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七年级培优竞赛数学第3讲


新课标七年级数学竞赛讲座 第三讲 创造的基石——观察、归纳与猜想

当代著名科学家波普尔说过:我们的科学知识,是通过未经证明的和不可证明的预言, 通过猜测,通过对问题的尝试性解决,通过猜想而进步的. 从某种意义上说,一部数学史就是猜想与验证猜想的历史.20 世纪数学发展中巨大成 果是,1995 年英国数学家维尔斯证明了困扰数学界长达 350 多年的“费尔马大猜

想” ,而著 名的哥德巴赫猜想,已经历经了两个半世纪的探索,尚未被人证实猜想的正确性. 当一个问题涉及相当多的乃至无穷多的情形时,我们可以从问题的简单情形或特殊情 况人手,通过对简单情形或特殊情况的试验,从中发现一般规律或作出某种猜想,从而找到 解决问题的途径或方法,这种研究问题的方法叫归纳猜想法,是创造发明的基石. 例题 【例 1】 (1)用●表示实圆, 用○表示空心圆, 现有若干实圆与空心圆按一定规律排列如下: ●○●●○●●●○●○●●○●●●○●○●●○●●●○?? 问:前 2001 个圆中,有 个空心圆. (江苏省泰州市中考题) (2)古希腊数学家把数 1,3,6,10,15,2l,?叫做三角形数,它有一定的规律性,则 第 24 个三角形数与第 22 个三角形数的差为 . (舟山市中考题) 思路点拨 (1)仔细观察,从第一个圆开始,若干个圆中的实圆数循环出现,而空心圆 的个数不变; (2)每个三角形数可用若干个数表示. 【例 2】观察下列图形,并阅读图形下面的相关文字:

像这样,10 条直线相交,最多交点的个数是( ). A.40 个 B.45 个 C.50 个 D.55 个 (湖北省荆门市中考题) 思路点拨 随着直线数的增加,最多交点也随着增加,从给定的图形中,探讨每增加一 条直线,最多交点的增加数与原有直线数的关系.是解本例的关键. 【例 3】化简 99 ? 9 ? 99 ? 9 ? 199 ? 9 ? ? ? ? ? ? ? ? ?
n个 n个 n个

(第 18 届江苏省竞赛题)

思路点拨 先考察 n ? 1,2,3 时的简单情形,然后作出猜想,这样,化简的目标更加 明确. 【例 4】古人用天干和地支记次序,其中天干有 10 个:甲乙丙丁戊己庚辛壬癸;地支有 12 个:子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥,将天干的 10 个汉字和地支的 12 个汉字分别循环排列 成如下两行; . 甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙丁戊己庚辛壬癸?? 子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥?? 从左向右数,第 l 列是甲子,第 3 列是丙寅?,问当第二次甲和子在同一列时, 该列的序号是多少? ( “希望杯”邀请赛试题)

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思路点拨 把“甲” 、 “子”在第一行、第二行出现的位置分别用相应的代数式表示,将 实际问题转化为数学问题求解. 注: 观察是解决问题的先导,发现往往走从观察开始的,归纳与猜想是建立在细致而深 刻的观察基础上的,解题中的观察活动主要有三条途径: (1)数与式的特征观察;(2)图形的结构观察;(3)通过对简单、特殊情况的观察,再推广到一 般情况. 归纳总是与递推联系在一起的,所谓递推,就是在归纳的基础上,发现每一步与前一 步或前几步之间的联系,更容易发现规律嘎证明通过归蚋所猜测的规律的正确性. 【例5】 图(a)、(b)、(c)、(d)都称作平面图. 图 (a) (b) (c) (d) (1)数一数每个图各有多少个顶点,多少条边,这些边围出了多少区域,将结果填人表 中(其中(a)已填好). (2)观察表,推断一个平面图的顶点数、边数、区域数之间有什么关系? (3)现已知某一平面图有 999 个顶点和 999 个区域,试根据(2)中推断出的关系,确定这 个图有多少条边? ( “华杯赛”决赛试题) 思路点拨 从特殊情况人手,仔细观察、分析、试验和归纳,从而发现其中的共同规 律,这是解本例的关键. 顶点数 4 边数 6 区域数 3

学力训练 1.(1)如右图的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的,称为杨辉三角形,根据图中的数 构成的规律, a 所表示的数是 .(2001 早浙江省绍兴市中考题) 1 1 l 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 (第 1 题) (2)观察—列数:3,8,13,18,23,28,?依此规律,在此数列中比 2000 大的最小整数 是 .(2003 年金华市中考题) 2.如图是 2002 年 6 月份的日历.现用一矩形在日历中任意框出 4 个数 ,请用, 一个等式表示 a、b、c、d 之间的关系: . (安徽省中考题)

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3.下面由火柴棒拼出的一列图形中,第 n 个图形由 n 个正方形组成.

通过观察可以发现; (1)第 4 个图形中火柴棒的根数是 ; (2)第 n 个图形中火柴棒的根数是 . (江西省中考题) 4.小王利用计算机设计了一个计算程序,输入和输出的数据如下表,那么当输入数据是 8 时,输出的数据是( ). 输入 输出 A. ? ? B. 1
1 2

2

3
4 17

4
4 17

5

? ?

