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【金版学案】2015-2016高中数学 1.3.4函数与导数综合问题学案 新人教A版选修2-2

时间:2016-03-23


1.3.4

函数与导数综合问题

1.能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间. 2.会用导数求函数的极大值、极小值,会求闭区间上函数的最大值、最小值.

基 础 梳 理 1. 导数的几何意义: 函数 y=f(x)在点 x0 处的导数的几何意义是曲线 y=f(x)在点 P(x0,

f(x0)

)处的切线的斜率. 也就是说, 曲线 y=f(x)在点 P(x0, f(x0))处的切线的斜率是 f′(x0),
相应地,切线方程为 y-f(x0)=f′(x0)(x-x0). 2.导数与函数的单调性:一般地,设函数 y=f(x)在某个区间可导,如果 f′(x)>0, 则 y=f(x)为增函数;如果 f′(x)<0,则 y=f(x)为减函数;如果在某区间内恒有 f′(x) =0,则 y=f(x)为常函数. 3. 导数与函数的极值点及极值: 曲线在极值点处切线的斜率为 0, 极值点处的导数为 0; 曲线在极大值点左侧切线的斜率为正,右侧为负;曲线在极小值点左侧切线的斜率为负,右 侧为正. 4.导数与函数的最值:一般地,在区间[a,b]上连续的函数 y=f(x)在[a,b]上必有 最大值与最小值.

自 测 自 评 1.曲线 y=x(3ln x+1)在点(1,1)处的切线方程为 4x-y-3=0. 2.函数 y=1+3x-x 有(D) A.极小值-1,极大值 1 B.极小值 1,极大值 3 C.极小值-2,极大值 2 D.极小值-1,极大值 3
3

1

3.设 a<b,函数 y=(x-a) (x-b)的图象可能是(C)

2

解析:y′=(x-a)(3x-a-2b),由 y′=0,得 x=a 或 x= 取极大值 0;当 x= >0,选 C.

a+2b
3

,∴当 x=a 时,y

a+2b
3

时,y 取极小值且极小值为负.当 x<b 时,y<0;当 x>b 时,y

基 础 巩 固 1.曲线 y=x +11 在点 P(1,12)处的切线与 y 轴交点的纵坐标是(C) A.-9 C.9
2 3

B.-3 D.15

解析:∵y′=3x ,∴y′|x=1=3,切线方程为 y-12=3(x-1),即 y=3x+9,令 x= 0,得 y=9.故选 C. 2.方程 2x -6x +7=0 在区间(0,2)内根的个数为(B) A.0 个 C.2 个
3 2 3 2

B.1 个 D.3 个

解析:设 f(x)=2x -6x +7,则

f′(x)=6x2-12x,当 x∈(0,2)时,f′(x)<0,
∴函数 f(x)在(0,2)内单调递减.

2

又 f(0)=7,f(2)=-1, ∴方程在(0,2)内只有 1 个根. 3.若 f′(x)=4x +2,则 f(x)可能是(C) A.f(x)=4x +2 C.f(x)=x +2x+1
4 4 3

B.f(x)=x +2 D.f(x)=4x +2x
4

4

? π π? 4 .函数 f(x) = sin x + cos x 在 x∈ ?- , ? 时,函数的最大值、最小值分别是 ? 2 2?
________.

π ? π π ? 令 f′(x)=0, ?π ? 解析: f′(x)=cos x-sin x, x∈?- , ?, 得 x= , 又 f? ?= 2, 4 ? 2 2? ?4?

f?- ?=-1,f? ?=1,即最大值为 2,最小值为-1. 2 2
答案: 2,-1 能 力 提 升 5.若 f(x)=ax +bx +cx+d(a<0)在 R 上为减函数,则(D) A.b -4ac≥0 C.b=0,c>0
2 3 2

? π? ? ?

?π ? ? ?

