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2013-2014(上)第一次月考高三数学(理)试卷


“华安、连城、永安、漳平一中、龙海二中、泉港一中”六校联考

2013-2014 学年上学期第一次月考 高三数学(理科)试题
(考试时间:120分钟 命题人:漳平一中 蒋振滨 总分:150分) 审题人:漳平一中 共 50 分) 张玉玲

第 I 卷(选择题

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共

50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的。)
2 1、已知集合 P ? {x x ? 2}, Q ? {x x ? 2}, 则 (

) D. Q ? C R P )

A. P ? Q 2、已知: f ( x ) ? ?

B. P ? Q

C. P ? C R Q

?2 x ? 2 ?log 2 ( x ? 1)

( x ? 2) 则 f ( f (5)) 等于( ( x ? 2)

A. -1 B. 1 C. -2 D. 2 3、下列函数中,即是偶函数又在(0,+∞)上单调递增的函数是( A. y ? 2 x 3 B. y ? x ? 1 C. y ? ? x 2 ? 4 D. y ? 2
?x



4、若奇函数 f ( x) ? 3 sin x ? 2c 的定义域是 ?a, b? ,则 a ? b ? c 等于( ) A.3 B.-3 C.0 D.无法计算 5、设 a ? log5 4 , b ? (log5 3) 2 , c ? log4 5 A. a ? c ? b
a b

则(

) D. b ? a ? c

B. b ? c ? a

C. a ? b ? c )

6、 “ 2 ? 2 ”是“ log2 a ? log 2 b ”的( A.充分不必要条件 C.充要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

7、如右图是张大爷晨练时所走的离家距离(y)与行走时间(x)之间函数关系的图象,若用黑点 表示张大爷家的位 置,则张大爷散步行走的路线可能是( )

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8、已知函数 f ( x) ? A. (0, ]

3 ? ax (a ? 1) 在区间 (0, 4] 上是增函数,则实数 a 的取值范围是( a ?1



3 ?3 ? ?3 ? B. (0,1 C. ? , D. (??,0) ? ? ,1? ) 1? 4 ?4 ? ?4 ? 9、函数 y ? f ( x) 的最小正周期为 2 ,且 f (? x) ? f ( x) .当 x ? [0,1] 时 f ( x) ? ? x ? 1 ,那么 1 x 在区间 [?3,4] 上,函数 G ( x ) ? f ( x ) ? ( ) 的零点个数是( ) 2 A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
10、设函数 y ? f ( x) 在(-∞,+∞)内有定义,对于给定的正数 k,定义函数:

? f ( x) f k ( x) ? ? ? k

( f ( x) ? k ) ( f ( x) ? k )

,取函数 f ( x) ? 2 ? x ? e ? x ,若对任意的 x ∈(-∞,+ ∞),

恒有 f k ( x) ? f ( x) ,则( A. k 的最大值为 2

) C. k 的最大值为 1 D. k 的最小值为 1

B. k 的最小值为 2

第Ⅱ卷(非选择题

共 100 分)

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分,把答案填在答题卷的相应位置。 ) 11、命题:“ ?x0 ? R, x0 ? 1或x0 ? 4 ”的否定是________. 12 、若
2

? (3x
0

1

2

? kx)dx ? 3 ,则 k ? ________.

x 13、已知命题 p : ?x ? [0,l], a ? e ,命题 q :"?x ? R, x 2 ? 4 x ? a ? 0" 若命题“ p ? q ”

是真命题,则实数 a 的取值范围是
x x

.

14、关于 x 的方程 4 ? k ? 2 ? k ? 3 ? 0 只有一个实数解,则实数 k 的取值范围是_______. 15、函数 f ( x) ? x x ? bx ? c, 给出四个命题: ①当 c ? 0 时, y ? f ( x) 是奇函数; ②当 b ? 0, c ? 0 时方程 f ( x) ? 0 只有一个实数根; ③ y ? f ( x) 的图象关于点 (0, c ) 对称; ④方程 f ( x) ? 0 至多有两个实数根. 上述命题中,所有正确命题的序号是________.
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三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 ) 16、(本小题满分 13 分) 已 知 : 全 集 U ? R , 函 数 f ( x) ?

