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高一数学


第一章 §1.1 集合
1. 关于集合的元素的特征 (1)确定性(组成元素不确定的如:我国的小河流) (2)互异性 (3)无序性 集合相等:构成两个集合的元素完全一样 (1)若集合 A 中的元素与集合 B 中的元素完全相同则称集合 A 等于集合 B,记 作 A=B. (2) A ? B, B ? A ? A ? B 例:已知 A={1,1+d,1+2d},B={1,q,

q2},若 A=B,求的,d,q 的 值。

解:d=-

,q=-

2. 元素与集合的关系; (1)如果 a 是集合 A 的元素,就说 a 属于(belong to)A,记作 a∈A (2)如果 a 不是集合 A 的元素,就说 a 不属于(not belong to)A,记 作 a?A 子集与真子集:如果集合 A 中的每一个元素都是集合 B 中的元素,那么集 合 A 叫做集合 B 的子集,记作 A ? B 或 B ? A . 若集合 P 中存在元素不是集合 Q 的元素,那么 P 不包含于 Q,或 Q 不包含 P. 记作 P?Q 若集合 A 是集合 B 的子集,且 B 中至少有一个元素不属于 A,那么集合 A 叫 做集合 B 的真子集. A ? B 或 B ? A . 子集与真子集的性质:传递性:若 A ? B , B ? C ,则 A ? C 空集是任意集合的子集,是任意非空集合的真子集. 3. 常用数集及其记法 非负整数集(或自然数集) ,记作 N * 正整数集,记作 N 或 N+; 整数集,记作 Z 有理数集,记作 Q 实数集,记作 R 4. 集合的表示方法 (1) 列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内。 如:{1,2,3,4,5},{x2,3x+2,5y3-x,x2+y2},?;
1

(2) 描述法:把集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号 {} 内。 具体方法:在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或 变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共 同特征。 如:{x|x-3>2},{(x,y)|y=x2+1},{直角三角形},?; (3) 自 然 语 言 描 述 法 : 小 于 10 的 所 有 正 偶 数 组 成 的 集 合 。 ({2,4,6,8}) 问:1、{1,3,5,7,9}如何用自然语言描述法表示? 2、用例举法表 示集合 A ? {x ? N |1 ? x ? 8} 练习:(1)已知集合 M={a,b,c}中的三个元素可构成某一三角形的三条 边,那么此三角形一定不是( ) A 直角三角形 B 锐角三角形 C 钝角三角形 D 等腰三角形 5. 集合间的基本运算 并集(∪):一般的由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素组成的集合, 成为集合 A 与 B 的并集,记作 A∪B,即: A B ? {x | x ? A, 或x ? B} ,韦恩图如下:

交集(∩) :一般地,由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素组成的集 合,称为 A 与 B 的交集,记作 A∩B,即: A B ? {x | x ? A, 且x ? B}. 韦恩图如下:

全集( U ) :一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元 素,那么就成这个集合为全集,记为 U。 补集:对于一个集合 A,由全集 U 中不属于集合 A 的所有元素组成的集合称 为集合 A 相对于全集 U 的补集,简称为集合 A 的补集,记作 CUA, 即 CUA ={x ? x?U 且 x?A},韦恩图如下:

