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高三数学周练4

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高三数学周练 4
一、填空题: 1.已知集合 A ? {x | 0 ? x ? 7} ,则 A ? Z= 2.函数 y ? sin 2 x ? 1 的最小正周期为 . . .

( 1 ? i )z 为纯虚数,则 z = 3.已知复数 z ? m ? i (m ? R , i 为虚数单位 ) ,若

4.在平面直角坐标系 xOy

中,抛物线 x2 ? 2 py( p ? 0) 上纵 坐标为 2 的一点到焦点的距离为 3,则抛物线的焦点坐标 为 .

5.在如图所示的算法流程图中,若输入 m=4,n=3,则输 出的 a= .

6.在一个样本的频率分布直方图中,共有 5 个小矩形,若 中间一个小矩形的面积等于其他 4 个小矩形的面积和的

1 ,且中间一组的频数为 25,则样本容量为 3



第 5 题图

7.已知直线 y ? 2 与函数 y ? sin ? x ? 3 cos ? x ?? ? 0 ? 图象的两个相邻 交点 A, B ,线段

2? ,则 ? 的值为 . 3 8. 设 ? , ? 为互不重合的平面, m, n 是互不重合的直线 ,给出下列四个命题:
AB 的长度为
① 若m / / n, n ? ? , 则m / /? ② 若m ? ? , n ? ? , m / / ?,n / / ?,则? / / ? ③ 若? / / ? , m ? ? , n ? ?,则m / / n ④若 ? ? ? , ? ? ? ? m, n ? ? , n ? m, 则n ? ? ;其中正确命题的序号为 .

9.平行四边形 ABCD 中,已知 AB ? 4, AD ? 3, ?BAD ? 60? ,点 E , F 分别满足

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ???? ??? ? AE ? 2ED, DF ? FC ,则 AF ? BE ?


?

10.如图,在 ?ABC 中,已知 AB ? 4, AC ? 3 , ?BAC ? 60 , 点 D, E 分别是边 AB, AC 上的点,且 DE ? 2 ,则 最小值等于
2 11.已知函数 f ? x ? ? x ?| x | ?4? ,且 f a ? f ? a ? ? 0 ,则 a 的取值范围是

S四边形BCED 的 S?ABC

? ?



1

12.在平面直角坐标系 xOy 中,已知直线 l : y ? k x ? 2 2 和点 A ? 2, 0 , B 动点 P 满足 PA ?

?

?

?

? ?

2, 0 ,


?

2PB ,且存在两点 P 到直线 l 的距离等于 1 ,则 k 的取值范围是

13.已知周期为 4 的函数 f ( x) ? ?

? ?m 1 ? x 2 , x ? (?1,1] ,其中 m ? 0 .若方程 3 f ( x) ? x 恰 ? ? 1 ? x ? 2 , x ? (1,3]

有 5 个实数解,则 m 的取值范围为
2 2 14. 各项均为非负的任意等差数列 ?an ? 满足 a1 则 a3 ?a4 ?a5 ?a6 ?a7 ?a8 ? a10 ?5,

的取

值范围是 ▲ . 二、解答题: 15 . 在 ?ABC 中 , 角 A, B, C 所 对 的 边 分 别 为 a , b, c , m ? ? sin A,sin B ? sin C ? ,

??

?? ? ? n ? a ? 3b, b ? c ,且 m ? n .

?

?

(1)求角 C 的值; (2)若 ?ABC 为锐角三角形,且 c ? 1 ,求 3a ? b 的取值范围.

