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舒尔不等式及其变式的应用


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数学通讯 — 2010 年第 8 期 ( 下半月)             ·课外园地·

舒尔不等式及其变式的应用
蔡玉书
( 江苏省苏州市第 一中学 , 215006)

   《数学通报》 2009 年第 10 期刊登了朱华伟老师 的《Schur 不等式及其变式》 一文 , 读后受益匪浅

, 本 人对舒尔不等式也有一定的研究 , 曾用舒尔不等式 解决了几十道国内外数学竞赛试题 , 现将部分优秀 试题奉献给广大数学竞赛爱好者 , 与大家分享 . Schur 不等式  设 x , y , z ≥0 , r 是实数 , 则 x r( x -y ) ( x -z ) +y r( y -x ) ( y -z ) +z r( z -y ) ( z -x ) ≥0 . 变形 1   x 3 + y 3 + z 3 -( x 2 y + xy 2 + x 2 z + xz +y z +yz ) + 3 xy ≥ 0. 简记为 ∑x 3 -∑ x 2 ( y +z ) + 3 xyz ≥0 .
3 变形 2   ( x +y +z ) 4( x +y +z ) ( xy +yz 2 2 2

b +c c +a a +b a 3 +b 3 +c 3 ≤3 . a + b + c abc 证明   左不等式等价于( b +c -a) ( c +a -b ) ( a +b -c ) > 0 , 右不等式等价于 ( b +c -a ) ( c +a -b) ( a +b -c) ≤abc ( Schur 不等式( 变形 3) ) 例2   ( 2009 年希腊数学奥林匹克试题)已知 x , y , z 都是非负数 , 且 x +y +z =2 , 证明不等式 : x 2 y 2 +y 2 z 2 +z 2 x 2 +xyz ≤ 1. 证明   两边齐次化 , 等价于证明( x +y +z ) ≥ 16( x 2 y 2 +y 2 z 2 +z 2 x 2) +8 xyz ( x +y +z )
4 4 4 4 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 4



因为 ( x + y +z ) = x +y + z +4 ( x y + xy + y z + yz + z x + z x )+6 ( x y +y z + z 2 x 2) +4 xyz ( x +y +z ) , 所以 ①等价于证明 x +y +z +4( x y + xy +y z +yz +z x +z x 3) 10( x 2 y 2 +y 2 z 2 +z 2 x 2 )+4 xyz ( x +y + z) ≥0
2 4 4 4 3 3 3 3 3

+z x ) + 9 xyz ≥ 0. 变形 3  xyz ≥ ( x +y -z ) ( y +z - x ) ( z +x -y ) . ( 1983 年瑞士数学奥林匹克试题) 变形 4   x ( y +z -x ) +y ( x +z -y )+z ( x +y -z ) ≤ 3 xyz . ( 第 6 届 IMO 试题) 变形 5  2( xy +yz +zx ) -( x +y +z )≤ 9 xyz . x +y +z 变形 6  ( x 2 +y 2 +z 2 )+3 +yz +z x ) . 证明  在变 形 5 中, 应 用 均 值不 等 式 得 9 xyz x +y +z ≤3
3 3

2

2

2



2

2

2

由 Schur 不等式 ( r =2 时) 得 x ( x -y ) ( xz) +y 2( y -x ) ( y -z ) +z 2 ( x -y ) ( z -x ) ≥ 0, 即 x 4 +y 4 +z 4 ( x 3 y +xy 3 +y 3 z +yz 3 +z 3 x
3

2 ( xyz ) ≥2( xy

+z x ) +xyz ( x +y +z ) ≥0 , 所以 , x 4 +y 4 +z 4 ≥ ( x 3 y + xy 3 +y 3 z +yz 3 + z 3 x +zx 3) -xyz ( x +y +z ) . 从而 , 要证明 ②, 只要证明 5(x 3 y + xy 3 + y 3 z + yz 3 + z 3 x + z x 3 )10( x 2 y 2 +y 2 z 2 +z 2 x 2) +3 xyz ( x +y +z ) ≥0
3 3 2 2 3

( xyz )即得 .