U CUA

A

2

练习: 1、若 A={0,2,4},CUA={-1,2}, CUB={-1,0,2},求 B= 。 2、设 A={x|x>-2},B={x|x<0},求 A∩B. 3、若 A={x|x=4n,n∈Z},B={x|x=6n,n∈Z},求 A∩B. 4、A={x|a≤x≤a+3},B={x|x<-1 或 x>5} , 分别求出满足下列条件的 a 的取 值范围 : (1) A∩B=? (2) A∩B=A 5、已知 A={x|-1<x<2}, B= {x|1<x<3}求 A∪B. n m ?1 6、集合 A ? {n | ? Z },B ? {m | ? Z },则 A ? B ? __________ 2 2 7、已知 X={x|x2+px+q=0,p2-4q>0},A={1,3,5,7,9},B={1,4,7,10},且 X ? A ? ?, X ? B ? X ,试求 p、q; 8、已知集合 A={a+2,(a+1)2,a2+3a+3},且 1∈A,求实数 a 的值 9、已知集合 A={x|x2-5x+6=0},B={x|mx+1=0},A∪B=A,求实数 m 的值组成 的集合。 10、集合 A={x||x-2|≤2,x∈R},B={y|y=-x2,-1≤x≤2},则 CR(A∩B)等 于() A.R B.{x|x∈R,x≠0} C.{0} D. Φ (空集)

11、已知 {a , b} ? A,且 A 为{a,b,c,d,e}的真子集,则满足条件的集合 A 的个数是() 12、记函数 f(x)=lg(2x-3)的定义域为集合 M,函数 g(x)

= m∩N,M∪N

的定义域为集合 N,求:(1)集合 M、N;(2)集合

13、已知集合 A={x||x-a|≤1},B={x|x2-5x+4≥0},若 A∩B=Φ ,则实数 a 的取值范围是()

3

§1.2 函数
函数概念:设 A、B 是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系 f,使对 于集合 A 中的任意一个数 x,在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对 应,那么就称 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数。 记作: y=f(x),x∈A. 其中,x 叫做自变量,x 的取值范围 A 叫做函数的定义域;与 x 的值相对应 的 y 值叫做函数值,函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域. 构成函数的三要素:定义域、对应关系、值域 区间:(1)、开区间、闭区间、半开半闭区间;(2)、无穷区间;区间的数 轴表示 1 例 1:已知函数 f (x) = x ? 3 + ,求函数的定义域。 x?2 例 2:设一个矩形周长为 80,其中一边长为 x,求它的面积关于 x 的函数的解 析式,并写出定义域。 函数的定义域小结: (1)如果 f(x)是整式,那么函数的定义域是实数集 R . (2)如果 f(x)是分式,那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集 合 . (3)如果 f(x)是二次根式,那么函数的定义域是使根号内的式子大于或 等于零的实数的集合. (4)如果 f(x)是由几个部分的数学式子构成的,那么函数定义域是使各 部分式子都有意义的实数集合.(即求各集合的交集) (5)满足实际问题有意义. 例 3:下列函数中哪个与函数 y=x 相等? (1)y = ( x )2 ; (2)y = ( 3 x 3 ) ;

x2 (3)y = x ; (4)y= x 练习:1.求下列函数的定义域
2

(1)y=+ (2) y=

4

(3)已知 f(x)的定义域为(-1,1),求函数 F(x)=f(1-x)+f

( )的定义域。 2.已知 A={1,2,3,k},B={4,7,a4,a2+3a},a∈N*,x∈A,y∈B,f:x→ y=3x+1 是从定义域 A 到值域 B 的一个函数,求 a,k,A,B。 解:a=2,k=5,A={1,2,3,5},B={4,7,16,10} 映射:一般地,设 A、B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则 f , 使对于集合 A 中的任意一个元素 x ,在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对 应,那么就称对应 f :A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射. 记作“ f :A→B” 说明: (1)这两个集合有先后顺序,A 到 B 的映射与 B 到 A 的映射是截然不同的,其 中 f 表示具体的对应法则,可以用多种形式表述. (2)“都有唯一”包含两层意思:一是必有一个;二是只有一个,也就是说有 且只有一个的意思. 例:1.已知 A={x,y},B={a,b,c},从集合 A 到集合 B 的所有不同的映射有 ()个。 2. 已知 A={x,y},B={a,b,c},从集合 B 到集合 A 的所有不同的映射有() 个。 函数的表示方法:解析法、列表法、图像法 练习:1.已知 f(x-2)=2x2-9x+13,求 f(x)——配凑法 答案:f(x)=2x2-x+3 2.已知 f( +1)=x+2 ,求 f(x+1),f(x2)——换元法 答案:f(x+1)=x2+2x,(x≥0);f(x2)=x4-1,(x≤-1 或 x≥1) 3.已知 f(x)是一次函数,且有 f[f(x)]=9x+8,求 f(x)——待定系数法 答案:f(x)=3x+2 或 f(x)=-3x-4

