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2016届辽宁省抚顺市高考数学一模试卷(理科)(解析版)

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2016 年辽宁省抚顺市高考数学一模试卷(理科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一个是符合要求的. 1.若集合 ,B={x|﹣4<x<3},则集合 A∩B 为( )

A.{x|﹣5<x<3} B.{x|﹣4<x<2} C.{x|﹣4<x<5} D.{x|﹣2<x<3} 2.已知 i

为虚数单位,若复数 z 满足(3﹣4i)z=1+2i,则 z 的共轭复数是( ) A. B. C. D. )

3.已知命题 p:“? a>0,有 ea≥1 成立”,则¬p 为( A.? a≤0,有 ea≤1 成立 B.? a≤0,有 ea≥1 成立 C.? a>0,有 ea<1 成立 D.? a>0,有 ea≤1 成立 4.已知 A. B. , C. D. ,

,则 tan(α﹣β)的值为(



5.在二项式 A.56 B.7

的展开式中,第四项的系数为( C.﹣56 D.﹣7 则 z=3x+2y 的最小值是(



6.若实数 x,y 满足



A.0 B.1 C. D.9 7.已知某正三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的表面积为(



A.9

B.9

+

C.12

D.12 )

8.已知某程序框图如图所示,则执行该程序框图输出的结果是(

A.

B.﹣1 C.2

D.﹣2

9.双曲线

(a>0,b>0)的一条渐近线与抛物线 y=x2+2 只有一个公共点,则

该双曲线的离心率为( ) A.3 B.2 C. D. 10.已知 SC 是球 O 的直径,A,B 是该球面上的两点,△ABC 是边长为 的正三角形, 若三棱锥 S﹣ABC 的体积为 ,则球 O 的表面积为( ) A.16π B.18π C.20π D.24π 11.定义域为 R 的偶函数 f(x)满足对? x∈R,有 f(x+2)=f(x)﹣f(1) ,且当 x∈[2, 2 3]时,f(x)=﹣2x +12x﹣18,若函数 y=f(x)﹣loga(|x|+1)在(0,+∞)上至少有三个 零点,则 a 的取值范围是( ) A. 12.已知函数 B. C. D.

在 x=x0 处取得最大值,给出下列 5 个式子: ,⑤ .则其

①f(x0)<x0,②f(x0)=x0,③f(x0)>x0,④ 中正确式子的序号为( ) A.①和④ B.②和④ C.②和⑤ D.③和⑤ 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.已知 a>0,b>0,且 a+b=2,则 14.已知△ABC 的周长为 为______. 15.已知向量 +3 、 ,面积为 的最小值为______. ,且

,则角 C 的值

是分别与 x 轴、y 轴同方向的单位向量,向量 绕点 A 旋转到 位置,使得 ⊥ ,则 ?

=

+



=5

,将有向线段

的值是______.

16.已知抛物线 y2=ax(a≠0)的准线方程为 x=﹣3,△ABC 为等边三角形,且其顶点在此 抛物线上,O 是坐标原点,则△ABC 的边长为______. 三、解答题:本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. b2=a4, b3=a13. 已知等差数列{an}的公差 d=2, 其前项和为 Sn, 且等比数列{bn}满足 b1=a1, (Ⅰ)求数列{an}的通项公式和数列{bn}的前项和 Bn; (Ⅱ)记数列 的前项和为 Tn,求 Tn.

18.如图 1,已知正方形 ABCD 的边长为 2,E、F 分别为边 AD、AB 的中点.将△ABC 沿 BE 折起,使平面 ABE⊥平面 BCDE.如图 2,点 G 为 AC 的中点.