2

下面给出 7 个典型的不等式赛题供参考 . 例 1  ( 2001 年奥地 利波兰 数学奥 林匹克 试 题) 已 知 a , b , c 是 ■ABC 的三 条 边 , 证 明 : 2<


3

由均值不等式得 x y + xy ≥ 2 x y , y z +yz ≥2 y 2 z 2 , z 3 x +zx 3 ≥2 z 2 x 2 ,

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所以 5( x 3 y + xy 3 +y 3 z +yz 3 +z 3 x +z x 3)10( x y +y z +z x ) ≥ 0 , 而 3 xyz ( x +y +z )≥ 0 显然成立 , 所以不等式 ③成立 . 等号成立的充要条 件是 x , y , z 中有一个是 0 , 其余两个相等 . 例 3  ( 2006 年乌克兰数学奥林匹克试题)已 知 a , b , c 是 正数 , 证 明 : 3( a 3 +b 3 +c 3 + abc )≥ 4( a 2 b +b2 c +c 2 a) . 证  由 Schur 不等式( 变形 1) 得: a +b +c +3 abc ≥a b +ab +b c +bc + c 2 a +ca 2 由均 值 不 等 式 得
3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

9 xyz 2 即( x +y +z ) + ≥4( xy +yz +zx ) x +y +z ( x +y +z ) -4 ( x +y +z ) ( yz +z x + xy )+ 9 xyz ≥ 0. 此就是 Schur 不等式( 变形 2) . 例5   ( 2003 年美国国家集训队选拔试题 )设 π ) , 证明不等式 : 2 sin α sin( α -β) sin( α -γ ) sin βsin( β -α ) sin( β -γ ) + sin( β +γ ) sin( γ +α ) α , β, γ ∈( 0,
sin γ sin( γ -α ) sin( γ -β) + ≥ 0. sin( α +β) 证明   因为 sin ( x +y ) sin( x -y ) = ( sin x cos y
3

① a 3 +a 3 +b3 ≥ a2 b , 3
3

+cos x sin y ) ( sin x cosy -cos x sin y )=sin x cos y sin y cos x = sin x ( 1 -sin y )-sin y ( 1 -sin x ) = sin x sin y . 所以 , 原不等式等价于 [ sin α ( sin 2 α- sin2 β) ( sin2 α- sin2 γ )+ sin β ( sin2 β -sin 2 α ) ( sin 2 β -sin2 γ ) +sin γ ( sin 2 γ -sin2 β) ( sin2 γ -sin2 α ) ] / [ sin( α +β) sin( β +γ ) sin( γ +α ) ] ≥0 因为 α , β, γ ∈( 0, ①
2 2 2 2 2 2 2 2

2

2

b +b +c 2 c +c +a 2 ≥b c , ≥c a , 3 3 将这三个不等式相加即得 a 3 +b3 +c3 ≥a 2 b +b 2 c +c 2 a 再由均值不等式得 a +ab ≥2 a b , 即 a ≥2 a b -ab , 同理 , b ≥ 2 b 2 c -bc 2 , c 3 ≥ 2 c2 a -ca 2 , 将这三个不等式相加即得 a 3 +b3 +c3 ≥2( a 2 b +b2 c +c 2 a)( ab 2 +bc 2 +ca 2)
3 3 3 3 2 2 3 2 2 3



π ) , 所以 , sin( α +β) sin( β+ 2 γ ) sin( γ +α ) >0 , 只需证明 sin α ( sin2 α -sin2 β) ( sin2 α -sin2 γ ) +sin β( sin2 β -sin 2 α ) ( sin 2 β sin2 γ ) +sin γ ( sin2 γ sin2 β) ( sin 2 γ -sin 2 α ) ≥0 记 x= sin α ,y = sin β , z =sin γ ,② 化为 x( x -y ) ( x - z )+ y ( y -z ) ( y - x )+ z( z -x ) ( z -y ) ≥0 ③
2 2 2


2 2

将不等式 ①②③相加得 3( a +b +c +abc) ≥ 4( a b +b c +c a ) . 例4   ( 2009 年 Oliforum 数学奥林匹克试题) ab bc 设 a , b , c 是正实数 , 证明 : a +b +c ≤ + a +b b +c ca 1 ab bc ca + + ( + + ) . c +a 2 c a b 证明  令 a = xy , b =yz , c =zx , 则原不 等式 化为 1 1 1 1 ( x 2 +y 2 +z 2) +xyz ( + + ) 2 x +y y +z z +x ≥xy +yz +zx . 由柯 西 不 等 式 得 9 , 2( x +y +z ) 9 xyz 只要证明 x 2 +y 2 +z 2 + ≥2( xy +yz x +y +z +z x ) , 1 1 1 + + ≥ x +y y +z z +x
2



