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初高中数学衔接教案

时间:2014-08-10



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第 1 课 集合的含义与表示
1.集合含义 观察下列实例 (1)1~20 以内的所有质数; (2)我国从 1991~2010 年的 20 年内所发射的所有人造卫星; (3)所有的正方形; (4)到直线 l 的距离等于定长 d 的所有的点; (1)含义:一般地,我们把某些指定的对象集在一起就成为一个集合(set)(简称为集) 。这此对象 统称为元素(element) 。 说明:在初中几何中,点,线,面都是原始的,不定义的概念,同样集合也是原始的,不定 义的概念,只可描述,不可定义。 (2)表示方法:集合通常用大括号{ }或大写的拉丁字母 A,B,C?表示,而元素用小写的拉丁字 母 a,b,c?表示。 2.集合的表示方法 1. 列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号里的方法. 说明: (1)书写时,元素与元素之间用逗号分开; (2)一般不必考虑元素之间的顺序; (3)在表示数列之类的特殊集合时,通常仍按惯用的次序; (4)在列出集合中所有元素不方便或不可能时,可以列出该集合的一部分元素,以提供某 种规律,其余元素以省略号代替; 2.描述法:用集合所含元素的共同特征表示集合的方法(即把集合中元素的公共属性描述出 来, 写在大括号里的方法)。 表示形式: A={x∣p}, 其中竖线前 x 叫做此集合的代表元素; p 叫做元素 x 所具有的公共属性; A={x∣p}表示集合 A 是由所有具有性质 P 的那些元素 x 组成的, 即若 x 具有性质 p, 则 x ? A; 若 x ? A,则 x 具有性质 p。 说明: (1)有些集合的代表元素需用两个或两个以上字母表示; (2)应防止集合表示中的一些错误。 如,把{(1,2)}表示成{1,2}或{x=1,y=2},{x∣1,2},用{实数集}或{全体实数}表示 R。 3. 集合元素的三个特征 问题: (1)A={1,3},问 3、5 哪个是 A 的元素? (2)A={所有素质好的人}, B={身材较高的人} C={2,2,4},表示是否准确? (3)A={太平洋,大西洋},B={大西洋,太平洋},是否表示为同一集合? 由以上三个问题可知,集合元素具有三个特征: (1) 确定性: 设 A 是一个给定的集合,a 是某一具体的对象,则 a 或者是 A 的元素,或者不是 A 的元素,两种情况必有一种而且只有一种成立。 元素与集合的关系:(元素与集合的关系有“属于 ? ”及“不属于 ? 两种) 若 a 是集合 A 中的元素,则称 a 属于集合 A,记作 a? A; 若 a 不是集合 A 的元素,则称 a 不属于集合 A,记作 a ? A。 (2) 互异性:即同一集合中不应重复出现同一元素. 说明:一个给定集合中的元素是指属于 这个集合的互不相同的对象.因此,以后提到集合中的两个元素时,一定是指两个不同的 元素. 如:方程(x-2)(x-1)2=0 的解集表示为 ? 1,-2

? ,而不是 ?

1,1,-2

?

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(3)无序性: 即集合中的元素无顺序,可以任意排列,调换. 4.常见数集的专用符号 N:非负整数集(自然数集). Z: 整数集. Q:有理数集. N*或 N+:正整数集,N 内排除 0 的集. R:全体实数的集合。

例 1. 集合 M 中的元素只能是 1,2,3,4,5 中的某些数,而且当 a ? M 时,必有 6 ? a ? M ,试将符 合条件的集合 M 全部写出来.

拓展:集合 M 中的元素为自然数,且满足:如果 x∈M,必有 8-x∈M,试将符合条件的集合 M 全 部写出来.

2 例 2. 设集合 A ? x ? 2,2 x ? 5x,12 ,若 ? 3 ? A ,求 x 的值.

?

?

课堂练习 (1)考察下列对象是否能形成一个集合? ① 身材高大的人 ②所有的一元二次方程 ② 直角坐标平面上纵横坐标相等的点 ④细长的矩形的全体 ⑤ 比 2 大的几个数 a ⑥ 2 的近似值的全体 (2) 给出下面四个关系: 3 ? R,0.7 ? Q,0 ? {0},0 ? N,其中正确的个数是:( ) A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个 (3) 下面有四个命题: ①若-a ? Ν ,则 a ? Ν ②若 a ? Ν ,b ? Ν ,则 a+b 的最小值是 2 2 ③集合 N 中最小元素是 1 ④ x +4=4x 的解集可表示为{2,2} 其中正确命题的个数是( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 例 3.用列举法表示下列集合: 一、 (x,y)|x 十 y=3,x∈N,y∈N}; ⑵{ (x,y)|y=x 一 1,|x|≤2,x∈Z}
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练一练 (1)小于 5 的正奇数组成的集合; (2)能被 3 整除而且大于 4 小于 15 的自然数组成的集合; (3)从 51 到 100 的所有整数的集合; (4)方程 x 2 ? x 的所有实数根组成的集合; (5)由 1~20 以内的所有质数组成的集合。 例 4.用描述法表示下列集合: 二、 三、 四、 五、 六、 由适合 x -x-2>0 的所有解组成的集合; 到定点距离等于定长的点的集合; 2 抛物线 y=x 上的点; 2 抛物线 y=x 上的点的横坐标; 2 抛物线 y=x 上的点的纵坐标;
2

5.集合的分类 例 5.观察下列三个集合的元素个数 1. {4.8, 7.3, 3.1, -9}; 由此可以得到 2. {x ? R∣0<x<3}; 3. {x ? R∣x +1=0}
2

?有限集 : 含有有限个元素的集合 ? 集合的分类 ?无限集 : 含有无限个元素的集合 ?空集 : 不含有任何元素的集合?(empty ? set ) ?
6.文氏图 集合的表示除了上述两种方法以外,还有文氏图法,叙述如下: 画一条封闭的曲线,用它的内部来表示一个集合,如图所示:

表示任意一个集合 A 表示{3,9,27} 说明:边界用直线还是曲线,用实线还是虚线都无关紧要,只要封闭并把有关元素统统包含 在里边就行,但不能理解成圈内每个点都是集合的元素. 课堂练习. a. 方 程 组 ? 的 解 集 用 列 举 法 表 示 为 ________ ; 用 描 述 法 表 示 ?x ? y ? 5 . b. {(x,y) ∣x+y=6,x、y∈N}用列举法表示为 . c.用列举法表示下列集合,并说明是有限集还是无限集? (1){x∣x 为不大于 20 的质数}; (2){100 以下的,9 与 12 的公倍数}; (3){(x,y) ∣x+y=5,xy=6}; d.用描述法表示下列集合,并说明是有限集还是无限集? (1){3,5,7,9};
3

?x ? y ? 2



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(2){偶数}; (3){(1,1),(2,4),(3,9),(4,16),?}; e.判断下列关系式是否正确? (1) 2 ? Q; (2) N ? R; (3) 2 ? {(2,1)} (4) 2 ? {{2},{1}}; 2 (5) 菱形 ? {四边形与三角形}; (6) 2 ? {y∣y=x }; 课后作业 1. 由实数-a, a, a , a 2, - 5 a 5 为元素组成的集合中,最多有几个元素?分别为什么?

2. 求集合{2a,a2+a}中元素应满足的条件?

