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2.1.1指数与指数幂的运算(一)课件1

时间:2012-12-04


富宁民中
黄大祥

树龄达3500多年,树高26.3米,周粗15.7 米,号称“天下第一银杏树”.

浮来山上“千年古刹定林寺”曾是南北 朝时期杰出的文学评论家刘勰的故居,距今已 有1500多年的历史,院内有一棵银杏树,树龄 达3500多年,号称“天下第一银杏树”.

银杏,叶子夏绿 秋黄,是全球中最古

老的树种.在200多 万年前,第四纪冰川 出现,大部分地区的 银杏毁于一旦,残留 的遗体成为了印在 石头里的植物化石. 在这场大灾难中,只 有中国保存了一部 分活的银杏树,绵延 至今,成了研究古代 银杏的活教材.所以, 人们把它称为“世 界第一活化石”.

§2.1.1指数与指数幂的运算

考古学家根据什么推断出银杏于200多万 年前就存在呢?

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§2.1.1指数与指数幂的运算

问题:当生物体死亡后,它机体内原有的碳14会 按确定的规律衰减,大约每经过5730年衰减为原 来的一半,这个时间称为“半衰期”.根据此规 律,人们获得了生物体内含量P与死亡年数t之间 的关系,这个关系式应该怎样表示呢 我们可以先来考虑这样的问题:
(1)当生物体死亡了5730, 5730×2, 5730×3,… 年后,它体内碳14的含量P分别为原来的多少?
1, 2
( 1 )2 , 2 ( 1 )3 ,? . 2
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§2.1.1指数与指数幂的运算

(2)当生物体死亡了6000年,10000年,100000年 后,它体内碳14的含量P分别为原来的多少?
(1) 2
6000 5730

,

(1) 2

10000 5730

,

(1) 2

100000 5730

,?.

(3)由以上的实例来推断关系式应该是什么?
P ? (1) 2
t 5730

.

考古学家根据上式可以知道, 生物死亡t年 后,体内碳14的含量P的值.
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§2.1.1指数与指数幂的运算
6000 5730 10000 5730 30000 5730

(4)那么这些数 ( 1 )
2

,( 1 ) 2

,( 1 ) 2

的意义究竟

是什么呢?它和我们初中所学的指数有什么区
别?

这里的指数是分数的形式.
指数可以取分数吗?除了分数还可以取 其它的数吗?我们对于数的认识规律是怎样 的? 自然数→整数→分数(有理数)→实数.
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§2.1.1指数与指数幂的运算

(5)指数能否取分数(有理数)、无理数呢?如 果能,那么在脱离开上面这个具体问题以后, 关系式 P ? ( 1 ) 2
t 5730

就会成为我们后面将要相继

研究的一类基本初等函数—“指数函数”的 一个具体模型. 为了能更好地研究指数函数,我们有必 要认识一下指数概念的扩充和完善过程,这 就是下面三节课将要研究的内容: 从今天开始,我们学习指数与指数幂的运 算.
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§2.1.1指数与指数幂的运算

回顾初中知识,根式是如何定义的?有 那些规定? ①如果一个数的平方等于a,则这个数叫做 a 的平方根. 22=4 2,-2叫4的平方根. 2=4 (-2) ②如果一个数的立方等于a,则这个数叫做a 的立方根. 23=8 2叫8的立方根. (-2)3=-8 -2叫-8的立方根.
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§2.1.1指数与指数幂的运算

24=16 (-2)4=16 25=32

2,-2叫16的4次方根;

2叫32的5次方根;

………………………………………… 通过类比方法,可得n次方根的定义.

2n = a
xn =a

2叫a的n次方根; x叫a的n次方根.
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§2.1.1指数与指数幂的运算

1.方根的定义 如果xn=a,那么x叫做 a 的n次方根(n th root), 其中n>1,且n∈N*. 即 如果一个数的n次方等于a (n>1,且 n∈N*),那么这个数叫做 a 的n次方根.

24=16 (-2)4=16
(-2)5=-32

16的4次方根是±2.
-32的5次方根是-2.

27=128

2是128的7次方根.
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§2.1.1指数与指数幂的运算

【1】试根据n次方根的定义分别求出下 列各数的n次方根. ±5 (1)25的平方根是_______; 3 (2)27的三次方根是_____; (3)-32的五次方根是____; -2 (4)16的四次方根是_____; ±2 6的三次方根是_____; a2 (5)a 0 (6)0的七次方根是______. 点评:求一个数a的n次方根就是求出哪个数的n 次方等于a.
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§2.1.1指数与指数幂的运算

23=8 (-2)3=-8 (-2)5=-32

8的3次方根是2. -8的3次方根是-2.

