2 2 2

11. 相关关系
自变量取值一定时,因变量的取值带有一定

随机性的两个变量之间的关系,叫做相关关系.

12. 散点图
在平面直角坐标系中,表示具有相关关系的两

个变量的一组数据图形,称为散点图.

13. 回归直线
如果散点图中的点的分布,从整体上看大致
在一条直线附近,则称这两个变量之间具有线性 相关关系,这条直线叫做回归直线.

14. 回归方程
^

? ? ? y ? bx ? a
x1 y1 ? x2 y2 ? … ? xn yn ? nx y x12 ? x2 2 ? …xn 2 ? nx
2

b?

?x y
i ?1 n i

n

i

? nx y ? ? nx
2

?x
i ?1

,

2 i

a ? y ? b x.

^

^

? ? ? 回归直线y ? bx ? a经过样本中心点( x, y).

巩固练习
1.为了了解某地参加计算机水平测试的5000
名学生的成绩,从中抽取了200名学生的成绩进行 统计分析,在这个问题中,5000名学生成绩的全 体是( A )
A.总体 C. 从总体中抽取的一个样本 B. 个体 D. 样本的容量

2 . 一个总体中共有10个个体,用简单随 机抽样的方法从中抽取一容量为3的样本,则 某特定个体被抽到的概率是(

3/10 )

3. 要从已编号(1~60)的60枚最新研制
的导弹中随机抽取6枚来进行发射试验, 用每部

分选取的号码间隔一样的系统抽样方法所确定
的编号可能是 (

B)

A.5,10,15,20,25,30 B.3,13,23,33,43,53 C.1, 2, 3, 4, 5, 6 D.2, 8,14, 20,26,32

4. 在一次有奖明信片的100 000个有机会

中奖的号码(编号00000—99999)中,邮政部门
按照随机抽取的方式确定后两位是23的作为中

系统 奖号码,这是运用了_____抽样方法.

5. 从800袋牛奶中抽取60袋进行检验,利用随机数

表抽样本时,先将800袋牛奶按000,001,…,799进
行编号,如果从随机数表第8行第18列的数开始向右读, 请你依次写出最先检测的5袋牛奶的编号(下面摘取了 一随机数表的第7行至第9行)
… … 84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76

63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 62 58 79 73 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 06 13 42 99 66 02 79 54 … …

解 719, 050,717,512, 358,

6. 如果一组数中每个数减去同一个非零

常数,则这一组数的( D ).
A.平均数不变,方差不变 B.平均数改变,方差改变 C.平均数不变,方差改变 D.平均数改变,方差不变

7. 已知数据x1、x2、x3的中位数为k, 众数为m,
平均数为n, 方差为p, 则下列说法中,错误的是(

D

)

A.数据2x1、2x2、2x3的中位数为2k
B.数据2x1、2x2、2x3的众数为2m

C.数据2x1、2x2、2x3的平均数为2n
D.数据2x1、2x2、2x3的方差为2p 解析: 2x1、2x2、2x3的方差应为4p, ∴选项D错.

8. 现实生活中存在许多相关关系,在下列两 个变量的关系中,哪些是相关关系?

①正方形边长与面积之间的关系; × ②作文水平与课外阅读量之间的关系; ③人的身高与体重之间的关系;
④人的身高与视力之间的关系;×

⑤商品销售收入与广告支出经费之间的关系;
⑥粮食产量与施肥量之间的关系;

⑦匀速行驶的车辆的行驶距离与时间. ×

9.某商场为了调查旅游鞋的销售情况,抽取了部分 顾客购鞋的尺寸,将所得数据整理后,画出频率分布直 方图如下:已知图中从左到右前 3个小矩形的面积之比 为1︰2︰3,第二小组的频数为10
(1)求出第二个小矩形的面积; (2)求样本容量的值. 解 (1) 前三个面积之和为 1-2(0.0875+0.0375)=0.75 第二个小矩形的面积为 0.75×(2÷6)=0.25 (2) 样本容量为
0.0875 0.0375 尺寸
35.5 37.5 39.5 41.5 43.5 45.5

频率 组距

10÷0.25=40

10.对某种新品电子元件进行寿命终极度实验,实 验数据如下:
寿命(h) 100~200 200~300 300~400 400~500 个 数 20 30 80 40 500~600 30

试估计总体寿命的众数、中位数、平均数.

解 众数为 (300+400 )/2=350(h)
中位为 300+100×(50÷80)=362.5(h) 平均数为 150×0.1 + 250×0.15 + 350×0.4

+ 450×0.2 + 550×0.15=365(h)

11. 某个体服装店经营各种服装,在某周内获纯利润 y(元)与该周每天销售这种服装件数x之间的一组数据关 系如下表:
x y
7 2 i

3 66

4 69
7

5 73

6 81

7 89

8 90

9 91

559 其中: ?x ? 280, ? x yi ? 3487, x ? 6, y ? . 7 i ?1 i i ?1

(1)画出散点图;
(2)观察散点图, 若y与x线性相关,试求出y与x之间

的回归直线方程.

解 (1)散点图如图:

? 2 ? 观察散点图知,
y与x线性相关. b?
^

? xi yi ? nx y
i ?1 n

n

?x
i ?1

2 i

? nx

2

559 3487 ? 7 ? 6 ? 7 ? 133 ? 280 ? 7 ? 36 28

559 133 719 a ? y?bx ? ? ?6 ? . 7 28 14 ? ? 133 x ? 719 ? y 28 14
^ ^


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