nbhkdz.com冰点文库

湖北省黄州区一中2012届高三10月综合测试题(数学理)

时间:2012-11-09


湖北省黄州区一中 2012 届高三 10 月综合测试题(数学理)
命题: 审题:高三数学组 考试时间:2011-10-16 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 c a b + 1.已知 a,b,c∈R ,若 < < ,则 a,b,c 的大小关系为 a+b b+c c+a A.c<a<b C.a<b<c B.b<c<a D.c<b<a

2.若 x 0 是函数 f ( x ) ? lg x ? x ? 2 的零点,则 x 0 属于区间 A.(0,1) C.(1.25,1.75) B.(1,1.25) D.(1.75,2) a b n 3.给出下列三个命题:①若 a≥b>-1,则 ≥ ;②若正整数 m 和 n 满足 m<n,则 m?n-m?≤ ;③已知关 2 1+a 1+b ax-1 1 于 x 的不等式 <0 的解集是(-∞,-1)∪?-2,+∞?,则 a=-2.其中假命题的个数为 ? ? x+1 A.0 B.1 C.2 D.3

4.在下列四个函数中,满足性质:“对于区间(1,2)上的任意 x1 , x 2 ( x1 ? x 2 ).
f ( x 2 ) ? f ( x1 ) ? x 2 ? x1 恒成立”的只有

A. f ( x ) ?

1 x

B. f ( x ) ? x ?
? 1 2

C. f ( x ) ?22

x

D. f ( x ) ? x

2

5.若曲线 y ? x A.64

1 ? ? ? a , a 2 ? 处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为 18,则 a ? 在点 ? ? ?

B.32

C.16

D.8

6.设 0 ? a ? 1 ,函数 f ( x ) ? log a ( a 2 x ? 2 a x ? 2 ) ,则使 f ( x ) ? 0 的 x 的取值范围是 A. ( ?? , 0 ) C. ( ?? , log
3)

B. ( 0 , ?? ) D. (log
?
3 ) ? sin ? ? ? 4 3 5 ,?

a

a

3 , ?? )
2? 3 ) 等于

7.已知 sin (? ? A. ?
4 5

?
2

? ? ? 0, 则 co s(? ?
3 5

B. ?

3 5

C.

D.

4 5

? lo g 2 x , x ? 0 , ? 8.若函数 f(x)= ? lo g ( ? x ), x ? 0 ,若 f(a)>f(―a),则实数 a 的取值范围是 1 ? ? 2

A.( ? 1,0)∪(0,1) B.( ? ∞, ? 1)∪(1,+∞) C. ? 1,0)∪(1,+∞) ( D. ? ∞, ? 1)∪(0,1) ( log2x-1 9.函数 f(x)= ,若 f(4x1)+f(4x2)=1,x1>1,x2>1,则 f(x1·2)的最小值为 x log2x+1

2 A. 3

1 B. 3

C.2

D. 2

10. 某运输公司有 12 名驾驶员和 19 名工人, 8 辆载重量为 10 吨的甲型卡车和 7 辆载重量为 6 吨的乙型卡车. 有 某 天需运往 A 地至少 72 吨的货物,派用的每辆车需满载且只运送一次.派用的每辆甲型卡车需配 2 名工人,运送一 次可得利润 450 元;派用的每辆乙型卡车需配 1 名工人,运送一次可得利润 350 元,该公司合理计划当天派用两类 卡车的车辆数,可得最大利润为 A.4650 元 B.4700 元 C.4900 元 D.5000 元 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分共 25 分。把答案填在答题卷中的横线上。) 11.已知数列 { a n } 是以 3 为公差的等差数列,S n 是其前 n 项和, S 1 0 是数列 { S n } 中的唯一最小项,则数列 { a n } 的 若 首项 a 1 的取值范围是 。

12.已知函数 f(x)=ex-2x+a 有零点,则 a 的取值范围是________.
2 b 13.用 m ax{ a, } 表示 a,b 两个数中的最大数,设 f ( x ) ? m ax{ x , x } ( x ?

