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2011年湖南高考数学文科试卷带详解


2011 年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)

数学(文史类)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. 设全集 U ? M ? N ? ?1,2,3,4,5? , M ? ? 则N ? U N ? ?2,4? , A.?1, 2,3? B. ?1,3,5? C.

?1, 4,5? ( D. )

?2,3,4?

【测量目标】集合的表示、集合的基本运算,数形结合思想. 【考查方式】 考查了集合的表示法 (描述法) 、 集合的补集、 交集运算. 给出全集与交集求 N . 【参考答案】B 【试题解析】画出韦恩图可知, N ? ?1,3,5? 2.若 a, b ? R , i 为虚数单位,且 (a ? i)i ? b ? i 则 A. a ? 1, b ? 1 B. a ? ?1, b ? 1 C. a ? 1, b ? ?1 ( )

D. a ? ?1, b ? ?1

【测量目标】复数代数形式的四则运算. 【考查方式】 给出复数的等式, 进行四则运算, 根据实数只有实部没有虚部的特征, 判断的 a , b 的值. 【参考答案】C 【试题解析】因 (a ? i)i ? ?1 ? ai ? b ? i ,根据复数相等的条件可知 a ? 1, b ? ?1 . 3. “ x ? 1 ”是“ x ? 1 ” 的 A.充分不必要条件 C. 充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件 ( )

【测量目标】命题的基本关系,充分条件与必要条件. 【考查方式】主要考查命题的基本关系以及充分必要条件. 【参考答案】A 【试题解析】 因 " x ? 1" ? " x ? 1" , 反之 " x ? 1" ? " x ? 1 或 x ? ?1" , 不一定有 " x ? 1" . 4.如图是某几何体的三视图,则该几何体的体积为 ( )

A. 9π ? 42

B. 36 π ? 18

C.

9 π ? 12 2

D.

9 π ? 18 2

【测量目标】空间几何体三视图的判断,柱、锥、台、及简单组合体的表面积、体积的求法. 【考查方式】给出几何体的三视图,直接考查对其三视图的判断,画出立体图形求其体积. 【参考答案】D 【试题解析】有三视图可知该几何体是一个长方体和球组成的组合体,其体积

V?

4 3 9 π ? ( )3 ? 3 ? 3 ? 2 ? π+18 . 3 2 2
男 爱好 不爱好 总计 40 20 60 算得, K ?
2

5.通过随机询问 110 名性别不同的大学生是否爱好某项运动,得到如下的列联表: 女 20 30 50 总计 60 50 110

由K ?
2

n(ad ? bc)2 (a ? d )(c ? d )(a ? c)(b ? d )

110 ? (40 ? 30 ? 20 ? 20) 2 ? 7.8 60 ? 50 ? 60 ? 50

附表:

p( K 2 …k )
k
参照附表,得到的正确结论是

0.050 3.841

0.010 6.635

0.001 10.828 ( )

A. 有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” B. 有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” C. 在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下,认为 “爱好该项运动与性别有关” D. 在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下,认为 “爱好该项运动与性别无关” 【测量目标】变量间的相关关系,独立性检验. 【考查方式】给出随机变量,根据卡方统计量计算出其观测值 k ,并且 k 的值越大,说明两 者有关系成立的可能性越大,可根据表格判断. 【参考答案】A
2 【试题解析】由 K ? 7.8 ? 6.635 ,而 P( K …6.635) ? 0.010 ,故由独立性检验的意义可
2

知选 A.

x2 y 2 ? 1(a ? 0) 的渐近线方程为 3x ? 2 y ? 0 , 6. 设双曲线 2 ? 则 a 的值为 a 9
A.4 B.3 C.2 【测量目标】双曲线标准方程,渐近线方程. 【考查方式】给出双曲线渐近线方程,求双曲线标准方程的 a .

( D.1

)

【参考答案】C 【试题解析】由双曲线方程可知渐近线方程为 y ? ? 7.曲线 y ? A. ?

3 x ,故可知 a ? 2 . a
( )

π sin x 1 ? 在点 M( ,0)处的切线的斜率为 4 sin x ? cos x 2
B.