3. 若

1? t ? {t},求 t 的值. 1? t

第 2 课 集合间的基本关系
观察下面几组集合,集合 A 与集合 B 具有什么关系? (1) A={1,2,3}, B={1,2,3,4,5}. (2) A={x|x>3}, B={x|3x-6>0}. (3) A={正方形}, B={四边形}. (4) A= ? , B={0}. 通过观察就会发现,这五组集合中,集合 A 都是集合 B 的一部分,从而有: 1.子集 定义:一般地,对于两个集合 A 与 B,如果集合 A 中的任何一个元素都是集合 B 的元 素,我们就说集合 A 包含于集合 B,或集合 B 包含集合 A,记作 A ? B(或 B ? A),即若 任意 x ? A,有 x ? B,则 A ? B(或 A ? B)。 这时我们也说集合 A 是集合 B 的子集(subset) 。 如果集合 A 不包含于集合 B,或集合 B 不包含集合 A,就记作 A?B(或 B?A) ,即:若存 在 x ? A,有 x ? B,则 A?B(或 B?A) 说明:A ? B 与 B ? A 是同义的,而 A ? B 与 B ? A 是互逆的。 规定:空集 ? 是任何集合的子集,即对于任意一个集合 A 都有 ? ? A。 例 1.判断下列集合的关系. (1) N_____Z; (2) N_____Q; 2 (5) A={x| (x-1) =0}, (6) A={1,3},
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(3) R_____Z; (4) R_____Q; 2 B={y|y -3y+2=0}; B={x|x2-3x+2=0};
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(7) A={-1,1}, (8)A={x|x 是两条边相等的三角形}

B={x|x -1=0}; B={x|x 是等腰三角形}。

2

问题 1:观察(7)和(8) ,集合 A 与集合 B 的元素,有何关系? 2.集合相等 定义: 对于两个集合 A 与 B, 如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素 (即 A ? B) , 同时集合 B 的任何一个元素都是集合 A 的元素(即 B ? A) ,则称集合 A 等于集合 B,记 作 A=B。如:A={x|x=2m+1,m? Z},B={x|x=2n-1,n ? Z},此时有 A=B。 问题 2: (1)集合 A 是否是其本身的子集?(由定义可知,是) (2)除去 ? 与 A 本身外,集 合 A 的其它子集与集合 A 的关系如何?(包含于 A,但不等于 A) 3.真子集: 由“包含”与“相等”的关系,可有如下结论: (1)A ? A (任何集合都是其自身的子集); (2)若 A ? B,而且 A ? B(即 B 中至少有一个元素不在 A 中) ,则称集合 A 是集合 B 的真子集 (proper subset) ,记作 A? B。 (空集是任何非空集合的真子集) ≠ (3)对于集合 A,B,C,若 A?B,B?C,即可得出 A?C;对 A? B,B? C,同样有 A? C, ≠ ≠ ≠ 即:包含关系具有“传递性” 。 4.证明集合相等的方法:对于集合 A,B,若 A ? B 而且 B ? A,则 A=B。 (1)证明集合 A,B 中 的元素完全相同; (具体数据) (2)分别证明 A ? B 和 B ? A 即可。 (抽象情况)

例 2.写出{a,b}的所有子集,并指出其中哪些是它的真子集.

结论:一般地,一个集合元素若为 n 个,则其子集数为 2n 个,其真子集数为 2n-1 个,特 别地,空集的子集个数为 1,真子集个数为 0。 例 3。已知 A ? ? 1, a, b?, B ? a, a , ab , 且A ? B, 求实数 a、b .
2

?

?

例 4.己知集合 A={x|一 2≤x≤5},B={x|m 十 1≤x≤2m 一 1},若 B ? A,求实数 m 的取值范围.

5.课堂练习 1.设 A={0,1},B={x|x∈A},问 A 与 B 什么关系?

2.有三个元素的集合 A,B,已知 A={2,x,y},B={2x,

1 ,2y},且 A=B,求 x,y 的值。 2

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问题 3: 请看下例 A={班上所有参加足球队同学} B={班上没有参加足球队同学} S={全班同学} 那么 S、A、B 三集合关系如何.

分析:(借助于文氏图)集合 B 就是集合 S 中除去集合 A 之后余下来的集合,则有
6.全集 如果一个集合含有我们所要研究问题中所涉及的全部元素,那么就称这个集合为全集 (uniwerse set) ,记作 U。如:解决某些数学问题时,就可以把实数集看作全集 U,那么 有理数集 Q 的补集 CUQ 就是全体无理数的集合。 7.补集(余集) 一般地,设 U 是一个集合,A 是 U 的一个子集(即 A?S) ,由 U 中所有不属于 A 的 元素组成的集合, 叫做 U 中集合 A 的补集 (或余集) , 记作 CUA, 即 CUA={x|x∈U, 且 x?A} 图 1—3 阴影部分即表示 A 在 U 中补集 CUA。 例 5.己知全集 U={x|1,2,3,4,5},A={x|x2 十 px 十 4=0,x∈U},求 CUA 与 p 分析:CUA 隐含了 A ? U,.注意不要忘.记 A=¢的情形.

练习:解答下列各题: 七、 已知 A={0,2,4},CUA={-1,1},CUB={-1,0,2},求 B;

八、

设全集 U={2,3,m2+2m-3},A={|m+1|,2},CUA={5},求 m 的值;

九、

已知全集 U={1,2,3,4},A={x|x2-5x+m=0,x∈U},求 CUA、m;

8. 课后作业 1.己知集合 A={x|x2 十 4x=0,x∈R},B={x|x2 十 2(a 十 1)x 十 a2 一 1=0,x∈R},若 B ? A,求实数 a 的取值范围.

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第 3 课 交集与并集
问题 1:观察下面五个图(投影 1),它们与集合 A,集合 B 有什么关系?

图 1—5(1)给出了两个集合 A、B; 图(3)阴影部分是由 A、B 组成;

图(2)阴影部分是 A 与 B 公共部分; 图(4)集合 A 是集合 B 的真子集;

1.并集: 一般地,由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素组成的集合,称为集合 A 与集合 B 的并集 (union set),即 A 与 B 的所有部分,记作 A∪B(读作“A 并 B” ) ,即 A∪B={x|x∈A 或 x∈ B}。如上述图(3)中的阴影部分。 2.交集: 一般地,由所有属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素所组成的集合,叫做 A 与 B 的交集 (intersection set) ,即 A 与 B 的公共部分,记作 A∩B(读作“A 交 B” ) ,即 A∩B={x|x∈A 且 x∈B}。如上述图(2)中的阴影部分。 3.一些特殊结论 由图(4)有: 若 A ? B ,则 A∩B=A; 由图(5)有: 若 B ? A ,则 A ? B=A; 特别地,若 A,B 两集合中,B= ? ,,则 A∩ ? = ? , A ? ? =A。 4.例题解析 例 1.设 A={x|x>-2},B={x|x<3},求 A∩B。 [涉及不等式有关问题, 利用数形结合即运用数轴是最佳方案](图 1—6) 例 2.设 A={x|x 是锐角三角形},B={x|x 是钝角三角形} 求 A∪B。

例 3.设 A={x|-1<x<2},B={x|1<x<3},求 A∪B。 [利用数轴,将 A、B 分别表示出来,则阴影部分即为所求](图 1—9)

5.课堂练习: 1.已知 M={1},N={1,2},设 A={(x,y)|x∈M,y∈N},B={(x,y)|x∈N,y∈M}, 求 A∩B,A∪B。

2.已知集合 M ? {4,7,8},且 M 中至多有一个偶数,则这样的集合共有( A 3个 6. 拓展 例 1.设数集 M={x| m≤x≤m+ 3 }, N={x|nB 4个 C 5个 D \6 个

);

4

1 ≤x≤n}, 且 M 、N 都是集合{x|0≤x≤1}的 3

子集, 如果把 b-a 叫作集合{x| a≤x≤b}的“长度”, 那么集合 M∩N 的“长度”的最小值是
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_______________. 例 2.己知集合 A={x|x2 一 4mx 十 2m 十 6=0,x∈R},B={x|x<0,x∈R},若 A∩B≠¢,求实数 m 的取值范围. 分析:用补集思想求方程有两个非负根的 m 的取值范围.正难则反策略.

