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2.2012年全国高中数学联赛模拟卷(一)(一试+二试


2012 年全国高中数学联赛模拟卷(一)第一试
(考试时间:80 分钟 满分:120 分) 姓名:_____________考试号:______________得分:____________ 一、填空题(本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分)
1.不等式
(1 ? 4x
2

1? 2x)

/>2

? 2 x ? 9 的解集为



2.过正方体外接球球心的截面截正方体所得图形可能为______________. ①三角形 ②正方形 ③梯形 ④五边形 ⑤六边形 3.直线 kx ? y ? 2 与曲线 1 ? ( y ? 1) ? | x | ? 1 有两个不同的交点,则实数 k 的取值范围是 __ _______. 3 2 4.复数 z ,使 z ? z ? 2 z ,则 z 的所有可能值为 _____ ____.
2

5.所有的满足条件 a ? b ? a
a b

a ?1

?b

b ?1

? a ? b 的正整数对 ( a , b ) 的个数为
1? a 1? a ? 1? b 1? b ? 1? c 1? c ?

. __.

6.设 a , b , c 为方程 x 3 ? k 1 x ? k 2 ? 0 的根( k 1 ? k 2 ? 1 ) ,则

7.将号码分别为 1、2、…、9 的九个小球放入一个袋中,这些小球仅号码不同,其余完全相同. 甲从袋中摸出一个球,其号码为 a ,放回后,乙从此袋中再摸出一个球,其号码为 b . 则使不 等式 a ? 2 b ? 10 ? 0 成立的事件发生的概率等于 . 8. 已知 A, B, C 为△ABC 三内角, 向量 ? ? (cos
A?B 2 , 3 sin A? B 2
| MC | | AB |

) , | ? |?

2 .如果当 C 最大
___.

时,存在动点 M, 使得 | MA |, | AB |, | MB | 成等差数列, 则

最大值是__

二、解答题(本大题共 3 小题,第 9 题 16 分,第 10、11 题 20 分,共 56 分)
9.对正整数 n ? 2 ,记 a n ?

?

n ?1

n n?k

? 2

1
k ?1

,求数列{an}中的最大值.
2

k ?1

10.给定正实数 k,圆心为( a , b )的圆至少与抛物线 y ? kx 有三个公共点,一个是原点(0, 0),另 两个点在直线 y ? kx ? b 上,求 a , b 的值(用 k 表示) . 11.已知函数 f ( x ) ? a (| sin x | ? | cos x |) ? 3 sin 2 x ? 7 , 其中 a 为实数,求所有的数对(a, n) (n∈N*),使得函数 y ? f ( x ) 在区间 ( 0 , n ? ) 内恰好有 2011 个零点.

2012 年全国高中数学联赛模拟卷(一)加试
(考试时间:150 分钟 满分:180 分) 姓名:_____________考试号:______________得分:____________ 一、 (本题满分 40 分)在 R t ? A B C 中, C D 是斜边 A B 上的高,记 I 1 , I 2 , I 分别是△ADC,
△BCD,△ABC 的内心, I 在 A B 边上的射影为 O1 , ? C A B , ? A B C 的角平分线分别交
B C , A C 于 P , Q ,且 P Q 的连线与 C D 相交于 O 2 ,求证:四边形 I 1O1 I 2 O 2 为正方形.

2012 模拟卷(1)

第 1 页 共 2页

C P Q I1 D O1
3

I I2

A

B

二、 (本题满分 40 分)给定正数 a, b, c, d, 证明:
a ?b ?c
3 3 3

a?b?c

?

b ?c ?d
3 3

3

b?c?d

?

c ?d
3

3

?a

3

c?d ?a

?

d

3

?a ?b
3

d ?a?b

? a ?b ?c ?d .
2 2 2 2

三、 (本题满分 50 分)设 k ? N ? ,定义 A1 ? 1 , A n ? 1 ?

nA n ? 2 ( n ? 1) n?2

2k

, n ? 1, 2 , ?

证明:当 n ? 1 时, A n 为整数,且 A n 为奇数的充要条件是 n ? 1或 2 (mod 4 ) 。

四、 (本题满分 50 分)试求最小的正整数 n , 使得对于任何 n 个连续正整数中,必有一数,其各
位数字之和是 7 的倍数.

2012 模拟卷(1)

第 2 页 共 2页


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