1 ? lg(3 ?x 的 ) 定义域为集合 A ,集合 x?2

B ? x x2 ? a ? 0

?

?

(1)求 CU A ; (2)若 A ? B ? A ,求实数 a 的范围.

17.(本小题满分 13 分)

? x 2 ? m x ? 1, ? 0, 已知函数 f ( x) ? ? ?? x 2 ? 2 x ? 1, ? (1)求实数 m 的值;

?2? x ?0 x?0 0? x?2
是奇函数.

(2)若函数 f ( x) 在区间 [?1, a ? 2] 上单调递增,求实数 a 的取值范围; (3)求函数 f ( x) 的值域

18、(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? ax ? ln x(a ? R) ,
2

(1)当 a ? 2 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 A(1, f (1)) 处的切线方程; (2)求函数 f ( x) 的极值.

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19、(本小题满分 13 分) 若 f ( x) 的定义域为 ?a, b? ,值域为 ?a, b?, (a ? b) ,则称函数 f ( x) 是 ?a, b? 上的“四维方 军”函数.

1 2 3 x ? x ? 是 ?1, b? 上的“四维方军”函数,求常数 b 的值; 2 2 1 (2)问是否存在常数 a, b(a ? ?2) 使函数 h ( x ) ? 是区间 ?a, b? 上的“四维方军”函 x?2
(1)设 g ( x) ? 数?若存在,求出 a , b 的值,否则,请说明理由.

20、(本小题满分 14 分) 设函数 f ( x ) ?

x ?c ex

(c ? R)

(1)求 f ( x) 的单调区间、最大值; (2)讨论关于 x 的方程 ln x ? f ( x) 的根的个数.

21、本题设有(1) 、 (2) 、 (3)三个选考题,每题 7 分,请考生任选 2 题作答,满分 14 分,如 果多做,则按所做的前两题计分。 (1)选修 4-2:矩阵与变换

? ?1 a ? 已知 a , b ? R ,若矩阵 M ? ? ? 所对应的变换把直线 l : 2 x ? y ? 3 变换为自身, ? b 3? 求 M ?1 . (2)选修 4—4:坐标系与参数方程
求圆 ? ? 3cos ? 被直线 ?

? x ? 2 ? 2t , ( t 是参数)截得的弦长. ? y ? 1 ? 4t

(3)选修 4—5:已知函数 f ( x) ? x ? a , ①若不等式 f ( x) ? 3 的解集为{x| ?1 ? x ? 5 },求实数 a 的值; ②在①的条件下,若 f ( x) ? f ( x ? 5) ? m 对一切实数 x 恒成立,求实数 m 的取值范围.
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六校联考 2013-2014 学年上学期第一次月考高三数学(理)参考答案
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,有且只有 一项是符合题目要求的) 题号 选项 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

B

B

B

C

D

B

D

A

D

D

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,满分 20 分.把答案填在题中相应位置横线上)
2 11、 ?x0 ? R , x0 ? 1 且 x0 ?4

12、4 13、 e ? a ? 4

14、 (??, ? 3) ? ?6?

15、①②③

三、解答题(本大题共 6 小题,满分 80 分.解答应写出必要的文字说明? 证明过程或演算步骤) 16、解:(1)∵ ?

?x ? 2 ? 0 ?3 ? x ? 0
??????3 分

∴-2< x <3 ∴A=(-2,3)

∴ Cu A ? ?? ?, ? 2? ? ?3, ? ?? (2)当 a ? 0 时, B ? ? 满足 A ? B ? A 当 a ? 0 时, B ? (? a,a ) ∵ A? B ? A ∴? ∴B ? A

??????5 分 ??????8 分

? ?? a ? ?2 ? ? a ?3

??????11 分

∴0 ? a ? 4 综上所述:实数 a 的范围是 a ? 4 17、解: (1)当 0 ? x ? 2 时, ? 2 ? ? x ? 0 ∵ f ( x) 是奇函数 ∴ f ( ? x) ? ? f ( x)
2 2