例 3.设 S 是满足下列两个条件所构成的集合: (1)1 ? S; (2)若a ? S, 则

1 ? S。 1- a

1 (1)若a ? S, 则1? ? S; 求证: a ( 2 )若2 ? S,则在S中必含有两个其他数, 并写出这两个数。

7.作业
2 2 1.已知集合 A ? a , a ? 1, ?3 , B ? a ? 3, 2a ? 1, a ? 1 ,若 A

?

?

?

?

B ? ??3? ,求实数 a 的值。

2.已知集合 A ? x 4 ? ?2x ? 8 ,集合 B ? x x ? a ? 0 。 (1)若 A ? B ,求 a 的范围; (2)若全集 U=R 且 A ? C U B ,求 a 的范围。

?

?

?

?

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第 4 课 集合与二次方程
1.与二次方程的根的值相关 例 1.已知集合 A={x|x -2x-8=0},B={x|x +ax+a -12=0}.求由满足 A ? B =A 的 a 的值组
2 2 2

成的集合

练习.集合 A={x| x -3x+2=0}, B={x| x -ax+a–1=0}, C={x| x - mx+2=0}, 若 A∪B=A, A∩C= C, 求 a, m 的值. 分析:AUB=A,则 B={1}(二次方程的系数和为 0);B={1,2}B=¢.A∩C=C,则 C ? A;C={1} 或 C={2};C=ф .

2

2

2

例 2.集合 A={x|一 x -ax 十 a 一 1=0},B={x|x 一 5x+6=0},C={x|x 十 2x 一 8=0}. a 为何值时,A∩B≠ф 和 A∩C=ф 同时成立.

2

2

2

2

2.与二次方程的根的符号相关 例 3.已知集合 A={x|x +(a+2)x+a=0, x∈R}且 A∩R+≠ф ,求实数 a 的取值范围. 分析:A∩R+≠ф 意味着方程 x +(a+2)x+a=0 有两个正根或一正一负两根.(a<0) 点评:已知方程的根的符号,求相关系数,首选“?”与韦达定理.正反两法.
2 2

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练习.a 为何值时,二次方程 2x 十 4ax 十 3a 一 1=0 (1)有两个负根? 提示:(1)?≥0,两根之和为负,两根之积为正.

2

(2)两根异号?
(

1 1 <a≤ 3 2

,或 a≥1)

3.与二次方程的根的所在范围相关 例 4.设关于 x 的方程 3x2 一 5x 十 a=0 的一根大于-2 小于 0,另一根大于 1 小于 3,求 a 的取值范围. 提示:设 f(x)=3x2 一 5x 十 a,依题意有 f(-2)>0,f(0)<0,f(1)<0,f(3)>0 同时成立.(-12<a<0) 点评:己知方程的根的存在区间,求相关系数,可在确定函数图象开口方向的前提下讨论函数在区 间端点值的符号。

练习 1.若关于 x 的方程(1 一 a2)x2 十 2ax 一 1=0 的两个根,一个小于零,一个大于 1,求 a 的取值范围. 提示:设 f(x)=(1 一 a2)x2 十 2ax 一 1,因为 f(0)= 一 1<0,故符合题意的条件是 ( 1 一 a2)>0;f(0)<0; f(1)<0 同时成立.

2.已知关于 x 的方程 x2 一(2a 一 8)x 十 a2 一 16=0 的两个实根 x1 与 x2 滿足 x1< 围.

3 <x2,求 a 的取值范 2

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作业 1.设集合 A={-1,1}, B={x|x2-2ax+b=0}, 若 B ? ? , 且 B ? A , 求 a, b 的值。

十、

设 A={x x ? 4 x ? 0}, B ? {x x ? 2(a ? 1) x ? a ? 1 ? 0} ,其中 x ? R,如果
2 2 2

A ? B=B,求实数 a 的取值范围.

2 2 3.若方程 x ? 3ax ? 2a ? 0 的一根小 1,另一根大于 1,则实数 a 的取值范围是

__.

4.已知函数 y = x + ax + b ,A={ x | x + ax + b =2 x }={2} ,试求 a 、 b 的值

2

2

第 5 课 函数的概念
(Ⅰ)引入问题 问题 1 初中我们学过哪些函数?(正比例函数、反比例函数、一次函数和二次函数) 问题 2 初中所学函数的定义是什么?(设在某变化过程中有两个变量 x 和 y, ,如果给定了一 个 x 的值,相应地确定唯一的一个 y 值,那么就称 y 是 x 的函数,其中 x 是自变量,y 是因变量) 。 (Ⅱ)函数感性认识 教材例子(1) 、例子(2) 。例子(3)给出了两个非空数集 A、B 的元素之间的一些对应关系. 例子(1)中的对应法则是“乘 2” 、例子(2)中的对应法则是“求平方” 、例子(3)中的对应法 则是 “求倒数” .它们的共同特点是: 对于集合 A 中的任意一个数,集合 B 中都有唯一的数和它对应. (III)归纳总结给函数“定性” 归纳以上三例,三个实数中变量之间的关系都可以描述为两个数集 A、B 间的一种对应关系: 对数集 A 中的每一个 x,按照某个对应关系,在数集 B 中都有唯一确定的 y 和它对应,记作 f : A? B。
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(IV)理性认识函数的定义 设 A、B 是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意一个数 x, 在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应,那么就称 f : A ? B 为从集合 A 到集合 B 的一个函 数(function) ,记作 y ? f ( x), x ? A ,其中 x 叫做自变量,x 的取值范围 A 叫做函数的定义域 (domain) , 与 x 的值相队对应的 y 的值叫做函数值, 函数值的集合 { f ( x) x ? A} 叫做函数的值域 (range)。 定义域、值域、对应法则,称为函数的三个要素,缺一不可; (1)对应法则 f(x)是一个函数符号,表示为“y 是 x 的函数”,绝对不能理解为“y 等于 f 与 x 的乘积” ,在不同的函数中,f 的具体含义不一样; y=f(x)不一定是解析式,在不少问题中,对应 法则 f 可能不便使用或不能使用解析式,这时就必须采用其它方式,如数表和图象,在研究函数 时,除用符号 f(x)表示外,还常用 g(x)、F(x)、G(x)等符号来表示; 自变量 x 在其定义域内任取一个确定的值 a 时,对应的函数值用符号 f(a)来表示。如函数 f(x)=x +3x+1,当 x=2 时的函数值是:f(2)=2 +3×2+1=11。
2 2