4.设 f(x)满足关系式 f(x)+2f(

)=3x,求 f(x)——消元法

答案:f(x)=

-x,x∈{x|x∈R,x≠0}

6.已知 x≠0,函数 f(x)满足 f(x- 表达式为()

)=x2+

,则 f(x)的

5

A.f(x)=x+

B.f(x)=x2+2

C.f(x)=x2

D.f(x)=(x



)2

7.已知函数 f(x)= 那么 f(5)的值为() A.32 B.16 C.8 D.64 2 8.若函数 f(2x+1)x -2x,则 f(3)=()



9.已知函数 f(x)=

,则 f(1)+f(2)+f(

)+f(3)+f



)+

f(4)+f(

)的值为()

10.已知 f( +1)=lgx,求 f(x) 11.已知 f(x)是二次函数,且 f(0)=0,f(x+1)=f(x)+x+1,求 f (x) 12.定义在(-1,1)内的函数 f(x)满足:2f(x)-f(-x)=lg(x+1), 求函数 f(x)的解析式.

6

§1.3 函数的基本性质
增函数:一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果对于定义域 I 内的某个区 间 D 内的任意两个自变量 x1,x2,当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2),那么就说 f(x) 在区间 D 上是增函数。 注意: (1) 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质; (2) 必须是对于区间 D 内的任意两个自变量 x1,x2;当 x1<x2 时,总有 f(x1)<f(x2) . 减函数:一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果对于定义域 I 内的某个区 间 D 内的任意两个自变量 x1,x2,当 x1<x2 时,都有 f(x1) >f(x2),那么就说 f(x)在区间 D 上是减函数。 函数的单调性定义: 如果函数 y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数,那么就说函数 y=f(x)在这 一区间具有(严格的)单调性,区间 D 叫做 y=f(x)的单调区间。 k 例 1:物理学中的玻意耳定律 P= (k 为正常数)告诉我们,对于一定量的气 V 体,当其体积 V 减少时,压强 P 将增大。试用函数的单调性证明之。(设 V1> V2>0) 判断函数单调性的方法步骤: 利用定义证明函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性的一般步骤: ① 任取 x1,x2∈D,且 x1<x2; ② 作差 f(x1)-f(x2); ③变形(通常是因式分解和配方); ④定号(即判断差 f(x1)-f(x2)的正负); ⑤下结论(即指出函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性). 练习:

1、 用函数单调性的定义证明 f(x)=x+ 在( ,+∞)上是增函 数。 2、 若 3x-3-y≥5-x-5y 成立,则() A、x+y﹥0 B、x+y﹤0 C、x+y≥0 D、x+y≤0 2 3、函数 y=log1/2(4+3x-x )的一个单调递增区间是()

7

A.(-∞,



B. [

,+∞﹚

C.(-1,



D.

[ ,4﹚ 4.下列函数中,在区间(0,2)上为增函数的是()

A.y=-x+1

B.y=

C.y=x2-4x+5

D.y=

5.函数 f(x)= (x∈R)的值域是() A.(0,1) B,(0,1] C. [0,1) D. [0,1] 6.已知函数 f(x)ax2+2ax+1,x∈[-3,2]的最大值为 4,求其最小值.