(Ⅰ)求证:DG∥平面 ABE; (Ⅱ)求直线 CE 与平面 ABC 所成角的正弦值. 19.某校高三期中考试后,数学教师对本次全部数学成绩按 1:20 进行分层抽样,随机抽取 了 20 名学生的成绩为样本,成绩用茎叶图记录如图所示,但部分数据不小心丢失,同时得 到如表所示的频率分布表: 130) [130, 150) 总计 分数段(分) [50,70) [70,90) [90,110) [110, b 频数 a 0.25 频率 (Ⅰ)求表中 a,b 的值及成绩在[90,110)范围内的个体数; (Ⅱ)从样本中成绩在[100,130)内的个体中随机抽取 4 个个体,设其中成绩在[100,110) 内的个体数为 X,求 X 的分布列及数学期望 E(X) ; (Ⅲ) 若把样本各分数段的频率看作总体相应各分数段的概率, 现从全校高三期中考试数学 成绩中随机抽取 3 个,求其中恰好有 1 个成绩及格的概率(成绩在[90,150)内为及格) . 附注:假定逐次抽取,且各次抽取互相独立.

20.已知椭圆

的左顶点为 A1,右焦点为 F2,过点 F2 作垂直于 x 轴

的直线交该椭圆于 M、N 两点,直线 A1M 的斜率为 .

(Ⅰ)求椭圆的离心率; (Ⅱ)若△A1MN 的外接圆在 M 处的切线与椭圆相交所得弦长为 ,求椭圆方程.

21.已知函数 f(x)=﹣x2+alnx(a∈R) . (Ⅰ)当 a=2 时,求函数 f(x)在点(1,f(1) )处的切线方程; 2 (Ⅱ)若函数 g(x)=f(x)﹣2x+2x ,讨论函数 g(x)的单调性; (Ⅲ)若(Ⅱ)中函数 g(x)有两个极值点 x1,x2(x1<x2) ,且不等式 g(x1)≥mx2 恒成 立,求实数 m 的取值范围. ※考生注意:请考生在第(22) 、 (23) 、 (24)三题中任选一题作答,如果多做,则按所做 的第一题计分.作答时,用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.[选修 4-1:几 何证明选讲] 22.如图,四边形 ABCD 为正方形,以 AB 为直径 的半圆 E 与以 C 为圆心 CB 为半径的圆 弧相交于点 P,过点 P 作圆 C 的切线 PF 交 AD 于点 F,连接 CP. (Ⅰ)证明:CP 是圆 E 的切线; (Ⅱ)求 的值.

[选修 4-4:坐标系与参数方程] 23. 在平面直角坐标系 xOy 中, 曲线 C1 的参数方程为 θ 为参数) (a>b>0, . 在

以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2 是经过极点的圆,且圆心 C2 在过 极点且垂直于极轴的直线上.已知曲线 C1 上的点 C2 过点 . 对应的参数为 ,曲线

(Ⅰ)求曲线 C1 及曲线 C2 的直角坐标方程; (Ⅱ)若点 P 在曲线上 C1,求 P,C2 两点间的距离|PC2|的最大值.

[选修 4-5 不等式选讲] 24.设函数 f(x)=ax+3﹣|2x﹣1|. (Ⅰ)若 a=1,解不等式 f(x)≤2; (Ⅱ)若函数有最大值,求 a 的取值范围.

2016 年辽宁省抚顺市高考数学一模试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一个是符合要求的. 1.若集合 A.{x|﹣5<x<3} ,B={x|﹣4<x<3},则集合 A∩B 为( B.{x|﹣4<x<2} C.{x|﹣4<x<5} ) D.{x|﹣2<x<3}

【考点】交集及其运算. 【分析】求出 A 中不等式的解集确定出 A,找出 A 与 B 的交集即可. 【解答】解:由 A 中不等式变形得: (x+5) (x﹣2)<0, 解得:﹣5<x<2,即 A={x|﹣5<x<2}, ∵B={x|﹣4<x<3}, ∴A∩B={x|﹣4<x<2}, 故选:B. 2.已知 i 为虚数单位,若复数 z 满足(3﹣4i)z=1+2i,则 z 的共轭复数是( A. B. C. D. )

【考点】复数代数形式的乘除运算. 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简,结合共轭复数的概念得答案. 【解答】解:由(3﹣4i)z=1+2i,得 ∴ 故选:C. 3.已知命题 p:“? a>0,有 ea≥1 成立”,则¬p 为( ) A.? a≤0,有 ea≤1 成立 B.? a≤0,有 ea≥1 成立 C.? a>0,有 ea<1 成立 D.? a>0,有 ea≤1 成立 【考点】命题的否定. 【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论. 【解答】解:全称命题的否定是特称命题,则¬p:? a>0,有 ea<1 成立, 故选:C. . = ,

4.已知 A. B.

