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17-18版 第2章 2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系 2.1.4 平面与平面之间的位置关系

时间:2017-09-24


2.1.3

空间中直线与平面之间的位置关系 平面与平面之间的位置关系

2.1.4

1.了解直线与平面的三种位置关系,并会用图形语言和符号语言表示.(重 点、易错点) 2.了解不重合的两个平面之间的两种位置关系,并会用图形语言和符号语 言表示.(难点)

[基础· 初探] 教材整理 1 直线与平面的位置关系

阅读教材 P48~P49 的内容,完成下列问题. 位置 关系 公共 点 符号 表示 图形 表示 直线 a 在平面 α 内 有无数个公共点 直线 a 与平面 α 相 交 有且只有一个公共 点 a∩α=A 直线 a 与平面 α 平 行 没有公共点

a?α

a∥α

判断(正确的打“√”,错误的打“×”)
1

(1)若直线与平面不相交,则直线与平面平行.( (2)过一点有且只有一条直线与已知直线平行.( (3)过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.(

) ) ) )

(4)过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行.( 【解析】

(1)错误.若直线与平面不相交,则直线在平面内或直线与平面

平行,故(1)错. (2)错误. 当点在已知直线上时, 不存在过该点的直线与已知直线平行, 故(2) 错. (3)错误.由于垂直包括相交垂直和异面垂直,因而过一点与已知直线垂直 的直线有无数条,故(3)错. (4)错误.过棱柱的上底面内的一点任意作一条直线都与棱柱的下底面平行, 所以过平面外一点与已知平面平行的直线有无数条,故(4)错. 【答案】 教材整理 2 (1)× (2)× (3)× (4)×

平面与平面的位置关系

阅读教材 P50“探究”以上的内容,完成下列问题. 位置关系 两平面平行 图示 表示法 α∥β 公共点个数 0个

两平面相交

α∩β=l

无数个点(共线)

三棱锥的四个面中,任两个面的位置关系是( A.相交 C.异面 【解析】 【答案】 B.平行 D.不确定 三棱锥的任两个面都相交,选 A. A

)

[小组合作型]
2

直线与平面的位置关系 下列说法正确的是( )

A.如果 a、b 是两条直线,a∥b,那么 a 平行于经过 b 的任何一个平面 B.如果直线 a 和平面 α 满足 a∥α,那么 a 平行于平面 α 内的任何一条直线 C.如果直线 a、b 满足 a∥α,b∥α,则 a∥b D.如果直线 a、b 和平面 α 满足 a∥b,a∥α,b?α,那么 b∥α 【精彩点拨】 解答本题要牢牢地抓住直线和平面三种位置关系的特征,结 合相关图形,依据位置关系的定义作出判断. 【自主解答】 如图,在长方体 ABCDA′B′C′D′中,

AA′∥BB′,AA′却在过 BB′的平面 AB′内, 故选项 A 不正确; AA′∥平面 B′C,BC?平面 B′C,但 AA′不平行于 BC, 故选项 B 不正确; AA′∥平面 B′C,A′D′∥平面 B′C, 但 AA′与 A′D′相交, 所以选项 C 不正确; 选项 D 中,假设 b 与 α 相交,因为 a∥b, 所以 a 与 α 相交,这与 a∥α 矛盾, 故 b∥α,即选项 D 正确.故选 D. 【答案】 D

空间中直线与平面只有三种位置关系:直线在平面内、直线与平面相交、直 线与平面平行.?在判断直线与平面的位置关系时,这三种情形都要考虑到,避 免疏忽或遗漏.另外,我们可以借助空间几何图形,把要判断关系的直线、平面

3

放在某些具体的空间图形中,以便于正确作出判断,避免凭空臆断.

[再练一题] 1.下列说法中,正确的个数是( )

①如果两条平行直线中的一条和一个平面相交, 那么另一条直线也和这个平 面相交; ②经过两条异面直线中的一条直线有一个平面与另一条直线平行; ③两条相交直线, 其中一条与一个平面平行, 则另一条一定与这个平面平行. A.0 C.2 B.1 D.3

【解析】 易知①正确,②正确.③中两条相交直线中一条与平面平行,另 一条可能平行于平面,也可能与平面相交,故③错误.选 C. 【答案】 C [探究共研型] 平面与平面的位置关系 探究 1 如何从有无公共点的角度理解两平面位置关系?