8

函数的奇偶性和周期性: 函数的奇偶性定义: 1.偶函数: 一般地,对于函数 f ( x) 的定义域内的任意一个 x ,都有 f (? x) ? f ( x) ,那么 f ( x) 就叫做偶函数.(学生活动)依照偶函数的定义给出奇函数的定义. 2.奇函数: 一般地,对于函数 f ( x) 的定义域的任意一个 x ,都有 f (? x) ? ? f ( x) ,那么 f ( x) 就叫做奇函数. 注意: ①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性 质; ②由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域 内的任意一个 x ,则 ? x 也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对 称). 3.具有奇偶性的函数的图象的特征: 偶函数的图象关于 y 轴对称;奇函数的图象关于原点对称. 练习: 1.已知函数 f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数,当 x∈(-∞,0) 时,f(x)=x-x4,则当 x∈(0,+∞)时,f(x)= 2.已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数.且在[0,+∞﹚上为增函数,若 f(a)≥f(2),则实数 a 的取值范围是: 3.函数 f(x)对任意实数 x 满足条件 f(x+2)=,若 f(1)=-5,则 f(f(5))=

第二章 基本初等函数 §2.1 指数函数
一、指数和指数幂的运算
1、 n 次方根的含义 一般地,若 x n ? a ,则 x 叫做 a 的 n 次方根,其中 n >1,且 n∈N* 2、 n 次方根的写法
n ? ?n为奇数, a的n次方根有一个,为 a a为正数:? n ? ?n为偶数, a的n次方根有两个,为 ? a

? ?n为奇数, a的n次方根只有一个,为n a a为负数:? ? ?n为偶数, a的n次方根不存在. 零的 n 次方根为零,记为 n 0 ? 0

9

小结:正数的偶次方根有两个,并且互为相反数;负数没有偶次方根;零的任何次方 根为零。 【例 1】写出下列数的 n 次方根 (1)16 的四次方根;(2)-27的五次方根;(3)9的六次方根 解:(1) ? 4 16 ? ?2 (2) ? 5 27 (3) ? 6 9 ? ?3 3
3、n

次方根的性质

归纳:n 次方根的运算性质为 (1) ( n a )n ? a (2)n 为奇数, n an ? a n 为偶数,
n

?a, a ? 0 a n ?| a |? ? ??a, a ? 0

【例 2】求下列各式的值 (1) (1) 解:
3

( ?8)3
3

(2)

(?10)2

(3)

4

(3 ? ? )4

(4)

(a ? b) 2 (a>b)

(1)

( ?8)3 =-8;

(2)
(3)
4

(?10) 2 = ? 10
(3 ? ? ) 4 =

=10;

3 ? ? ? ? ? 3;

(4)

( a ? b) 2 = a ? b ? a ? b .

[随堂练习] 1. 求出下列各式的值

(1) 7 (?2) 7
7

(2) 3 (3a ? 3)3 ( a ? 1)

(3) (3a ? 3) 4 (a>1)
4

解:(1) 7 ?? 2? ? ?2 ; (2) 3 ?3a ? 3? ? 3a ? 3
3

(3) 4 ?3a ? 3? ? 3a ? 3 ? 3a-3
4

【例 3】:求值:

(1) 5 ? 2 6 ? 7 ? 4 3 ? 6 ? 4 2 ; (2)2 3 ? 3 1.5 ? 6 12
分析:(1)题需把各项被开方数变为完全平方形式,然后再利用根式运算性质; 解:

10

(1) 5 ? 2 6 ? 7 ? 4 3 ? 6 ? 4 2 ? ( 3) 2 ? 2 3 ? 2 ? ( 2 ) 2 ? 2 2 ? 2 ? 2 3 ? ( 3) 2 ? 2 2 ? 2 ? 2 2 ? ( 2 ) 2 ? (( 3 ? 2 ))2 ? (2 ? 3 ) 2 ? (2 ? 2 ) 2 ?| 3 ? 2 | ? | 2 ? 3 ? | ? | 2 ? 2 | ? 3 ? 2 ? 2 ? 3 ? (2 ? 2 ) ?2 2 注意:此题开方后先带 上绝对值,然后根据正 负去掉绝对值符号。 6 3 (2)2 3 ? 1.5 ? 12
=2 ? 3 ? 3 =2 ? 6 33 ? 6 =2 ? 6 33 ? =2 ? 3 ? 6
[随堂练习] 2.若 a 2 ? 2a ? 1 ? a ? 1, 求a的取值范围 。 解: a ? 1
3 4 3 3.计算 3 (?8) ? 4 (3 ? 2) ? 3 (2 ? 3)