1 2

1 2

C. ?

2 2

D.

2 2

【测量目标】同角三角函数的基本关系式,导数的几何意义. 【考查方式】 给出曲线方程进行变换, 根据在某点的切线的斜率即为在该点的导数值求出结 果. 【参考答案】B 【试题解析】 y? ?

cos x(sin x ? cos x) ? sin x(cos x ? sin x) 1 ? , 2 (sin x ? cos x) (sin x ? cos x) 2

? y? x ? π ?
4

1 (sin π π ? cos )2 4 4

?

1 . 2
)

8. 已知函数 f ( x) ? e x ?1, g ( x) ? ? x2 ? 4 x ? 3 , 若有 f (a) ? g (b) , 则 b 的取值范围( A. ? 2 ? 2, 2 ? 2 ?

?

?

B. (2 ? 2, 2 ? 2) D. ?1,3?

C. ?1,3?

【测量目标】指数函数、一元二次函数的值域、定义域,一元二次不等式. 【考查方式】给出两个复合函数表达式,结合一元二次不等式求解. 【参考答案】B 【试题解析】由题意知, f ( x) ? e ? 1 ? ?1, g ( x) ? ? x ? 4x ? 3 ? ?( x ? 2) ? 1 ? 1 ,若
x 2 2

有 f (a) ? g (b) ,则 g (b) ? ? ?1,1? ,即 ?b ? 4b ? 3 ? ?1 ,解得 2 ? 2 ? b ? 2 ? 2 .
2

二、填空题:本大题共 8 小题,考生作答 7 小题,每小题 5 分,共 35 分,把答案填在答题 .. 卡 中对应号后的横线上. . (一)选做题(请考生在 9、10 两题中任选一题作答,如果全做,则按前一题记分) 9.在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ?

? ? x ? 2 cos ? , ( ? 为参数) ,在极坐标系 y ? 3 sin ? ? ?

(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中, 曲线 C2 的方程为 ? ? cos? ? sin ? ? ? 1 ? 0 ,则 C1 与 C2 的交点个数为 .

【测量目标】参数方程与普通方程的互化、极坐标方程与直角坐标方程的转化.

【考查方式】给出曲线 C1 的参数方程与曲线 C2 的极坐标方程,将其转化为直角坐标系下的 方程,判断两曲线的交点. 【参考答案】2 个 【试题解析】曲线 C1 :

x2 y 2 ? ? 1 ,曲线 C2 : x ? y ? 1 ? 0 ,联立方程消去 y 得 4 3

7 x 2 ? 8 x ? 8 ? 0 ,易知 ? ? 0 ,故有 2 个交点.
10.已知某试验范围为 ?10,90? ,若用分数法进行 4 次优选试验,则第二次试点可以 是 .

【测量目标】分数法. 【考查方式】利用分数法解决实际的优选问题. 【参考答案】40 或 60 【试题解析】有区间长度为 80,可以将其等分 8 段,利用分数法选取试点:

5 x1 ? 10 ? ? (90 ? 10) ? 60 , x2 ? 10 ? 90 ? 60 ? 40 ,由对称性可知,第二次试点可以是 8
40 或 60。 (二)必做题(11~16 题) 11.若执行如图所示的框图,输入 x1 ? 1, x2 ? 2, x3 ? 4, x4 ? 8 则输出的数等于 .

【测量目标】算法及程序框图的理解与认识 【考查方式】程序框图的逻辑关系,并根据程序框图求出 x 的值 【参考答案】

15 4 x1 ? x2 ? x3 ? x4 15 ? . 4 4

【试题解析】由框图功能可知,输出的数等于 x ?

