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2010年高考数学题分类汇编选修4-4:坐标系与参数方程

时间:2011-05-26


2010 年高考数学分章汇编
(选修 4-4:坐标系与参数方程) :坐标系与参数方程)
一、选择题: 选择题 1. 2010 年高考安徽卷理科 7)设曲线 C 的参数方程为 ? (

? x = 2 + 3cos θ ( θ 为参数) ,直 ? y = ?1 + 3sin θ
7 10 的点的个数为 10
D、4

线 l 的方程为 x ? 3 y + 2 = 0 ,则曲线 C 上到直线 l 距离为 A、1 7.B B、2 C、3

【解析】化曲线 C 的参数方程为普通方程: ( x ? 2) 2 + ( y + 1) 2 = 9 ,圆心 (2, ?1) 到直线

x ? 3 y + 2 = 0 的距离 d =

| 2 ? 3 × (?1) + 2 | 7 = 10 < 3 ,直线和圆相交,过圆心和 l 平行 10 10 7 10 7 10 > 3? ,在直线 l 的另外一侧没有圆上的点 10 10

的直线和圆的 2 个交点符合要求, 又 符合要求,所以选 B.

[来源:Z§xx§k.Com]

【方法总结】解决这类问题首先把曲线 C 的参数方程为普通方程,然后利用圆心到直线的 距离判断直线与圆的位置关系,这就是曲线 C 上到直线 l 距离为

7 10 ,然后再判断知 10

7 10 7 10 > 3? ,进而得出结论. 10 10
2. 3) (2010 年 高 考 湖 南 卷 理 科

1

4. 2010 年高考北京卷理科 5)极坐标方程(p-1) θ ? π )=(p ≥ 0)表示的图形是 . ( 年高考北京卷理科 ( (A)两个圆 (C)一个圆和一条射线 【答案】C 解析:原方程等价于 ρ = 1 或 θ = π ,前者是半径为 1 的圆,后者是一条射线。 5(2010 年高考上海市理科 16)直线 l 的参数方程是 ? ( 16) (B)两条直线 (D)一条直线和一条射线

? x=1+2t (t ∈ R) ,则 l 的方向向量是 ? y=2-t

d

(C 可以是 【答】 C) ( (B)(2,1) (C)(-2,1) (C)(-2,1) (D)(1,(D)(1,-2)

(A)(1,2) (A)(1,2) 【答案】C

6. (2010 年 高 考 重 庆 市 理 科 8) 直 线 y =

3 x+ 2 与 圆 心 为 D 的 圆 3

? x = 3 + 3 cos θ ? , (θ ∈ [0, 2π )) 交于 A、B 两点,则直线 AD 与 BD 的倾斜角之和为 ? ? y = 1 + 3 sin θ ? 7 5 4 5 (A) π (B) π (C) π (D) π 6 4 3 3
【答案】C 解析:数形结合

∠1 = α ? 30

∠2 = 30 + π ? β

由圆的性质可知 ∠1 = ∠2
∴ α ? 30 = 30 + π ? β

故α + β =

4 π. 3
2

二、填空题: 填空题: 1.(2010 年高考天津卷理科 13)已知圆 C 的圆心是直线 ? (2010 13) 且圆 C 与直线 χ + γ + 3 = 0 相切。则圆 C 的方程为 【答案】 ( x + 1) + y = 2
2 2

?χ = t ( t 为参数) χ 轴的交点, 与 ?γ = 1 + t


【解析】令 y=0 得 t=-1,所以直线 ?

?χ = t ( t 为参数)与 χ 轴的交点为(-1,0) ,因为 ?γ = 1 + t
| ?1 + 0 + 3 | = 2 ,故圆 C 的方程 2

直线与圆相切,所以圆心到直线的距离等于半径,即 r = 为 ( x + 1) 2 + y 2 = 2 。

【命题意图】本题考查直线的参数方程、圆的方程、直线与圆的位置关系等基础知识。 2. 2010 年高考广东卷理科 15)(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系(ρ,θ) ( 15) (0 ≤ θ<2π)中,曲线 ρ= 2sin θ 与 p cos θ = ?1 的交点的极坐标为______. 【答案】 ( 2,

3π ) 4

【解析】由极坐标方程与普通方程的互化式 ?

? x = ρ cos θ , 知,这两条曲线的普通方程分别 ? y = ρ sin θ

为 x 2 + y 2 = 2 y , x = ?1 . 解得 ?

? x = ?1, ? x = ρ cos θ , 3π 由? 得点 (-1, 的极坐标为 ( 2, 1) ). 4 ? y = 1. ? y = ρ sin θ

3. 2010 年高考陕西卷理科 15 ) ( 坐标系与参数方程选做题 ) 已知圆 C 的参数方程 (

? x = cos α ( α 为参数),以原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐 ? ? y = 1 + sin α
标方程为 ρ sin θ = 1 ,则直线 l 与圆 C 的交点的直角坐标为 ____________ . 【答案】 (? 1,1), (1,1) 【解析】 由题设知, 在直角坐标系下, 直线 l 的方程为 y = 1 , C 的方程为 x 2 + ( y ? 1) = 1 . 圆
2

又解方程组 ?

