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第四章第3讲两角和与差的三角函数公式


第 3 讲 两角和与差的三角函数公式

1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α± β)=sin αcos β± cos αsin β; cos(α?β)=cos_αcos__β± sin_αsin__β; tan α± tan β tan(α± β)= . 1?tan αtan β 2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α=2sin_αcos_

_α. cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α. 2tan α tan 2α= . 1-tan2α 3.有关公式的逆用、变形 (1)tan α± tan β=tan(α± β)(1?tan αtan β). 1 + cos 2 α 1-cos 2α (2)cos2α= ,sin2α= . 2 2 (3)1+sin 2α=(sin α+cos α)2, 1-sin 2α=(sin α-cos α)2, π α± ?. sin α± cos α= 2sin? ? 4? 4 . 函 数 f(α) = asin α + bcos α(a , b 为 常 数 ) , 可 以 化 为 f(α) = a2+b2 sin(α + b? a? 2 2 φ)? cos(α-φ)? ?其中tan φ=a?或 f(α)= a +b · ?其中tan φ=b?.

三个变化 1.变角:通过对角的拆分尽可能化为同角、特殊角、已知角的和与差,其手法通常是 “配凑”. 2.变名:通过变换尽可能减少函数种类,降低次数,减少项数,其手法通常有“切化 弦”“升幂与降幂”等. 3.变式:根据式子的结构特征进行变形,使其更简化、更贴近某个公式或某个期待的 目标,其手法通常有:“常值代换”“逆用变形用公式”“通分与约分”“分解与组 合”“配方与平方”等.

π ? 3 1.(必修 4 P127 练习 T2 改编)已知 cos α=- ,α 是第三象限角,则 cos? ?4+α?为( 5 2 2 A. B.- 10 10 7 2 7 2 C. D.- 10 10 3 解析:选 A.∵cos α=- ,α 是第三象限的角, 5

)

3?2 4 1-? ?-5? =-5, π π π ? ∴cos? ?4+α?=cos4cos α-sin4sin α 2 ? 3? 2 ? 4? 2 - - · - = . = · 2 ? 5? 2 ? 5? 10 2.(必修 4 P130 例 4(2)改编)化简 cos 18° cos 42° -cos 72° · sin 42° 的值为( ) 3 1 A. B. 2 2 1 3 C.- D.- 2 2 解析:选 B.法一:原式=cos 18° cos 42° -sin 18° sin 42° 1 =cos(18° +42° )=cos 60° = . 2 法二:原式=sin 72° cos 42° -cos 72° sin 42° 1 =sin(72° -42° )=sin 30° = . 2 3 3.(必修 4 P135 练习 T5(2)改编)已知 sin(α-kπ)= (k∈Z),则 cos 2α 的值为( ) 5 7 7 A. B.- 25 25 16 16 C. D.- 25 25 3 3 解析:选 A.由 sin(α-kπ)= (k∈Z)得 sin α=± . 5 5 3 18 7 ?2 ∴cos 2α=1-2sin2α=1-2×? 5? =1-25=25.故选 A. ?± 1 1 4.(必修 4 P138A 组 T19(4)改编) - =________. 1-tan 15° 1+tan 15° 2tan 15° 2tan 15° 3 解析:原式= = =tan 30° = . 3 ?1-tan 15° ??1+tan 15° ? 1-tan215° 3 答案: 3 5.(必修 4 P137A 组 T10 改编)tan α,tan β 是方程 6x2-5x+1=0 的两个实数根.α,β 均 为锐角,则 α+β=________. 5 1 解析:由题意知 tan α+tan β= ,tan αtan β= , 6 6 5 6 tan α+tan β ∴tan(α+β )= = =1. 1 1-tan αtan β 1- 6 π π ? ∵α,β∈? ?0,2?.∴α+β∈(0,π),∴α+β=4. π 答案: 4 ∴sin α=- 1-cos2α=-

两角和与差公式的应用 (2015· 高考四川卷)sin 15° +sin 75° 的值是________.