3 6 2 ? 2 ?3 2 32 6 2 ? 2 ?3 22
王新敞
奎屯 新疆

32 2 ?2 ?3 22

解:-9+ 3 第二节 1、分数指数幂 规定:(1)、正数的正分数指数幂的意义为:
m

a n ? n a m (a ? 0, m, n ? N * )
正数的负分数指数幂的意义与负整数幂的意义相同. 即: a
? m n

?

1 a
m n

(a ? 0, m, n ? N * )

(2)、0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂无意义. 2、分数指数幂的运算性质 整数指数幂的运算性质,对于分数指数幂同样适用,即: (1) ar ? as ? ar ?s (a ? 0, r, s ? Q) (2) (ar )S ? ars (a ? 0, r, s ? Q) (3) ?ab? ? a r b r (a ? 0, b ? 0, r ? Q )
r

3、无理指数幂

11

思考:若 a >0,P 是一个无理数,则 a p 该如何理解? 自主学习:学生阅读教材第62页中的相关内容 归纳得出: 2 的不足近似值,从由小于 2 的方向逼近 2 , 2 的过剩近似值从大 于 2 的方向逼近 2 。所以,当 2 不足近似值从小于 2 的方向逼近时, 5 2 的近似 值从小于 5 2 的方向逼近 5 2 . 当 2 的过剩似值从大于 2 的方向逼近 2 时, 5 2 的近似值从大于 5 2 的方向逼近

5 2 ,(如课本图所示) 所以, 5 2 是一个确定的实数.
总结:一般来说,无理数指数幂 a p (a ? 0, p是一个无理数) 是一个确定的实数,有理 数指数幂的性质同样适用于无理数指数幂. 这样幂的性质就推广到了实数范围

ar ? as ? ar ?s (a ? 0, r ? R, s ? R) (ar )s ? ars (a ? 0, r ? R, s ? R)

(a ? b)r ? ar br (a ? 0, r ? R)
练习: [轻松过关] 1、下列式子中计算正确的是( A x D ) )

? ?

2 4

? x2 B x

4

? ?

3 3

? x 6 C x 3 ? x 2 ? x 6 D 3a 2
A

? ?

2

? 9a 4

2 下列式子中计算正确的有( (1) a ? 1 a ? A 0 3、

? a ;(2)
C 2
3

a ? a6
B)

1

(3) a n ? b n

?

1

1

? ?a?a
n

?1

? 2? ? ? 2?
3

B 1

D 3 C2 2 )
2

的值是(
3

A 2 A5
2



2
2 2

D 8

4、下列说法正确的是( C 无意义 B 5
1

? 25 C 51.41 ? 5

? 51.42


D5

2

?5

5、用计算器算 10 6、已知 a 2 ? a 7、计算 ( 9) 解:原式= 9 [适度拓展] 8、化简:
?1 2

? 101.414 ? 0.0128;(保留4个有效数字)

9 2

? 3 ,则 a ? a ?1 =
5

2 ? 3

( 3 102 ) ? 1002 的值
11

?1 3

? 10 5

?e

3

? e ?3

?

2

?4 ?

?e

3

? e ?3

?

2

? 4 (e=2.718?)
3

解:原式= e 3 ? e ?3 + e 3 ? e ?3 = 2 e 9、已知 a ? a ?1 ? 3, 求 a 3 ? a ?3 的值
?