1 这就是 Schur 不等式当 r = 时的情况 . 从而 , 2 原不等式成立 . 例 6  ( 2004 年中国西部数学奥林匹克试题) 求证 : 对 任意正实 数 a , b , c , 都有 1 < b b +c
2 2

a a +b
2 2

+

+

3 2 ≤ . 2 c +a c
2 2 2

b 证明  先证明左 边的不 等式 . 令 x = 2,y = c c2
2

a2 , z = 2 , 则 x , y , z ∈ R + , xyz =1 , 于是只需证明 b

64 1 1 1 + + >1 . 1 +x 1 +y 1 +z

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x 3 +y 3 +z 3 例7   设 x , y , z 是正实数 , 证明 : 3 xyz 3 xyz + ≥2 . ( Mircea Lasscu 不等式) x +y +z 证明  由 Schur 不等式( 变形 6) x + y +z + 3
3 3

1 不妨设 x ≤y ≤z , 令 A =xy , 则 z = , A ≤1 , A 1 1 1 于是 + + 1 = + 1 +x 1 +y 1 +z 1 +x 1 1 1 1+ x + > + = > A 1 +z 1 +x 1 1 +x 1+ 1+ x x 1 1. 再证明不等式的右边 .
2 1 2 1 2 令 a =2 ( y +z - x ) , b =2 ( x +z -y ) ,a

xyz ≥2( xy + yz + zx ) 得
3

3

xyz ≥2( xy + yz + zx ) ( x +y +z ) . 我们有

3 xyz 2( xy + yz + z x ) ( x +y +z ) , x +y +z ≥ x +y +z 于是 , ≥ = x 3 +y 3 +z 3 3 xyz + 3 xyz x +y +z
3

3

1 = ( x +y -z ) , 其中 x , y , z 是 ■ABC 的三条边 2 长. 则   = a a +b
2 2

x 3 +y 3 +z 3 2( xy + yz + zx ) + -1 3 xyz x +y +z x +y +z 2( xy + yz + z x ) 1+ 2+ 2 3 xyz x +y +z
3 3 3

+

b b +c
2 2

+

c c +a
2 2

y +z -x x +z -y x +y -z + + , 2z 2x 2y 原不等式转化为 y +z - x + z ①式 x +z -y + x x +y -z ≤ 3 y ①

( x +y +z ) ( x 2 +y 2 +z 2 -xy -yz -xz ) = 3 xyz 2( xy + yz + z x ) 2( x +y +z )  + + 2 x +y +z ( x +y +z ) [( x -y ) + ( y -z ) + ( z -x )] = 6 xyz
2 2 2 ( x - y) + ( y - z) + ( z - x)  +2 x +y +z 2 2 2

xy ( y +z -x )+ xyz ,

yz ( x +z -y )+

xz ( x +y -z ) ≤3 两边平方得

=∑[ xzy ( y +z -x ) ( x +z -y )
2 2

2 ( x +y +z ) ( x + y) 1 ] 6 xyz x +y +z

xy ( y +z -x ) +yz ( x +z -y ) + xz ( x +y  -z ) +2  +2  +2 ≤ 9 xyz
2

2   · ( x - y) + 2.

而由于 x , y , z 都是 正实数 , 所以 由均值不等 式有
2 2    ( x +y +z ) ( x + y) -6 xyz

yzx 2 ( y +z -x ) ( x +y -z ) xyz ( x +z -y ) ( x +y -z ) ②

   > 2( x +y ) z ( x + y ) -6 xyz    ≥ 8 xyz -6 xyz    = 2 xyz >0 , 所以 ( x +y +z ) ( x + y) 1 -x +y +z > 0, 6 xyz
2 2

2

② 式左边 ≤ xy ( y +z - x )+yz ( x +z -y )+ xz ( x +y -z ) +xz ( y +z -x ) +y ( x +z -y )+ yz ( x +y -z ) +x ( y +z - x )+xy ( x +z -y )+ z ( x +y -z )=6 xyz + x ( y +z - x )+y ( x +z -y ) +z ( x +y -z ) . 要证明 ②式成立 , 只要 证明 x 2 ( y +z - x )+ y 2( x + z -y )+ z 2 ( x + y - z )≤3 xyz . 这正是 Schur 不等式( 变形 4) . 下面的例 7 曾出现在朱华伟老师的文章中 , 下 面给出它的完整的证明 .
2 2 2 2 2

x +y +z ) ( x + y) 1 从而 ∑ [ ( ] 6 xyz x +y +z ·( x - y ) ≥0 . x 3 +y 3 +z 3 3 xyz 所以 + ≥ 2. 3 xyz x +y +z
( 收稿日期 : 2010 -03 -26)
3

2


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