? x 2 + ( y ? 1)2 = 1 ? y =1

,得 ?

? x = ?1 ? x = 1 或? . ? y = 1 ?y = 1

故所求交点的直角坐标为 (? 1,1), (1,1) . 三、解答题: 解答题:
3

1. 2010 年高考福建卷理科 21) ( 年高考福建卷 21) (本小题满分 7 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

? 2 t, ?x = 3 ? ? 2 (t 为参数) 。在极坐标系(与直 在直角坐标系 xoy 中,直线 l 的参数方程为 ? ?y = 5 ? 2 t ? 2 ?
角坐标系 xoy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,圆 C 的 方程为 ρ = 2 5 sin θ 。 (Ⅰ) 求圆 C 的直角坐标方程; (Ⅱ) 设圆 C 与直线 l 交于点 A、 若点 P 的坐标为 (3, 5) , B, 求|PA|+|PB|。 【命题意图】本小题主要考查直线的参数方程、圆的极坐标方程、直线与圆的位置关系等基 础知识,考查运算求解能力。 【解析】 (Ⅰ)由 ρ = 2 5 sin θ 得 x 2 + y 2 ? 2 5 y = 0, 即 x 2 + ( y ? 5) 2 = 5. (Ⅱ)将 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程,得 (3 ?

2 2 2 2 t) + ( t) = 5 , 2 2

即 t 2 ? 3 2t + 4 = 0, 由于 ? = (3 2) 2 ? 4 × 4 = 2 > 0 ,故可设 t1 , t2 是上述方程的两实根, 所以 ? 1

?t + t2 = 3 2 ? , 又直线l过点P (3, 5), 故由上式及 t 的几何意义得: ?t1t2 = 4 ?

|PA|+|PB|= | t1|+|t 2 | = t1 +t 2 = 3 2 。 2. 2010 年高考江苏卷试题 21)选修 4-4:坐标系与参数方程 ( 21) (本小题满分 10 分) 在极坐标系中,已知圆ρ=2cosθ与直线 3ρcosθ+4ρsinθ+a=0 相切,求实数 a 的值。 [解析] 本题主要考查曲线的极坐标方程等基本知识,考查转化问题的能力。满分 10 分。 解: ρ 2 = 2ρ cosθ ,圆ρ=2cosθ的普通方程为: x 2 + y 2 = 2x, ( x ? 1) 2 + y 2 = 1 , 直线 3ρcosθ+4ρsinθ+a=0 的普通方程为: 3 x + 4 y + a = 0 , 又圆与直线相切,所以

| 3 ?1 + 4 ? 0 + a | 32 + 42

= 1, 解得: a = 2 ,或 a = ?8 。

3. (2010 年全国高考宁夏卷 23) 23) (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知直线 C1 ?

? x = 1 + t cos α ? x = cos θ (t 为参数) 2 ? ,C ( θ 为参数) , ? y = t sin α ? y = sin θ

4

(Ⅰ)当 α =

π
3

时,求 C1 与 C2 的交点坐标;

(Ⅱ)过坐标原点 O 做 C1 的垂线,垂足为 ,P 为 OA 中点,当 α 变化时,求 P 点的轨迹的 参数方程,并指出它是什么曲线。

(23)解:
(Ⅰ)当

α=

π
3 时, C1 的普通方程为 y = 3( x ? 1) , C2 的普通方程为 x 2 + y 2 = 1 。联立
,解得 C1 与 C2 的交点为(1,0) ? , ?

方程组 ?

? ? y = 3( x ? 1)
2 2 ?x + y = 1 ?

?1 ?2 ?

3? ?。 ? 2 ?

(Ⅱ) C1 的普通方程为 x sin α ? y cos α ? sin α = 0 。 A 点坐标为 sin 2 α ? cos α sin α , 故当 α 变化时,P 点轨迹的参数方程为:

(

)

1 2 ? ? x = 2 sin α ? (α为参数 ) ? 1 ? y = ? sin α cos α ? ? 2

1? 1 ? 2 ?x? ? + y = 4? 16 。 P 点轨迹的普通方程为 ?
故 P 点轨迹是圆心为 ? ,? ,半径为 0

2

?1 ?4

? ?

1 的圆。 4

4. 2010 年高考辽宁卷理科 23) ( 年高考辽宁卷理科 23) (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知 P 为半圆 C: ( θ 为参数, 0 ≤ θ ≤ π )上的点,点 A 的坐标为(1,0) , 的长度均为

O 为坐标原点,点 M 在射线 OP 上,线段 OM 与 C 的弧

π
3



(I)以 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求点 M 的极坐标; (II)求直线 AM 的参数方程。

5

6


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