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【优教通,同步备课】高中数学(北师大版)选修2-1教案:第2章 知识拓展:浅谈空间距离的几种计算方法


浅谈空间距离的几种计算方法
【摘要】 空间的距离是从数量角度进一步刻划空间中点、线、面、体之间相对位置关 系的重要的量,是平面几何与立体几何中研究的重要数量.空间距离的求解是高 中数学的重要内容,也是历年高考考查的重点和热点,其中以点与点、点到线、 点到面的距离为基础,一般是将问题最终转化为求线段的长度。在解题过程中, 要充分利用图形的特点和概念的内在联系,做好各种距离

间的相互转化,从而使 问题得到解决。 【关键词】 空间距离 【正文】 空间距离是衡量空间中点、线、面、体之间相对位置关系的重要的量。空间 距离的求解是高中数学的重要内容,也是历年高考考查的重点。空间距离主要包 括: (1)两点之间的距离; (2)点到直线的距离; (3)点到平面的距离; (4)两 条异面直线的距离; (5)与平面平行的直线到平面的距离; (6)两平行平面间的 距离。 这六种距离的计算一般常采用“一作、二证、三计算”的方法求解。对学生来说 是较难掌握的一种方法,难就难在“一作”上。所谓的“一作”就是作出点线或点面距 中的垂线段,异面直线的公垂线段。除非有相当的基本功,否则这种方法很难运 用自如,因此就需要进行转化来求解这些空间距离。下面就介绍几种常见的空间 距离的计算方法, 使得有些距离的计算可以避开作(或找)公垂线段、 垂线段的麻烦, 使空间距离的计算变得比较简单。 一、两点之间的距离 两点间的距离的计算通常有两种方法: 1、可以计算线段的长度。把要求的线段放入某个三角形中,用勾股定理或余 弦定理求解。 2、可以用空间两点间距离公式。如果图形比较特殊,便于建立空间直角坐标 系,可写出两点的坐标,然后代入两点间距离公式计算即可。 二、点到直线的距离 点线距离 点面距离 异面直线距离 公垂线段 等体积法

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在求解点到直线的距离时,通常是寻找或构造一个三角形。其中点是三角形 的一个顶点,直线是此顶点所对的一条边,利用等面积法计算点线距离。所寻找 或构造的三角形有等腰三角形(或等边三角形) 、直角三角形、一般三角形三类, 最关键的步骤是算出三角形的面积,然后用等面积法计算即可。其中最难计算的 是一般三角形的面积,这类面积的计算通常是已知三边,先求出一个角的余弦值, 再求出次角的正弦值,然后用正弦面积公式算出面积。 例 1、在△ABC 中,AB=2,BC=3,AC=4,求点 A 到 BC 的距离。 解:作 AD ? BC ,垂足为 D,又? AB=2,BC=3,AC=4,
AC 2 ? BC 2 ? AB 2 32 ? 4 2 ? 2 2 7 ?c o C s ? ? ? 2 AC ? BC 2 ? 3? 4 8
C

7 15 ? sin C ? 1 ? ( ) 2 ? 8 8
? S ?ABC ? 1 1 15 3 15 ? 3 ? 4 sin C ? ? 3 ? 4 ? ? 2 2 8 4
1 BC ? AD 2

A

D D

B

又 ? S ?ABC ?

2S ? AD ? ?ABC ? BC

2?

3 15 4 ? 15 3 2

? 点 A 到 BC 的距离为

15 2

三、点到平面的距离 求解点到平面的距离常用的方法有以下几种: 1、由已知的或可以证明垂直的关系,则垂线段的长度就是点到平面的距离。 2、过点作已知平面的垂线,可以找到垂足的位置,从而得到点到平面的距离。 例如在正三棱锥中,求顶点到底面的距离,可以过正三棱锥的顶点作底面的垂线, 垂足为底面正三角形的中心,然后通过计算求得距离。又例如若已知所在的平面 与已知平面垂直,可以过点作两平面交线的垂线,此点与垂足间的距离即为点到 平面的距离。 3、用等体积法求解点面距离。

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4、向量法:求点 A 到平面 ? 的距离:在平面 ? 内任取一点 B,求向量 AB 在 平面 ? 上的法向量 n 上的射影长,即 d ?

