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山东省青岛市2014届高三上学期期中考试 文科数学 Word版含答案


高三数学(文科)练习题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共 150 分.考试时间 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生务必用 2B 铅笔和 0.5 毫米黑色签字笔(中性笔)将姓名、准考证号、 考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上. 2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后, 2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑; 用 如需改动, 用橡皮擦干净后,

再选涂其他答案标号.答案不能答在试题卷上. 3.第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔(中性笔)作答,答案必须写在答题纸各题目 指定区域内相应的位置,不能写在试题卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上 新的答案;不准使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.

第Ⅰ卷(选择题

共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题.每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.已知全集 U ? R , A ? { y | y ? 2x ? 1} ,则 CU A ? A. [0, ??) B. ( ??, 0) C. (0, ??) D. ( ??, 0]

2.已知命题 p 、 q ,则“ p ? q 为真”是“ p ? q 为真”的 A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

3.向量 a ? ( , tan ? ) , b ? (cos ? ,1) ,且 a ∥ b ,则 cos(

?

1 3

?

?

?

?
2

??) ?
D. ?

A.

1 3

B. ?

1 3

C. ?

2 3

2 2 3

4.在正项等比数列 {an } 中, lg a3 ? lg a6 ? lg a9 ? 6 ,则 a1 a11 的值是 A. 10000 B. 1000 C. 100 D. 10

5.已知 a ? 0, 且 a ? 1 ,函数 y ? loga x, y ? a x , y ? x ? a 在同一坐标系中的图象可能是

y

y

y

y

1

1 1

1 1

1
1

O
A

x

O
B

x

O
C

x

O
D

1

x

6.定义运算

a b x ?1 2 在 (??, m) 上单调递减,则实 ? ad ? bc ,若函数 f ? x ? ? c d ?x x ? 3

数 m 的取值范围是 A. (?2, ??) B. [?2, ??) C. (??, ?2) D. (??, ?2]

? x ? y ?1 ? 0 ? 7.已知 x , y 满足 ? x ? y ? 2 ? 0 ,则目标函数 z ? x ? 3 y 的最小值是 ?x ? 2 ?
A.

7 2

B. ?4

C. ?7

D. ?8

8.已知 cos(x ?

?
6

)??

? 3 ,则 cos x ? cos( x ? ) ? 3 3
B. ?

A. ?

2 3 3

2 3 3

C. ? 1

D. ? 1

9.函数 y ? 2 ? 3 x ? A. 2 ? 2 3

4 ? x ? 0 ? 的最大值是 x
B.

2? 4 3

C. 2 ? 2 3

D. 2 ? 4 3

10.已知等差数列 ?an ? 的公差 d ? 0 , a1 ? a ?3a ? ? ? a 若 2 3 1 0 2 A. 2014 B. 2013 C. 1007

, ? 2013at( t ? N* ) 则 t ? D. 1006

? ? ? ? a b ? 11.设 a 、 b 都是非零向量,下列四个条件中,一定能使 ? ? ? ? 0 成立的是 | a | | b| ? ? ? ? ? ? ? 1? A. a ? ? b B. a / / b C. a ? 2b D. a ? b 3
12.已知函数 f ( x ) 的导函数图象如图所示,若 ?ABC 为锐角三角形,则一定成立的是 A. f (sin A) ? f (cos B) B. f (sin A) ? f (cos B) C. f (sin A) ? f (sin B) D. f (cos A) ? f (cos B)

y

O 1

?

x

第Ⅱ卷(非选择题
?log 1 x, x ? 1 ? 2 ?2 ? 4 , x ? 1 ?
x
n

共 90 分)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 13.已知函数 f ( x) ? ? ,则 f ( f ( )) ?

1 2

.

14.若直线 l 与幂函数 y ? x 的图象相切于点 A( 3,3 3) ,则直线 l 的方程为

.

15. 已 知 函 数 f ( x ) 是 (-?,+?) 上 的 奇 函 数 , 且 f ( x ) 的 图 象 关 于 直 线 x ? 1 对 称 , 当

x ? [?1, 0] 时, f ( x) ? ? x ,则 f (2013) ? f (2014) ?

.

16.若对任意 x ? A , y ? B , A 、 B ? R )有唯一确定的 f ( x, y ) 与之对应,称 f ( x, y ) ( 为关于 x 、 y 的二元函数. 现定义满足下列性质的二元函数 f ( x, y ) 为关于实数 x 、 y 的广 义“距离”: (1)非负性: f ( x, y) ? 0 ,当且仅当 x ? y ? 0 时取等号; (2)对称性: f ( x, y ) ? f ( y, x) ; (3)三角形不等式: f ( x, y ) ? f ( x, z ) ? f ( z , y ) 对任意的实数 z 均成立. 今给出四个二元函数:

① f ( x, y) ? x2 ? y 2 ; f ( x, y ) ? ( x ? y ) 2 ③ f ( x, y) ? ②

sin( ) y x ? y ;④ f (x, y) ? x ?
.