12

解原式= 3 2 ,提示: a 3 ? a ?3 ? (a ? a ?1 )(a 2 ? a ? a ?1 ? a ?2 ) [综合提高] 10、已知: a ? 2 7 , b ? 5 2 , 求
3 4

a 2 b ?2 ? 9b 3 a b ?2 ? 6a b ? 9b
3 2 3 4 ? 1 3 4 3

?

b3 a ? 3b
4 3
3 4 5 3

的值.
2 3 2

解:由 a b

3 2

?2

? 6a b
3 4

3 4

1 ? 3

? 9b ? (a b ? 3b ) ,
5 3 2

3 4

?1

又 1<a<b,∴ a ? a ? 3b 3 ,从而得 a 4 b ?1 ? 3b 3 ,
3 10 3 10

∴原式=

a 2 ? 9b 3
2 3

?

b
3 5

=

a 2 ? 9b 3
5 3

?

b2
3 5

3b 3 ? a 4 b ?1 a 4 ? 3b 3
=

3b 3 ? a 4 a 4 ? 3b 3

(a ? 9b )b 2
10 3 3 2

3 2

10 3

? ?b 2 ? ?(5 2 ) 2 ? ?50 .

9b ? a 二、指数函数及其性质
定义:一般地,函数 y ? a x ( a >0 且 a ≠1)叫做指数函数,其中 x 是自变量,函数的
定义域为 R. 当 a >1 时,函数的图象为:

y

y=2x

0 -

x

当 0< a <1 时,函数的图象为:

-

-

?1? y?? ? ?2?

-

x

-

-

-

-

-

-

y

0 13

x

-

-

-

-

-

-

图象特征

函数性质 0< a <1

a >1

a >1

0< a <1 非奇非偶函数

向 x 轴正负方向无限延伸 图象关于原点和 y 轴不对称 函数图象都在 x 轴上方 函数图象都过定点(0,1) 自左向右, 图象逐渐上升 在第一象限内的图 象纵坐标都大于 1 在第二象限内的图 象纵坐标都小于 1 自左向右, 图象逐渐下降 在第一象限内的图 象纵坐标都小于 1 在第二象限内的图 象纵坐标都大于 1

函数的定义域为 R 函数的值域为 R+

a 0 =1
增函数 减函数

x >0, a x >1 x <0, a x <1

x >0, a x <1 x <0, a x >1

利用函数的单调性,结合图象还可以看出: (1)在 [a, b]上, f (x)=a x ( a >0 且 a ≠1)值域是 [ f (a), f (b)]或[ f (b), f (a)]; (2)若 x ? 0, 则f (x) ? 1; f (x)取遍所有正数当且仅当x ? R; (3)对于指数函数 f ( x) ? a x ( a >0 且 a ≠1),总有 f (1) ? a; (4)当 a >1 时,若 x1 < x2 ,则 f ( x1 ) < f ( x2 ) ; 练习:

1 1、函数 f ( x) ? ( ) x 的定义域和值域分别是多少? x ? R, y ? 0 2
2、当 x ? [?1,1]时, 函数f ( x) ? 3x ? 2的值域是多少? (- ,1)

5 3

14

§2.2 对数函数
对数与对数运算 对数:一般地,若 a x ? N (a ? 0, 且a ? 1) ,那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数,记
作 x ? log a N

a 叫做对数的底数,N 叫做真数.
2、对数式与指数式的互化 在对数的概念中,要注意: (1)底数的限制 a >0,且 a ≠1 (2) a x ? N ? log a N ? x 指数式 ? 对数式 幂底数← a →对数底数 指 数← x →对数 幂 ←N→真数 恒等式: a loga N =N 负数和零没有对数。 Loga1=0;logaa=1 两类对数: ① 以 10 为底的对数称为常用对数, log10 N 常记为 lg N . ② 以无理数 e=2.71828…为底的对数称为自然对数, log e N 常记为 ln N . 例:求下列各式中 x 的值 (1) log 64 x ? ?