1 4

) ,那么由函数 y ? f ( x ) 的图象、x

轴、直线 x ?

1 4

和直线 x ? 2 所围成的封闭图形的面积是
b ?


2 c 的最大值为

14.若正数 a , b, c 满足 a ? b ? 4 c ? 1 ,则 a ? 15.给出以下四个命题:



①若函数 f(x)=x3+ax2+2 的图象关于点(1,0)对称,则 a 的值为-3; ②若 f(x+2)+
1 f (x)

=0,则函数 y=f(x)是以 4 为周期的周期函数;

1 ③在数列{an}中,a1=1,Sn 是其前 n 项和,且满足 Sn+1= Sn+2,则数列{an}是等比数列; 2 ④函数 y=3x+3 x(x<0)的最小值为 2. 则正确命题的序号是 ________.


三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 16.(本小题满分 12 分)已知 f ( x ) ? 2 3 sin x ?
sin 2 x sin x .

(1)求 f ( x ) 的最大值,及当取最大值时 x 的取值集合。 (2) 在三角形 ABC 中, b, 分别是角 A, C 所对的边, a, c B, 对定义域内任意 x, f x ) ? A,) 有 ( f( 的最大值.
a 若 3? , ?? ?? ? A A B C ? 求

17 . ( 本 小 题 满 分

12

分 ) 已 知 函 数

f (x) ?

2x ? 1 x?2

( x ? 2, x ? R )

, 数 列 {a n } 满 足

a1 ? t ( t ? ? 2, t ? R ), a n ? 1 ? f ( a n ), ( n ? N ).

(1)若数列 { a n } 是常数列,求 t 的值; (2)当 a 1 ? 2 时,记 b n ?
an ? 1 an ? 1 ( n ? N *) ,证明:数列 { b n } 是等比数列,并求出数列 { a n } 的通项公式.

18.(本小题满分 13 分)设 f ( x ) ?

?2 ?a
x

2

x ?1

?b

( a , b 为实常数)。

(1)当 a ? b ? 1 时,证明: f ( x ) 不是奇函数; (2)设 f ( x ) 是奇函数,求 a 与 b 的值; (3)求(2)中函数 f ( x ) 的值域。

19.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=x|x-a|-2. (1)当 a=1 时,解不等式 f(x)<|x-2|; 1 (2)当 x∈(0,1]时,f(x)< x2-1 恒成立,求实数 a 的取值范围. 2

20.(本小题满分 12 分)某分公司经销某种品牌产品,每件产品的成本为 3 元,并且每件产品需向总公司交 a 元 (3 a 5)的管理费,预计当每件产品的售价为 x 元(9 x 11)时,一年的销售量为(12-x)2 万件。 (1)求分公司一年的利润 L(万元)与每件产品的售价 x 的函数关系式; (2)当每件产品的售价为多少元时,分公司一年的利润 L 最大,并求出 L 的最大值 Q(a)。 本小题考查函数、导数及其应用等知识,考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力.

21.(本小题满分 13 分) 已知 f ( x ) ? a x ?
b x ? 2 ? 2 a ( a ? 0 ) 的图像在点 (1, f (1)) 处的切线与直线 y ? 2 x ? 1 平行.

(1)求 a,b 满足的关系式; (2)若 f ( x ) ? 2 ln x 在 [1,+ ? ) 上恒成立,求 a 的取值范围; (3)证明: 1 ?
1 3 ? 1 5 ?? ? 1 2n ? 1 ?

1 1

nn * ln( n n ? 1) ? ( 2 2 ? 1) ? ( n (n∈N ) ?? ) 2 2 ?1 2 2nn ? 1

湖北省黄州区一中 2012 届高三 10 月综合测试题(数学理)答案
命题: 审题:高三数学组 考试时间:2011-10-16 1. A;2. D;3. A;4.A;5.A;6.B; 7. D;8.C;9. B;10.C;
10

11.(-30,-27);12. (-∞,2ln2-2];13.

