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解析几何小小练10

时间:2015-01-24


北师大版·数学·必修 2

高中同步学习方略

解析几何 10
一、选择题 1.圆 x2+y2=1 与 x2+y2-2x-2y=0 的位置关系是( A.相交 C.内含 B.相离 D.外切 )

解析 圆心距 d= ?1-0?2+?1-0?2= 2<1+ 2,且 d> 2-1, 可知答案为 A. 答案 A

2. 若 x2+y2-2mx+4y+m2-5=0 与 x2+y2+2x-2y-2=0 相外 切,则 m 的值为( A.-5 C.-5 或 3 解析 ) B.3 D.以上均不对

x2+y2-2mx+4y+m2-5=0 可化为(x-m)2+(y+2)2=9,

x2 + y2 + 2x - 2y - 2 = 0 可化为 (x + 1)2 + (y - 1)2 = 4 ,由题可知, ?m+1?2+?-2-1?2=3+2,得 m=-5,或 m=3. 答案 C

3.过两圆(x+3)2+(y+2)2=13 及(x+2)2+(y+1)2=9 的交点的 直线方程是( ) B.x+y-2=0 D.5x+3y-2=0

A.x+y+2=0 C.5x+3y+2=0 解析 将两圆的方程相减. 答案 A

4.两圆 x2+y2+2ax+2ay+2a2-1=0 与 x2+y2+2bx+2by+2b2 -1=0 的公共弦长的最大值为( A.2 2
1

) B.2

北师大版·数学·必修 2 C. 2 D.1

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解析 两圆相交弦所在的直线方程为 x+y+a+b=0, ∴弦长=2 1-?
?a-b?2 ?. ? 2 ?

∴当 a=b 时弦长最大,最大值为 2. 答案 B

5.若圆 x2+y2-ax+2y+1=0 关于直线 x-y=1 对称的圆的方 程为 x2+y2=1,则实数 a 的值为( A.0 C.± 2 解析 ) B.1 D.2
?a ? |a| x2+y2-ax+2y+1=0 的圆心为?2,-1?,半径为 2 ,由 ? ?

=1, ? ?2 题意,得?-1-0 =-1, a ? ? 2-0 答案 D

|a|

得 a=2.

6.圆 x2+y2+4x-4y+7=0 与圆 x2+y2-4x+10y+13=0 的公 切线的条数是( A.1 C.3 ) B.2 D.4

解析 两圆的圆心距 d= ?-2-2?2+?2+5?2= 65, 半径 r1=1, r2=4,∴d>r1+r2,∴两圆相外离,故有 4 条公切线. 答案 D

二、填空题 7. 若圆 x2+y2=4 与圆 x2+y2+2ay-6=0(a>0)的公共弦的长为
2

北师大版·数学·必修 2 2 3,则 a=________.

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1 解析 由题可知, 两圆的公共弦所在的直线方程为 y=a, 圆心 O 1 1 到直线的距离为a,则由弦长公式( 3)2+a2=4,得 a=1. 答案 1 8.若(x+1)2+y2=4 与(x-a)2+y2=1 相交,则 a 的取值范围是 ________. 解析 由题可知 ?-1-a?2+?0-0?2∈(2-1,2+1),

得-4<a<-2,或 0<a<2. 答案 -4<a<-2,或 0<a<2

9.若圆 x2+y2=4 和圆 x2+y2+4x-4y+4=0 关于直线 l 对称, 则直线 l 的方程为________. 解析
2 2 ? ?x +y +4x-4y+4=0,① 由? 2 2 ? ?x +y =4,②

①-②可得 l 的方程为 x-y+2=0. 答案 x-y+2=0

三、解答题 10.已知圆 C1:x2+y2+2x+2y-8=0 与圆 C2:x2+y2-2x+10y -24=0 相交于 A,B 两点. (1)求公共弦 AB 所在的直线方程; (2)求圆心在直线 y=-x 上,且经过 A,B 两点的圆的方程. 解
2 2 ? ?x +y +2x+2y-8=0, (1)由? 2 2 ? ?x +y -2x+10y-24=0,

