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浙江省杭州市塘栖中学2014届高三数学一轮复习课件(理) 第1章1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件


1.(2010 杭州十四中9月月考“ ) x ? 3”是“x 2 ? 4”的 ? B? A.必要不充分条件 C.充分必要条件 B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件

2.命题“若函数f ? x ?=log a x(a ? 0,a ? 1)在其定义域内 是减函数,则log a 2 ? 0”的逆否命题是 ? 定义域内不是减函数 B.若log a 2

? 0,则函数f ? x ?=log a x(a ? 0,a ? 1)在其 定义域内不是减函数 C.若log a 2 ? 0,则函数f ? x ?=log a x(a ? 0,a ? 1)在其 定义域内是减函数 D.若log a 2 ? 0,则函数f ? x ?=log a x(a ? 0,a ? 1)在其 定义域内是减函数

?

A.若log a 2 ? 0,则函数f ? x ?=log a x(a ? 0,a ? 1)在其

解析:命题“若p则q”的逆否命题为“若?q则 ?p”,故选A.

3.(2009 浙江卷)已知a,b是实数,则“a>0且b>0” 是“a ? b>0且ab>0”的 ? A.充分而不必要条件 C.充要条件

?

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

解析:“a ? 0且b ? 0”可以推出“a ? b ? 0且ab ? 0”, 反之也是成立的.故选C.

4.(2010 瑞安中学暑期总结性测试)已知a,b ? R+,则 1 a 1b “log3a ? log3b”是“( ) ? ( ) ”的_____条件. 2 2
1 a 1 b 解析:log 3 a ? log 3b等价于a > b,而( ) ? ( ) 等价于 2 2 a > b,故填充要条件.

5.命题“若x ? y ? 5,则x ? 3且y ? 2”的逆否命 x ? 3或y ? 2,则x ? y ? 5  题是______________________.

一、命题 1.定义:数学中,我们把用语言、符号或式 子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命 题 . 其中判断为真的语句叫做真命题,判 断为假的语句叫做假命题.

2.四种命题及其相互关系 (1)四种命题
命题
原命题 逆命题 否命题 逆否命题

表述形式
若p则q 若q则p

若?p则q 若?q则?p

(2)四种命题间的关系

(3)四种命题的真假关系 一般地,四种命题的真假性有且仅有下 面四种情况:
原命题 真 真 逆命题 真 假 否命题 真 假 逆否命题 真 真













可见,互为逆否命题同真假.四种命题中真命 题的个数是偶数个. 二、充分条件、必要条件与充要条件 1.若p ? q ,则称p是q的充分条件,也即q是p 的必要条件; 若 p ? q,则称p是q的充要条件;

在讨论p是q的什么条件时,就是指以下四种 之一:
①若 p ? q ,但q ?p,则p是q的充分但不 必要条件; ②若 q ? p ,但p ? q,则p是q的必要但不 充分条件;

③若 p ? q ,且 q ? p ,则p是q的充要条 件;

④若p ?q ,且q ? p ,则p是q的既不充 分也不必要条件. 2.子集与推出关系: 设A,B是非空集合,A={x|x具有性质α},B={y|y 具有性质β},则 A ? B 与 ? ? ? 等价.

例题1.判断命题“若m ? 0,则x2 ? x ? m ? 0有实根” 的逆否命题的真假.
解法1:写出逆否命题,再进行判断.逆否命题是: 若x 2 ? x ? m ? 0无实根,则m ? 0. 其真假判断如下:因为x 2 ? x ? m ? 0无实根, 1 所以?=1+4m ? 0,即m ? - ? 0, 4 所以命题“若x 2 ? x ? m ? 0无实根,则m ? 0”为真.

解法2:利用命题间的关系,原命题与逆否命题等价 来判断. 因为m ? 0,所以4m ? 0,1+4m ? 0,所以方程x 2 ? x ? m ? 0的判别式?=1+4m ? 0,所以方程x 2 ? x ? m ? 0有 实根,故原命题“若m ? 0,则x 2 ? x ? m ? 0有实根” 为真. 又原命题与逆否命题等价,所以其逆否命题为真.