3 记作: 8 ? 2. 3 记作: ?8 ? ?2.

5 -32的5次方根是-2.记作: ?32 ? ?2. 7 128的7次方根是2. 记作: 128 ? 2.

27=128
奇次方根

1.正数的奇次方根是一个正数, 2.负数的奇次方根是一个负数.

a的n次(奇次)方根用符号 a 表示.
n

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§2.1.1指数与指数幂的运算

81的4次方根是3,-3. 记作: ? 4 81 ? ?3 64的6次方根是2,-2. 记作: ? 6 64 ? ?2. 想一想: 哪个数的平方为负数?哪个数的偶次 方为负数? 1.正数的偶次方根有两个且互为相反数 偶次方根 2.负数的偶次方根没有意义
正数a的n次方根用符号 ? n a 表示(n为偶数)
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72=49 (-7)2=49 34=81 (-3)4=81 26=64 (-2)6=64

49的2次方根是7,-7.
记作: ? 49 ? ?7

§2.1.1指数与指数幂的运算

(1) 奇次方根有以下性质: 正数的奇次方根是正数. 负数的奇次方根是负数. 零的奇次方根是零. (2)偶次方根有以下性质: 正数的偶次方根有两个且是相反数, 负数没有偶次方根, 零的偶次方根是零.
如果x ? a , 那么
n

? n a , n ? 2k ? 1, k ? N? , ? x?? ? ? ? n a , a ? 0, n ? 2k , k ? N . ?
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§2.1.1指数与指数幂的运算

根指数

n

a

被开方数

根式

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§2.1.1指数与指数幂的运算

-8 9 ( 9) ? ____, ( ?8) ? ____ .
2 3 3

由xn = a 可知,x叫做a的n次方根.

( a) ? a
n n

当n是奇数时, n a 对任意a?R都有意义.它表 示a在实数范围内唯一的一个n次方根. 当n是偶数时, n a 只有当a≥0有意义,当a<0时 无意义. n a (a ≥ 0)表示a在实数范围内的一个 n次方根,另一个是 ? n a (a ≥ 0)

(? a ) ? a
n n

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§2.1.1指数与指数幂的运算

(1)

5

2 ? 2,
5

3

( ? 2) ? ?2.
3

结论:an开奇次方根,则有 n a n ? a .

(2) 3 ? 3, ( ?3) ? ?3, ( ?3) ? 3.
2 2 2

(3) 2 ? 2, ( ?2) ? ?2, ( ? 2) ? 2.
4 4 4 4 4 4

结论:an开偶次方根,则有

n

a n ?| a | .

式子 n a n 对任意a ? R都有意义.
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§2.1.1指数与指数幂的运算

公式1.

? a?
n

n

? a.

适用范围: ①当n为大于1的奇数时, a∈R.

②当n为大于1的偶数时, a≥0.
公式2.
n

a ? a.
n

适用范围:n为大于1的奇数, a∈R.

公式3.

n

a ?| a | .
n

适用范围:n为大于1的偶数, a∈R.
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§2.1.1指数与指数幂的运算

例1.求下列各式的值
(1) ( ?8) ;
3 3

(2)

( ?10) ;
2

(3)

4

(3 ? ? )4 ;
3 3

(4)

(a ? b)2 (a ? b).

解: ?1?

?? 8? = -8; 2 ?2? ?? 10? ?| ?10 | =10; 4 4 ?3? ?3 ? ? ? ?| 3 ? ? | ? ? ? 3; 2 ?| a ? b | ? a ? b a ? b . ? ? ?4? ?a ? b ?
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§2.1.1指数与指数幂的运算

【1】下列各式中, 不正确的序号是( ①

④ ).



5

4 5

16 ? ?2
5
5

② ( ?3) ? ?3
5

( ?3) ? ?3
10

④ ( ?3) ? ?3 ⑤
4

( ?3) ? 3
4

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§2.1.1指数与指数幂的运算

【2】求下列各式的值.

