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专题5.1 平面向量的概念及线性运算、平面向量的基本定理学生


1

第五章

平面向量

专题 1 平面向量的概念及线性运算、平面向量的基本定理(理科)
【考点 1】向量的概念 【备考知识梳理】 1.向量:既有大小又有方向的量,两个向量不能比较大小. 2.零向量: 模为 0 的向量, 记作 0 , 其方向为任意的, 所以 0 与任意向量平行, 其性质有:0 ? a =0,

0 + a = a . 3.单位向量:模为 1 个长度单位的向量,与 a 方向相同的单位向量为 4.相等向量:长度相等且方向相同的向量,记作 a = b . 5.相反向量:长度相等且方向相反的两个向量, a 的相反向量为- a ,有-(【规律方法技巧】 1.判定两向量的关系式时,特别注意以下两种情况: (1)零向量的方向及与其他向量的关系. (2)单位向量的长度与方向. 2.对任意向量可以自由移动,且任意一组平行向量都可平移到一条直线上. 3.向量不能比较大小,但它的模可以比较大小. 【考点针对训练】 1.设向量 a ? ( x,1) , b ? (4, x) , 若 a , b 方向相反, 则实数 x 的值是( A. 0 B. ?2 C. 2 D. ?2 ) D. ?1 )

a . |a|

a )= a .

2.已知向量 a = ?3,4? ,若 ?a ? 5 ,则实数 ? 的值为( A.

1 5

B. 1

C. ?

1 5

【考点 2】向量的线性运算 【备考知识梳理】 1. ① 向量加法: 平行四边形法则:平移 a , b 使其由公共的起点,以 a 、 b 为领边做平行四边形,则以共同起点为

起点的对角线对应的向量就是 a 与 b 的和向量. ② ③ 三角形法则:要注意“首尾相连” 两个向量的和向量仍为向量

2



当两个向量共线时,三角形法则适合,平行四边形法则不适合.

2.向量减法应注意: ①向量减法实质是加法的逆运算,其差仍是向量; ②用三角形法则作向量减法时,牢记“起点相同,连结两个向量的终点,箭头指向被减向量终点”. 3.向量数乘运算 ①实数 ? 与 a 的积仍是向量,| ? a |= | ? || a | ,当 ? >0 时, ? a 与 a 方向相同,当 ? <0 时, ? a 与 a 方向 相反,当 ? =0 时, ? a = 0 . ②向量数乘的特殊情况: ? a = 0 充要条件是 a = 0 或 ? =0. ③实数与向量可以求积,但可以求和、差. ⑤ 熟练掌握向量的线性运算的运算律是正确化简向量式的关键, 要正确区分向量数量积与实数向量积
[来源:学科网]

的运算律. 4.平面向量基本定理 ①平面向量基本定理:若 a 、 b 是平面内不共线的向量,向量 c 是平面内任意一个向量,则存在唯一实数对

x, y ,使 c = xa + yb .

[来源:学。科。网]

②平面向量基本定理作用,平面向量基本定理是定义向量坐标的基础,是将平面内任意向量用不共线的平 面向量即基底表示出来的基础. 5.平面向量的基本运算 ①若 a =( x1 , y1 ) , b =( x2 , y2 ) ,则 a ± b =( x1 ± x2 , y1 ± y2 ) ,

? a =( ? x1 , ? y1 ) ,
②若 A( x1 , y1 ) ,B( x2 , y2 ) ,则 AB =( x2 - x1 , y2 - y1 ). 【考点针对训练】 1.如图,在等腰直角△ABO 中,OA=OB=1,C 为 AB 上靠近点 A 的四等分点,过 C 作 AB 的垂线,P 为垂线上 任一点,则 OP ? (OB ? OA) 等于( )

??? ?

??? ?

??? ? ???? ?

3

A.-

1 2

B.

1 2

C.-

3 2

D.

3 2

b ,c 分别是角 A, B, C 的对边, 2.若 G 是 ?ABC 的重心,a , 若 aG ? ? bG? ?
A. 90? B. 60?
[ 来源:学科网 ZXXK]

????