????13 分

??????2 分

∴ (? x) ? mx ? 1 ? ?(? x ? 2x ? 1) ∴m ? 2 ??????4 分

? x 2 ? 2 x ? 1, ?2? x?0 ? (2)由(1)得 f ( x) = ?0,x ? 0 ?? x 2 ? 2 x ? 1, 0? x?2 ?
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由图象得

?a ? 2 ? ?1 ? ?a ? 2 ? 1

??????7 分 ????????8 分

解得 1 ? a ? 3

(3)当 ? 2 ? x ? 0 时, f ( x) = ( x ? 1) 2 ? 2 ? ?? 2, ? 1? 当 x ? 0 时, f ( x) =0 当 0 ? x ? 2 时, f ( x) = ? ( x ? 1) 2 ? 2 ? ?1,2? ∴ f ( x) 的值域为 ?? 2,?1? ? ?0?? ?1,2? 18、解:函数 f ( x) 的定义域为 (0,??) (1)当 a ? 2 时 ????1 分 ??????13 分

f ( x) = 2 x 2 ? ln x
????????3 分

f ?( x) ? 4 x ?

1 x

∴ f (1) ? 2 , f ?(1) ? 3

1, f (1)) ∴曲线 y ? f ( x) 在点 A( 处的切线方程为 y ? 2 ? 3( x ? 1)
即 3x ? y ? 1 ? 0 (2) f ?( x) ? ????????6 分

2ax2 ? 1 ,x ? 0 x

????7 分

①当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 为 (0,??) 上的减函数,∴ f ( x) 无极值 ??9 分 ②当 a ? 0 时,由 f ?( x) ? 0 解得 x ?

1 2a

又当 x ? (0,

1 ) 时, f ?( x) ? 0 2a
????11 分

当 x?(

1 ,??) 时, f ?( x) ? 0 2a

∴ f ( x) 在 x ?

1 1 1 1 ) ? ? ln 2a 处取得极小值,且极小值为 f ( 2a 2a 2 2

???12 分

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综上,当 a ? 0 时, f ( x) 无极值 当 a ? 0 时, f ( x) 在 x ? 19、解: (1)由 g ( x) ? ∵ x ? ?1, b? ∴ g (b) ? b

1 1 1 处取得极小值 ? ln 2a ,无极大值 ?13 分 2 2 2a

1 ( x ? 1) 2 ? 1 2

g ( x) ? ?1, g (b)?
∴b ? 3

????????3 分 ??????????5 分

(2)假设存在 a 与 b 使 h( x) 是“四维方军”函数, ∵ h( x) 在 ?a, b? 上单调递减 ∴? ∴ ?h(b), h(a)? ? ?a, b? ??????8 分

?(a ? 2)b ? 1 ?(b ? 2)a ? 1

∴ (a ? 2)b ? (b ? 2)a ∴ a ? b ,这与已知 a ? b 矛盾

??????10 分 ??????12 分 ??????13 分

∴不存在 a , b 使得 h( x) 是“四维方军”函数 20、解: (1) f ?( x) ?

1? x ex

??????1 分

由 f ?( x) ? 0 得 x ? 1 当 x ? 1 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递增; 当 x ? 1 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递减; ∴函数 f ( x) 的单调递增区间是 (??,1) ;单调递减区间是 (1,??) ∴ f ( x) 的最大值为 f (1) ? ????3 分

1 ?c e

????4 分
?x

(2)令 g ( x) ? ln x ? f ( x) = ln x ? x ? e ①当 x ? (1,??) 时, g ( x) ? ln x ? x ? e
?x

? c, x ? (0,??) ????5 分

?c
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∴ g ?( x) ? ∵e
?x

1 1 ? e ? x ? x ? e ? x ? ? e ? x ? ( x ? 1) x x
∴ g ?( x) ? 0 ??????7 分

? 0,x ? 1 ? 0

∴ g ( x) 在 (1,??) 上单调递增 ②当 x ? (0,1) 时, ln x ? 0 , g ( x) ? ? ln x ? x ? e ? x ? c

g ?( x) ? ?
∵?