⑴ ?32;
5

⑵ ( ? 3);
4

⑶ ( 2 ? 3);
2

⑷ 5? 2 6.
5

解: ⑴

5

?32 ? ( ?2) ? ?2;
5
4 2 2 2

⑵ (? 3 ? [(? 3) ] ? 9 ? 9; )
(3) ( 2 ? 3 ?| 2 ? 3 |? 3 ? 2; )
2

(4 ) 5 ? 2 6 ? ( 2 ? 3 ? 3 ? 2. )
2

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§2.1.1指数与指数幂的运算

例2.填空: (1)在 6 ( ?2)2 n , 5 a 4 , 3 ? a 4 , 4 ( ?3)2 n?1

( ?3) 这四个式子中,没有意义的是________.
4 2 n?1

(2) 若 9a ? 6a ? 1 ? 3a ? 1, 则a 的 a≥ 1 取值范围是______. 3
2

(3)已知a, b, c为三角形的三边,则
(a ? b ? c ) ? b ? a ? c ? ________ . 2b ? 2c
2

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§2.1.1指数与指数幂的运算

例3.计算

(e ? e ) ? 4 ? (e ? e ) ? 4.

?1 2

?1 2

解: (e ? e ?1 )2 ? 4 ? (e ? e ?1 )2 ? 4.

? e ? e ? 2e e ? 4 ? e ? e ? 2e e ? 4
2 2

?2

1 ?1

?2

1 ?1

? e ?e ?2? e ?e ?2
2 2

?2

?2

? (e ? e ) ? (e ? e )

?1 2

?1 2

?| e ? e | ? | e ? e | ?1 ?1 ? (e ? e ) ? (e ? e ) ? 2e.
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?1

?1

§2.1.1指数与指数幂的运算

例4.求使等式 ( x ? 2)( x ? 4) ? ( x ? 2) x ? 2
2

成立的x的范围. 2 解 : ? ( x ? 2)( x ? 4) ? ( x ? 2)2 ? x ? 2 ? ? x ? 2 x ? 2.

所以x的取值范围是 x ? ?2, 或x ≥ 2.
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x ? 2 ? ( x ? 2) x ? 2. ? x ? 2 ? 0, 则有 x ? 2 ? 0, 或 ? ?| x ? 2 |? x ? 2. ? x ? ?2, ? x ? ?2, 或 ? 即 x ? ?2, 或x ≥ 2. ? x ? 2 ≥ 0.

? x?2

§2.1.1指数与指数幂的运算

1.根式定义 2.根式的性质
(1)当n为奇数时,正数的n次方根是一个正数, 负数的n次方根是一个负数,这时,a的n次方根用 符号 n a 表示.零的任何次方根都是零. (2)当n为偶数时,正数a的n次方根有两个, 合写 n 为 ? a .负数没有偶次方根. 零的任何次方根 都是零.
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§2.1.1指数与指数幂的运算

3.三个公式 (1)

? a?
n

n

? a;

(2) a ? a;
n n

(3) a ?| a | .
n n

4.若xn=a , x怎样用a表示?
?n a, n为奇数, ? ? ? n a , n为偶数, a ? 0, x?? a ? 0, ? 0, ?不存在, n为偶数, a ? 0. ?
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§2.1.1指数与指数幂的运算

(1)课本P.39A 5 P.39B 2 (2)学案P.27-28

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富宁民中

黄大祥

§2.1.1指数与指数幂的运算

例1.求值:

5? 2 6 ? 7? 4 3 ? 6? 4 2.

解:原式 ? ( 3 ? 2)2 ? (2 ? 3)2 ? (2 ? 2)2

?| 3 ? 2 | ? | 2 ? 3 | ? | 2 ? 2 |
? ( 3 ? 2 ) ? (2 ? 3 ) ? (2 ? 2 )

? 3 ? 2 ? 2? 3 ?2? 2
? 2 2.
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§2.1.1指数与指数幂的运算

例2.如果 ?2 x ? 5 x ? 2 ? 0, 化简代 数式 4 x 2 ? 4 x ? 1 ? 2 | x ? 2 | . 解: ?2 x 2 ? 5 x ? 2 ? 0, ? 2 ? 2 x ? 5 x ? 2 ? 0, 解之,得 1 ? x ? 2. 2
2

所以

2 x ? 1 ? 0, x ? 2 ? 0.

? 4 x 2 ? 4 x ? 1 ? 2 | x ? 2 | ? (2 x ? 1)2 ? 2 | x ? 2 |

?| 2 x ? 1 | ?2 | x ? 2 | ? (2 x ? 1) ? 2[?( x ? 2)] ? 2 x ? 1 ? 2 x ? 4 ? 3.
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§2.1.1指数与指数幂的运算

⑴若x表示实数,则下列说法正确的是(C ) A. x一定是根式 C . 5 x 6 一定是根式 B . ? x一定不是根式 D. 3 ? x 只有当x ≥ 0才是根式

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