??? ?

3 ???? ? 则角 A ? ( ) cGC ? 0 , 3

C. 45?

D. 30?

【考点 3】平面向量共线问题 【备考知识梳理】 1. 共线向量的概念

若两个非零向量 a 、b 的方向相同或相反,则称 a 与 b 共线,也叫 a 与 b 平行,规定零向量与任意向量共线. 两个向量共线其所在的直线可能重合也可能平行. 2. 向量共线的充要条件 ① 共线向量定理: a ∥ b ( b ≠ 0 ) ? 存在唯一实数 ? ,使得 a = ? b . ② 若 a =( x1 , y1 ) , b =( x2 , y2 ) ,则 a ∥ b ? x1 y2 - x2 y1 =0. 【考点针对训练】 1.已知平面向量 a , b , c , a ? (?1,1) , b ? (2,3) , c ? (?2, k ) ,若 (a ? b) / / c ,则实数 k ? ( ) A. 4 B.-4 C.8 D.-8 )

?

?

?

?

?

?

? ?

?

? ? ? ? ? a b 2.设 a, b 都是非零向量,下列四个条件中,一定能使 ?? ? ? ?? ? ? 0 成立的是( |a| |b|
A. a ? ? b

?

1? 3

B. a / / b

?

?

C. a ? 2b

?

?

D. a ? b

?

?

【两年模拟详解析】
1.已知点 G 为 △ABC 的重心,过点 G 作直线与 AB , AC 两边分别交于 M , N 两点,且 AM ? x AB,

???? ?

????

???? ???? 1 1 AN ? y AC , x, y ? R ,则 ? ? x y



2.已知向量 OA ? ? 3, ?4 ? , OB ? ? 6, ?3? , OC ? ? 2m, m ? 1? ,若 AB ∥ OC ,则实数 m 的值为( ) (A)

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

1 5

(B) ?

3 5

(C) ?

1 7

(D) ?3

3.已知 O 是 ?ABC 所在平面内一点, D 为 BC 边中点,且 2OA ? OB ? OC ? 0 ,则有( ) A. AO ? 2OD

??? ? ??? ? ???? ????

?

????

????

B. AO ? OD C. AO ? 3OD D. 2 AO ? OD

????

????

????

????

????

4

4.设向量 a ? ( x,1) , b ? (4, x) , 若 a , b 方向相反, 则实数 x 的值是( A. 0 B. ?2 C. 2 D. ?2 )



5.已知向量 a = ?3,4? ,若 ?a ? 5 ,则实数 ? 的值为( A.

1 5

B. 1

C. ?

1 5

D. ?1

6.在矩形 ABCD 中, O 是对角线的交 点,若 BC ? 5e1, DC ? 3e2则OC 等 于( ) (A)

1 (5e1 ? 3e2 ) 2

(B)

1 (5e1 ? 3e2 ) 2

(C)

1 (3e2 ? 5e1 ) 2

(D)

1 (5e2 ? 3e1 ) 2

7.如图所示,已知点 G 是 ?ABC 的重心,过点 G 作 直线与 AB, AC 两边分别交于 M , N 两点,且

???? ? ??? ? ???? ??? ? AM ? xAB, AN ? yAC ,则 x ? y 的最小值为(



A. 2

B.

1 3

C.

4 3

D.

3 4

8.如图,在 ?ABC 中, D 为 BC 的中点, E 为 AD 上任一点,且 BE ? ? BA ? ? BC ,则 为 .

1

?

?

2

?

的最小值

9.在平面直角坐标系 xOy 中,设直线 y ? ? x ? 2 与圆 x ? y ? r
2 2

2

? r ? 0? 交于 A,B 两点,O 为坐标原点,若

? 3 ??? ? 5 ??? OA ? OB ,则 r=______. 4 4 ???? ???? ? ???? ???? ? ??? ? ???? ???? ? ??? ? ??? ? 1 10.在平面上, AB1 ? AB2 , OB1 ? OB2 ? 1, AP ? AB1 ? AB2 .若 OP ? ,则 OA 的取值范围是( ) 2
圆 上一点 C 满足 OC ? A. ?0,

????