16. 在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB=AA1,D、E 分别是棱 A1B1、AA1 的中点,点 F 在棱 AB 上,且 AB ? 4AF . (1)求证:EF∥平面 BDC1; (2)求证: BC1 ? 平面 B1CE . E C A F B 第 16 题图 A1 C1 D B1

2

17. 某小区想利用一矩形空地 ABCD 建市民健身广场,设计时决定保留空地边上的一水塘 (如图中阴影部分) ,水塘可近似看作一个等腰直角三角形,其中 AD ? 60m , AB ? 40m , 且 ?EFG 中, ?EGF ? 90? ,经测量得到 AE ? 10m, EF ? 20m .为保证安全同时考虑美观, 健身广场周围准备加设一个保护栏.设计时经过点 G 作一直线交 AB, DF 于 M , N ,从而得 到五边形 MBCDN 的市民健身广场,设 DN ? x(m) . (1)将五边形 MBCDN 的面积 y 表示为 x 的函数; (2)当 x 为何值时,市民健身广场的面积最大?并求出最大面积. A E G M F N D

B 第 17 题图

C

18.如图,过椭圆 L 的左顶点 A(?3, 0) 和下顶点 B 且斜率均为 k 的两直线 l1 , l2 分别交椭圆 于 C , D ,又 l1 交 y 轴于 M , l2 交 x 轴于 N ,且 CD 与 MN 相交于点 P .当 k = 3 时,

?ABM 是直角三角形.
(1)求椭圆 L 的标准方程;

y M C A O B P N x D

???? ? ??? ? (2) ①证明:存在实数 ? ,使得 AM ? ? OP ;
②求|OP|的取值范围.

3

19. 如果数列 ?an ? 满足: a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? 0 且 a1 ? a2 ? a3 ? ?? an ? 1 n ≥ 3, n ? N * , 则称数列 ?an ? 为 n 阶“归化数列” . (1)若某 4 阶“归化数列” ?an ? 是等比数列,写出该数列的各项; (2)若某 11 阶“归化数列” ?an ? 是等差数列,求该数列的通项公式;

?

?

1 1 1 1 1 (3)若 ?an ? 为 n 阶“归化数列” ,求证: a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ≤ ? . 2 3 n 2 2n

20.已知函数 f ( x) ? ke , g ( x) ?
x

1 ln x ,其中 k ? 0 .若函数 f ( x), g ( x) 在它们的图象与 k

坐标轴交点处的切线互相平行. (1)求 k 的值; (2)是否存在直线 l ,使得 l 同时是函数 f ( x), g ( x) 的切线?说明理由 . (3) 若直线 x ? a(a ? 0) 与 f ( x) 、g ( x) 的图象分别交于 A 、B 两点, 直线 y ? b(b ? 0) 与

h( x) 的图象有两个不同的交点 C 、 D .记以 A 、 B 、 C 、 D 为顶点的凸四边形面积为 S ,
求证: S ? 2 .

4

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1. ? 1,2? 8.④ 2. 2? 9. ?6 3. 10.
2

4.

? 0,1?

5.12

6.100

7. 3

2 3

【解析】设 AD ? x, AE ? y ? 0 ? x ? 4,0 ? y ? 3? ,则 因为 DE 2 ? x2 ? y 2 ? 2xy cos60? ,所以 x2 ? y 2 ? xy ? 4 ,从而 4 ? 2 xy ? xy ? xy , 当且仅当 x ? y ? 2 时等号成立,

所以

S四边形BCED S xy 4 2 ? 1 ? ?ADE ? 1 ? ? 1? ? 1? ? 。 1 S?ABC S?ABC 12 12 3 ? 3 ? 4sin 60? 2

1 xy sin 60? 2

11. ? ?1,0? 【解析 1】当 a ? 0 时,则 a ? 4a ? a ? 4a ? 0 ,此时无解;
4 2 2
2 4 2 2 当 a ? 0 时,则 a ? 4a ? a ? 4a ? 0 ,即 a ?a ? 1? a ?a ? 4 ? 0 ,解得,故 ?1 ? a ? 0 。

?

?

【解析 2】由题意可知,函数 f ? x ? 为奇函数,且在 ? ??, ??? 上单调递增,
2 2 从而由 f a ? ? f ? a ? ? f ? ?a ? 得 a ? ?a ,解得 ?1 ? a ? 0 。

? ?