12.已知 f ( x ) 为奇函数, g ( x) ? f ( x) ? 9 , g (?2) ? 3 ,则 f (2) ? _________. 【测量目标】奇函数的性质. 【考查方式】给出 g ( x) 与 f ( x ) 的关系式及 g (?2) 的值,间接地考查了奇函数

f (? x) ? ? f ( x) 的性质,求出 f (2) 的值.
【参考答案】 6 【试题解析】 g (?2) ? f (?2) ? 9 ? 3 ,则 f (?2) ? ?6 . 又 f ( x ) 为奇函数,所以 f (2) ? ? f ( ?2) ? 6 13.设向量 a , b 满足 a ? 2 5, b ? (2,1) ,且 a 与 b 的方向相反,则 a 的坐标为________. 【测量目标】向量的三要素、向量的坐标表示、向量的模.

【考查方式】给出向量的模及另一个向量的坐标,根据两向量之间的关系求出 a 的值,间接 地考查了向量的三要素. 【参考答案】 (?4, ?2) 【试题解析】由题 b ?

22 ? 1 ? 5 ,所以 a ? ?2b ? (?4, ?2) .

? y … x, ? 14.设 m>1,在约束条件 ? y ? mx, 下,目标函数 z ? x ? 5 y 的最大值为 4 ,则 m 的值为 ?x ? y ? 1 ?
_________. 【测量目标】二元线性规划. 【考查方式】采取逆向思维,给出二元线性规划目标函数的最大值,求出约束条件中的参数 间接地考查了线性规划知识. 【参考答案】3 【试题解析】由题意知 z ? x ? 5 y 在点 (

1 m , ) 取最大值为 4 ,解得 m ? 3 . 1? m 1? m

15.已知圆 C: x2 ? y 2 ? 12 ,直线 l : 4x ? 3y ? 25 . ⑴圆 C 的圆心到直线 l 的距离为________; ⑵圆 C 上任意一点 A 到直线 l 的距离小于 2 的概率为_______. 【测量目标】点到直线的距离,几何概型. 【考查方式】⑴根据圆方程求出圆心,直接考查了点到直线的距离. ⑵根据圆心到直线的距离与半径求出弧所对圆心角,结合几何概型求解. 【参考答案】 5 ,

1 6

【试题解析】⑴由点到直线的距离公式可得 d ?

25 4 ? 32
2

?5;

⑵由⑴可知圆心到直线的距离为 5 , 要使圆上点到直线的距离小于 2 , 即 l : 4 x ? 3 y ? 15 与 圆相交所得劣弧上,由半径为 2 3 ,圆心到直线的距离为 3 可知劣弧所对圆心角为

π ,故 3

π 1 所求概率为 P ? 3 ? . 2π 6
? ? 16.给定 k ? N ,设函数 f : N ? N 满足:对于任意大于 k 的正整数 n, f (n) ? n ? k .
?

⑴设 k ? 1 ,则其中一个函数 f 在 n ? 1 处的函数值为_________. ⑵设 k ? 4 , 且当 n ? 4 时, 2 剟 f ( x)

3 ,则不同的函数 f 的个数为________.

【测量目标】函数的概念,乘法原理. 【考查方式】直接考查函数的概念;与集合结合求出函数个数. 【参考答案】⑴ a ( a 为正整数);⑵ 16 【试题解析】⑴由题可知 f (n) ? N? ,而 k ? 2 时, n ? 1 则 f (n) ? n ?1? N? ,故只须

f (1) ? N? ,故 f (1) ? a(a ? N? ) .
n ? 4 则 f (n) ? n ? 4 ? N? , ⑵由题可知 k ? 4 , 而 n ? 4 时, 2 剟 f (n)

3 即 f (n) ??2,3? ,
4

即 n ?{1, 2,3, 4} , f (n) ??2,3? ,由乘法原理可知,不同的函数 f 的个数为 2 ? 16 . 三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 在 △ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且满足 c sin A ? a cos C . ⑴求角 C 的大小; ⑵求 3 sin A ? cos( B ?

π ) 的最大值,并求当取得最大值时,角 A, B 的大小. 4

【测量目标】三角函数的定义及性质,三角函数的恒等变换,正弦定理. 【考查方式】 给出等式直接考查了正弦定理; 考查三角函数的诱导公式将代数式转化成同名 三角函数求解角的大小. 【试题解析】⑴由正弦定理得 sin C sin A ? sin A cos C , (步骤 1)

? 0 ? A ? π ,? sin A ? 0 ,从而 sin C ? cos C .
又 cos C ? 0 ,? tan C ? 1 ,则 C ? ⑵由⑴知 B ?