解法3:利用充分、必要条件与集合的包含关系去 分析. 解法1:设命题p:m ? 0,q:方程x 2 ? x ? m ? 0有实根, 所以p:A={m | m ? 0},q:B={m | x 2 ? x ? m ? 0有实根, 1 m ? R} ? {m | m ? - },即A ? B. 4 所以“若p则q”为真,其逆否命题“?q则?p”也为真.

解法2:设命题p:m ? 0,q:方程x 2 ? x ? m ? 0有实根, 则?p:m ? 0,?q:方程x 2 ? x ? m ? 0无实根, 所以?p:A= ?m | m ? 0?, 1 ?q:B={m | x ? x ? m ? 0无实根,m ? R} ? {m | m ? ? }, 4 即B ? A,
2

所以“若?q则?p”为真. 故命题“若m ? 0,则x 2 ? x ? m ? 0有实根”的逆否命题 为真.

点评:因原命题与其逆否命题有相同的真假性, 所以当原命题不易判定或证明时,利用“正难则 反”的原则,可判断或证明与之等价的逆否命题 的真假,从而来间接判断和证明原命题的真假.

拓展训练(2010 山东模拟)分别写出下列命题的逆命题、 否命题、逆否命题,并判断它们的真假:
2 2 1 若 b 4 ac ? 0 ,则方程 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0)有两个相 ??

等的实根;

? 2 ? 若A

B =I,则A=?I B.

解析: ?1? 逆命题:若方程ax 2 ? bx ? c ? 0(a ? 0)有两个相 等的实根,则b 2 ? 4ac ? 0,为真命题. 否命题:若b 2 ? 4ac ? 0,则方程ax 2 ? bx ? c ? 0(a ? 0)没 有两个相等实根,为真命题. 逆否命题:若方程ax 2 ? bx ? c ? 0(a ? 0)没有两个相等实 根,则b 2 ? 4ac ? 0,为真命题.

? 2 ? 逆命题:若A=?I B,则A

B=I,为真命题.

否命题:若A B ? I,则A ? ?I B,为真命题. 逆否命题:若A ? ?I B,则A B ? I,为假命题.

1 a 例题2 “ . a = ”是“对任意的正数x, 2x ? ? 1”的(    ) 8 x A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 

1 a 1 1 解析:a ? ? 2x ? ? 2x ? ? 2 2 x ? =1,另一 8 x 8x 8x 方面,对任意正数x, 2x ? a a 1 ? 1,只要2x ? ? 2 2 x ? x x 8x

1 =2 2a ? 1 ? a ? ,所以选A. 8

点评: “充分条件与必要条件”是四种命题的关系的 深化,它们之间存在着密切的联系.本题若改成 1 命题“如果a= ,那么对任意的正数x,都有2x ? 8 a ? 1”,就是原命题正确,而逆命题不正确,则 x 原命题的条件是结论的充分不必要条件.

拓展训练设a,b是两条直线,?,? 是两个平面, 则a ? b的一个充分条件是 ?C ? A. a ? ?,b ?,? ? ? C. a ? ?,b ? ?,? ? B. a ? ?,b ? ?,? ? D. a ? ?,b ?,? ? ?

例题3.设数列?an ?的前n项和Sn ? p n ? q ( p ? 0且p ? 1), 求证:数列?an ? 成等比数列的充要条件是q ? ?1.
证明:由Sn ? p n ? q ( p ? 0且p ? 1)得, ? p ? q, n ? 1 an ?1 an ? n ?1 .当n ? 2时, ? p. an ? p ( p ? 1), n ? 2 a2 p( p ? 1) 1 必要性:若数列 a 成等比数列, ? =p, ?? ? n? a1 p?q 所以q ? ?1;

? 2 ? 充分性:当q ? ?1时,a1 ? p ? 1也适合an =p n-1 ( p- 1), (n ? 2),即数列?an ? 成等比数列. 综上所述,数列?an ? 成等比数列的充要条件是q ? ?1.

点评:关于充要条件的证明,一般有两种方式,一种 是利用“ ?”,双向传输,同时证明充分性及必要性; 另一种是分别证明必要性及充分性,本题采用了第二 种方法.另外充要条件的证明,要分清充分性、必要 性各要证什么?哪部分是条件,哪部分是结论;对于 本题的题型结构来说, “充要条件是”的后面是条件,充 分性证明应是由条件推结论.