注意:f(a)是常量,f(x)是变量,f(a)是函数 f(x)中当自变量 x=a 时的函数值。 (2)定义域是自变量 x 的取值范围; 注意:①定义域不同,而对应法则相同的函数,应看作两个不同函数; 如:y=x (x ? R )与 y=x (x>0); y=1 与 y=x
2 2 0

②若未加以特别说明,函数的定义域就是指使这个式子有意义的所有实数 x 的集合;在 实际中,还必须考虑 x 所代表的具体量的允许值范围; 如:一个矩形的宽为 xm,长是宽的 2 倍, 2 其面积为 y=2x ,此函数的定义域为 x>0,而不是 x ? R 。 (3)值域是全体函数值所组成的集合,在大多数情况下,一旦定义域和对应法则确定,函数的值 域也随之确定。 (V)区间的概念 设 a、b 是两个实数,且 a<b,规定: (1)满足不等式 a ? x ? b 的实数的 x 集合叫做闭区间,表示为 ?a , b? ; (2)满足不等式 a ? x ? b 的实数的 x 集合叫做开区间,表示为 ?a , b ? ;

(3)满足不等式 a ? x ? b 的实数的 x 集合叫做半开半闭区间,表示为 ?a, b ? ;

(4)满足不等式 a ? x ? b 的实数的 x 集合叫做也叫半开半闭区间,表示为 ?a , b? ;

说明:① 对于 ?a , b? , ?a , b ? , ?a,b ? , ?a , b? 都称数 a 和数 b 为区间的端点,其中 a 为左端点,b
为右端点,称 b-a 为区间长度; ② 引入区间概念后,以实数为元素的集合就有三种表示方法:

7? ; 不等式表示法:3<x<7(一般不用) ;集合表示法: x 3 ? x ? 7 ;区间表示法: ?3,
③ 在数轴上,这些区间都可以用一条以 a 和 b 为端点的线段来表示,在图中,用实心点表 示包括在区间内的端点,用空心点表示不包括在区间内的端点; ④ 实数集 R 也可以用区间表示为(-∞,+∞) , “∞”读作“无穷大” , “-∞”读作“负无 穷大” , “+∞”读作“正无穷大” ,还可以把满足 x ? a, x>a, x ? b, x<b 的实数 x 的集合分别表示 为[a,+∞]、 (a,+∞) 、(-∞,b)、(-∞,b)。

?

?

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例 1.已知函数 f ( x) ?

x ?3 ?

1 , x?2 2 3

(1)求函数的定义域; (2)求 f (?3), f ( ) 的值; (3)当 a>0 时,求 f (a), f (a ? 1) 的值。

例 2.求下列函数的定义域。 (1) f ( x) ?

1 1 f ( x) ? x ? 1 ? ;(2) f ( x) ? x ? 4 ? x ? 2 ;(3) 2? x (1 ? 2 x)( x ? 1)

从上例可以看出,当确定用解析式 y=f(x)表示的函数的定义域时,常有以下几种情况: (1)如果 f(x)是整式,那么函数的定义域是实数集 R; (2)如果 f(x)是分式,那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合; (3)如果 f(x)是偶次根式,那么函数的定义域是使根号内的式子不小于零的实数的集合; (4)如果 f(x)是由几个部分的数学式子构成的,那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实 数的集合(即使每个部分有意义的实数的集合的交集) ; (5)如果 f(x)是由实际问题列出的,那么函数的定义域是使解析式本身有意义且符合实际意义的 实数的集合。 由以上分析可知:函数的定义域由数学式子本身的意义和问题的实际意义决定。 2 例 3.⑴己知函数 f(x)的定义域为[0,1],求 f(x 十 1)的定义域; ⑵己知函数 f(2x 一 1)的定义域为[0,1],求 f(1 一 3x)的定义域.

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例4.己知函数y=

ax ? 1
3

ax 十 4ax十 3

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的定义域为R,求实数a的取值范围.

课堂练习: 十一、 求 f ( x) ? 1 ? x 2 ? x 2 ? 1 的定义域

2.函数y=f(x)的定义域为[-1,2],求函数g(x)=f(x)+f(-x) 的定义域。

十二、 已知函数f(x)=

3x ? 1 的定义域是R,则实数a的取值范围是 ax ? ax ? 3
3 2

作业:1.己知 y=f(x)的定义域为[1,2]. 十三、 f(2x 十 1)的定义域; ⑵求 f(2x 十

1 1 )十 f(2x 一 )的定义域. 4 4

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第 6 课 同一函数与函数的值域
例 1.下列函数中,哪个与函数 y=x 是同一函数?
2 (1) y=( x ) ;

(2) y=

x2 ; x

(3) y= 3 x 3 ;

(4)y= x 2 .

分析:判断两个函数是否相同,要看定义域和对应法则是否完全相同。只有完全一致时,这两个
函数才算相同。 (解略) .例 2.函数

f(x)=

?

x ? 2, x2 ,

x ??1 x ??1 ,则

f ( f (?2)) ?

; f ( x) ? 3, 则 x=



例 3.求下列函数的值域. ⑴y=2x 十 1,x∈{1,2,3,4,5} ⑵y=

x 十 1;

十四、 y=

x x十 1

;

⑷y=

1? x2 ; 1 十x 2

⑸y= 一 x 一 2x 十 3; (一 5≤x≤一 2)

2

⑹y= ? x2十 4x十 5

⑺y=x 十 2 x ? 1

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⑻己知 f(x)的值域为[ ,

3 4 ],试求 y=f(x)十 1 ? 2 f ( x) 的值域. 8 9

注:求函数值域的常用方法:观察法;配方法;反比例函数法与换元法.

5.课堂练习 1.已知函数 f ( x) ? 2 x ? 3 x ?{x ? N |1 ? x ? 5} ,则函数的值域为________; 2.已 f ( x) ? x 5 ? ax3 ? bx ? 8 知且 f (?2) ? 10 ,那么 f (2) ? ________________;

3. 若f ( x ) ? ?

?x 2 ? 1( x ? 0) , 求f (1)、f (?2)、f (a 2 ? 1)( a ? R )的值。 / 2 x ? 1 ( x ? 0 ) ?

2 4、若函数 f (2 x ? 1) ? x ? 2 x ,则 f (3) =

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http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

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作业:

? 2 x ? 4.....(x ? 0) ? ...(x ? 0) ,则 f { f [ f (1)]} ? __________ 1、已知函数 f ( x ) ? ? 0.......... __ 2 ? x ? 2 x ? 1( x ? 0) ?

? x ? 2( x ? ?1) ? 2、已知 f ( x) ? ? x 2 (?1 ? x ? 2) ,若 f ( x) ? 3 ,则 x 的值是 ?2 x( x ? 2) ?

3.设函数 f ( x) ? ?

? x2 ? 2( x ? 2) ? 2 x( x ? 2)

,则 f (?4) ?