2 3
? 2 3

(2) log x 8 ? 6

(3) lg100 ? x

(4) ? ln e2 ? x

分析:将对数式化为指数式,再利用指数幂的运算性质求出 x. 解:(1) x ? (64)
6

? (4 )
3

?

2 3

?4
1 6

2 3?( ? ) 3

? 4?2 ?
1 3 6 1 2

1 16

(2) x ? 8, 所以( x ) ? (8) ? (2 ) ? 2 ? 2 (3) 10 x ? 100 ? 102 , 于是x ? 2 (4)由 ? ln e 2 ? x, 得 ? x ? ln e 2 , 即e-x ? e 2 ,所以 x ? ?2

1 6 6

对数的运算
运算性质: 如果 a ? 0 ,且 a ? 1 , M ? 0 , N ? 0 ,那么:
1 log ( M · N ) ? log M + log N ; ○ a a a 2 log ○ a

M ? loga M - loga N ; N

15

n 3 log M ? n log M ○ a a

(n ? R) .

换底公式

loga b ?

logc b logc a

( a ? 0 ,且 a ? 1 ; c ? 0 ,且 c ? 1 ; b ? 0 ).

证明:设 ax=b,所以 logcax=logcb,因为 logcax=xlogca;所以 X=logcax/logca=logcb/logca=logab 换底公式推论

n log a b ; m 1 (2) loga b ? . logb a
(1) log a m b n ? 对数函数的图象 (1) y ? log2 x (2) y ? log 1 x
2

(3) y ? log3 x (4) y ? log1 x
3

图象特征

函数性质

a ?1

0 ? a ?1

a ?1

0 ? a ?1
非奇非偶函数 函数的值域为 R

函数图象都在 y 轴右侧 图象关于原点和 y 轴不对称 向 y 轴正负方向无限延伸 函数图象都过定点(1,1) 自左向右看, 图象逐渐上升 第一象限的图象 纵坐标都大于 0 第二象限的图象 纵坐标都小于 0 自左向右看, 图象逐渐下降 第一象限的图象 纵坐标都大于 0 第二象限的图象 纵坐标都小于 0

函数的定义域为(0,+∞)

1? ? 1
增函数 减函数

x ? 1, loga x ? 0
0 ? x ? 1, loga x ? 0

0 ? x ? 1, loga x ? 0
x ? 1, loga x ? 0

16

§2.3 幂函数
定义:一般地,形如 y ? x? ( x ? R)的函数称为幂孙函数,其中 x 是自变量, ? 是常 数. 如 y ? x2 , y ? x 3 , y ? x 是基本初等函数. 五种基本幂函数:
1 ? 1 4

等都是幂函数,幂函数与指数函数,对数函数一样,都

y ? x2
y?x
4

y ? x2

1

2

y =x 3 y=x-1
5 10 15

-5

-2

-4

-6

-8

-10

y?x

y ? x2
R 奇

y ? x3
R 奇

y?x

1 2

y ? x ?1

定义域 奇偶性

R 奇

? x | x ? 0?
非奇非偶

? x | x ? 0?


在第Ⅰ象限 在第Ⅰ象限 在第Ⅰ象限 在第Ⅰ象限 在第Ⅰ象限 在第Ⅰ象限 单调增减性 单调递增 定点 幂函数性质: (1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都过点(1,1)(原因:
1 ? 1 );
x

单调递增 (1,1)

单调递增 (1,1)

单调递增 (1,1)

单调递减 (1,1)

(1,1)

(2) x >0 时,幂函数的图象都通过原点,并且在[0,+∞]上,是增函数(从左往 右看,函数图象逐渐上升). 特别地,当 x >1, x >1 时, x ∈(0,1), y ? x 2 的图象都在 y ? x 图象的下方, 形状向下凸越大,下凸的程度越大(你能找出原因吗?)