35 12

;14. 2
?
6

;15.①②。

16.解:(Ⅰ) f ? x ? ? 2 3 sin x ? 2 co s x ? 4 sin ( x ?
当x ?

) ………………2 分

?
6

? 2k? ?

?
2

? k ? Z ? 时 , f ( x )取 得 最 大 值 为 4
? ? ? 的 取 值 集 合 为 ? x | x ? 2 k ? ? , k ? Z ? ……4 分 3 ? ?

? f

? x ? 的 最 大 值 为 4, x

(Ⅱ)因为 f ( x ) 对定义域内任一 x 有 f ( x ) ? f ( A )
? A= 2k? ? 由
?

?
3 c

(k ? z ) 得 , c=

∵ A为 三 角 形 内 角 a sin C sin A , 同 理 可 得 b=

∴ A=

?

6分

a sin A

?
?

3 a sin B sin A

sin C

∴ A B ? A C = cb co s A ?

a sin B sin C sin A
3 2
2

2

co s A ? 2 sin B sin (

2? 3

? B)

?

3 sin B co s B ? sin B ?
2

sin 2 B ?
3 2

1 2

(1 ? co s 2 B ) ?

1 2

? sin ( 2 B ?

?
6

)

?当B ?

?
3

时 ,A B ? A C 最大为

?

?

12分 2t ? 1 t?2

17、解 (Ⅰ)∵数列 ? a n ? 是常数列,∴ a n ? 1 ? a n ? t ,即 t ? ∴所求实数 t 的值是 1 或-1.
an ? 1 an ? 1

,解得 t ? ? 1 ,或 t ? 1 .

…………………………5 分
2an ? 1 a n ?1 ? 1 a n +1 ? 1 ?1 ?3 ?1 an ? 1 an ? 1

(Ⅱ)? a 1 ? 2, b n ?

,? b1 ? 3, b n ? 1 ?

?

an +2 2an ? 1 an + 2



即 bn ?1 ? 3bn ( n ? N ) .
*

……9 分
n ?1

∴数列 {b n } 是以 b1 ? 3 为首项,公比为 q ? 3 的等比数列,于是 b n ? 3 ? 3

? 3 ( n ? N ) .……11 分
n *

由 bn ?

an ? 1 an ? 1

( n ? N ) ,即
*

an ? 1 an ? 1

? 3 ,解得 a n ?
n

3 ?1
n

3 ?1
n



∴所求的通项公式 a n ?

3 ?1
n

3 ?1
n

( n ? N ) .………… 13 分
*

18.(1) f ( x ) ?

? 2 ?1
x

2

x ?1

?1

, f (1) ?

? 2 ?1 2 ?1
2

? ?

1 5

?

1 2 2

?1 ?

, f ( ? 1) ?

1 4



所以 f ( ? 1) ? ? f (1) , f ( x ) 不是奇函数; (2) f ( x ) 是奇函数时, f ( ? x ) ? ? f ( x ) , 即
?2 2
?x

?????4 分

?a ?b

? x ?1

? ?

?2 ?a
x

2

x ?1

?b
2x

对任意实数 x 成立,

化简整理得 ( 2 a ? b ) ? 2
?2 a ? b ? 0, ? 2 ab ? 4 ? 0

? ( 2 ab ? 4 ) ? 2
?a ? 1 ?b ? 2
? ? 1 2

x

? ( 2 a ? b ) ? 0 ,这是关于 x 的恒等式,

所以 ?

所以 ?

?a ? ?1 ?b ? ? 2
?2 2
x

或?



?????8 分

(3)当 ?

?a ? 1 ?b ? 2
1

时, f ( x ) ?

?1 ? 2

x ?1

? 2

1
x

?1

,因为 2

x

? 0 , 所以 2 x ? 1 ? 1 , 0 ?

1 2 ?1
x

? 1 ,从而

?

1 2

? f (x) ?

(?