π . (步骤 2) 4

3π π ? A ,于是 3 sin A ? cos( B ? ) ? 3 sin A ? cos( π ? A) 4 4 π ? 3 sin A ? cos A ? 2sin( A ? ) (步骤 3) 6

?0 ? A ?

3π π π π ,从而当 A ? ? ,即此时, 2 sin( A ? ) 取最大值 2 . (步骤 4) 4 6 2 6 π π 5π ) 的最大值为 2 ,此时 A ? , B ? . (步骤 5) 4 3 12

综上所述, 3 sin A ? cos( B ? 18. (本小题满分 12 分)

某河流上的一座水力发电站,每年六月份的发电量 Y(单位:万千瓦时)与该河上游在六月 份的降雨量 X(单位:毫米)有关,据统计,当 X=70 时,Y=460;X 每增加 10,Y 增加 5.已 知近 20 年 X 的值为:

140, 110, 160, 70, 200, 160, 140, 160, 220, 200, 110, 160, 160, 200, 140, 110, 160, 220, 140, 160

⑴完成如下的频率分布表 近 20 年六月份降雨量频率分布表 降雨量 70 频率 110 140 160 200 220

1 20

4 20

2 20

⑵假定今年六月份的降雨量与近 20 年六月份降雨量的分布规律相同,并将频率是为概率, 求今年六月份该水力发电站的发电量低于 490(万千瓦时)或超过 530(万千瓦时)的概率. 【测量目标】样本估计总体. 【考查方式】给出数据,考查频率分布表,用样本的频率分布估计总体分布. 【试题解析】⑴在所给数据中,降雨量为 110 毫米的有 3 个,为 160 毫米的有 7 个,为 200 毫米的有 3 个,故近 20 年六月份降雨量频率分布表为 降雨量 70 频率 110 140 160 200 220

1 20

3 20

4 20

7 20

3 20

2 20 1 3 2 3 ? ? ? 20 20 20 10

⑵ P (“当电量低于 490 万千瓦时或查过 530 万千瓦时”)

? P ( Y ? 490 或 Y ? 530 ) ? P ( X ? 130 或 X ? 210 ) ?

故今年六月份该水力发电站的发电量低于 490(万千瓦时)或超过 530(万千瓦时)的概率为 19. (本小题满分 12 分) 如图,在圆锥 PO 中,已知 PO = 2 ,圆 O 的直径 AB ? 2 ,点 C 在弧 AB 上,且 ?CAB ?

3 . 10

π , D 为 AC 的中点. 6

⑴证明: AC ? 平面 POD ; ⑵求直线 OC 和平面 PAC 所成角的正弦值. 【测量目标】空间点、线、面之间的位置关系,线面垂直的判定,直线与平 面所成角. 【考查方式】线面垂直的判断.判断直线与平面所成角. 【试题解析】⑴因为 OA ? OC , D 是 AC 的中点,所以 AC ? OD . (步骤 1) 又 PO ? 底面圆 O , AC ? 底面圆 O ,所以 AC ? OP . (步骤 2) 又 PO 是平面 POD 内的两条相交直线,所以 AC ? 平面 POD . (步骤 3) ⑵由⑴知, AC ? 平面 POD ,又 AC ? 平面 PAC , 所以平面 POD ? 平面 PAC . (步骤 4) 在平面 POD 中,过 O 作 OH ? PD 于 H ,

则 OH ? 平面 PAC , (步骤 5) 连结 CH ,则 CH 是 OC 在平面 PAC 上的射影, 所以 ?OCH 是直线 OC 和平面 PAC 所成角. (步骤 6)