B.b>0,c>0 D.b -3ac≤0
2

6.f(x)是定义在(0,+∞)上的非负可导函数,且满足 xf′(x)+f(x)≤0 对任意正数

a、b,若 a<b,则必有(C)
A.af(a)≤f(b) C.af(b)≤bf(a) B.bf(b)≤f(a) D.bf(a)≤af(b)

解析:设 g(x)=xf(x),则由 g′(x)=xf′(x)+f(x)≤0,知 g(x)在(0,+∞)上递减. 又 0<a<b,f(x)≥0,∴bf(b)<af(a),∴af(b)<bf(b)<af(a)<bf(a). 当 f(x)=0 时,f(b)=f(a)=0,∴af(b)≤bf(a).故选 C. 7.若函数 f(x)=ax +4x-3 在[0,2]上有最大值 f(2),则 a 的取值范围是________. 解析:f′(x)=2ax+4,f(x)在[0,2]上有最大值 f(2),则要求 f(x)在[0,2]上单调 递增,则 2ax+4≥0 在[0,2]上恒成立.当 a≥0 时,2ax+4≥0 恒成立.当 a<0 时,要求 4a+4≥0 恒成立,即 a≥-1,所以 a 的取值范围是[-1,+∞). 答案:[-1,+∞) 8.曲线 y=e ________. 解析:∵y′=-2e
-2x - 2x 2

+1 在点(0,2)处的切线与直线 y=0 和 y=x 围成的三角形面积是



∴y′|x=0=-2,切线方程为 y=-2x+2.

3

1 2 1 ?2 2? ∴所围成的三角形的三个顶点为(0,0),(1,0),? , ?.∴S= ×1× = . 2 3 3 ?3 3? 1 答案: 3 9.函数 f(x)=x +aln(1+x)有两个极值点 x1,x2,且 x1<x2,求 a 的取值范围为. 解析:f(x)的定义域为(-1,+∞),
2

f′(x)=2x+
2

a

1+x

(1+x)′=2x+

2x +2x+a (x>-1), 1+x 1+x =

a

2

由题意知 2x +2x+a=0 在(-1,+∞)上有两个不等实根 x1,x2 且 x1<x2, 令 g(x)=2x +2x+a(x>-1), 1 ? ?g- <0 1 2 故需? ,解之得 0<a< . 2 ? ?g-1>0 10.设函数 f(x)=e -ax-2. (1)求 f(x)的单调区间; (2)若 a=1,k 为整数,且当 x>0 时,(x-k)f′(x)+x+1>0,求 k 的最大值. 解析:(1)f(x)的定义域为(-∞,+∞),f′(x)=e -a.若 a≤0,则 f′(x)>0,所 以 f(x)在(-∞,+∞)上单调递增. 若 a>0,则当 x∈(-∞,ln a)时,f′(x)<0;当 x∈(ln a,+∞)时,f′(x)>0, 所以,f(x)在(-∞,ln a)上单调递减,在(ln a,+∞)上单调递增. (2)由于 a=1,所以(x-k)f′(x)+x+1=(x-k)(e -1)+x+1.
x x x
2

x+1 故当 x>0 时,(x-k)f′(x)+x+1>0 等价于 k< x +x(x>0).① e -1 x+1 令 g(x)= x +x, e -1
-xe -1 e (e -x-2) 则 g′(x)= x . 2+1= x 2 (e -1) (e -1) 由(1)知,函数 h(x)=e -x-2 在(0,+∞)上单调递增.而 h(1)<0,h(2)>0,所以
x x x x

h(x)在(0,+∞)上存在唯一的零点,故 g′(x)在(0,+∞)上存在唯一的零点.设此零点
为 a,则 a∈(1,2). 当 x∈(0,a)时,g′(x)<0;当 x∈(a,+∞)时,g′(x)>0.所以 g(x)在(0,+∞) 上的最小值为 g(a).又由 g′(a)=0,可得 e =a+2,所以 g(a)=a+1∈(2,3).由于① 式等价于 k<g(a),故整数 k 的最大值为 2.
a

4


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