, C. D.



,则 tan(α﹣β)的值为(



【考点】两角和与差的正切函数. 【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系求得 tanα 的值,利用诱导公式求得 tanβ,再 利用两角差的正切公式,求得要求式子的值.

【解答】解:∵已知 ∴tanα= ∵ 故选:A. =﹣ .



,∴cosα=﹣

=﹣ ,

=﹣tanβ,∴tanβ=﹣ ,则 tan(α﹣β)=

=﹣



5.在二项式 A.56 B.7

的展开式中,第四项的系数为( C.﹣56 D.﹣7



【考点】二项式定理的应用. 【分析】由条件利用二项式展开式的通项公式,求得第四项的系数. 【解答】解:二项式 的展开式的通项公式为 Tr+1= ,故第四项的系数为 ? ? ,

故第四项为 T4= 故选:D.

?(﹣ )?

?(﹣ )=﹣7,

6.若实数 x,y 满足

则 z=3x+2y 的最小值是(



A.0

B.1

C.

D.9

【考点】简单线性规划的应用.

【分析】本题考查的知识点是线性规划,处理的思路为:根据已知的约束条件

画出满足约束条件的可行域,再用角点法,求出目标函数的最大值.

【解答】解:约束条件

对应的平面区域如图示:由图可知当 x=0,y=0 时,目

标函数 Z 有最小值, Zmin=3x+2y=30=1 故选 B

7.已知某正三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的表面积为(



A.9

B.9

+

C.12

D.12

【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积. 【分析】利用三视图求出三棱锥的底面边长以及侧棱长,然后求解表面积. 【解答】解:应用可知三棱锥的高为: , 底面三角形的高为:3,则底面正三角形的边长为: 侧棱长为: 正三棱锥是正四面体, 该三棱锥的表面积为:4× 故选:D. 8.已知某程序框图如图所示,则执行该程序框图输出的结果是( ) =12 . =2 , ,解得 a=2 .

A.

B.﹣1 C.2

D.﹣2

【考点】程序框图. 【分析】分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知该程序的作用 是利用循环计算变量 a 的值并输出,依次写出每次循环得到的 a,i 的值,当 i=21 时,满足 条件,计算即可得解. 【解答】解:程序运行过程中,各变量的值如下表示: a i 是否继续循环 2 1 循环前 第一圈 第二圈﹣1 第三圈 … 第 18 圈 第 19 圈 2 3 2 2 20 是 是 4 19 是 否 是 是

21 第 20 圈﹣1 故最后输出的 a 值为﹣1. 故选:B.

9.双曲线

(a>0,b>0)的一条渐近线与抛物线 y=x2+2 只有一个公共点,则

该双曲线的离心率为( ) A.3 B.2 C. D. 【考点】双曲线的简单性质. 【分析】可设双曲线 ﹣ =1(a>0,b>0)的一条渐近线为 y= x,由题意可得 x2﹣ a,再由 a,b,c 的关系和离心

x+2=0 有两个相等的实数解,运用判别式为 0,可得 b=2 率公式计算即可得到所求值.

【解答】解:可设双曲线



=1(a>0,b>0)的一条渐近线为 y= x,

由渐近线与抛物线 y=x2+2 只有一个公共点, 可得 x2﹣ x+2=0 有两个相等的实数解,

即有△=

﹣8=0,

即 b=2

a,可得 c=

=3a,

即有 e= =3. 故选:A. 10.已知 SC 是球 O 的直径,A,B 是该球面上的两点,△ABC 是边长为 若三棱锥 S﹣ABC 的体积为 ,则球 O 的表面积为( ) A.16π B.18π C.20π D.24π 的正三角形,

【考点】球的体积和表面积. 【分析】根据题意作出图形,欲求球 O 的表面积,只须求球的半径 r.利用截面圆的性质即 可求出 OO1,进而求出底面 ABC 上的高 SD,即可计算出三棱锥的体积,从而建立关于 r 的方程,即可求出 r,从而解决问题. 【解答】解:根据题意作出图形. 设球心为 O,球的半径 r.过 ABC 三点的小圆的圆心为 O1,则 OO1⊥平面 ABC, 延长 CO1 交球于点 D,则 SD⊥平面 ABC. ∵CO1= ∴OO1= , , 的正三角形, =1,

∴高 SD=2OO1=2 ∵△ABC 是边长为 ∴S△ ABC= ,

∴V 三棱锥 S﹣ABC= ×

×2

=



∴r= .则球 O 的表面积为 20π 故选:C.