12. ? ?1, ?

? ? ?

3 41 ? ? 3 41 ? ??? ? 41 ,1? ?。 41 ? ? ? ?

【解析】 设点 P ? x, y ? , 则 x? 2 要在圆 x ? 3 2

?

?

2

? y2 ? 2 ? x ? 2 ? ?

?

?

2

? y2 ? , 即 x ?3 2 ? ?

?

?

2

? y2 ? 1 6 ,

?

?

2

? y 2 ? 16 上存在两点到直线 l 的距离等于 1,

则需圆心 3 2, 0 到直线 l 的距离 d ? ?3,5? ,即 3 ?

?

?

| 5 2k | k 2 ?1

?5,

解得 ?1 ? k ? ?

3 41 3 41 ? k ?1。 或 41 41
14. ?3 5,3 10 ?

13.答案: (

15 , 7) 3

?

?

5

【解析 1】由题意得 a3 ? a4 ? a5 ? a6 ? a7 ? a8 ? 3? a3 ? a8 ? ? 3? a1 ? a10 ? , 令 x ? a1 , y ? a10 ,则 x2 ? y 2 ? 5 且 x ? 0, y ? 0 , 从而点 ? x, y ? 在如图所示的四分之 一个圆上, 故当直线 t ? x ? y 过点 A

?

5, 0 , B 0, 5 时, tmin ? 5 ,
? 10 10 ? ? 2 , 2 ? ? 时, tmax ? 10 , ? ?

? ?

?

当直线 t ? x ? y 与四分之一个圆相切于点 P ? 从而 3 ? a1 ? a10 ? ? 3t ? ?3 5,3 10 ? 。

?

?

【解析 2】令 ?

? ?? ?a1 ? 5 cos ? ? ? 0 ? ? ? ? ,则 2? ? ?a10 ? 5 sin ? ?

?? ? a3 ? a4 ? a5 ? a6 ? a7 ? a8 ? 3 ? a3 ? a8 ? ? 3 ? a1 ? a10 ? ? 3 10 sin ?? ? ? 4? ?
因为 ? ? ?0,

? ? ? 3? ? ? ?? ,所以 ? ? ? ? , , ? 4 ?4 4 ? ? ? 2?
? ?

故 a3 ? a4 ? a5 ? a6 ? a7 ? a8 ? ?3 5,3 10 ? 。 解析 3:由于已知条件及所求结论是对称的, 所以根据对称性原理,当 a1 ? a10 ?

10 时, ? a1 ? a10 ?max ? 10 , 2

当?

? ? ?a1 ? 0 ?a ? 5 或? 1 时, ? a1 ? a10 ?min ? 5 , a ? 5 a ? 0 ? ? ? 10 ? 10

故所求的结果为 ?3 5,3 10 ? 。

?

?

15. 【解析】 (1)由 m ? ? sin A,sin B ? sin C ? , n ? a ? 3b, b ? c 得

??

?

?

?

sin A a ? 3b ? ? sin B ? sin C ?? b ? c ? ? 0 ,
即 a a ? 3b ? ? b ? c ?? b ? c ? ? 0 ,故 a 2 ? b2 ? c2 ? 3ab , 所以 2ab cos C ? 3ab , cos C ? 由 C ? (0, ?) , C ?
3 , 2

?

?

?

?

? .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 ?

6

(2)由(1)得 A ? B ?

?? ?? ,即 B ? ? A, ? ?

?? ? ? 0? ? A? , ? ? ? ? ? ? 又 ?ABC 为锐角三角形,故 ? 从而 ? A ? . ? ? ?0 ? A ? ? , ? ? ?

由 c ? 1 ,所以

1 sin ? ?