1 ? e ? x ? ( x ? 1) x

1 ? ?1,e ? x ? 0,x ? 1 ? 0 x
∴ g ( x) 在(0,1)上单调递减 ????9 分

∴ g ?( x) ? 0

综合①②可知,当 x ? (0,??) 时, g ( x) ? g (1) ? ?e ?1 ? c
?1

当 g (1) ? 0 即 c ? ?e 时, g ( x) 没有零点,故关于方程 ln x ? f ( x) 的根的个数为 0 当 g (1) ? 0 即 c ? ?e 时, g ( x) 只有一个零点,故关于方程 ln x ? f ( x) 的根的个数为 1 ????????11 分 当 g (1) ? 0 即 c ? ?e 时,当 x ? (1,??) 时 由(1)知 g ( x) ? ln x ? xe
?x

?1

?1

1 ? c ? ln x ? ( ? c) ? ln x ? 1 ? c e

要使 g ( x) ? 0 ,只需 ln x ? 1 ? c ? 0 即 x ? (e1?c ,??) 当 x ? (0,1) 时, 由(1)知 g ( x) ? ? ln x ? xe
?x

1 ? c ? ? ln x ? ( ? c) ? ? ln x ? 1 ? c e
?1?c

要使 g ( x) ? 0 ,只需 ? ln x ? 1 ? c ? 0 即 x ? (0, e 所以 c ? ?e 时, g ( x) 有两个零点 综上所述
?1

)

??????13 分

当 c ? ?e 时,关于 x 的方程 ln x ? f ( x) 根的个数为 0 当 c ? ?e 时,关于 x 的方程 ln x ? f ( x) 根的个数为 1 当 c ? ?e 时,关于 x 的方程 ln x ? f ( x) 根的个数为 2
?1 ?1

?1

????14 分
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21、 (1)对于直线 l 上任意一点 ? x, y ? ,在矩阵 M 对应的变换作用下变换成点 ? x?, y?? ,

? ?1 a ? ? x ? ? ? x + ay ? ? x? ? 则? ?? ? ? ? ??? ?, ? b 3 ? ? y ? ? bx + 3 y ? ? y??
因为 2 x? ? y? ? 3 ,所以 2(? x + ay) ? (bx + 3 y) ? 3 , ???2 分

??2 ? b ? 2, ?a ? 1 , 所以 ? 解得 ? ?2a ? 3 ? ?1 , ?b ? ?4 . ? ?1 1? 所以 M ? ? ?, ? ?4 3? ? 3 ?1? 所以 M ?1 ? ? ? ? 4 ?1?

?????4 分

???????6 分

???????7 分

(2)解:将极坐标方程转化成直角坐标方程:

? ? 3cos ? 即: x 2 ? y 2 ? 3x ,即 ( x ? ) 2 ? y 2 ? ; ??2 分
? x ? 2 ? 2t , 即: 2 x ? y ? 3 , ? ? y ? 1 ? 4t ,
3 2? ? 0 ? 3 2 22 ? (?1) 2
??????????.4 分

3 2

9 4

d?

? 0 , ??????????????6 分
??????7 分

即直线经过圆心,所以圆被直线截得的弦长为 3 (3)由 f ( x) ? 3 得|x-a| ? 3? 解得 a ? 3 ? x ? a+3.?

又已知 不等式 f ( x) ? 3 的解集为{x| ?1 ? x ? 5 }, ???2 分

所以 ?

?a ? 3 ? ?1? ? a ? 3 ? 5?

解得 a=2. ???????????????????4 分 (2)当 a=2 时,f(x)=|x-2|.设 g(x)=f(x)+f(x+5). 由|x-2|+|x+3| ? |(x-2)-(x+3)|=5(当且仅当 ?3 ? x ? 2 时等号成立)得 g(x)的最小值为 5. 从而,若 f ( x) ? f ( x ? 5) ? m? 即 g ( x) ? m 对一切实数 x 恒成立,则 m 的取值范围为 (??? 5] . ??????7 分
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