? ?

5? ? 2 ?

B. ?

? 5 7? , ? ? 2 2 ?

C. ?

? 5 ? , 2? ? 2 ?

D. ?

? 7 ? ? 2 , 2? ? ?

5

11.设向量 a ? (1,sin ? ) , b ? (3sin ? ,1) ,且 a // b ,则 cos 2? 等于( A. ?



? 3

B. ?

? 3

C.

? 3

D.

? 3

AC 与 BD 交于点 O,E 是线段 OD 的中点,AE 的延长线与 CD 交于点 F . 12.在平行四边形 ABCD 中, 若

??? ? ??? ? ??? ? AC ? a , BD ? b ,则 AF ? (
(A)

) (C)

1 1 a? b 4 2

(B)

1 1 a? b 2 4

2 1 a? b 3 3

(D)

1 2 a? b 3 3

13.已知 ?ABC 的重心为 G,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 aGA ? bGB ? 为( A. ) B.

??? ?

??? ?

3 ???? ? cGC ? 0 ,则角 A 3

? 6

? 4
??? ?

C.

? 3

D.

? 2
??? ? ??? ? ??? ?

14 如图,设向量 OA ? (3,1), OB ? (1,3) ,若 OC ? ?OA ? ?OB ,且 ? ? ? ? 1,则用阴影表示 C 点所有可能 的位置区域正确的是 ( )

??? ?

15.在△ABC 中,E 为 AC 上一点,且 AC ? 4 AE ,P 为 BE 上一点,且满足 AP ? mAB ? nAC(m ? 0, n ? 0) , 则

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

? 1 1 ? 取最小值时,向量 a ? ? m, n ? 的模为 m n



6

【一年原创真预测】 ???? ??? ? 1. 已知点 A? 7,1? , B ?1, a ? ,若直线 y ? x 与线段 AB 交于点 C ,且 AC ? 2CB ,则实数 a ? __________.
2. 已知 OA ? 1, OB ? 2 , ?AOB ? 150? , 点 C 在 ?AOB 的内部且 ?AOC ? 30? ,设 OC ? mOA ? n OB , 则

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

m ? n





A. 3

B. 2 3

C.

3 2

D.1

3.已知非零向量 OA =? OB ? ? OC ? ? OD(?,?,? ? R) ,B、C、D 为不共线三 、 OB、 OC、 OD 满足: OA 点,给出下列命题:

??? ? ??? ? ??? ? ????

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

1 ,则 A、B、C、D 四点在同一平面上; ①若 ?= ,?=- ,? =
②当 ? ? 0,? ? 0,? ? 2 时,若 | OA | = 3, | OB | =| OC | =| OD | = 1,

1 2

1 2

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ???? ???? ??? ? ???? ???? 5? ? ? OB, OC ?? , ? OD, OB ??? OD, OC ?? 则 α +β 的最大值为 6 ? 2 ; 6 2
③已知正项等差数列 an ? n ? N *? ,若 ? ? a2,? ? a2014,? ? 0 ,且 A、B、C 三点共线,但 O 点不在直线 BC 上,则

4 9 的最小值为 25; ? a1 a2015

④若 ? ? 0, ? ? ? ? 1? ?? ? 0? ,则 A、C、D 三点共线且 A 分 CD 所成的比 λ 一定为 其中正确的命题的序号是 .

??? ?

? . ?

【三年高考】

[来源:学,科,网]

1.【2015 高考新课标 1,理 7】设 D 为 ?ABC 所在平面内一点 BC ? 3CD ,则( )

??? ?

??? ?

? 4 ???? 1 ??? AB ? AC 3 3 ????? ? ???? 4 ??? ? 1 (C) AD ? AB ? AC 3 3
(A) AD ? ?