2 5

5 26

8 8 8 C. D. (2003 年重庆市中考题) 65 67 63 5,在以下两个数串中: 1,3,5,7,?,1991,1993,1995,1997,1999 和 1,4,7,10,?,1990,1993, 1996.1990 同时出现在这两个数串中的数的个数共有( )个. A.333 B.334 C.335 D‘336 (“希望杯”邀请赛试题) 6.图①是一个水平摆放的小正方体木块,图②、③是由这样的小正方体木块叠放而成,按 照这样的规律继续叠放下去,至第七个叠放的图形中,小正方体木块总数应是( ). A.25 B.66 C.91 D.120

8 61

(2003 年宁波市中考题) 7.一串数排成一行,它们的规律是这样的:头两个数都是 l,从第三个数开始,每一个数都 是前两个数的和,也就是 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55?,问:这串数的前 100 个 数中(包括第 100 个数),有多少个偶数? (“华杯”赛试题) 8.自然数按下表的规律排列

(1)求上起第 10 行,左起第 13 列的数; (2)数 127 应在上起第几行、左起第几列? 9.(1)观察下列各式,你会发现什么规律? 3× 5=15, 而 15=42 一 1, 5× 7=35, 而 35=62 一 l, ? ?

(北京市“迎春杯”竞赛题)

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1l× l3=143, 而 143=122 一 l 将你猜想到的规律用只含一个字母的式子表示出来 (2000 年济南市中考题) (2)将 l, ?



1 1 1 1 1 , , ? , , ? ?按一定规律排成下表: 2 3 4 5 6

从表中可以看到第 4 行中, 自左向右第 3 个数是 那么第 199 行中自左向右第 8 个数是 (希望杯”邀请赛试题) 10.有一列数 a1 , a2 , a3 , a4 ,?a, an ,其中

1 1 , 第 5 行中从左向右第 2 数是 ? , 9 12


,第 1998 行中自左向第 11 个数是

a1 ? 6 ? 2 ? 1 ; a2 ? 6 ? 3 ? 2 ;

a3 ? 6 ? 4 ? 3 ;
a4 ? 6 ? 5 ? 4 ;
?? 则第 n 个数 an ? ;当 an ? 2001 时,n= . (江苏省竞赛题)

11.一个正方体,它的每一个面上写有一个字,组成“数学奥林匹克” .有三个同学从不同 的角度看到的结果依次如图所示,那么, “学”字对面的字为 . (重庆市竞赛题)

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12. 用盆栽菊花摆在如图所示的大小相同的 7 个正方形花坛的边缘, 正方形每边都等距离地 摆 n(n≥3)盆花.那么所需菊花的总盆数 s 与 n 的关系可以表示为 . ( “希望杯”邀请赛试题) 13.如果一个序列{ a i }满足 a1 ? 2 , an?1 ? an ? 2n (n 为自然数),那么 a100 是( 9900 B.9902 C.9904 10100 E.10102 (新加坡数学竞赛题) 14.将正偶数按下表排成 5 列 第1列 第2列 第3列 第4列 第5列 第1行 2 4 6 8 第2行 16 14 12 10 第3行 18 20 22 24 . . . . . . . . . . . . 28 26 根据上面排列规律,则 2000 应在( ). A.第 125 行,第 1 列 B.第 125 行,第 2 列 C.第 250 行,第 1 列 D.第 250 行,第 2 列 (2001 年湖北省荆州市中考题) 15.(1)设 n 为自然数,具有下列形式 11 ? 1155 ? 55 的数是不是两个连续奇数的积,说明 ? ? ? ? ? ? ? ?
n个1 n个5

) .

理由. (2)化简 33 ? 3 ? 33 ? 3 ? 199 ? 9 ,并说明在结果中共有多少个奇数数字? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
n个3 n个3 n个9

16.(1)图①是正方体木块,把它切去一块,可能得到形如图②、③、④、⑤的木块. 我们知道,图①的正方体木块有 8 个顶点,12 条棱,6 个面,请你将图②、③、④、 ⑤中木块的顶点数、棱数、面数填人下表: 图 顶点数 棱数 面数 ① ② ③ ④ ⑤ {2}观察此表, 请你归纳上述各种木块的顶点数、 棱数、 面数之间的数虽关系是: . (3)图⑥是用虚线画出的正方体木块,请你想象一种与图②~⑤不同的切法,把切去一块后得 到的那一块的每条棱都改画成实线, 则该木块的顶点数为 , 棱数为 , 面数为 . 8 6 3

17.怎样的两个数,它们的和等于它们的积?你大概马上就会想到 2+2=2× 2.其实这样的 两个数还有很多,例如: 3 ?

3 3 ? 3? 2 2

(1)你能再写出一些这样的两个数吗?你能从中发现一些规律吗? (2)你能否提出一些类似的问题?在你提出的问题中选择一个问题进行研究.

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18.观察按下列规则排成的一列数: 1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 4 5 1 , , , , , , , , , , , , , , , ,?(※) 1 2 1 3 2 1 4 3 2 1 5 4 3 2 1 6 (1)在(※)中,从左起第 m 个数记为 F(m),当 F (m) ?

2 时,求 m 的值和这 m 个数的 2001

积. (2)在(※)中,未经约分且分母为 2 的数记为 c ,它后面的一个数记为 d.是否存在这样 的两个数 c 和 d,使 cd ? 20010000 ,如果存在,求出 c 和 d;如果不存在,请说明理由。 (湖北省竞赛题)

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参考答案


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