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3.2.5距离(选学)


三、概念形成
概念1.距离的几何定义
在几何学中,一个图形F1内的任意一点与另一个图形F2内的 任意一点的距离的最小值,叫做图形与图形的距离。 计算两点间的距离和线段的长度是几何度量最基本的课题。 计算任何图形之间的距离都可以转化为求两点间的距离。

F1

F2

三、概念形成
概念1.

距离的几何定义
例子: 已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,AD=3, AA1=5,∠BAD=90°,∠BAA1=∠DAA1=60°,求AC1的长。 D1 C1 分析:求AC1的长,实质上

就是计算A,C1两点的距离, 从向量角度看,就是计 ???? ? 算 | AC | 。

A1

B1

???? ???? ???? ???? ? ? AC1 ? AB ? AD ? AA1 ???? ? ???? ???? ? ? | AC1 |? AC1 ? AC1
A

1

D B

C

三、概念形成
概念2.点到平面的距离
(1)定义 过平面 ? 外一点P,有唯一的一条直线PA垂直 ? ,设A为 垂足,B是平面 ? 内异于A的任意一点,易知PA<PB 也就是说,连接平面 ? 外一点P与 ? 内任意一点的所有 线段中,垂线段PA最短。 P

一个点到它在一个平面内 正射影的距离,叫做点到 这个平面的距离。

?

B

A

三、概念形成
概念2.点到平面的距离
(2)求法 一般方法:利用定义先作出过这个点到平面的垂线段,再 计算这个垂线段的长度。 还可以用等积法求距离。 例子:求点B到平面ACB1的距离

P
B1

C A B

?

A

三、概念形成
概念2.点到平面的距离
(2)求法 其中

? ??? ? AP 为斜向量, n

为法向量。

向量方法:借助于过点P的斜向量和平面的法向量求。

??? ? ? ??? ? | AP ? n | sin ? ? cos ? AP, n ?? ??? ? ? AP ? n

d ? sin ? ? ??? AP

??? ? d ?| AP | sin ?

P

? n

d
?
O

??? ? ? | AP ? n | d? ? n

A ?

三、概念形成
概念2.点到平面的距离
例子:已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1,AB=1,AA1=2,点E为 CC1的中点,求点D1到平面BDE的距离。
分析:先求平面BDE的法向量,再利用D1D的斜向量。 D1 B1 A1
已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1,AB=1,AA1=2,点E为CC1的中点, 求点D1到平面BDE的距离。

C1

?n ? DE ? y ? z ? 0 ? ? 令y=1,则 n ? (?1,1, ?1) ???? ? ?D1 D ? (0,0, ?2) ????? ? | D D?n| 2 2 3 ?d ? 1 ? ? ? 3 |n| 3

解:以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z 轴,建立如图所示坐标系D-xyz。 则D(0,0,0),D1(0,0,2),B(1,1,0),E(0,1,1) z ???? ???? C1 D1 ? DB ? (1,1,0), DE ? (0,1,1) ? B1 设平面BDE的法向量 n ? ( x, y, z) ? ???? A1 ?n ? DB ? x ? y ? 0 ? E 则 ? ? ???? D A x B C

E C B

y

D A

向量解法

三、概念形成
概念3.直线到平面的距离
(1)定义 直线和平面相交时,无法定义距离,当直线与平面平行时

我们可以认定直线上各点到平面的距离处处相等。

直线上任意一点,与它 的平行平面的距离,叫

l

做直线与这个平面的距
离。

?

三、概念形成
概念3.直线到平面的距离
(2)求法 既然直线到平面的距离是用点到平面的距离定义 的,所以求法与点到平面的距离相同,只不过我们需要在

直线上任意取一定点。

l

P
d

? n

??? ? ? | AP ? n | d? ? n

A ?

O

三、概念形成
概念4.两个平行平面的距离
(1)定义

和两个平行平面同时垂直的直线,叫做两个平面的公垂线。 公垂线夹在平行平面之间的部分,叫做两个平面的公垂线 段。

P
两个平行平面的公垂
线段的长度叫做两平 行平面的距离。

?
d
O

?

三、概念形成
概念4.两个平行平面的距离
(2)求法 既然平行平面间的距离是也可点到平面的距离定 义的,所以求法与点到平面的距离相同,只不过我们需要

在一个平面上任意取一定点。

P

?
??? ? ? | AP ? n | d? ? n

d

? n

?