?

a b , ? sin A sin B

故 a ? 2sin A , b ? 2sin B , 所以 3a ? b ? 2 3 sin A ? 2sin B
?? ? ? 2 3 sin A ? 2sin ? ? A ? ?? ?

? ? ? 2 3 sin A ? 2sin cos A ? 2cos sin A ? ?
? 3 sin A ? cos A
?? ? ? 2sin ? A ? ? . ?? ?



? ? ? ? ? ? A ? ,所以 ? A ? ? , ? ? ? ? ?
1 ?? 3 ? ? sin ? A ? ? ? , 2 ?? 2 ?

所以

即 3a ? b ? (1, 3) .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 14 分 16. (1)证明:取 AB 的中点 M,因为 AB ? 4AF ,所以 F 为 AM 的中点, 又因为 E 为 AA1 的中点,所以 EF / / A1M ,………………2 分
E C A1 D C1

B1

在正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, D , M 分别为 A1 B1 , AB 的中点,
A B F M

所以 A1D / / BM ,且 A1D ? BM ,则四边形 A1DBM 为平行四边形,

所以 A1M / / BD ,所以 EF / / BD , ……………………………………………………………… 5分 又因为 BD ? 平面 BC1 D ,EF ? 平面 BC1 D , 所以,EF / / 平面 BC1 D ………………………… 7分
7

(2)连接 CE, B1E, B1C ,因为在正三角 A1B1C1 中, D 为 A1B1 的中点, 所以, C1D ? A1B1 ,所以,在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中, C1D ? 面 ABB1 A1 , 所以,C1D ? B1E , 因为 AA1 ? AB , 所以, 四边形 ABB1 A1 为正方形, 由 D, E
E C

C1

A1

B1 D

分别为 A1B1 , AA1 的中点,所以,可证得 BD ? B1E ,
A F

B

所以, B1E ? 面 C1 DB ,即 BC1 ? B1E ,……………………11 分 又因为在正方形 BB1C1C 中,BC1 ? B1C , 所以 BC1 ? 面 B1CE ,………………………………… 14 分 17. (1)作 GH⊥EF,垂足为 H, 因为 DN ? x ,所以 NH ? 40 ? x, NA ? 60 ? x ,因为 所以

NH NA ? , HG AM

40 ? x 60 ? x 600 ? 10x ,所以 AM ? ………………2 分 ? 10 AM 40 ? x

A

E

H

F

N

D

G M T

过 M 作 MT // BC 交 CD 于 T, 则S
MBCDW

1 ? SMBCT ? SMTDN ? (40 ? AM ) ? 60 ? ( x ? 60) ? AM , 2 600 ? 10 x 1 ( x ? 60)(600 ? 10 x) ) ? 60 ? ? 40 ? x 2 40 ? x

B

C

所以 y ? (40 ?

? 2400?
……7 分 由 于
N

5?60 ? x ? 40 ? x

2

……………………………………………………………………



F









AM ? AF ? 30













x ? ? 0,30? ,………………………………………8 分


2

2



y ? 2400?


5?60 ? x ? 400 ? ? ? 2400? 5??40 ? x ? ? ? 40? ,……………………………10 40 ? x 40 ? x ? ?

所以当且仅当 40 ? x ? 13 分

400 , 即 x ? 20 ? ?0,30? 时,y 取得最大值 2000, …………… 40 ? x

所以当 DN ? 20m 时, 得到的市民健身广场面积最大, 最大面积为 2000m 2 . ………………… 14 分
8

18.解: (1)

x2 ? y 2 ? 1;………4 分 9

(2) ①证明: 由 (1) 可设直线 l1 , l2 的方程分别为 y ? k ( x ? 3) 和 y ? kx -1 , 其中 k ≠0, 则 M (0,3k ) , N ( , 0)

1 k

? y ? k ( x ? 3) ? 由 ? x2 消去 x 得 (1+9k 2 ) x2 ? 54k 2 x+ 81k 2 ? 9 ? 0 2 ? ? y ?1 ? 9
以上方程必有一根 ?3 ,由韦达定理可得另一根为