2 ;所以函数 f ( x ) 的值域为

1 1 , ) 2 2 。

19.解析:(1)a=1 时,f(x)<|x-2|,即 x|x-1|-2<|x-2|.(*) 当 x≥2 时,由(*)?x(x-1)-2<x-2?0<x<2. 又 x≥2,∴x∈?; 当 1≤x<2 时,由(*)?x(x-1)-2<2-x?-2<x<2, 又 1≤x<2,∴1≤x<2; 当 x<1 时,由(*)?x(1-x)-2<2-x?x∈R. 又 x<1,∴x<1. 综上所述,知不等式的解集为(-∞,2). 1 1 (2)当 x∈(0,1]时,f(x)< x2-1,即 x|x-a|-2< x2-1 恒成立, 2 2 1 1 3 1 也即 x- <a< x+ 在 x∈(0,1]上恒成立. 2 x 2 x 1 1 而 g(x)= x- 在(0,1]上为增函数, 2 x 1 故 g(x)max=g(1)=- . 2 3 1 h(x)= x+ ≥2 2 x 1 3 3 1 6 = 6,当且仅当 x= ,即 x= 时,等号成立.故 a∈?-2, 6?. ? ? 2 2 x 3

20 解:(Ⅰ)分公司一年的利润 L (万元)与售价 x 的函数关系式为:
L ? ( x ? 3 ? a )(1 2 ? x ) , x ? [9,1] . 1
2

(Ⅱ) L ? ( x ) ? (1 2 ? x ) ? 2 ( x ? 3 ? a )(1 2 ? x )
2

? ( 1 2? x ) ( 1 ? a 2? x . ) 8 3

令 L? ? 0 得 x ? 6 ?

2 3

a 或 x ? 1 2 (不合题意,舍去). 2 3 a≤ 28 3

? 3 ≤ a ≤ 5 ,? 8 ≤ 6 ?



在x ? 6?

2 3

a 两侧 L ? 的值由正变负. 2 3
2

所以(1)当 8 ≤ 6 ?

a ? 9 即3 ≤ a ?

9 2

时,

L m ax ? L (9) ? (9 ? 3 ? a )(12 ? 9) ? 9(6 ? a ) .

(2)当 9 ≤ 6 ?
2

2 3

a≤

28 3



9 2

≤ a ≤ 5 时,
2 3

L m ax

2 2 ?? 1 ? ? ?? ? ? ? L (6 ? a ) ? ? 6 ? a ? 3 ? a ? ?1 2 ? ? 6 ? a ? ? ? 4 ? 3 ? a ? , 3 3 3 ?? 3 ? ? ?? ? ?

9 ? 3≤ a ? , ? 9 (6 ? a ), 2 ? 所以 Q ( a ) ? ? 3 9 ?4 ? 3 ? 1 a ? , ≤ a≤5 ? ? ? 3 ? 2 ? ?

答:若 3 ≤ a ?
9

9 2

,则当每件售价为 9 元时,分公司一年的利润 L 最大,最大值 Q ( a ) ? 9 (6 ? a ) (万元);若
3

1 ? 2 ? ? ? ≤ a ≤ 5 ,则当每件售价为 ? 6 ? a ? 元时,分公司一年的利润 L 最大,最大值 Q ( a ) ? 4 ? 3 ? a ? (万元). 2 3 ? 3 ? ? ?
b x
2

21、解:(Ⅰ) f ? ( x ) ? a ?

,根据题意 f ?(1) ? a ? b ? 2 ,即 b ? a ? 2
a?2 ? 2 ? 2a ,

……3 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知, f ( x ) ? ax ? 令 g ( x ) ? f ( x ) ? 2 ln x ? ax ?

x a?2 x

? 2 ? 2 a ? 2 ln x , x ? ?1, ? ? ?
a ( x ? 1)( x ? 2?a a x
2

则 g (1) ? 0 , g ? ( x ) ? a ? ①当 0 ? a ? 1 时, 若1 ? x ?
2?a a
2?a a

a?2 x
2

?