11.定义域为 R 的偶函数 f(x)满足对? x∈R,有 f(x+2)=f(x)﹣f(1) ,且当 x∈[2, 2 3]时,f(x)=﹣2x +12x﹣18,若函数 y=f(x)﹣loga(|x|+1)在(0,+∞)上至少有三个 零点,则 a 的取值范围是( ) A. B. C. D.

【考点】根的存在性及根的个数判断. 【分析】根据定义域为 R 的偶函数 f(x)满足对? x∈R,有 f(x+2)=f(x)﹣f(1) ,可 2 以令 x=﹣1,求出 f(1) ,再求出函数 f(x)的周期为 2,当 x∈[2,3]时,f(x)=﹣2x +12x ﹣18,画出图形,根据函数 y=f(x)﹣loga(|x|+1)在(0,+∞)上至少有三个零点,利 用数形结合的方法进行求解; 【解答】解:因为 f(x+2)=f(x)﹣f(1) ,且 f(x)是定义域为 R 的偶函数 令 x=﹣1 所以 f(﹣1+2)=f(﹣1)﹣f(1) ,f(﹣1)=f(1) 即 f(1)=0 则有,f(x+2)=f(x) f(x)是周期为 2 的偶函数, 当 x∈[2,3]时,f(x)=﹣2x2+12x﹣18=﹣2(x﹣3)2 图象为开口向下,顶点为(3,0)的抛物线 ∵函数 y=f(x)﹣loga(|x|+1)在(0,+∞)上至少有三个零点, ∵f(x)≤0, ∴g(x)≤0,可得 a<1, 要使函数 y=f(x)﹣loga(|x|+1)在(0,+∞)上至少有三个零点, 令 g(x)=loga(|x|+1) , 如图要求 g(2)>f(2) ,可得

就必须有 loga(2+1)>f(2)=﹣2,

∴可得 loga3>﹣2,∴3< ∴0<a< 故选 A; ,

,解得﹣

<a<

又 a>0,

12.已知函数

在 x=x0 处取得最大值,给出下列 5 个式子: ,⑤ .则其

①f(x0)<x0,②f(x0)=x0,③f(x0)>x0,④

中正确式子的序号为( ) A.①和④ B.②和④ C.②和⑤ D.③和⑤ 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值. 【分析】求函数的定义域和函数的导数,研究函数单调性和极值,利用极值、最值的关系确 定 f(x0)的值,进行判断即可. 【解答】解:函数的定义域为(0,+∞) ,f(x)=(﹣ )lnx,

函数的导数 f′(x)=(﹣ 设 h(x)=﹣lnx﹣x﹣1, 则 h′(x)=

)′lnx﹣

? =



,则当 x>0 时,h′(x)<0,即 h(x)在(0,+∞)上为减函数,

∵h(1)<﹣1﹣1=﹣2<0,当 x→0 时,h(x)>0, ∴在(0,1)内函数 h(x)有唯一的零点 x0,即 h(x0)=﹣lnx0﹣x0﹣1=0, 即 lnx0=﹣1﹣x0, 当 0<x<x0,f′(x)>0,当 x>x0,f′(x)<0,即函数 f(x)在 x=x0 处取得最大值, 即 f(x0)=(﹣ ∵h( )=﹣ln ﹣ ∴0<x0< ,∴ 故选:B. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.已知 a>0,b>0,且 a+b=2,则 【考点】基本不等式. 【分析】由题意整体代入可得 = ( ) (a+b)= (3+ + ) ,由基本不等式可 的最小值为 + . )?lnx0=(﹣ =ln2﹣ <0, , )?(﹣1﹣x0)=x0,②正确;

得. 【解答】解:∵a>0,b>0,且 a+b=2,



= (

) (a+b) )≥ (3+2 即 b= )= + ,

= (3+ + 当且仅当 =

a 时取等号, ﹣2 且 b=4﹣2 ,

结合 a+b=2 可解得 a=2 故答案为: + .