,若 f ( x0 ) ? 8 ,则 x0 =



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第 7 课 函数的图象与函数解析式
例 1.作出函数 y ? x 的图象和 y ? x ? 1 的图象,并分别求出函数的值域。 注:分段函数的定义域和值域分别是各段函数的定义域和值域的并集。 例 2.作出下列各函数的图象:

?1 ? (0 ? x ? 1) (1) f ( x) ? ? x ; ? ? x( x ? 1)

? x 2 ? 2 x( x ? 0) (2) f ( x) ? ? 2 ?? x ? 2 x( x ? 0)

例 3.求下列函数的解析式
2 1.已知 f ( x ? 1) ? x ? 3x ? 2 ,则 f ( x) ? ____________________(换元法)

2.已知一次函数 f ( x) 满足 f ( f (2 x ? 1)) ? 8 x ? 7 ,求 f(x)。 (待定系数法)

3.已知函数 f(x)满足 2xf(x)-3f(x)-x2+1=0,求 f(x)的表达式; (函数方程法)

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4.已知函数 f(x)的定义域为(0,+∞) ,且 f (x) ? 2f ( ) ? x ,求 f(x)的表达式。 (函数方程法)

1 x

练习:求下列函数的解析式: 1.己知函数 f(x)对任意的实数 x,y 都有 f(x 十 y)=f(x)十 2y(x 十 y),且 f(1)=1,求 f(x)的解析式.

十五、 求一次函数 f(x),使 f[f(x)]=9x+1;

3.已知 f(x-2)=x2-3x+1,求 f(x). 4.已知函数 f(x)=2x-1,g(x)=x2+1,则 f[g(x)]=____________,g[f(x)]=____________;

作业:1.已知 f ( x ? ) ? x 2 ?

1 x

1 ? 1,则 f ( x) ? _____________________ x2

2.已知 f ( g ( x)) ? 6 x ? 3 ,且 g ( x) ? 2 x ? 1 ,则 f ( x) ? ___________________

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第 8 课 函数的单调性
1.讲授新课 2 例 1:观察 y=x 的图象,回答下列问题 2 问题 1:函数 y=x 的图象在 y 轴右侧的部分是上升的,说明 什么? ? 随着 x 的增加,y 值在增加。 问题 2:怎样用数学语言表示呢?

? 设 x1、x2∈[0,+∞],得 y1=f(x1), y2=f(x2).当 x1<x2 时,
f(x1)< f(x2). 结论:这时,说 y1= x 在[0,+∞]上是增函数。 (同理分析 y 轴左侧部分)由此可有: 2.定义: 一般地,设函数 f(x)的定义域为 I: 如果对于属于 I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x1、x2,当 x1 ? x2 时都有 f(x1)< f(x2).那么就说 f(x)在这个区间上是增函数 如果对于属于 I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x1、 x2, 当 x1<x2 时都有 f(x1)>f(x2). 那么就是 f(x)在这个区间上是减函数。 如果函数 y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么就说函说 y=f(x)在这一区间具有 (严格的)单调性,这一区间叫做 y=f(x)的单调区间,在单调区间上增函数的图象是上升 的,减函数的图象是下降的。 注意: (1)函数的单调性也叫函数的增减性; (2)注意区间上所取两点 x1,x2 的任意性; (3)函数的单调性是对某个区间而言的,它是一个局部概念。 3.例 2.己知函数 f(x)=-x2+2x+3,⑴画出函数的图象;⑵根据图象写出函数 f(x)的单调区间;⑶ 利用定义证明函数 f(x)=-x2+2x+3 在区间(-∞,1]上是增函数;⑷当函数 f(x)在区间(一∞,m] 上是增函数时,求实数 m 的取值范围.
2

用定义证明函数单调性的基本要点: a.设 x1、x2∈给定区间,且 x1<x2; b.计算 f(x1)- f(x2)至最简;

c.判断上述差的符号; d.下结论。 2 例 3.函数 f(x)=-x +2(a-1)x+2 在(-∞,4)上是增函数,求 a 的范围

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例 4.确定函数 y=x+

1 (x>0)的单调区间,并用定义证明. x

例 5.设 f(x)是定义在 R 上的增函数,f(xy)=f(x)+f(y) ,f(3)=1, 求解不等式 f(x)+f(x-2)>1.

例 6.己知函数 y=f(x)在[0,十∞)上是减函数,试比较 f(

3 )与 f(a2 一 a 十 1)的大小. 4

练习 1.判断函数 y==x2-6x+10 在区间(2,4)的单调性______________________

2.函数 y=

1 的单调区间为_________________. x+1

3.函数 f(x)=2x2-3|x|的单调减区间是___________.

4.设函数 f ? x ? ? x ? ? 3a ?1? x ? a 在区间 1, ??
2 2

?

? 上是增函数,求实数 a 的取值范围。

第 9 课 函数的最大(小)值
通过观察二次函数 y ? x 和 y ? ? x 的最高点和最低点引出函数最值的概念(板书课题)
2

2

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1.函数最大值与最小值的定义 一般地,设函数 y ? f ( x) 的定义域为 I ,如果存在实数 M 满足: (1)对于任意的 x ? I ,都有 f ( x) ? M ; (2)存在 x0 ? I ,使得 f ( x0 ) ? M 。 那么,我们称 M 是函数 y ? f ( x) 的最大值(maximum value). 思考:你能仿照函数最大值的定义,给出函数 y ? f ( x) 的最小值(minimum value)吗? 5.二次函数在给定区间上的最值 对二次函数 y ? ax ? bx ? c(a ? 0) 来说,若给定区间是 (??, ??) ,则当 a ? 0 时,函数有最
2

小值是

4ac ? b 2 4ac ? b 2 ,当 a ? 0 时,函数有最大值是 ;若给定区间是 [ a, b] ,则必须先判断函 4a 4a

数在这个区间上的单调性,然后再求最值(见下列例题) 。 6.例题分析 例 1.求函数 y ? x ? 1在下列各区间上的最值:
2

(1) (??, ??)

(2)[1,4]

(3) [ ?6, ?2]

(4) [?2, 2]

(5) [?2, 4]

例 2 求函数 y ?

2 在区间[2,6]上的最大值和最小值. x ?1

分析:先判定函数在区间[2,6]上的单调性,然后再求最大值和最小值。

变式 1:若区间为 [ ?6, ?2] 呢?

变式 2: 求函数 y=

x 在区间[2,6]上的最大值和最小值. x ?1

例 3.求 f(x)=x -2ax-1 在区间[0,2]上的最大值和最小值.

2

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例 4.已知函数 f(x)对任意 x、 y∈R,总有 f(x)十 f(y)=f(x 十 y),且当 x>0 时,f(x)<0,f(1)=⑴求证 f(x)在 R 上是减函数; ⑵求 f(x)在[-3,3]上的最大值与最小值.