3 ? 27 k 2 , 1+ 9k 2
………6 分

故点 C 的坐标为(

6k 3 ? 27 k 2 , ) , 2 1+ 9 k 2 1+ 9k

? y ? kx - 1 18k ? 2 2 2 由 ? x2 消去 得 ,解得一根为 , (1+ 9 k ) x ? 18 k x ? 0 x 2 2 1+ 9 k ? y ? 1 ? ?9
故点 D 的坐标为(

18k 9k 2 ? 1 , ) ,………………………………8 分 1+ 9 k 2 1+ 9k 2

由 l1 与 l2 平行得 MP ? tMN , CP ? tCD ,然后,进行坐标运算,即可得出点

????

???? ? ??? ?

??? ?

3k ? ? 3 P 的坐标为 ? , ? ,……… ……… ……… ………………10 分 ? 1 ? 3k 1 ? 3k ?
而 AM ? ? 3,3k ? , OP ? ? ∴存在实数 ? = ②由 OP ? ?

???? ?

???? ? ? ??? ? ? 3 1 ??? 3k ? AM ? OP ,∴ , ? 1 ? 3k ? 1 ? 3k 1 ? 3k ?
……… ………………12 分

???? ? ??? ? 1 ,使得 AM ? ? OP 3k ? 1

??? ?

3k ? ? 3 , ? ? 1 ? 3k 1 ? 3k ? 3 10 ; 10

法一:由消参得点 P 的轨迹方程为 x ? 3 y ? 3 ? 0 ,所以 | OP | 的最小值为

………………16 分 法二: 得 | OP | ?

1 12 1 3 1? k 2 , 令 t ? 1 ? 3k , 则 | OP | = 10( ) ? 2( ) ? 1 其中 ? 0,1 , t t t |1 ? 3k |
9

∴ | OP | 的最小值为

3 10 . 10

………………16 分

19. (1)设 a1 , a2 , a3 , a4 成公比为 q 的等比数列,显然 q ? 1 ,则由 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? 0 ,

a1 1 ? q 4 1 得 ? 0 ,解得 q ? ?1,由 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? 1得 4 a1 ? 1 ,解得 a1 ? ? , 4 1? q
所 以 数 列

?

?

1 1 1 1 1 1 1 1 ,? , ,? 或 ? , ,? , 为 所 求 四 阶 “ 归 化 数 4 4 4 4 4 4 4 4

列” ;…… ………………………4 分 (2)设等差数列 a1 , a2 , a3 ,?, a11 的公差为 d ,由 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a11 ? 0 , 所 以
1 ? 1 d 1 a1 ? 1 ? 2 1 0 ,0





a1 ? 5d ? 0





a6 ? 0 ,………………………………………6 分
当 d ? 0 时,与归化数列的条件相矛盾,

1 1 1 当 d ? 0 时,由 a1 ? a2 ? ? ? a5 ? ? , a6 ? 0 ,所以 d ? , a1 ? ? , 2 30 6
所 以 …………………………………………………8 分

1 n? n? an ? ? ? ? (n ? N ? n ≤ 6

1 3

当 d ? 0 时,由 a1 ? a2 ? ? ? a5 ? 所以 an ?