14.已知△ABC 的周长为 为 .

,面积为

,且

,则角 C 的值

【考点】正弦定理. 【分析】由正弦定理得出 a+b= 余弦定理计算 cosC. 【解答】解:∵ ∵a+b+c= ,∴ ∵S=

,结合周长得出 c 和 a+b,根据面积公式得出 ab,利用 ,∴a+b= . ,解得 c=1.∴a+b=



,∴ab= .

∴cosC=

=

= .

∴C=

. .

故答案为

15.已知向量 +3



是分别与 x 轴、y 轴同方向的单位向量,向量 绕点 A 旋转到 位置,使得 ⊥ ,则 ?

=

+



=5 .

,将有向线段

的值是 6 或 10

【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】求出 A,B 的坐标,根据 ABC 为等腰直角三角形列出方程求出 C 点坐标,利用坐 标计算数量积. 【解答】解:∵ = .|AB|= 设 C(x,y) ,则 kAC= = + , =5 =2 ,|AC|= +3 . . ,∴A(1,1) ,B(5,3) .∴kAB=





,|AB|=|AC|,∴

.解得





=5x+3y=6 或 10. ∴ 故答案为:6 或 10. 16.已知抛物线 y2=ax(a≠0)的准线方程为 x=﹣3,△ABC 为等边三角形,且其顶点在此 抛物线上,O 是坐标原点,则△ABC 的边长为 24 . 【考点】抛物线的简单性质. 【分析】求出抛物线方程,根据抛物线的对称性可知△ABC 一个顶点为原点,另两点关于 x 轴对称,利用等边三角形的性质解出其中一个顶点的坐标即可得出答案. 【解答】解:∵抛物线 y2=ax(a≠0)的准线方程为 x=﹣3,∴抛物线方程为 y2=12x. 由抛物线的对称性可知△ABC 的一个顶点 A 为原点,另两个顶点 B,C 关于 x 轴对称. 设 B 在第一象限,坐标为(m,n) ,则 n= ∴ =12m,解得 m=36. =24 . .

∴△ABC 的边长为 2n= 故答案为:24 .

三、解答题:本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. b2=a4, b3=a13. 已知等差数列{an}的公差 d=2, 其前项和为 Sn, 且等比数列{bn}满足 b1=a1, (Ⅰ)求数列{an}的通项公式和数列{bn}的前项和 Bn; (Ⅱ)记数列 的前项和为 Tn,求 Tn.

【考点】数列的求和;等差数列的通项公式;等差数列的前 n 项和. 【分析】 (I)由题意可得:an=a1+2(n﹣1) , 可得 an.设等比数列{bn}的公比为 q,则 q= (Ⅱ)由(I)可得:Sn=n2+2n.因此 出. 【解答】解: (I)由题意可得:an=a1+2(n﹣1) , a1=3. ∴an=3+2(n﹣1)=2n+1. 设等比数列{bn}的公比为 q,则 q= = = =3. =b1b3, =a1(a1+24) ,解得 = =b1b3, = =a1(a1+24) ,解得 a1,

.可得数列{bn}的前项和 Bn. = .利用“裂项求和”即可得

∴数列{bn}的前项和 Bn= (Ⅱ)由(I)可得:Sn= ∴ = = 的前项和为 Tn= .

= =n2+2n.



∴数列 + = = ﹣

+

+…+



18.如图 1,已知正方形 ABCD 的边长为 2,E、F 分别为边 AD、AB 的中点.将△ABC 沿 BE 折起,使平面 ABE⊥平面 BCDE.如图 2,点 G 为 AC 的中点.