2 . 3

练习 1.已知 m ? ?2, 点 ? m ?1, y1 ? , ? m, y2 ? , ? m ?1, y3 ? 都在二次函数 y ? x ? 2 x 的图像上,则
2

A. y1 ? y2 ? y3

B. y3 ? y2 ? y1

C . y1 ? y3 ? y2

D. y2 ? y1 ? y3

( (

) )

2.函数 f ( x) 在区间 [ ?2,3] 是增函数,则 y ? f ( x ? 5) 的递增区间是 A. [3,8] B. [ ? 7 , ? 2 ] C. [0,5] D. [ ?2,3]

3.已知 f ( x) 在实数集上是减函数,若 a ? b ? 0 ,则下列正确的是 ( A. f (a) ? f (b) ? ?[ f (a) ? f (b)] B. f (a) ? f (b) ? f (?a) ? f (?b) C. f (a) ? f (b) ? ?[ f (a) ? f (b)] D. f (a) ? f (b) ? f (?a) ? f (?b) 作业 1.已知函数 y ? ax ? x ? 2a ? 3 的图像经过原点,求此函数的最大值。
2



第 10 课 函数的奇偶性
1.回忆增函数、减函数的定义,并复述证明函数单调性的步骤。 2.初中几何中轴对称,中心对称是如何定义的? 轴对称:两个图形关于某条直线对称(即一个图形沿直线折叠,能够与另一图形重合) 中心对称:两个图形关于某一点对称(即把一个图形绕某点旋转 180? ,能够与另一图形重合) 这节课我们来研究函数的另外一个性质——奇偶性(导入课题, 板书课题) 。 1.偶函数 2 (1)观察函数 y=x 的图象(如右图)①图象有怎样的对称性?②
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从函数 y=f(x)=x 本身来说,其特点是什么?
2

? 当自变量取一对相反数时,函数 y 取同一值。
例如:f(-2)=4, f(2)=4,即 f(-2)=f(-2);f(-1)=1,f(1)=1, 即 f (? ) ?
2

1 2

1 1 1 1 1 ,f ( ) ? ,即 f (? ) ? f ( )。f(-1)= f(1),?? 4 2 4 2 2
2

由于(-x) =x

∴f(-x)= f(x).
2

以上情况反映在图象上就是:如果点(x,y)是函数 y=x 的图象上的任一点,那么,与它关于 y 轴的 2 2 对称点(-x,y)也在函数 y=x 的图象上,这时,我们说函数 y=x 是偶函数。 (2)定义: 一般地, (板书)如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有 f(-x)= f(x),那么函数 f(x)就叫做偶函数(even function) 。 例如:函数 f ( x) ? x ? 1 , f ( x) ?
2

2 , f ( x) ? x 等都是偶函数。 x ? 11
2

2.奇函数 3 (1)观察函数 y=x 的图象(投影 2) ①当自变量取一对相反数时,它们对应的函数值有什么关系? ? 也是一对相反数。 ②这个事实反映在图象上,说明函数的图象有怎样的对称性呢? 3 如果点(x,y)是函数 y=x 的图象上任一点,那么与它关于原点 3 3 对称的点(-x,-y)也在函数 y=x 的图象上,这时,我们说函数 y=x 是奇函数。

(2)定义 一般地, (板书)如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有 函数 f(x)就叫做奇函数(odd function)。 例如:函数 f ( x) ? x, f ( x) ? 3.奇偶性 如果函数 f(x)是奇函数或偶函数,那么我们就说函数 f(x)具有奇偶性。 例 1.判断下列函数的奇偶性。 3 (1)f(x)=x +2x; (2) f(x)=2x +3x ;
4 2

f (? x) ? ? f ( x)

,那么

1 都是奇函数。 x

(3) f(x)=x +2x+5;

2

(4) f(x)=x ,x ? ?0,??? ;
2

(5) f(x)=

1 ; x

(6) f(x)=x+

1 ; x

分析:① 这里主要是根据奇函数或偶函数的定义进行判断;
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②函数中有奇函数, 也有偶函数, 但是还有些函数既不是奇函数也不是偶函数, 唯有 f(x)=0 (x∈R 或 x∈(-a,a).a>0)既是奇函数又是偶函数。 ③从函数奇偶性的定义可以看出,具有奇偶性的函数,首先其定义域关于原点对称; 其次 f(-x)= f(x)或 f(-x)=- f(x)必有一成立。因此,判断某一函数的奇偶性时:首先看其定义域 是否关于原点对称,若对称,再计算 f(-x),看是等于 f(x)还是等于-f(x),然后下结论;若定义 域关于原点不对称,则函数没有奇偶性。 结论:

例 2、判断下列函数的奇偶性 十六、

f ( x) ?

1? x2 ; | x ? 2 | ?2

(2) f ( x) ? (1 ? x)

1? x 1? x

例 3.设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,f(x 十 2)= 一 f(x),当 0<x≤1 时,f(x)=x,求 f(7.5)的值.

0? 上也是 ? ? ?是增函数。证明 y=f(x)在 ?? ?, 例 4、已知函数 y=f(x)在 R 上是奇函数,而且在 ?0, 增函数。

0? 上也是 ? ? ?是减函数。证明 y=f(x)在 ?? ?, 变式:已知函数 y=f(x)在 R 上是奇函数,而且在 ?0,
减函数。

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4.结论: 奇函数在两个对称区间内的单调性是相同的; 偶函数在两个对称区间内的单调性是相反的; 奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 Y 轴对称; 奇函数与偶函数的定义域关于原点对称. 例 5. 若函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且当 x ? (0,??) 时, f ( x) ? x(1 ? 3 x ) ,那么当

x ? (??,0) 时,求 f ( x) 的解折式。

例 6、函数 y=f(x)(x≠0)是奇函数,且当 x∈(0,+∞)时增函数,若 f(1)=0, 求不等式 f[x(x 一

1 )]<0 的解集. 2

练习 1、a、b、c 为何值时,函数 y ? ax ? bx ? c 是偶函数。
2

7 5 3 2、已知 f ( x) ? ax ? bx ? cx ? dx ? 5 ,其中 a, b, c, d 为常数,若 f (?7) ? ?7 ,则 f (7) ?

3、如果定义在区间 [3 ? a,5] 上的函数 f ( x) 为奇函数,则 a =_____

4 判断下列函数的奇偶性

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(1) f ( x) ? ?

? x(1 ? x) ? x(1 ? x)

( x ? 0) ( x ? 0)

(2) f(x)=x|x|+x

3

作业 十七、 的 已知函数 y ? f ( x) 在 R 是奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x) ? x 2 ? 2 x ,则 x ? 0 时, f ( x) 解 析 式 为 _______________

f ( x) ? ? x 2 ? 2 x( x ? 0)

十八、

已知函数 f ( x) 对一切实数 x, y 都有 f ( x ? y ) ? f ( x) ? f ( y ) ,则 f ( x) 的奇偶性如何?