[解析] 法一:sin 15° +sin 75° =sin 15° +cos 15° = 2 = 2(sin 15° cos 45° +cos 15° sin 45° ) 3 6 = 2sin 60° = 2× = . 2 2 法二:sin 15° +sin 75° =sin(45° -30° )+sin(45° +30° ) 2 3 6 =2sin 45° cos 30° =2× × = . 2 2 2 6 [答案] 2

2 2 sin 15° + cos 15° 2 2

用两角和与差的三角函数公式直接求三角函数值时,只需在 α± β 中知道 α,β 的三角函 数值,用公式展开后直接代入求值即可.

3 ? 4 ?π ? 1.已知 α∈? ) ?π,2π?,且 cos α=-5,则 tan?4-α?等于( 1 A.7 B. 7 1 C.- D.-7 7 3 ? 4 3 3 解析:选 B.因 α∈? ?π,2π?,且 cos α=-5,所以 sin α<0,即 sin α=-5,所以 tan α=4. 3 1- 4 1 π 1 - tan α -α?= 所以 tan? = = . 4 ? ? 1+tan α 3 7 1+ 4 π π? 1 ? ? 2.已知 α∈? ?0,2?,tan α=2,则 sin?2α+3?=________. 1 2× 2 2tan α 4 解析:tan 2α= = . 2 = 1 1-tan α ?2 3 1-? ?2? π 4 0, ?,2α∈(0,π),tan 2α= >0, ∵α∈? ? 2? 3 π 4 3 ? ∴2α∈? ?0,2?,∴sin 2α=5,cos 2α=5, π? π π 4 1 3 3 4+3 3 ∴sin? cos +cos 2α· sin = × + × = . ?2α+3?=sin 2α· 3 3 5 2 5 2 10 4+3 3 答案: 10

两角和与差公式的逆向应用 (2015· 高考全国卷Ⅰ)sin 20° cos 10° -cos 160° · sin 10° =( 3 3 A.- B. 2 2 1 1 C.- D. 2 2 [解析] sin 20° cos 10° -cos 160° sin 10° )

=sin 20° cos 10° +cos 20° sin 10° 1 =sin(20° +10° )=sin 30° = ,故选 D. 2 [答案] D

两角和与差的三角函数的公式的逆向应用,注意两点:①角的统一;②三角函数名称的 对应.

1.sin 68° sin 67° -sin 23° cos 68° 的值为( ) 2 2 A.- B. 2 2 3 C. D.1 2 解析:选 B.原式=sin 68° cos 23° -cos 68° sin 23° 2 =sin(68° -23° )=sin 45° = . 2 cos 15° +sin 15° 2. 的值为( ) cos 15° -sin 15° 3 A. B. 3 3 3 C.- D.- 3 3 1+tan 15° tan 45° +tan 15° 解析:选 B.原式= = 1-tan 15° 1-tan 45° tan 15° =tan(45° +15° )= 3. 3.sin(65° -x)cos(x-20° )+cos(65° -x)cos(110° -x)的值为( ) 2 A. 2 B. 2 1 3 C. D. 2 2 解析:选 B.原式=sin(65° -x)cos(x-20° )+cos(65° -x)· cos[90° -(x-20° )]=sin(65° - 2 x)cos(x-20° )+cos(65° -x)sin(x-20° )=sin[(65° -x)+(x-20° )]=sin 45° = . 2

利用两角和与差公式求角度 π? 1+sin β ? π? 设 α∈? ?0,2?,β∈?0,2?,且 tan α= cos β ,则( π π A.3α-β= B.2α-β= 2 2 π π C.3α+β= D.2α+β= 2 2 1+sin β sin α 1+sin β [解析] 由 tan α= 得 = , cos β cos α cos β 即 sin αcos β=cos α+cos αsin β, π ? ∴sin(α-β)=cos α=sin? ?2-α?. )

π? ? π? ∵α∈? ?0,2?,β∈?0,2?, π π? π ? π? ∴α-β∈? ?-2,2?,2-α∈?0,2?, π ? π π ∴由 sin(α-β)=sin? ?2-α?,得 α-β=2-α,∴2α-β=2. [答案] B