(Ⅰ)求证:DG∥平面 ABE; (Ⅱ)求直线 CE 与平面 ABC 所成角的正弦值. 【考点】直线与平面所成的角;直线与平面平行的判定. 【分析】 (I)连接 FG,EF,则四边形为平行四边形,于是 DG∥EF,从而得出 DG∥平面 ABE; (II)以 O 为原点建立坐标系,求出 线 CE 与平面 ABC 所成角的正弦值. 【解答】证明: (I)连接 FG,EF. ∵F,G 分别是 AB,AC 的中点, ∴FG BC,又 DE BC, 和平面 ABC 的法向量 ,则|cos< >|即为直

∴FG DE. ∴四边形 DEFG 是平行四边形, ∴DG∥EF,又 DG?平面 ABE,EF? 平面 ABE, ∴DG∥平面 ABE. (II)在图 1 中,∵E,F 分别是正方形 AD,AB 的中点,∴BE⊥CF. 故在图 2 中,OF⊥BE,OC⊥OB. ∵平面 ABE⊥平面 BCDE,平面 ABE∩平面 BCDE=BE,

∴OF⊥平面 BCDE. 以 O 为原点,以 OB,OC,OF 为坐标轴建立空间直角坐标系,如图所示: 则 A(﹣ ∴ =(﹣ ,0, ,﹣ ) ,B( ,0) , ,0,0) ,C(0, =( ,0,﹣ ,0) ,E(﹣ ) , =( ,﹣ ,0,0) . ,0) ,

设平面 ABC 的法向量为 =(x,y,z) ,则





,令 y=1 得 =(2,1,4) .



=﹣2

.cos<

>=

=﹣



∴直线 CE 与平面 ABC 所成角的正弦值位|cos<

>|=



19.某校高三期中考试后,数学教师对本次全部数学成绩按 1:20 进行分层抽样,随机抽取 了 20 名学生的成绩为样本,成绩用茎叶图记录如图所示,但部分数据不小心丢失,同时得 到如表所示的频率分布表: 130) [130, 150) 总计 分数段(分) [50,70) [70,90) [90,110) [110, b 频数 a 0.25 频率 (Ⅰ)求表中 a,b 的值及成绩在[90,110)范围内的个体数; (Ⅱ)从样本中成绩在[100,130)内的个体中随机抽取 4 个个体,设其中成绩在[100,110) 内的个体数为 X,求 X 的分布列及数学期望 E(X) ; (Ⅲ) 若把样本各分数段的频率看作总体相应各分数段的概率, 现从全校高三期中考试数学 成绩中随机抽取 3 个,求其中恰好有 1 个成绩及格的概率(成绩在[90,150)内为及格) . 附注:假定逐次抽取,且各次抽取互相独立.

【考点】离散型随机变量的期望与方差;频率分布直方图;离散型随机变量及其分布列. 【分析】 (Ⅰ)由茎叶图知成绩在[50,70)范围内的有 2 人,成绩在[110,130)范围内的 有 3 人,由此能求出表中 a,b 的值及成绩在[90,110)范围内的个体数. (Ⅱ)由茎叶图知成绩在[100,130)内的共有 7 人,其中成绩在[100,110)内的共有 4 人,于是 X 的可能取值为 1,2,3,4,分别求出相应的概率,由此能求出 X 的分布列及数 学期望 E(X) . (Ⅲ)该校高三期中考试数学及格率为 p=1﹣0.1﹣0.25=0.65,设随机抽取 3 个,其中恰有 一个成绩及格的事件为 A,由此能求出恰好有 1 个成绩及格的概率. 【解答】解: (Ⅰ)由茎叶图知成绩在[50,70)范围内的有 2 人, 成绩在[110,130)范围内的有 3 人, ∴a= =0.1,b=3,

成绩在[90,110)范围内的频率为:1﹣0.1﹣0.25﹣0.25=0.4, ∴成绩在[90,110)范围内的样本数为 20×0.4=8. (Ⅱ)由茎叶图知成绩在[100,130)内的共有 7 人,其中成绩在[100,110)内的共有 4 人, 于是 X 的可能取值为 1,2,3,4, P(X=1)= = ,

P(X=2)=

=



P(X=3)=

=



P(X=4)=

=



∴X 的分布列为: X 1 P EX=

2

3

4

=



(Ⅲ)该校高三期中考试数学及格率为 p=1﹣0.1﹣0.25=0.65,

设随机抽取 3 个,其中恰有一个成绩及格的事件为 A,则根据题设有: P(A)= =0.238875.

