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2013届高考数学两角和与差二倍角公式3


三角函数的化简与证明 一、知识点 1、化简 (1)化简目标:项数习量少,次数尽量低,尽量不含分母和根号 (2)化简三种基本类型: 1) 2) 3) 根式形式的三角函数式化简 多项式形式的三角函数式化简 分式形式的三角函数式化简

(3)化简基本方法:用公式;异角化同角;异名化同名;化切割为 弦;特殊值与特殊角的三角函数值互化。 2、证明及其基本方法 (1)化繁

为简法 (2)左右归一法 (3)变更命题法 (4)条件等式的证明关键在于分析已知条件与求证结论之间的区别 与联系。 3、无论是化简还是证明都要注意: (1)角度的特点 (2)函数名的特点 (3)化切为弦是常用手段 (4)升降幂公式的灵活应用 二、范例解析

例 1: (1)已知 ? 为第四象限角,化简: cos (2)已知 270
?

?

1 ? sin ? 1 ? sin ?

? sin ?

1 ? cos ? 1 ? cos ?

? ? ? 360

?

,化简

1 2

?

1 2

1 2

?

1 2

cos 2 ?

解: (1)因为 ? 为第四象限角 所以原式= cos ?
(1 ? sin ? ) 1 ? sin
2 2

?

? sin ?

(1 ? cos ? ) 1 ? cos
2

2

?

? cos ?

1 ? sin ? cos ?

? sin ?

1 ? cos ? ? sin ?

? 1 ? sin ? ? ?1 ? cos ?

??

cos ? ? sin ?

(2)? 270 所

?

? ? ? 360

?

,? cos ? 以

? 0 , cos

?
2

? 0





=
1 2 ? 1 2 1 ? cos 2 ? 2 ? 1 2 ? 1 2 cos
2

? ?

1 ? cos ? 2

?

cos

2

?
2

? ? cos

?
2

思路点拨:根式形式的三角函数式化简常采用有理化如(1)或升幂 公式如(2) 例 2、P(55 例 1) 试求函数 Y=sinx+cosx+2sinx cosx +2 的最大值, 最小值. 若 x ? [0,

?
2

] 呢?

解:

练 习:a,b 为何 值时 ,函数 (a=3,b=1)

y ? ? a ? b ? sin

2

x ?

a ? b 2

cos

2

x

的 值为 2 ?

思路点拨:注意角度 2 x ? 2 ? 与 x 例3 (P57 例 1) _求 证 :

? ?

关系,先化简整理。

s in ( 2 ? ? ? ) s in ?
2

? 2 c o s (? ? ? ) ?
2 ? 3 ? cos 4 x ? 1 ? cos 4 x

s in ? s in ?

练习、求证: tan

x ? cot

2

x ?

思路点拨:要据角度 x 与 4x 的特点和函数名的特点,可采用化切为 弦,并用倍角公式证明。 证:左边=
sin cos
2 2

x x

?

cos sin

2 2

x x

?

sin

4

x ? cos
2

4

x

sin

x cos

2

?

?sin

2

x ? cos

2

x

?

2

? 2 sin
2

2

x cos

2

x

?

4 ? 2 sin sin
2

2

2x

x

1 4

sin

2x

2x

右边=

2 3 ? 1 ? 2 sin 1 ? 1 ? 2 sin

?

2 2

2x 2x

?

?

?

?

2 4 ? 2 sin 2 sin
2

?

2

2x

?

?

4 ? 2 sin 2 sin
2

2

2x

2x

2x

所以左边=右边,即等式成立。 本题采用了左、右归法,从左到右或从右到左见书本。 例 5、综合 P 是 以 P57 例 2 F1, F2 为 焦 点 的 椭 圆 上 一 点 , 且

? P F1 F 2 ? ? , ? P F 2 F 1 ? 2 ?
求证:椭圆的离心率 e=2cosa-1

预 备 : 例 cos(B+C-A)=

6 在 Δ ABC
4 ? 5 cos 2 C 5 ? 4 cos 2 C

中 , 设

tanA+tanC=2tanB, 求 证

.

证明:? tan(
? t a nA ? t a nB

A ? B ) ? tan( ? ? C ) ? ? tan C

1 ? t a nA t a nB

? ? t a n ? t a nA ? t a nB ? t a n ? t a nA ? t a nB ? t a n C C C

由条件得 tan
?

A ? tan B ? tan C ? 3 tan B

? 3 tan B ? tan A ? tan B ? tan C

而 tan

B ? 0 , tan C ? 0

,? tan

A ?
2 2

3 tan C

又 cos(

B ? C ? A ) ? ? cos 2 A ? ?

1 ? tan 1 ? tan

A A

?

? 3 ? ? ? ?1 ? tan C ? ? 3 ? ? ? ?1 ? tan C ?
2

2

?

9 ? tan 9 ? tan

2 2

C C



4 ? 5 cos 2 C 5 ? 4 cos 2 C

4? 5? ? 5? 4?

1 ? tan 1 ? tan 1 ? tan 1 ? tan

2 2 2 2

C C C C ? 9 ? tan 9 ? tan
2 2

C C

?

cos(B+C-A)=

4 ? 5 cos 2 C 5 ? 4 cos 2 C

三、小结 1、化简的三种基本类型:根式形式;分式形;多项形式 2、化简方法:用公式;化同角;化同名;化切割为弦; 3、证明等式方法:化繁为简;左右归一;变更命题。 4、条件等式的证明要注意条件与结论之间的区别与联系,选用适当 方法。 5、无论是化简还是求证,务必非常注意角度的特点。 四、作业:


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