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2015年上海市高中数学竞赛试卷带答案

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2015 年上海市高中数学竞赛试卷 2015 年 3 月 29 日上午 9:30~11:30 【说明】解答本试卷不得使用计算器.解答请写在答题纸上. 一、填空题(本题满分 60 分,前 4 小题每小题 7 分,后 4 小题每小题 8 分) 1 . 等 差 数 列 an 中 , 对 任 意 正 整 数 n , 都 有 an 1 an 4n 5 8, 则 a2015 . 2.

对整数 n 3 ,记 f (n) log2 3 log3 4 logn 1 n ,则 f (22 ) f (23 ) f (210 ) . 3. 有 10 个大小相同的小球,其中 5 个是红球,5 个是白球.现将这 10 个 球任意排成一排,并从左至右依次编号为 1,2,…,10. 则红球的编号数之和大 于白球的编号数之和的排法共有 种. 4. 在直角坐标平面 xOy 上,圆 O : x2 y2 1 ,圆 O1 :( x 3)2 y2 4 .过 x 轴 的左半轴上一点 M 作圆 O 的切线,与圆 O 相切于点 A ,与圆 O1 分别相交于点 B, C ,若 AB BC ,则点 M 的坐标为 4 ) 3(sin5 cos5 ), . 5. 已 知 cos( 是 , ,则 的取值范围 . 6. 投掷两次骰子,设第一次出现的点数为 a ,第二次出现的点数为 b ,则使 ax b 0 有两个小于 1 的不相等实根的概率 得 关 于 x 的 二 次 方 程 x2 为 7. . (用数字作答) 已知集合 A x , y x m, y 3m 2, m N , B x , y x n, y a(a2 n 1), n N , 个. 则使得 A B 的整数 a 共有 8. 若实数 x, y 满足 x 3 x 1 3 y 2 二、解答题 y ,则 x y 的最大值为 . 9. (本题满分 14 分)在直角坐标平面 xOy 上,已知点 A, B 在双曲线 C : 2 x2 4 x y 2 0 上,且使得△ OAB 是以 O 为直角顶点的等腰直角三角形,求 所有这样的△ OAB 的个数. 10. (本题满分 14 分)已知 p 为素数, n 为正整数.非负整数 a0 , a1, 小于 p ,且满足 , an 均 a0 a1 a2 a0 a1 p a2 p 2 求素数 p . an 13, an p n 2015. 11. (本题满分 16 分)如图,已知△ ABC 的面积为 1,过△ ABC 内一点 O 分 别引三条边的平行线 DE, FG, HI ,点 D, E, F , G, H , I 均在△ ABC 的边上,求六 边形 DGHEFI 的面积的最小值. A G H D B O E F C I 12. (本题满分 16 分)设 n 是正整数,数列 A : a1, a2 , 成的数列,即 ak , an 是由数 0 或 1 组 0 或 1 (1 k n) . / , an ,其中 / , (1)若 n 3 ,由数列 A 定义另一个数列 A / : a1/ , a2 ak/ 这里 a0 0, 若ak 1, 若ak 1 1 k 1, 2, ak 1 , ak 1 , ,n , an , an 1 a1 . / ak 求使得 ak 解题过程) 1, k 1, 2, , n 的所有数列 A . (本小题只需写出结果,不需 (2)求使得 a1 a2 an 除以 4 余 3 的数列 A 的个数. 2

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