利用两角和与差三角函数公式求角度,需要注意: ①根据基本关系和公式求出需要求的角的三角函数值; ②确定所求角的范围,求出对应的角度. 1.已知 α,β 均为锐角,(1+tan α)(1+tan β)=2,则 α+β 为( ) π π A. B. 6 4 π 3π C. D. 3 4 解析:选 B.由(1+tan α)(1+tan β)=2 得 tan α+tan β 1-tan αtan β tan α+tan β=1-tan αtan β,∴tan(α+β)= = =1. 1-tan αtan β 1-tan αtan β π π ∵0<α,β< ,∴0<α+β<π,∴α+β= . 2 4 2.设 α,β 均为锐角,且 cos(α+β)=sin(α-β),则 α 的值为( ) π π A. B. 6 3 π 5π C. D. 4 12 解析:选 C.由 cos(α+β)=sin(α-β), 得 cos αcos β-sin αsin β=sin αcos β-cos αsin β, 即 cos α(cos β+sin β)=sin α(cos β+sin β), 因为 β 为锐角,所以 cos β+sin β≠0,所以 cos α=sin α,所以 tan α=1. π ∴α= ,故选 C. 4 5 10 3.已知 sin α= ,sin(α-β)=- ,α,β 均为锐角,则角 β 等于( 5 10 5π π A. B. 12 3 π π C. D. 4 6 π π 解析:选 C.∵α、β 均为锐角,∴- <α-β< . 2 2 10 3 10 又 sin(α-β)=- ,∴cos(α-β)= . 10 10 5 2 5 又 sin α= ,∴cos α= ,∴sin β=sin[α-(α-β)] 5 5 =sin αcos(α-β)-cos αsin(α-β) 5 3 10 2 5 ? 2 10? = × - × - = . 5 10 5 2 ? 10 ? π ∴β= .故选 C. 4

)

二倍角公式及其应用 (2015· 高考广东卷)已知 tan α=2. π? (1)求 tan? ?α+4?的值; sin 2α (2)求 2 的值. sin α+sin αcos α-cos 2α-1 π tan α+tan 4 π ? [解] (1)tan? ?α+4?= π 1-tan αtan 4 2+1 = =-3. 1-2×1 sin 2α (2) 2 sin α+sin αcos α-cos 2α-1 2sin αcos α = 2 sin α+sin αcos α-2cos2α 2×2 2tan α = 2 = =1. tan α+tan α-2 4+2-2 利用二倍角公式求三角函数值时,应注意: ①cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α 的选择应用; 1+cos 2α 1-cos 2α ②高次化简求值时,用 cos2α= ,sin2α= 降次; 2 2 ③注意用恒等式(sin α± cos α)2=1± sin 2α 等价转化. π? 2 1.已知 sin 2α= ,则 cos2? ) ?α+4?等于( 3 1 1 A. B. 6 3 1 2 C. D. 2 3 π ?α+ ? 4? π? 1+cos 2? 2? 解析:选 A.cos ?α+4?= 2 π ? 1+cos? ?2α+2? 1-sin 2α = = 2 2 2 1- 3 1 = = ,故选 A. 2 6 3 2.已知 α 为第二象限角,sin α+cos α= ,则 cos 2α=( 3 5 5 A.- B.- 3 9 5 5 C. D. 9 3 3 解析:选 A.∵sin α+cos α= , 3 1 2 2 ∴(sin α+cos α)2= ,∴2sin αcos α=- ,即 sin 2α=- . 3 3 3

)

又∵α 为第二象限角且 sin α+cos α= π 3 ∴2kπ+ <α<2kπ+ π(k∈Z), 2 4 3 ∴4kπ+π<2α<4kπ+ π(k∈Z), 2 ∴2α 为第三象限角, ∴cos 2α=- 1-sin2 2α=-

3 >0, 3

5 .故选 A. 3

π π 1 0, ?,则 sin?2θ+ ?=________. 3.若 tan θ= ,θ∈? 4 4? ? ? ? 2 π? 2sin θcos θ 2tan θ 4 ? π? 解析:因为 sin 2θ= 2 = = ,又由 θ∈? ?0,4?,得 2θ∈?0,2?,所以 sin θ+cos2θ tan2θ+1 5 π? 3 π π 4 2 3 2 7 2 cos 2θ= 1-sin22θ= ,所以 sin? ?2θ+4?=sin 2θcos4+cos 2θsin 4=5× 2 +5× 2 = 10 . 5 7 2 答案: 10