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家庭作业(一)
一、选择题
1 、 下 列 四 组 A 、某班所有高个子的学生 C 、一切很大的书 2 、 下 列 对 A、一切很大的数 C、聪明的人 对 象 , 能 构 成 B、著名的艺术家 D、倒数等于它自身的实数 象 中 , 能 表 示 B、无限接近零的数
2

















D、方程 x ? ?2 的实数根

3 、 下 列 各 项 中 , 不 可 以 组 成 集 合 的 是 A、所有的正数 B、等于 2 的数 C、接近于 0 的数 D、不等于 0 的偶数 4 、 集 合 M = { (x,y) | xy≥0 } 是 指 A、第一象限内的点集 B、第三象限内的点集 C、第一、第三象限内的点集 D、不在第二、第四象限内的点集 2 5、如果集合 A={ x | ax + 2 x + 1=0} 中只有一个元素,则 a 的值是( ) A、0 B、0 或 1 C、1 D、不能确定 6、给出下列命题:i)N 中最小的元素是 1; ii)若 a ? N ,则 ? a ? N ;iii) 若 a ? N , b ? N , 则 a+b 的最小值是 2。正确命题的个数( ) A、0 B、1 C 、2 D、3 7、由 a 2 ,2 ? a,4 组成一个集合 A,A 中含有 3 个元素,a 的取值可以是 ( A、1 B、-2 C、6 D、2 8 、 下 列 集 A、 {2,2} B、 {实数} )








2




2





C、 {有理数 }

D、等式 x ? 5 ? 0 的解集为{ x ? 5 ? 0 }

9、设 A={a},则下列各式正确的是 A、 0 ? A B、 a ? A C、 a ? A 10 、 集 合 {

D、a=A } 的 另 一 种 表 示 法 是

x?N? | x ? 5

A、{0,1,2,3,4} 11 、 由 大 于 A、{x|-3<x<11, x ? Q }

B、{1,2,3,4} -3 且 小 于

C、{0,1,2,3,4,5} 11 的 偶 数 所 组

D、{1,2,3,4,5} 成 的 集 合 是

B、{x|-3<x<11} D、{x|-3<x<11,x=2k, k ? Z }

C、{x|-3<x<11,x=2k, k ? N }

二、填空题
12、已知集合 A={2,4, x ? x },若 6 ? A ,则 x=________________
2

13、在平面直角坐标系内第二象限的点组成的集合为_______________ 14、方程 x ? 5x ? 6 ? 0 的解集可表示为_____________________
2

15、方程 ( x ? 1) ( x ? 2)(x ? 3) ? 0 的解集中含有_________个元素。
2

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16、集合{ x ? N | ?1 ? x ? 4 }用列举法表示为_________________ 17、已知集合 A= ? x ? N 6 ? x ? N ?, 用列举法表示集合 A=________________ ? ?

?

12

?

三、解答题
18、设集合 A={(x,y)|x+y=6, x ? N , y ? N } ,使用列举法表示集合 A。

19、 关于 x 的方程 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) , 当 a,b,c 分别满足什么条件时解集为空集、 含一个元素、
2

含两个元素?

20、已知集合 A={ kx ? 8x ? 16 ? 0 }只有一个元素,试求实数 k 的值,并用列举法表示集合 A。
2

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家庭作业(二)
一、选择题
1、已知集合 M , P 满足 M ? P ? M ,则一定有 A、 M ? P B、 M ? P C、 M ? P ? M D 、M ? P

2、集合 A 含有 10 个元素,B 含有 8 个元素,A∩B 含有 3 个元素,则集合 A∪B 的元素个数为 A、10 个 B、8 个 C、18 个 D、15 个 3 、 全 集 U=R , M={x|x.≥1} , A、{x|x.≥0} N ={x|0≤x<5}, 则 ( C
U

M ) ∪ ( C

U

N ) 为

B、{x|x<1 或 x≥5} C、{x|x≤1 或 x≥5}
2

D、{x| x〈0 或 x≥5 } ( )

4、 设集合 A ? ? 1,4, x?, B ? 1, x A、1 个 B、2 个

且 A? B ? ? 则满足条件的实数 x 的个数是 1,4, x? , ? ?, D 、4 个 则 C

C、3 个

5 、 已 知 全 集 U = { 非 零 整 数 } , 集 合 A = {x||x+2|>4, x ? U}, A、{-6 , -5 , -4 , -3 , -2 , -1 , 0 , 1 , 2 } B、{-6 , -5 , -4 , -3 , -2 , -1 , 1 , 2 } C、{ -5 , -4 , -3 , -2 , 0 , -1 , 1 } D、{ -5 , -4 , -3 , -2 , -1 , 1 }

U

A=

6 、 已 知 集 合 A ? ?0,1,2,3,4,5? , B ? {1,3,6,9}, C ? {3,7,8} , 则 ( A ? B) ? C 等 于 A、{0,1,2,6} B、{3,7,8,} C、{1,3,7,8} D、{1,3,6,7,8} 7、定义 A-B={x|x ? A 且 x ? B}, 若 A={1,2,3,4,5},B={2,3,6},则 A-(A-B)等于( ) A、{2,3,6} B、 ?2,3? C 、? 1,4,5? D 、 ?6?

二、填空题
8、集合 P= ?x, y ? x ? y ? 0 9、不等式|x-1|>-3 的解集是 10、已知 U= ? 1,2,3,4,5,6,7,8?, A ? ?CU B? ? ? 1,8?, ?CU A? ? B ? ?2,6?,

?

?

,Q= ?x, y ? x ? y ? 2 ,则 A∩B=

?

?

?CU A? ? ?CU B? ? ?4,7?, 则集合 A=
11、已知集合 A={-1,1},B={x|mx=1},且 A∪B=A,则 m 的值为_________

三、解答题

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12、已知集合 A= x ? R ax2 ? 3x ? 2 ? 0, a ? R . 1)若 A 是空集,求 a 的取值范围; 2)若 A 中只有一个元素,求 a 的值,并把这个元素写出来; 3)若 A 中至多只有一个元素,求 a 的取值范围

?

?

13、已知集合 A= x 3 ? x ? 7 ,B={x|2<x<10},C={x|x<a},全集为实数集 R. (1) 求 A∪B,(CRA)∩B; (2)如果 A∩C≠φ ,求 a 的取值范围。

?

?

14、已知全集 U={x|x -3x+2≥0},A={x||x-2|>1},B= ? x (C U B) , (C U A)∩B

2

? x ?1 ? ? 0? ,求 C U A,C U B,A∩B,A∩ ? x?2 ?

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15、 集合 A={x|x -ax+a -19=0} ,B={x|x -5x+6=0} ,C={x|x2+2x-8=0} . (1)若 A∩B=A∪B,求 a 的值; (2)若 ? A∩B,A∩C= ? ,求 a 的值.

2

2

2

家庭作业(三)
一、选择题
1、下列集合 A 到集合 B 的对应 f 是映射的是 A、 A ? ??1,0,1 ?, B ? ??1,0,1?, f : A 中的数平方; B、 A ? ?0,1?, B ? ?? 1,0,1?, f : A 中的数开方; C、 A ? Z , B ? Q, f : A 中的数取倒数; D、 A ? R, B ? R? , f : A 中的数取绝对值; ( )

2、设集合 A=R,集合 B=R ,则从集合 A 到集合 B 的映射只可能是 A、 f : x ? y ? x C、 f : x ? y ? 3
?x







B、 f : x ? y ?

x

D 、 f : x ? y ? log2 (1 ? x )

3.下列各组函数中,表示同一函数的是 A、 y ? 1, y ?





x x

B、 y ?

x ? 1 ? x ? 1, y ? x 2 ? 1

C、 y ? x, y ? 3 x 3 4.已知函数 y ? A、 (??,1]
2

D、 y ?| x |, y ? ( x ) 2 ( )

1? x 的定义域为 2 x ? 3x ? 2

B、 (??,2]

C、 (?? ,? ) ? (?

1 2

1 ,1] 2

D、 (?? ,? ) ? (?