【提示】 如果两个平面有一个公共点,那么由公理 3 可知:这两个平面相 交于过这个点的一条直线; 如果两个平面没有公共点,那么就说这两个平面相互 平行. 探究 2 若一个平面内的任意一条直线都与另一个平面平行,那么这两个平

面之间有什么位置关系? 【提示】 因为一个平面内任意一条直线都与另一个平面平行,所以该平面 与另一平面没有公共点,根据两平面平行的定义知,这两个平面平行. 探究 3 平面 α 内有无数条直线与平面 β 平行,那么 α∥β 是否正确? 不正确.如图,设 α∩β=l,则在平面 α 内与 l 平行的直线可以

【提示】

有无数条 a1,a2,?,an,它们是一组平行线,这时 a1,a2,?,an 与平面 β 都 平行,但此时 α 不平行于 β,而 α∩β=l.

4

已知下列说法: ①两平面 α∥β,a?α,b?β,则 a∥b; ②若两个平面 α∥β,a?α,b?β,则 a 与 b 是异面直线; ③若两个平面 α∥β,a?α,b?β,则 a 与 b 一定不相交; ④若两个平面 α∥β,a?α,b?β,则 a 与 b 平行或异面; ⑤若两个平面 α∩β=b,a?α,则 a 与 β 一定相交. 其中正确的序号是________(将你认为正确的序号都填上). 【精彩点拨】 【自主解答】 由平面间的位置关系逐一判断. ①错.a 与 b 也可能异面.

②错.a 与 b 也可能平行. ③对.∵α∥β,∴α 与 β 无公共点.又∵a?α,b?β,∴a 与 b 无公共点. ④对.由已知及③知:a 与 b 无公共点, 那么 a∥b 或 a 与 b 异面. ⑤错.a 与 β 也可能平行. 【答案】 ③④

1.仔细分析题目条件,将符号语言或自然语言转化为图形语言,通过图形 借助定义确定两平面的位置关系. 2.线、面之间的位置关系在长方体 (或正方体)中都能体现,所以对于位置 关系的判断要注意利用这一熟悉的图形找到反例或对应的关系.

[再练一题] 2.如果两个平面内分别有一条直线,这两条直线互相平行,那么两个平面 的位置关系是( A.平行 ) B.相交
5

C.平行或相交 【解析】

D.既不平行也不相交

如果两平面的直线互相平行,可以有以下两种情况:

【答案】

C

1.如果直线 a∥平面 α,那么直线 a 与平面 α 内的( A.一条直线不相交 C.无数条直线不相交 【解析】 共点. 【答案】 D ) B.两条直线不相交

)

D.任意一条直线不相交

直线 a∥平面 α,则 a 与 α 无公共点,与 α 内的直线当然均无公

2.如图 2123 所示,用符号语言可表示为(

图 2123 A.α∩β=l B.α∥β,l∈α C.l∥β,l?α D.α∥β,l?α D [显然题干图中 α∥β,且 l?α.] 3.如图 2124,在正方体 ABCDA1B1C1D1 中判断下列位置关系:

6

图 2124 (1)AD1 所在的直线与平面 B1BCC1 的位置关系是________. (2)平面 A1BC1 与平面 ABCD 的位置关系是________. 【解析】 (1)AD1 所在的直线与平面 B1BCC1 没有公共点,所以平行.

(2)平面 A1BC1 与平面 ABCD 有公共点 B,故相交. 【答案】 (1)平行 (2)相交

4.a,b,c 是三条直线,α,β 是两个平面,如果 a∥b∥c,a?α,b?β, c?β 那么平面 α 与平面 β 的位置关系是__________. 平行或相交 [由正方体模型易知 α∥β 或 α 与 β 相交.]

5.作出下列各题的图形. (1)画直线 a,b,使 a∩α=A,b∥α. (2)画平面 α,β,γ,使 α∥β,γ∩α=m,γ∩β=n. 【解】 如图所示:

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