一、选择题 1.(必修 4 P69A 组 T8(3)改编)已知 tan α=3,则(sin α-cos α)2 等于( ) 3 2 A. B. 5 5 7 8 C. D. 5 5 解析:选 B.∵tan α=3, 2sin α cos α ∴(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α=1- 2 sin α+cos2α 2tan α 6 2 =1- 2 =1- = . 10 5 tan α+1 sin 3α 2.(必修 4 P146A 组 T8(3)改编)化简 -2cos 2α 等于( ) sin α A.sin α B.cos α C.1 D.0 sin 3α 解析:选 C. -2cos 2α sin α sin 2αcos α+cos 2αsin α = -2cos 2α sin α =2cos2α+cos 2α-2cos 2α =2cos2α-(2cos2α-1)=1. 1 1 3.(必修 4 P143A 组 T2(2)改编)已知 sin(α+β)= ,sin(α-β)= ,若 tan α=mtan β,则 m 2 3 的值为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 1 1 解析:选 C.由 sin(α+β)= ,sin(α-β)= , 2 3 5 1 ∴sin αcos β= ,cos αsin β= , 12 12 ∴tan α=5tan β,∴m=5,故选 C.

二、填空题 3 4.(必修 4 P137A 组 T5 改编)已知 sin(30° +α)= ,60° <α<150° ,则 cos(2α+150° )= 5 ________. 解析:设 30° +α=t,∴90° <t<180° , 3 4 ∵sin t= ,∴cos t=- ,∴cos(2α+150° )=cos[2(t-30° )+150° ] 5 5 24 =cos(2t+90° )=-sin 2t=-2sin tcos t= . 25 24 答案: 25 三、解答题 5.(必修 4 P125~126 内文改编)用向量法证明 cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β. 证明:如图,在平面直角坐标系 xOy 内作单位圆 O,以 Ox 为始边作角 α,β,它们的终 边与单位圆 O 的交点分别为 A,B.则 → → OA=(cos α,sin α),OB=(cos β,sin β). 由向量数量积的坐标表示,有 → → OA· OB=(cos α,sin α)· (cos β,sin β) =cos αcos β+sin αsin β.

→ → 设OA与OB的夹角为 θ,则 → → → → OA· OB=|OA|· |OB|cos θ=cos θ =cos αcos β+sin αsin β. 另一方面, 由图(1)可知, α=2kπ+β+θ; 由图(2)可知, α=2kπ+β-θ.于是 α-β=2kπ±θ, k∈Z. 所以 cos(α-β)=cos θ. 则 cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β.

一、选择题 1.计算 1-2sin222.5° 的结果等于( 1 A. 2 3 C. 3

) 2 2 3 D. 2 B. 2 . 2

[导学号 03350291] 解析:选 B.原式=cos 45° = π 1 π α- ?= ,则 tan?α+ ?=( 2.设 tan? ) 4 4 ? ? 4 ? ? A.-2 B.2