20.已知椭圆

的左顶点为 A1,右焦点为 F2,过点 F2 作垂直于 x 轴

的直线交该椭圆于 M、N 两点,直线 A1M 的斜率为 . (Ⅰ)求椭圆的离心率; (Ⅱ)若△A1MN 的外接圆在 M 处的切线与椭圆相交所得弦长为 ,求椭圆方程.

【考点】椭圆的简单性质. 【分析】 (Ⅰ)首先,得到点 M 的坐标,然后,代入,得到 ,从而确定其斜率关系;

(Ⅱ)首先,得到 A1(﹣2c,0)

,然后,可以设外接圆圆心设为 P(x0,0) ,

结合圆的性质建立等式,然后,利用弦长公式求解即可. 【解答】解: (Ⅰ)由题意 ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

因为 A1(﹣a,0) ,所以 将 b2=a2﹣c2 代入上式并整理得 所以

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

(或 a=2c)﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 a=2c,

(或

)﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

所以 A1(﹣2c,0) 由|PA1|=|PM|,得

,外接圆圆心设为 P(x0,0) ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

解得:

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

所以

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

所以△A1MN 外接圆在 M 处切线斜率为 则切线 MC 方程为

,设该切线与椭圆另一交点为 C ,即 ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

与椭圆方程 3x2+4y2=12c2 联立得 7x2﹣18cx+11c2=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 解得 ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

由弦长公式 ﹣﹣﹣ 解得 c=1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 所以椭圆方程为



﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

21.已知函数 f(x)=﹣x2+alnx(a∈R) . (Ⅰ)当 a=2 时,求函数 f(x)在点(1,f(1) )处的切线方程; 2 (Ⅱ)若函数 g(x)=f(x)﹣2x+2x ,讨论函数 g(x)的单调性; (Ⅲ)若(Ⅱ)中函数 g(x)有两个极值点 x1,x2(x1<x2) ,且不等式 g(x1)≥mx2 恒成 立,求实数 m 的取值范围. 【考点】利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点 切线方程. 【分析】 (Ⅰ)求当 a=2 时,函数的导数,求得切线的斜率和切点,由点斜式方程即可得到 切线方程; (Ⅱ)求出 g(x)的导数,分类讨论,令导数大于 0,得增区间,令导数小于 0,得减区间; (Ⅲ)不等式 g(x1)≥mx2 恒成立即为 令 h(x)=1﹣x+ ≥m,求得 =1﹣x1+ +2x1lnx1,

+2xlnx(0<x< ) ,求出导数,判断单调性,即可得到 h(x)的范

围,即可求得 m 的范围. 【解答】解: (Ⅰ)因为当 a=2 时,f(x)=﹣x2+2lnx, 所以 f′(x)=﹣2x+ . 因为 f(1)=﹣1,f'(1)=0, 所以切线方程为 y=﹣1;

(Ⅱ)g(x)=x2﹣2x+alnx 的导数为 g′(x)=2x﹣2+ =



a≤0,单调递增区间是( 0<a< ,单调递增区间是(0, 单调递减区间是( ,

,+∞) ;单调递减区间是(0, ) , ( ) ; ,+∞) ;

) ;

a≥ ,g(x)的单调递增区间是(0,+∞) ,无单调递减区间; (Ⅲ)由(II)函数 g(x)有两个极值点 x1,x2(x1<x2) , 0<a< ,x1+x2=1,0<x1< , <x2<1 =1﹣x1+ +2x1lnx1,

令 h(x)=1﹣x+

+2xlnx(0<x< ) ,h′(x)=

+2lnx,

由 0<x< ,则

<0,

又 2lnx<0,则 h′(x)<0,即 h(x)在(0, )递减, 即有 h(x)>h( )=﹣ ﹣ln2,即 m≤﹣ ﹣ln2, 即有实数 m 的取值范围为(﹣∞,﹣ ﹣ln2].