2 x

)

=

?1



,则 g ( x ) ? 0 , g ( x ) 在 [1, ?? ) 减函数,所以 g ( x ) ? g (1) ? 0 ,即 f ( x ) ? 2 ln x 在 [1, ?? ) 上
'

恒不成立. ② a ? 1 时,
2?a a ? 1 ,当 x ? 1 时, g ( x ) ? 0 , g ( x ) 在 [1, ?? ) 增函数,又 g (1) ? 0 ,所以 f ( x ) ? 2 ln x .
'

综上所述,所求 a 的取值范围是 [1, ?? )

……8 分
1 x ? 2 ln x

(Ⅲ)由(Ⅱ)知当 a ? 1 时, f ( x ) ? 2 ln x 在 ?1, ? ? ? 上恒成立.取 a ? 1 得 x ?

令x ?

2n ? 1

2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 2 2 2n ? 1 ? (1 ? ) ? 2 ln 即1 ? 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 1 1 2n ? 1 1 1 1 ? ln ? ( ? ) 所以 2n ? 1 2 2n ? 1 2 2n ? 1 2n ? 1

? 1 ,n ? N * 得

2n ? 1

?

2n ? 1

? 2 ln

2n ? 1 2n ? 1



上式中 n=1,2,3,…,n,然后 n 个不等式相加得
1? 1 3 ? 1 5 ?…? 1 2n ? 1 ? 1 2 ln ( 2 n ? 1) ? n 2n ? 1

……13 分


赞助商链接

湖北省黄冈市黄州区一中2012届高三5月模拟考试数学(理)...

湖北省黄冈市黄州区一中 2012 届高三 5 月模拟考试 数学(理)试题一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有...

湖北省黄冈市黄州区一中2012届高三下学期高考交流试卷...

湖北省黄冈市黄州区一中 2012 届高三下学期高考交流试卷 数学(理)试题一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只...

湖北省黄州区一中2014届高三10月月考数学理试题

湖北省黄州区一中2014届高三10月月考数学理试题 隐藏>> 黄州区一中 2014 届高三数学(理)试题 命题: 审题: 2013 年 10 月 23 日一、选择题(本大题共 10 ...

黄冈市黄州区一中2012届高三下学期高考交流试卷数学(理...

湖北省黄冈市黄州区一中 2012 届高三下学期高考交流试卷 数学(理)试题一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,...

湖北省黄州区一中2013届高三10月月考数学(理)试卷(八)

湖北省黄州区一中2013届高三10月月考数学(理)试卷(八) 隐藏>> 2013 届高三数学理科测试卷(八)命 题人:孙红梅 审题人:余翔 时间:2012 年 10 月 28 日晚 ...

湖北省黄州区一中2013届高三10月月考数学(理)试卷(七)

湖北省黄州区一中2013届高三10月月考数学(理)试卷(七) 隐藏>> 黄州区一中高三理科数学测试试题 (七)命题人:刘新程 审题人:孙红梅 一.选择题(本大题共 10 ...

湖北省黄州区一中2014届高三10月月考(理科)数学试题(含...

黄州区一中 2014 届高三数学(理)试题 命题:杨安胜 审题:曹小刚 2013 年 10 月 23 日一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给...

湖北省黄冈市黄州区一中2012届高三下学期高考交流试卷(...

湖北省黄冈市黄州区一中 2012 届高三下学期高考交流试卷数学(理)试题 湖北省黄冈...选择题: 选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给...

湖北省黄冈市黄州区一中2012届高三下学期高考交流试卷(...

湖北省黄冈市黄州区一中 湖北省黄冈市黄州区一中 2012 届高三下学期高考交流试卷 数学( 数学(理)试题小题, 在每小题给出的四个选项中, 一、选择题:本大题共...

湖北省黄州区一中2012年高考适应性考试理科数学试题

2012大纲全国卷高考数学(理... 2012大纲全国卷高考...湖北省黄州区一中2011年10... 8页 免费喜欢...黄州区一中高三数学组 选择题: 小题, 在每小题给...