D.4 π? [导学号 03350292] 解析:选 C.∵tan? ?α-4? π tan α-tan 4 tan α-1 1 = = = , π 1+tan α 4 1+tan αtan 4 5 ∴tan α= , 3 π? tan α+1 ∴tan? ?α+4?=1-tan α=-4. 3.设 α、β 都是锐角,那么下列各式中成立的是( ) A.sin(α+β)>sin α+sin β B.cos(α+β)>cos αcos β C.sin(α+β)>sin(α-β) D.cos(α+β)>cos(α-β) [导学号 03350293] 解析:选 C.因为 sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β,sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β,又 α、β 都是锐角,所以 cos αsin β >0,故 sin(α+β)>sin(α-β). π 4 α+ ?= ,则 sin 2α=( 4.已知 cos? ) ? 4? 5 7 7 A.- B. 25 25 24 24 C. D.- 25 25 π π π 2α+ ?=-cos 2?α+ ?=1-2cos2?α+ ? [导学号 03350294] 解析: 选 A.sin 2α=-cos? 2? ? ? 4? ? 4? 7 =- .故选 A. 25 5.已知 sin α+sin β+sin γ=0,cos α+cos β+cos γ=0,则 cos(α-β)的值是( ) A.1 B.-1 1 1 C. D.- 2 2 [导学号 03350295] 解析:选 D.∵sin α+sin β+sin γ=0,∴sin α+sin β=-sin γ;① ∵cos α+cos β+cos γ=0,∴cos α+cos β= -cos γ,② ①2+②2 得 2+2(cos αcos β+sin αsin β)=1, 1 ∴cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=- . 2 1-cos 50° 1 3 6.设 a= cos 6° - sin 6° ,b=2sin 13° cos 13° ,c= ,则 a、b、c 的大小 2 2 2 关系为( ) A.a>b>c B.a<b<c C.b<c<a D.a<c<b 1 3 [导学号 03350296] 解析: 选 D.a= cos 6° - sin 6° =sin 24° , b=2sin 13° · cos 13° =sin 2 2 1-cos 50° 26° ,c= =sin 25° , 2 所以 a<c<b.故选 D. cos α-sin α 7.已知 α、β 均为锐角,且 tan β= ,则 tan(α+β)=( ) cos α+sin α 3 1 A. B. 3 2

C.-4

C. 3

D.1

cos α-sin α 1-tan α π [导学号 03350297] 解析:选 D.因为 tan β= ,所以 tan β= =tan - 4 cos α+sin α 1+tan α π π π α.又 α、β 均为锐角,所以 β= -α,即 α+β= ,所以 tan(α+β)=tan =1.故选 D. 4 4 4 π 1 1 ? 8.已知 cos α= ,cos(α+β)=- ,且 α、β∈? ) ?0,2?,则 cos(α-β)=( 3 3 1 1 A.- B. 2 2 1 23 C.- D. 3 27 π? 1 [导学号 03350298] 解析:选 D.因为 α∈? ?0,2?,所以 2α∈(0,π),因为 cos α=3,所 π? 7 4 2 以 cos 2α=2cos2α-1=- ,所以 sin 2α= 1-cos22α= .又 α、β∈? ?0,2?,所以 α+β∈ 9 9 2 2 (0, π), 所以 sin(α+β)= 1-cos2?α+β?= , 所以 cos(α-β)=cos[2α-(α+β)]=cos 2αcos(α 3 7? ? 1? 4 2 2 2 23 +β)+sin 2αsin(α+β)=? ?-9?×?-3?+ 9 × 3 =27.故选 D. 3π α- ? cos? ? 10? π 9.若 tan α=2tan ,则 =( ) 5 π α- ? sin? ? 5? A.1 B.2 C.3 D.4 [导学号 03350299] 解析:选 C. 3π 3π π π α- ? sin?α- + ? sin?α+ ? cos? ? 10? ? 10 2? ? 5? = = π π π? ? ? sin? sin? sin? ?α-5? ?α-5? ?α-5? π π sin α π π sin αcos +cos αsin cos +sin 5 5 cos α 5 5 = = π π sin α π π sin αcos -cos αsin cos -sin 5 5 cos α 5 5 π sin 5 π π 2· cos +sin π 5 5 π cos 3sin 5 5 = = =3,故选 C. π π sin sin 5 π 5 π 2· cos -sin π 5 5 cos 5 10.已知 α∈R,sin α+2cos α= 4 A. 3 3 C.- 4 10 ,则 tan 2α=( 2 3 B. 4 4 D.- 3 10 2 )