A

O

三、概念形成
概念5.异面直线间的距离(*)
(1)定义
和两条异面直线都垂直且相交的直线,叫做异面直线的公 垂线。公垂线夹在异面直线之间的部分,叫做两个异面直 线的公垂线段。

a
两个异面直线的公垂
线段的长度叫做异面 直线间的距离。

A

b
?
B

三、概念形成
概念5.异面直线间的距离(*)
(2)求法 异面直线间的距离可以借助于两直线的公共“法 ? 向量” n ,及两条直线上各取一点的向量来计算。

a
??? ? ? | AP ? n | d? ? n

P

? n

b
?
A

三、概念形成
概念6.求距离的向量统一形式

四种距离的统一向量形式:
点到平面的距离: 直线到平面的距离:

平面到平面的距离:

??? ? ? | AP ? n | d ? ? n

异面直线的距离(*):

四、应用举例
例1.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为1,E为D1C1的 中点,求下列问题: (1) 求B1到面A1BE的距离;

D1
例1.如图,在正方体ABCD-A1B1 C1D1中,棱长为1,E为D1C1的中 点,求下列问题: (1) 求B1到面A1BE的距离; ???? ???? ? 1 A1 E =(-1, ,0),A1 B=(0,1,-1)设n ? ( x, y, z )为面A1BE的法向量,则 2 ? ???? 1 ? ?n ? A1 E ? 0, ? ? x ? y ? 0, E ? D1 C1 2 ? ? ? ???? ?n ? A1 B ? 0, ? y ? z ? 0, ? ? A1 B1 ? y ? 2 x, 取x=1,得平面A1 BE的 即? ? ? z ? 2 x, 一个法向量n ? (1, 2, 2) C D ???? ? 选点B1到面A1BE的斜向量为A1B1 ? ? 0,1,0 ? , y A ???? ? ? B A1B1 ? n 2 得B1到面A1BE的距离为d ? ? ? 3 n 向量解法

z

E

C1

A1

B1
D
C

z

A

y
B

x

x

四、应用举例
例1.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为1,E为D1C1的 中点,求下列问题: (2) 求D1C到面A1BE的距离;

D1
A1
请同学们谁着自己求解!

z

E

C1

B1
D
C

A

y
B

x

四、应用举例
例1.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为1,E为D1C1的 中点,求下列问题: (3) 求面A1DB与面D1CB1的距离;

D1
A1
请同学们谁着自己求解!

z

E

C1

B1
D
C

A

y
B

x

四、应用举例
例1.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为1,E为D1C1的 中点,求下列问题: (4) 求异面直线D1B与A1E的距离。

D1
例1.如图,在正方体ABCD-A1B1 C1D1中,棱长为1,E为D1C1的中 点,求下列问题: (1) 求B1到面A1BE的距离;
以D为坐标原点,DA所在的直线为x轴,DC所在的直线为y轴,DD1所在 的直线为z轴,建立空间直角坐标系D ? xyz,如图所示
1 则D1 (0, 0,1), B(1,1, 0), A1 (1, 0,1), E (0, ,1) 2 ???? ? ???? ? 1 ? A1 D1B ? ?1,1, ?1? ? A1 E ? ? ?1, , 0 ? , 2 ? ? ? ???? ???? ? 设n ? ( x, y , z )是与 A1 E , D1B都垂直的向量,则

z

E

C1

A1
C1

B1
D
C

D1

z

E

B1
D
C

? ???? ?n ? A1 E ? 0, ? ? ? ? ???? ?n ? D1 B ? 0, ?

1 ? ? ? x ? y ? 0, 2 ? ? x ? y ? z ? 0, ?

A

y
B
向量解法

A

y
B

x

x

五、课堂练习
课本第114页,练习A,1,2,3,4

六、课堂总结
怎样利用向量求距离? 1.点到平面的距离:连结该点与平面上任意一点的向量在 平面定向法向量上的射影(如果不知道判断方向,可取其射 影的绝对值) 2.直线到平面的距离:可以转化为点到平面的距离。 3.平行平面间的距离:转化为直线到平面的距离、点到平 面的距离。 4.异面直线间的距离:转化为直线到平面的距离、点到平 面的距离。也可运用闭合曲线求公垂线向量的模或共线向 量定理和公垂线段定义求出公垂线段向量的模。


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