1 PO ? OD 2 ? 2, 在 Rt△POD 中, OH ? (步骤 7) ? 2 2 3 1 PO ? OD 2? 4 2?
在 Rt△OHC 中, sin ?OCH ? 20. (本小题满分 13 分)

OH 2 . (步骤 8) ? OC 3

M 的价值在使用过程中逐年减少. 某企业在第 1 年初购买一台价值为 120 万元的设备 M , 从
第 2 年到第 6 年,每年初 M 的价值比上年初减少 10 万元;从第 7 年开始,每年初 M 的价 值为上年初的 75%. ⑴求第 n 年初 M 的价值 an 的表达式; ⑵设 An ?

a1 ? a 2 ? ... ? an , 若 An 大于 80 万元, 则 M 继续使用, 否则须在第 n 年初对 M 更 n

新.证明:须在第 9 年初对 M 更新. 【测量目标】等差数列、等比数列的公式、性质,等差数列与等比数列的求和公式,及其求 解的方法. 【考查方式】公式的直接应用,分组求和法的应用. 【试题解析】⑴当 n ? 6 时,数列 ?an ? 是首项为 120 ,公差为 ?10 的等差数列.

an ? 120 ?10(n ?1) ? 130 ?10n . (步骤 1)
当 n …7 时,数列 ?an ? 是以 a6 为首项,公比为 又 a6 ? 70 ,所以 an ? 70 ? ( )

3 为等比数列, 4

3 4

n?6

. (步骤 2)

?120 ? 10(n ? 1) ? 130 ? 10n, n ? 6 ? 因此,第 n 年初, M 的价值 an 的表达式为 an ? ? (步骤 3) 3 n ?6 70 ? ( ) , n … 7 ? ? 4
⑵设 Sn 表示数列 ?an ? 的前 n 项和,由等差及等比数列的求和公式得 当 1 剟n

6 时, Sn ? 125n ? 5n2 , An ? 120 ? 5(n ?1) ? 125 ? 5n , (步骤 4)

当 n …7 时, Sn ? S6 ? (a7 ? a8 ? ?? an ) ? 570 ? 70 ? ? 4 ? ?1 ? ( )

3 4

? ?

3 4

n ?6

? ? ?

3 780 ? 210 ? ( )n?6 3 n ?6 4 ? 780 ? 210 ? ( ) , An ? . (步骤 5) 4 n
因为 ?an ? 是递减数列,所以 ? An ? 是递减数列,

3 3 780 ? 210 ? ( )8?6 780 ? 210 ? ( )9?6 47 79 4 4 又 A8 ? ? 82 ? 80 , A9 ? ? 76 ? 80 (步骤 6) 8 64 9 96
所以须在第 9 年初对 M 更新. 21. (本小题满分 13 分) 已知平面内一动点 P 到点 F (1, 0) 的距离与点 P 到 y 轴的距离的差等于 1. ⑴求动点 P 的轨迹 C 的方程; ⑵过点 F 作两条斜率存在且互相垂直的直线 l1 , l2 , 设 l1 与轨迹 C 相交于点 A, B , l2 与轨迹 C 相交于点 D, E ,求 AD ? EB 的最小值. 【测量目标】圆锥曲线的方程,圆锥曲线中的定值问题,基本不等式. 【考查方式】给出参数列方程求解;由韦达定理结合向量求解. 【试题解析】⑴设动点 P 的坐标为 ( x, y ) ,由题意为 ( x ? 1) ? y ? x ? 1
2 2

???? ??? ?

化简得, y 2 ? 2x ? 2 x , (步骤 1)
2 当 x …0 时, y ? 4 x ;当 x ? 0 时, y ? 0 . (步骤 2)

所以动点 P 的轨迹 C 的方程为 y 2 ? 4 x( x …0) 和 y ? 0( x ? 0) . (步骤 3) ⑵由题意知,直线 l1 的斜率存在且不为 0,设为 k ,则 l1 的方程为 y ? k ( x ? 1) . (步骤 4) 由?

? y ? k ( x ? 1), ? y ? 4x
2

,得 k 2 x2 ? (2k 2 ? 4) x ? k 2 ? 0 , (步骤 5)

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 x1 , x2 是上述方程的两个实根, 于是 x1 ? x2 ? 2 ?