[导学号 03350300] 解析:选 C.由 sin α+2cos α= 10 -2cos α,① 2 2 又∵sin α+cos2α=1,② 得 sin α=

sin α 1 所以 tan α= =3 或- , cos α 3 2×3 2tan α 3 当 tan α=3 时,tan 2α= =- , 2 = 4 1-tan α 1-32 1 当 tan α=- 时, 3 1 - ? 2×? 3 ? ? 2tan α 3 tan 2α= =- , 2 = 1 4 1-tan α 2 ? 1-? ?-3? 3 所以 tan 2α=- . 4 二、填空题 11.已知 cos2α-cos2β=a,那么 sin(α+β)sin(α-β)=________. [导学号 03350301] 解析:sin(α+β)sin(α-β)=(sin αcos β+cos αsin β)· (sin αcos β-cos αsin β)=sin2αcos2β-cos2αsin2β=(1-cos2α)cos2β-cos2α(1-cos2β)=cos2β-cos2α=-a. 答案:-a sin 20° 1+cos 40° 12.化简: =________. cos 50° 2 sin 40° sin 20° 1+cos 40° sin 20° 2cos220° 2 2 [导学号 03350302] 解析: = = = . cos 50° cos 50° cos 50° 2 2 答案: 2 1 13 π 13.已知 cos α= ,cos(α-β)= ,且 0<β<α< ,则 β=________. 7 14 2 1 π [导学号 03350303] 解析:∵cos α= ,0<α< , 7 2 4 3 ∴sin α= 1-cos2α= . 7 π π ∵0<β<α< ,∴0<α-β< . 2 2 13 3 3 又∵cos(α-β)= ,∴sin(α-β)= 1-cos2?α-β?= ,∴cos β=cos[α-(α-β)]=cos 14 14 1 13 4 3 3 3 1 αcos(α-β)+sin αsin(α-β)= × + × = . 7 14 7 14 2 π π ∵0<β< ,∴β= . 2 3 π 答案: 3 1 2 2 ? 14.在平面直角坐标系 xOy 中,点 P? ?2,cos θ?在角 α 的终边上,点 Q(sin θ,-1)在角 1 → → β 的终边上,且OP· OQ=- ,则 cos 2θ=________. 2 1 1 1 1 → → [导学号 03350304] 解析:因为OP· OQ=- ,所以 sin2θ-cos2θ=- ,即 (1-cos2θ) 2 2 2 2 1 2 -cos2θ=- ,所以 cos2θ= , 2 3 1 所以 cos 2θ=2cos2θ-1= . 3 1 答案: 3 三、解答题

π ? 5 15.已知 α∈? ?2,π?,sin α= 5 . π ? (1)求 sin? ?4+α?的值; 5π ? (2)求 cos? ? 6 -2α?的值. π ? 5 2 [导学号 03350305] 解:(1)因为 α∈? ?2,π?,sin α= 5 ,所以 cos α=- 1-sin α=- 2 5 . 5 π π π ? 故 sin? ?4+α?=sin4cos α+cos4sin α 2 2 5 10 2 5? = ×?- + × =- . 2 ? 5 10 5 ? 2 5 ? 2 5? 4 5 × - =- , cos 2α=1-2sin2α=1-2×? ? 5 ? 5 5 ? ?5? 5π 4 4+3 3 3 5π 5π 3 3 1 2 -2α?=cos cos 2α+sin sin 2α=?- ?× + ×?- ?=- = ,所以 cos? . ?6 ? 5 6 6 10 ? 2 ? 5 2 ? 5? 16. 在直角坐标系 xOy 中, 角 α 的始边为 x 轴的非负半轴, 终边为射线 l: y=2 2x(x≥0). π ? (1)求 cos ? ?α+6?的值; (2)若点 P,Q 分别是角 α 始边、终边上的动点,且 PQ=6,求△POQ 面积最大时,点 P,Q 的坐标. 2 2 1 [导学号 03350306] 解:(1)由射线 l 的方程为 y=2 2x,可得 sin α= ,cos α= , 3 3 π? 1 3-2 2 3 2 2 1 故 cos ? . ?α+6?=3× 2 - 3 ×2= 6 (2)设 P(a,0),Q(b,2 2b)(a>0,b>0). 在△POQ 中,因为 PQ2=(a-b)2+8b2=36,即 36=a2+9b2-2ab≥6ab-2ab=4ab,所 以 ab≤9,所以 S△POQ= 2ab≤9 2,当且仅当 a=3b,即 a=3 3,b= 3时取得等号. 所以△POQ 面积最大时,点 P,Q 的坐标分别为 P(3 3,0),Q( 3,2 6). (2)由(1)知 sin 2α=2sin αcos α=2×


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