※考生注意:请考生在第(22) 、 (23) 、 (24)三题中任选一题作答,如果多做,则按所做 的第一题计分.作答时,用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.[选修 4-1:几 何证明选讲] 22.如图,四边形 ABCD 为正方形,以 AB 为直径 的半圆 E 与以 C 为圆心 CB 为半径的圆 弧相交于点 P,过点 P 作圆 C 的切线 PF 交 AD 于点 F,连接 CP. (Ⅰ)证明:CP 是圆 E 的切线; (Ⅱ)求 的值.

【考点】圆的切线的判定定理的证明. 【分析】 (Ⅰ)证明:CP 是圆 E 的切线,只需证明 CP⊥PE 即可; (Ⅱ)证明 FD=FP,利用勾股定理,即可求 的值.

【解答】 (Ⅰ)证明:连接 PB,PE,则 EB=EP, ∴∠EPB=∠EBP. ∵CP=CB, ∴∠CPB=∠CBP, ∴∠CPB+∠EPB=∠CBP+∠EBP=90°, ∴CP⊥PE, ∵PE 是圆 E 的半径, ∴CP 是圆 E 的切线; (Ⅱ)解:由题意,PF⊥CP,EP⊥CP, ∴E,P,F 三点共线, ∵FD 为圆的切线, ∴FD=FP. ∵PE=EB, ∴Rt△EAF 中,AF2+AE2=EF2, ∴(AD﹣PF)2+( ∴AD=3PF, ∴AF=2PF, ∴ =2. )2=(PF+ )2,

[选修 4-4:坐标系与参数方程] 23. 在平面直角坐标系 xOy 中, 曲线 C1 的参数方程为 θ 为参数) (a>b>0, . 在

以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2 是经过极点的圆,且圆心 C2 在过 极点且垂直于极轴的直线上.已知曲线 C1 上的点 C2 过点 . 对应的参数为 ,曲线

(Ⅰ)求曲线 C1 及曲线 C2 的直角坐标方程; (Ⅱ)若点 P 在曲线上 C1,求 P,C2 两点间的距离|PC2|的最大值. 【考点】简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程.

【分析】 (I)点

对应的参数为

,代入曲线 C1 可得,



解得 b,a.即可得出曲线 C1 的直角坐标方程.曲线 C2 是经过极点的圆,且圆心 C2 在过极 点且垂直于极轴的直线上.可得极坐标方程为 ρ=2Rsinθ,把点 线 C2 的直角坐标方程. (II)不妨设 P(6cosθ,2sinθ) ,C2(0,2) ,则 用三角函数与二次函数的单调性即可得出. = + ,再利 代入即可得出曲

【解答】 解: (I) 点

对应的参数为

, 代入曲线 C1 可得,



解得 b=2,a=6. ∴曲线 C1 的直角坐标方程为 =1.

曲线 C2 是经过极点的圆,且圆心 C2 在过极点且垂直于极轴的直线上. ∴极坐标方程为 ρ=2Rsinθ,∵曲线 C2 过点 ∴2=2Rsin
2



,解得 R=2.圆心为(0,2) ,可得曲线 C2 的直角坐标方程为:x2+(y﹣2)

=4. =36cos2θ+(2sinθ﹣2)

(II)不妨设 P(6cosθ,2sinθ) ,C2(0,2) ,则
2

=

+



, .

∴P,C2 两点间的距离|PC2|的最大值为

[选修 4-5 不等式选讲] 24.设函数 f(x)=ax+3﹣|2x﹣1|. (Ⅰ)若 a=1,解不等式 f(x)≤2; (Ⅱ)若函数有最大值,求 a 的取值范围. 【考点】绝对值不等式的解法;函数的最值及其几何意义. 【分析】 (Ⅰ)需要去掉绝对值,得到不等式解得即可, (Ⅱ)把含所有绝对值的函数,化为分段函数,再根据函数 f(x)有最大值的充要条件, 即可求得. 【解答】解: (Ⅰ)由题意得 x≥ 时,不等式化为 x+3﹣3x+1≤2, 解得:x≥2,

x< 时,不等式化为 x+3+2x﹣1≤2,解得:x≤0, 综上,不等式的解集是(﹣∞,0]∪[2,+∞) ;

(Ⅱ)由题意得 f(x)=



函数有最大值的充要条件是 a+2≥0 且 a﹣2≤0, 即﹣2≤a≤2.

2016 年 9 月 17 日


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