4 , x1 x2 ? 1 . (步骤 6) k2 1 . (步骤 7) k

因为 l1 ? l2 ,所以 l2 的斜率为 ? 设 D( x3 , y3 ), B( x4 , y4 ) ,

则同理可得 x3 ? x4 ? 2 ? 4k 2 , x3 x4 ? 1 , (步骤 8)

故 AD ? EB ? ( AF ? FD) ? ( EF ? FB)

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? AF ? EF ? AF ? FB ? FD ? EF ? FD ? FB ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? AF ? FB ? FD ? EF

? ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ? ( x3 ? 1)( x4 ? 1)
? 1 ? (2 ? 4 ) ? 1 ? 1 ? (2 ? 4k 2 ) ? 1 2 k

? 8 ? 4(k 2 ?
当且仅当 k ?
2

1 1 (步骤 9) ) …8 ? 4 ? 2 k 2 ? 2 ? 16 . 2 k k

???? ??? ? 1 k ? ? 1 AD ? EB ,即 时, 取最小值 16. (步骤 10) k2
1 ? a ln x(a ? R ) . x

22. (本小题满分 13 分) 设函数 f ( x) ? x ?

⑴讨论函数 f ( x ) 的单调性. ⑵若 f ( x ) 有两个极值点 x1 , x2 ;记过点 A( x1 , f ( x1 )), B( x2 , f ( x2 )) 的直线斜率为 k .问:是 否存在 a ,使得 k ? 2 ? a ?若存在,求出 a 的值;若不存在,请说明理由. 【测量目标】导数研究函数单调性与导数的运算,分类讨论思想. 【考查方式】求导判断函数单调性;构造函数判断.

1 x x 2 ? ax ? 1 【试题解析】⑴ f ( x ) 的定义域为 (0, ??) , f ?( x) ? 1 ? 2 ? ? . (步骤 1) x a x2
令 g ( x) ? x2 ? ax+1 ,其判别式 ? =a ? 4 .
2

①当 a ? 2 时, ? 剠0, f ?( x)

0 ,故 f ( x) 在 (0, ??) 上单调递增.

②当 a ? ?2 时, ? ? 0, g ( x) ? 0 的两根都小于 0,在 (0, ??) 上, f ?( x) ? 0 ,故 f ( x ) 在

(0, ??) 上单调递增.
③当 a ? 2 时, ? ? 0, g ( x) ? 0 的两根为 x1 ?

a ? a2 ? 4 a ? a2 ? 4 , , x2 ? 2 2

当 0 ? x ? x1 时, f ?( x) ? 0 ;当 x1 ? x ? x2 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? x2 时, f ?( x) ? 0 , 故 f ( x ) 分别在 (0, x1 ),( x2 , ??) 上单调递增,在 ( x1 , x2 ) 上单调递减. (步骤 2) ⑵由⑴知, a ? 2 . 因为 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ( x1 ? x2 ) ? 所以 k ?

x1 ? x2 ? a(ln x1 ? ln x2 ) x1 x2

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ln x1 ? ln x2 1 , (步骤 3) ? 1? ?a? x1 ? x2 x1 x2 x1 ? x2 ln x1 ? ln x2 , (步骤 4) x1 ? x2

又由⑴知, x1 x2 ? 1 .于是 k ? 2 ? a ?

若存在 a ,使得 k ? 2 ? a ,则 亦即 x2 ?

ln x1 ? ln x2 ? 1 .即 ln x1 ? ln x2 ? x1 ? x2 . x1 ? x2
(*)

1 ? 2ln x2 ? 0( x2 ? 1) (步骤 5) x2
1 t

再由⑴知,函数 h(t ) ? t ? ? 2 ln t 在 (0, ??) 上单调递增,而 x2 ? 1 , 所以 x2 ?

1 1 ? 2ln x2 ? 1 ? ? 2ln1 ? 0 这与(*)式矛盾.故不存在 a ,使得 k ? 2 ? a . x2 1
(步骤 6)


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