1 , a6 ? 0 ,所以 d ? ? 1 , a1 ? 1 , 2 30 6

1 n ?1 n?6 * ? ?? (n∈N ,n≤11) , 6 30 30
d ?0 * (n∈N , n≤11) , ………………………………………………… d ?0

? n?6 ? ? 30 所以 an ? ? ?? n ? 6 ? ? 30

10 分 (3)由已知可知,必有 ai>0,也必有 aj<0(i,j∈{1,2,…,n,且 i≠j). 设 ai1 , ai2 ,?, ail 为诸 ai 中所有大于 0 的数, a j1 , a j2 ,?, a jm 为诸 ai 中所有小于 0 的 数. 1 1 由已知得 X= ai1+ai2+…+ail= ,Y= aj1+aj2+…+ajm=- . 2 2

10

所以 a1 ? 分

1 1 a2 ? ? ? an ? 2 n

?i
k ?1

l

aik
k

??
k ?1

m

a jk jk

≤ ? aik ?
k ?1

l

1 m 1 1 .…………… 16 a jk ? ? ? n k ?1 2 2n

20.解: (1) f ( x), g ( x) 与坐标轴的交点分别为 (0, k ),(1,0) ,

1 1 ln x 得 f ?( x) ? ke x , g ?( x) ? , k kx 1 由题意知 f ?(0) ? g ?(1) ,即 k ? ,又 k ? 0 ,所以 k ? 1 . k
由 f ( x) ? ke , g ( x) ?
x

………………2 分

(2)假设存在直线 l 同时是函数 f ( x), g ( x) 的切线, 设 l 与 f ( x), g ( x) 分别相切于点 M (m, em ), N (n,ln n) ( n ? 0 ) , 则 l : y ? e ? e ( x ? m) 或表示为 y ? ln n ?
m m

1 ( x ? n) , n

? m 1 ?e ? 则? ,要说明 l 是否存在,只需说明上述方程组是否有解. ………………4 n m ?e (1 ? m) ? ln n ? 1 ?
分 由 e ?
m

1 ?m m 得 n?e , 代 入 e ( ? 1 m ? ) n

l nn ?得 e 1m (1 ? m) ? ?m ?1 , 即

em ( ? 1 m ? ) m ? 1, ? 0
令 h(m) ? e (1 ? m) ? m ? 1 ,
m

因为 h(1) ? 2 ? 0, h(2) ? ?e ? 3 ? 0 ,所以方程 e (1 ? m) ? m ? 1 ? 0 有解,则方程组有解,
2 m

故存在直线 l ,使得 l 同时是函数 f ( x), g ( x) 的切线.
x (3)设 A( x0 , e 0 ) , B( x0 ,ln x0 ) ,则 AB ? e 0 ? ln x0 ,
x

………………8 分

设 F ( x) ? e 0 ? ln x0 ,∴ G ( x) ? F ?( x) ? e 0 ?
x
x

1 , x0

∴ G?( x) ? e 0 ?
x

1 ?0 , 2 x0

即 G ( x) 在 (0, ??) 上 单 调 递 增 , 又

1 G ( ) ? e ? 2 ? 0, G (1) ? e ? 1 ? 0 , 2
故 G ( x) 在 (0, ??) 上有唯一零点,设为 t ? ( ,1) ,则 e ? ? 0 ,因此 e ? , t ? ? ln t ,
t t

1 2

1 t

1 t

11

当 x ? (0, t ) 时, F ?( x) ? G( x) ? G(t ) ? 0 ,∴ F ( x) 在 (0, t ) 上单调递减; 当 x ? (t , ??) 时, F ?( x) ? G( x) ? G(t ) ? 0 ,∴ F ( x) 在 (t , ??) 上单调递增, 因此 F ( x) ? F (t ) ? e ? ln t ? ? t ,
t

1 t

由于 t ? ( ,1) ,∴ F ( x ) ? ? t ? 2 ,则 AB ? e 0 ? ln x0 ? 2 .………………14 分
x

1 2
x

1 t

设 C( x1 , e 1 ), D( x2 ,ln x2 ) ,则 ex1 ? ln x2 ,令 ex1 ? ln x2 ? u ,则 x1 ? ln u, x2 ? eu ,
u ∴ CD ? x2 ? x1 ? e ? ln u ? F (u ) ? 2 ,

故S ?

1 1 AB ? CD ? ? 2 ? 2 ? 2 . 2 2

………………16 分

12


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