17

当∠α <1 时, x ∈(0,1), y ? x 2 的图象都在 y ? x 的图象上方,形状向上凸,α 越小,上凸的程度越大(你能说出原因吗?) (3)α <0 时,幂函数的图象在区间(0,+∞)上是减函数. 在第一家限内,当 x 向原点靠近时,图象在 y 轴的右方无限逼近 y 轴正半轴,当 x 慢慢地变大时,图象在 x 轴上方并无限逼近 x 轴的正半轴. 例题: 证明幂函数 f ( x) ?
x在[0, ??] 上是增函数

证:任取 x1 , x2 ? [0, ??), 且x 1 < x2 则

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ?
= =

x1 ? x2

( x 1 ? x2 )( x 1 ? x2 ) x 1 ? x2
x 1 ? x2 x 1 ? x2
x在[0, ? ?] 上是增函数.

因 x1 ? x2 <0, x 1 ? x2 >0 所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,即 f ( x) ?

18

第三章 函数的应用 §3.1 函数与方程
零点定义:对于函数 y ? f ( x)(x ? D) ,把使 f ( x) ? 0 成立的实数 x 叫做函数

y ? f ( x)(x ? D) 的零点.
函数零点的意义: 函数 y ? f ( x) 的零点就是方程 f ( x) ? 0 实数根,亦即函数 y ? f ( x) 的图象与 x 轴交点 的横坐标. 即: 方程 f ( x) ? 0 有实数根 ? 函数 y ? f ( x) 的图象与 x 轴有交点 ? 函数 y ? f ( x) 有零 点. 函数零点的求法: 求函数 y ? f ( x) 的零点: ①(代数法)求方程 f ( x) ? 0 的实数根; ②(几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数 y ? f ( x) 的图象联系起 来,并利用函数的性质找出零点. 二次函数的零点: 二次函数

y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) .
(1)△>0,方程 ax2 ? bx ? c ? 0 有两不等实根,二次函数的图象与 x 轴有两 个交点,二次函数有两个零点. (2)△=0,方程 ax2 ? bx ? c ? 0 有两相等实根(二重根),二次函数的图象 与 x 轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点. (3)△<0,方程 ax2 ? bx ? c ? 0 无实根,二次函数的图象与 x 轴无交点,二 次函数无零点. 零点存在性的探索: (Ⅰ)观察二次函数 f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 3 的图象: ① 在区间 [?2,1] 上有零点______;

f (?2) ? _______, f (1) ? _______,
f (?2) · f (1) _____0(<或>=).
② 在区间 [2,4] 上有零点______;

f (2) · f (4) ____0(<或>=).
(Ⅱ)观察下面函数 y ? f ( x) 的图象

19

① 在区间 [a, b] 上______(有/无)零点;

f (a ) · f (b) _____0(<或>=).
② 在区间 [b, c] 上______(有/无)零点;

f (b) · f (c) _____0(<或>=).
③ 在区间 [c, d ] 上______(有/无)零点;

f (c) · f (d ) _____0(<或>=).

§3.2 二分法
概念:对于在区间[a,b]上连续不断且 f(a)·f(b)<0 的函数 y=f(x),通过不断 地把函数 f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而 得到零点近似值的方法叫做二分法。 求二分法步骤: 1. 2. 3. 确定区间[a,b],验证 f(a)·f(b)<0,给定精确度ε; 求区间(a,b)的中点 c; 计算 f(c);

(1) 若 f(c)=0,则 c 就是函数的零点; (2) 若 f(a)·f(b)<0,则令 b=c(此时零点 x0∈(a,c)); (3) 若 f(c)·f(b)<0,则令 a=c(此时零点 x0∈(c,b)); 4. 判断是否达到精确度ε :即若|a-b|<ε ,则得到零点近似值 a(或 b);否则重 复 2 到 4.

20


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