????

? 4 ???? 1 ??? AB ? AC 3 3 ??????? ? ???? 4 ??? ? 1 (D) AD ? AB ? AC 3 3
(B) AD ?

????

7

???? ? ???? ? ???? ???? ???? ? ??? ? ??? ? 2.【2015 高考北京,理 13】在 △ ABC 中,点 M , N 满足 AM ? 2MC , BN ? NC .若 MN ? xAB ? y AC ,

则x?

;y?



3.【2015 高考新课标 2,理 13】设向量 a , b 不平行,向量 ? a ? b 与 a ? 2b 平行,则实数 ? ? _________. 4. 【2015 江苏高考, 6】 已知向量 a= (2,1) , b= (1,?2) , 若 ma+nb= (9,?8) ( m, n ? R ), 则 m ? n 的值为______.

?

?

? ?

?

?

? ? ? ? ? 1 5 , 若空间向量 b 满足 b ? e1 ? 2, b ? e 2 ? , 2 2 ? ?? ?? ? ? ?? ?? ? ???? ? 且对于任意 x, y ? R , b ? ( xe1 ? ye2 ) ? b ? ( x0 e1 ? y0 e2 ) ? 1( x0 , y0? R) ,则 x0 ? , y0 ? ,
5. 【2015 高考浙江, 理 15】 已知 e1 , e2 是空间单位向量,e1 ? e 2 ?

? ?

? ?

? b?

. )

6.【2014 福建,理 8】在下列向量组中,可以把向量 a ? ?3,2? 表示出来的是( A. e1 ? (0,0), e2 ? (1,2)

B . e1 ? (?1,2), e2 ? (5,?2) C. e1 ? (3,5), e2 ? (6,10) D. e1 ? (2,?3), e2 ? (?2,3)

7. 【2014 陕西, 理 13】 设0 ?? ?

?
2

a n ? ? _______. , 向量 a ? ?sin 2? , 若 a // b , 则t cos? ?, b ?cos? , 1? ,

?

?

?

?

8. 【2014 浙江, 理 8】 记 max{ x, y} ?

? ? ? x, x ? y ? y, x ? y ,min{ x, y} ? ? , 设 a, b 为平面向量, 则 ( ? ? y, x ? y ? x, x ? y
B. min ? a ? b , a ? b ? ? min ? a , b ? D. max a ? b , a ? b



A. min ? a ? b , a ? b ? ? min ? a , b ? C. max a ? b , a ? b

?

2

2

?? a

2

?b

2

?

2

2

?? a

2

?b

2

9.【2014 陕西,理 18】在直角坐标系 xOy 中,已知点 A(1,1), B(2,3), C (3,2) ,点 P ( x, y ) 在 ?ABC 三边围 成的区域(含边界)上 (1)若 PA ? PB ? PC ? 0 ,求 OP ; (2)设 OP ? m AB ? n AC(m, n ? R) ,用 x , y 表示 m ? n ,并求 m ? n 的最大值.

8

10. 【2013 安徽, 理 9】 在平面直角坐标系中,O 是坐标原点, 两定点 A, B 满足 | OA | = | OB | = OA ? OB =2, 则点集 P | OP ? ? OA ? ? OB, ? ? ? ? 1, ? , ? ? R 所表示的区域的面积是( (A) 2 2 (B) 2 3 (C) 4 2 (D) 4 3

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

?

??? ?

??? ?

??? ?

?



11. 【2013 北京,理 13】向量 a,b,c 在正方形网格中的位置如图所示,若 c=λ a+μ b(λ ,μ ∈R),则

? = ?

.

12.【2013 江苏,10】设 D, E 分别是 ?ABC 的边 AB, BC 上的点,

AD ?

??? ? ??? ? ??? ? 1 2 AB , BE ? BC ,若 DE ? ?1 AB ? ?2 AC ( ?1 , ?2 为实数),则 2 3
.
[来源:Zxxk.Com]

?1 ? ?2 的值为


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