AB ? n n

例 2、如图,在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AB ? 5, BC ? 2, AA1 ? 2 2, E 在 AD 上,且 AE=1,F 在 AB 上,且 AF=3, (1)求点 C1 到直线 EF 的距离; (2)求点 C 到平面 C1 EF 的距离。 解: (1)连接 FC,EC, 由已知 FC= 2 2 ,

? FC1 ? 4 , EC1 ? 1 ? 25 ? 8 ? 34 ,

EF ? 1 ? 9 ? 10

EF 2 ? FC1 ? EC1 10 ? 16 ? 34 10 cos?EFC1 ? ? ?? 2EF ? FC1 10 2 ? 10 ? 4
? sin ?EFC1 ? 1 ? 1 3 10 ? 10 10

2

2

? S ?EFC1 ?

1 1 3 10 EF ? FC1 sin ?EFC1 ? 10 ? 4 ? ?6 2 2 10

1 12 12 6 10 设 C1 到 EF 的距离为 d ,则 EF ? d ? 6,? d ? ? ? 2 EF 5 10
(2)设 C 到平面 C1 EF 的距离为 h

?VC ?C1EF ? VC1 ?E F C
1 1 ? S ?C1EF ? h ? S ?EFC ? CC1 3 3 1 1 1 又? S ?EFC ? 5 ? 2 ? ? 3 ? 1 ? ? 2 ? 2 ? ? 1 ? 5 ? 4 2 2 2

?h ?

S ?C1EF ? CC1 S ?C1EF

?

4? 2 2 4 2 ? 6 3

四、两条异面直线的距离

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1、对于特殊的图形,可以作出异面直线的公垂线段并证明,然后算出公垂线 段的长度。 2、转化为两个平行平面的距离,再转化为点面的距离进行计算。 例 3、三角形 ABC 是边长为 2 的正三角形, P ? 平面 ABC,P 点在平面 ABC 内 的射影为 O,并且 PA = PB = PC =
2 6 。求异面直线 PO 与 BC 间的距离。 3

分析:过点 P 作平面 ABC 的垂线段 PO,但是必须了解垂足 O 的性质,否则计 算无法进行。为此连结 OA,OB,OC(如图) .

则由 PA=PB=PC 可得 OA=OB=OC,即 O 是正三角形 ABC 的中心.于是 2 6 2 3 2 3 可以在直角三角形 PAO 中由 PA= 3 ,OA= 3 ,得 PO= 3 。有了以上基 础,只要延长 AO,交 BC 于 D,则可证明 OD 即为异面直线 PO 与 BC 间的距离, 3 为 3 。 五、直线到平面的距离 直线到平面的距离是过直线上任意一点向平面作垂线所得垂线段的长度,一 般求解都是转化为求点到平面的距离。 例 4、已知:正方体 ABCD-A1B1C1D1 ,AA1 =2 ,E 为棱 CC1 的中点。求 B1C1 到 平面 ADE 的距离。 解:? B1C1 || BC, BC || AD,? B1C1 || AD

? AD ? 平面A D E , B1C1 ? 平面A D E

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? B1C1 || 平面A D E B1C1 到平面 ADE 的距离即为点 C1 到平面 ADE 的距离
设点 C1 到平面 ADE 的距离为 d,可以用等体积法求出 d 的值。

? VC1 ? ADE ? V A? DEC1 1 1 ? S ?ADE ? d ? S ?DEC1 ? AD 3 3 S ?DEC1 ? AD ?d ? S ?ADE
以下解略。 六、两个平行平面的距离 通常是把两个平行平面的距离转化为求解点面距离。

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