1 2

1 ,1] 2

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31

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5、函数 y=ax +a 与 y=

2

a (a≠0)在同一坐标系中的图象可能是 x





6、如下图,设 M={x|-2≤x≤2} ,N={y|0≤y≤2} ,函数 f(x)的定义域为 M,值域为 N, 则 f(x)的图象可以是 ( )

7、在映射 f : A ? B中 , A ? B ? {( x, y) | x, y ? R},且 f : ( x, y) ? ( x ? y, x ? y) ,则与 A 中的 元素 (?1,2) 对应的 B 中的元素为 A、 (?3,1) B、 (1,3) C、 (?1,?3) D、 (3,1) ( )

8、如下图可作为函数 ? f ( x) 的图像的是

(

)

y

y

y

y

O
A

x
5

O
B
3

x
C

O

x
D

O

x

9、已知函数 f ? x ? ? x ? ax ? bx ? 8, 且f ? ?2? ? 10, 那么f ? 2? 等于 A、 -18
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B、6

C、 -10

D、10
32

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二、填空题
10、如图,有一块边长为 a 的正方形铁皮,将其四个角各截去一个边长为 x 的小正 方形,然后折成一个无盖的盒子,写出体积 V 以 x 为自变量的函数式是_____,这 个函数的定义域为_______

11、已知 f(x)= x +x+1,则 f ( 2 ) =______;f[ f ( 2 ) ]=______.

2

12、已知 f (2 x ? 1) ? x 2 ? 2 x ,则 f (3) =

.

三、解答题
13、求下列函数的定义域. (1) y=

( x-1) 0 -x 2+x+2

; (2) y=

1 x+2 ; (3) y= . 2 x+1+ x-1 x -x

14、求下列函数的值域. (1)y=- x +x+2; (2)y=3-2x,x∈[-2,9] ; (3)y= x -2x-3,x∈(-1,2) ;
2 2

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33

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15、画出下列函数的图象. (1)y= x -2,x∈Z 且|x|≤2; (2)y=-2 x +3x,x∈(0,2) ;
2
2

家庭作业(四)
1、已知函数 f ? x ? ? ? ? A、2
? x ? 3, x ? 10, ? ? f ? x ? 5?? ? , x ? 10, ?f ? 其中x ? N , 则f ? 8 ? ?

B、4

C、6

D、7

? x 2 , x ? 0, ? 2、已知,则 f ? x ? ? ?? , x ? 0, 那么f f ? ? f ? ?3? ? ? 的值等于 ?0, x ? 0. ?

?

?

( )

A、0 3 、

B、 ? 下 列 各

C、 x 组

2

D、9 函 数

f ( x)与g ( x)
2


2













A、 f ( x) ? x, g ( x) ? ( x ) 2 C、 f ( x) ? 1, g ( x) ? x
0

B、 f ( x) ? x , g ( x) ? ( x ? 1) D、 f ( x) ?| x |, g ( x) ? ?

?x ?? x

( x ? 0) ( x ? 0)

? x ? 1, ( x ? 0) 4 设 f ( x) ? ? ?? , ( x ? 0) , f { f [ f (?1)]} ? ?0, ( x ? 0) ?
A、 ? ? 1
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B、0

C、 ?

D、 ? 1
34

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5、下列各图中,可表示函数 y=f(x)的图象的只可能是

6、在下列四组函数中,f(x)与 g(x)表示同一函数的是 A、f(x)=x-1,g(x)=

x 2-1 x+1

B、f(x)=|x+1|,g(x)= ?

1 x ?- 1 ? x+ 1-x x<-1 ?-

C、f(x)=x+1,x∈R,g(x)=x+1,x∈Z

D、f(x)=x,g(x)= ( x ) 2

二、填空题
7、设函数 f(x)= ?

?x 2+2( x ? 2), ?2 x( x<2),

则 f(-4)=____,又知 f( x0 )=8,则 x0 =____

8、f(x)=

1 1 1 x2 ,那么 f(1)+f(2)+f( )+f(3)+f( )+f(4)+f( )=______. 2 2 3 4 1+x

三、解答题
1、画出下列函数的图象. (1)y=x|2-x|;

?3 ? (2) y=?-3 x ?-3 ?

x<-2, -2 ? x<2, x ? 2.

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35

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家庭作业(五)
一、选择题
1、在区间(0,+∞)上不是增函数的函数是 A、y=2x+1
2





B、y=3x +1

2

C、y=

2 x

D、y=2x +x+1

2

2、函数 f(x)=4x -mx+5 在区间[-2,+∞]上是增函数,在区间(-∞,-2)上是减函数,则 f(1)等于( ) A、-7 B、1 C、17 D、25 十九、 函数 f(x)在区间(-2,3)上是增函数,则 y=f(x+5)的递增区间是 A、(3,8) B、(-7,-2) C、(-2,3) D、(0,5) 4、函数 f ( x) ?| x | 和g ( x) ? x(2 ? x) 的递增区间依次是 A、 (??,0], (??,1] B、 (??,0],[1,??) C、 [0,??), (??,1] ( )

D、 [0,??),[1,??) ( )

5、已知函数 f ?x ? ?x 2 ? 2 ? a ? 1? x ? 2 在区间?? ?,4?上是减函数,则实数a 的取值范围是 A、a≤3 B、a≥-3 C、a≤5 D、a≥3 6、定义在 R 上的函数 y=f(x)在(-∞,2)上是增函数,且 y=f(x+2)图象的对称轴是 x=0,则 A、f(-1)<f(3) B、f (0)>f(3) C、f (-1)=f (-3) D、f(2)<f(3)





二、填空题
7、函数 y=(x-1) 的减区间是___ _. 2 8、函数 f(x) = ax +4(a+1)x-3 在[2,+∞]上递减,则 a 的取值范围是__
-2



三、解答题
9、函数 f(x)=-x +1 在 R 上是否具有单调性?如果具有单调性,它在 R 上是增函数还是减函数? 试证明你的结论.
3

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家庭作业(六)
一、选择题
1、函数 f(x)=|x|+1 是 A、奇函数 B、偶函数 C、既是奇函数又是偶函数 3 2、函数 y=x -x 的奇偶性为 A、奇函数 B、偶函数 C、既是奇函数又是偶函数 3、如图 D、非奇非偶函数 D、非奇非偶函数

是一个由集合 A 到集合 B 的映射,这个映射表示的是 A、奇函数而非偶函数 B、偶函数而非奇函数 C、奇函数且偶函数 D、既不是奇函数也不是偶函数 4、下列图象中能表示具有奇偶性的函数图象的可能是

5、 函数 y=(x+2)(x-a)是偶函数, 则 a= A、2 B、-2 C、1 D、-1 6、 对于定义域为 R 的奇函数 f(x), 下列结论成立的是 A、f(x)-f(-x)>0 B、f(x)-f(-x)≤0 C、f(x)·f(-x)≤0 D、f(x)·f(-x)>0

( (

) )

二、填空题
7、如果定义在区间[1-a,4]上的函数 f(x)为偶函数,则 a=______. (x+1)(x+a) 8、设函数 f(x)= 为奇函数,则 a=________. x 9、已知函数 y=f(x)为奇函数,若 f(3)-f(2)=1,则 f(-2)-f(-3)=________

.

三、解答题
10、判断下列函数是否具有奇偶性: (1)f(x)=x+1; (2)f(x)=x +3x,x∈[-4,4];
2

a 2 2 (3)f(x)=x +1,x∈[-6,-2]∪[2,6]; (4)f(x)=x + (x≠0,x∈R) x
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