拓展训练求方程ax 2 +2x ? 1=0至少有一个负实根的充 要条件.
解析:当a ? 0时,原方程变形为一元一次方程 2x ? 1 =0,只有一个负实根, 当a ? 0时,原方程为一元二次方程,有实根的充要 条件是?=4-4a ? 0,即a ? 1. 2 1 设两根为x1,x2,x1 ? x2 =- , x1 x2 = , a a ? a ?1 ? 则有一负实根 ? ? 1 ? a <0, ?0 ? ?a

? ? a ?1 ? ?2 解析:有两负实根 ? ? ? 0 ? 0 ? a ? 1. ?a ?1 ?0 ? ?a 2 综上所述,方程ax +2x ? 1=0至少有一个负 实根的充要条件为a ? 1.

备选题:用反证法证明:

?1? 如果a ? b ? 0,那么
2

a ? b;

1 2 2 已知 a ? x ? , b ? 2 ? x , c = x ? x ? 1,证明:a、 ? ? 2 b、c中至少有一个不小于1.

证明: ?1? 假设 a ? b或 a ? b,由于a ? b ? 0, ? ? a a? a b 则由 a ? b,有 ? ,即a ? ab ? b,① ? ? a b? b b 由 a ? b,得a ? b,② ①②均与条件“a ? b ? 0”相矛盾,所以 a ? b .

2 证明: 2 假设 a ? 1 , b ? 1 且 c ? 1 ,则 a ? b ? c ? 2 x ? ? ?

7 1 2 2x ? =2( x- ) +3 ? 3与假设a ? b ? c ? 3矛盾,假设 2 2 不成立.所以a、b、c中至少有一个不小于1.  

点评:反证法实际上是通过证明命题“若p则q”的逆 否命题“若?q则?p”成立,从而达到证明命题“若p 则q “成立,在证明过程中一定要注意对假设的充分 利用.含有“至少有一个”“至多有一个”等字眼的 题型多用反证法证明.

1.对命题正误的判断,正确的命题要加以论证; 不一定正确的命题要举出反例,这是最基本的数 学思维方式.在判断命题正误的过程中,要注意 简单命题与复合命题之间的真假关系,要注意命 题四种形式之间的真假关系. 2.在充分条件、必要条件和充要条件的判断过 程中,首先要弄清哪个是条件,哪个是结论.

3.特殊情况下,如果命题以p:x ? A,q:x ? B的形式 出现,则有: ?1? 若A ? B,则p是q的充分条件; ? 2 ? 若B ? A,则p是q的必要条件;若A ? B,则p是q的充要条件. 4.反证法是一种重要的间接证法,一般在命题结论涉 及“无限”的形式、否定 “ ”的形式或“至多”、至少 “ ”的形式时, 可考虑采用反证法.反证法的原理是原命题与逆否命题 的等价性,反证法的基本步骤是: ?1? 否定命题的结论(即 命题的否定,要注意命题的否定和否命题的区别); ? 2? 通 过逻辑推理导出矛盾(可以与已知矛盾、可以与公理和定 义等矛盾),从而说明原命题是正确的.

例题.写出命题“若m2 ? n2 ? a 2 ? b2 ? 0,则实数m,n, a,b全为零”的否定及否命题.
错解1:命题的否定:若m 2 ? n 2 ? a 2 ? b 2 ? 0,则实数m, n,a,b不全为零. 命题的否命题:若m 2 ? n 2 ? a 2 ? b 2 ? 0,则实数m,n,a, b不全为零.
错解2:命题的否定:若m 2 ? n 2 ? a 2 ? b 2 ? 0,则实数m, n,a,b全不为零. 命题的否命题:若m 2 ? n 2 ? a 2 ? b 2 ? 0,则实数m,n,a, b全不为零.

错解分析:错解1混淆了命题的否定与否命题的概念. 错解2全为零的否定是不全为零,而不是全不为零.
正解:命题的否定:若m ? n ? a ? b ? 0,则实数m,
2 2 2 2

n,a,b不全为零. 命题的否命题:若m 2 ? n 2 ? a 2 ? b 2 ? 0,则实数m,n, a,b不全为零.


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