得 x-2y+4=0, 所以公共弦 AB 所在的直线方程为 x-2y+4=0.
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(2)设所求的圆的方程为 x2+y2+2x+2y-8+λ(x2+y2-2x+10y -24)=0① 整理得(1+λ)x2+(1+λ)y2+(2-2λ)x+(2+10λ)y-8-24λ=0, 圆心? 即
? λ -1

1+5λ? ?,又圆心在 y=-x 上, ,- 1 +λ ? ? 1 +λ

λ-1 1+5λ 1 = ,得 λ=-2. 1+λ 1+λ

代入①得 x2+y2+6x-6y+8=0. 即所求的圆的方程为 x2+y2+6x-6y+8=0. 11. 求通过直线 2x-y+3=0 与圆 x2+y2+2x-4y+1=0 的交点, 且面积最小的圆的方程. 解 解法 1:设所求的圆的方程为 x2+y2+2x-4y+1+λ(2x-y

+3)=0, ?4+λ? λ? ? 配方得标准方程为(x+1+λ) +?y-2-2?2=(1+λ)2+ 4 -3λ ? ?
2 2

-1. 5 5 2 19 ∵r2=4λ2+λ+4=4(λ+5)2+ 5 , 2 ∴当 λ=-5时,半径 r= 19 5 最小.

∴所求面积最小的圆的方程为 5x2+5y2+6x-18y-1=0. 解法 2:设直线与圆的交点为 A(x1,y1),B(x2,y2),
? ?2x-y+3=0, 由? 2 2 消去 y,得 5x2+6x-2=0. ?x +y +2x-4y+1=0, ?

∴判别式 Δ>0,AB 中点横坐标 x1+x2 3 9 x0= 2 =-5,纵坐标 y0=2x0+3=5,

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? 3 9? 即圆心 C?-5,5?, ? ?

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1 半径 r=2· |x1-x2| 1+22=

19 5,
? ? ? ?

3? ? 9? 19 ? ∴所求面积最小的圆的方程为?x+5?2+?y-5?2= 5 . 12.已知圆 C1:x2+y2-10x-10y=0 和圆 C2:x2+y2+6x+2y -40=0 相交于 A,B 两点,求公共弦 AB 的长. 解 解法 1:由两圆方程相减,得公共弦 AB 所在直线的方程为:

4x+3y-10=0.

? ? ? ?4x+3y-10=0, ?x=-2, ?x=4, 由? 2 2 解得? 或? ?x +y -10x-10y=0 ?y=6 ? ? ? ?y=-2.

令 A(-2,6),B(4,-2). 故|AB|= ?-2-4?2+?6+2?2=10. 解法 2:同法 1,先求出公共弦所在直线 l 的方程为 4x+3y-10 =0. 过 C1 作 C1D⊥AB 于 D,如图,圆 C1 的圆心 C1(5,5),半径 r1= 5 2,则|C1D|= |20+15-10| =5. 5

∴|AB|=2|AD|=2 C1A2-C1D2=2 50-25=10.
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13.已知圆 C1:x2+y2-2ax-2y+a2-15=0,C2:x2+y2-4ax -2y+4a2=0(a>0). 试求 a 为何值时,两圆 C1,C2:(1)相切;(2)相交;(3)相离? 解 对圆 C1,C2 的方程,经配方后可得:

C1:(x-a)2+(y-1)2=16, C2:(x-2a)2+(y-1)2=1, ∴C1(a,1),r1=4,C2(2a,1),r2=1, ∴|C1C2|= ?a-2a?2+?1-1?2=a. (1)当|C1C2|=r1+r2=5,即 a=5 时,两圆外切, 当|C1C2|=r1-r2=3,即 a=3 时,两圆内切. (2)当 3<|C1C2|<5,即 3<a<5 时,两圆相交. (3)当|C1C2|>5,即 a>5 时,两圆外离.

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