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数学(人教A版)必修5课件:2.3.2

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2.3.2 等差数列前 n 项和的性质 【学习目标】 1.掌握等差数列前 n 项和公式及其获取思路. 2.会用等差数列的前 n 项和公式解决一些简单的与前 n 项 和有关的问题. 1.等差数列的最值 在等差数列{an}中,若 a1>0,d<0,则 Sn 存在最大值;若 a1<0,d>0,则 Sn 存在最小值. 2.等差数列的单调性 当 等 差 数 列 的 公 差 _____ d >0 时,数 列 为 递 增 数 列;当 d=0 ________ 时,数列为常数 d <0 时,数列为递减数列;当__________ 列. 练习:已知等差数列{an}的通项公式为an=-2n+8,则{an} 的前 n 项和 Sn=________ n(7-n) ,Sn 的最大值为_______ 12 . 【问题探究】 已知数列{an}前 n 项和公式为 Sn,首项为 a1,则该数列的 通项公式 an 与前 n 项和有什么样的关系式? ? ?S1 答案:an=? ? ?Sn-Sn-1 ?n=1?, ?n≥2? 题型 1 等差数列的前 n 项和的性质及应用 【例 1】等差数列{an}的前 m 项和为 30,前 2m 项和为 100, 则它的前 3m 项和为( A.30 ) B.170 C.210 D.260 思维突破:(1)把问题特殊化,即令 m=1 来解. n?n-1? (2)利用等差数列的前 n 项和公式 Sn=na1+ 2 d 进行求 解. n?a1+an? (3)借助等差数列的前 n 项和公式 Sn= 及性质 m+n 2 =p+q?am+an=ap+aq 求解. (4)根据性质:“已知{an}成等差数列,则 Sn,S2n-Sn,S3n -S2n,?,Skn-S(k-1)n,?(k≥3)也成等差数列”解题. (5)根据 Sn=an2+bn 求解. n?n-1? (6)运用等差数列求和公式 Sn=na1+ 2 d 的变形式解 题. 解析:方法一:取m=1,则a1=S1=30,a2=S2-S1=70. ∴d=a2-a1=40,a3=a2+d=70+40=110. S3=a1+a2+a3=210. ? ?S =ma +m?m-1?d=30, 1 2 ? m 方法二:由已知,得? 2m?2m-1? ? S2m=2ma1+ d=100. ? 2 ? 10 20 40 解得 a1= m +m2,d=m2. 3m?3m-1? ∴S3m=3ma1+ d=210. 2 ① ? ?m?a1+am?=60, ?m?a1+a2m?=100, ② 方法三:由已知,得? ?3m?a1+a3m?=2S3m, ③ ? ?a3m-a2m=a2m-am. ④ 由③-②及②-①,结合④,得S3m=210. 方法四:根据上述性质知:Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差 数列, 故Sm+(S3m-S2m)=2(S2m-Sm). ∴S3m=3(S2m-Sm)=210. 方法五:∵{an}为等差数列, ∴设Sn=an2+bn. ∴Sm=am2+bm=30,S2m=4m2a+2mb=100. 20 10 解得 a=m2,b= m . ∴S3m=9m2a+3mb=210. n?n-1? 方法六:由 Sn=na1+ 2 d, Sn d 即 n =a1+(n-1)2. ?Sn? 由此可知:数列? n ?也成等差数列, ? ? Sm S2m S3m 即 m ,2m ,3m 成等差数列. 2S2m Sm S3m 由 2m = m +3m ,Sm=30,S2m=100,得

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