.

能够成为关于的 x 、 y 的广义“距离”的函数的所有序号是

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤. 17. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2sin ? x cos ? x ? 2 3sin 2 ? x ? 3 ( ? ? 0 )的最小正周期为 ? . (Ⅰ)求函数 f (x) 的单调增区间; (Ⅱ) 将函数 f (x) 的图象向左平移

? 个单位, 再向上平移 1 个单位, 得到函数 y ? g ( x) 的 6

图象.求 y ? g ( x) 在区间 [0,10? ] 上零点的个数.

18. (本小题满分 12 分)
2 已知等比数列 {an } 为递增数列,且 a5 ? a10 , 2(an ? an?2 ) ? 5an?1 , n ? N .
?

(Ⅰ)求 an ; (Ⅱ)令 cn ? 1 ? (?1)n an ,不等式 ck ? 2014(1 ? k ? 100, k ? N? ) 的解集为 M ,求所有

ak (k ? M ) 的和.

19. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A、B、C 对边分别是 a、b、c ,且满足 2bc cos A ? a ? (b ? c) .
2 2

(Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若 a ? 4 3 , ?ABC 的面积为 4 3 ;求 b, c .

20. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x2 ? 2x ? b(b ? R) . (Ⅰ)若函数 f ( x ) 的值域为 [0, ??) .求关于 x 的不等式 f ( x) ? 4 的解集;

f (t ) ? t 2 ? t (Ⅱ)当 b ? 0 时, m 为常数,且 0 ? m ? 1 ,1 ? m ? t ? m ? 1 ,求 的最小值. f (t ) ? 2t ? 1
21. (本小题满分 13 分) 某连锁分店销售某种商品,每件商品的成本为 4 元,并且每件商品需向总店交

a(1 ? a ? 3) 元的管理费,预计当每件商品的售价为 x(7 ? x ? 9) 元时,一年的销售量为

(10 ? x)2 万件.
(Ⅰ)求该连锁分店一年的利润 L (万元)与每件商品的售价 x 的函数关系式 L( x) ; (Ⅱ)当每件商品的售价为多少元时,该连锁分店一年的利润 L 最大,并求出 L 的最大值.

22. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? e x ? x2 ? ax ,如果函数 f ( x ) 恰有两个不同的极值点 x1 , x2 ,且

x1 ? x2 .
(Ⅰ)证明: x1 ? ln 2 ; (Ⅱ)求 f ( x1 ) 的最小值,并指出此时 a 的值.

高三数学(文科)练习题 参考答案及评分标准
一、选择题:本大题共 12 小题.每小题 5 分,共 60 分. BABAC DCCBC AA 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 13. ?2 14. 9x ? y ? 6 3 ? 0 15. ?1 16.① 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由题意得

f ( x) ? 2sin ? x cos ? x ? 2 3 sin 2 ? x ? 3
? sin 2? x ? 3 cos 2? x ? 2sin(2? x ? ) 3
由周期为 ? ,得 ? ? 1 . 由正弦函数的单调增区间得 得 f ? x ? ? 2sin(2 x ?

?

………………2 分

?
3

)

………………4 分

2 k? ?

?
2

? 2x ?

?
3

? 2 k? ?

?
2

,得 k? ?

?
12

? x ? k? ?

所以函数 f (x) 的单调增区间是 [k? ?

?
12

, k? ?

? (Ⅱ)将函数 f (x) 的图象向左平移 个单位,再向上平移 1 个单位, 6 得到 y ? 2sin 2 x ? 1 的图象,所以 g ( x) ? 2sin 2 x ? 1 ……………………8 分 7? 11? (k ? Z) 令 g ( x) ? 0 ,得: x ? k? ? 或 x ? k? ? …………………10 分
12 12
所以函数在每个周期上恰有两个零点, 18. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)设 {an } 的首项为 a1 ,公比为 q ,

5? ] , k ? Z . ………………6 分 12

5? ,k ?Z 12

?0,10? ? 恰为10 个周期,故 g ( x) 在 ?0,10? ? 上有 20 个零点

…………………12 分

所以 (a1q4 )2 ? a1q9 ,解得 a1 ? q

…………2 分

又因为 2(an ? an?2 ) ? 5an?1 ,所以 2(an ? an q2 ) ? 5an q 则 2(1 ? q2 ) ? 5q , 2q 2 ? 5q ? 2 ? 0 ,解得 q ? 所以 an ? 2 ? 2n?1 ? 2n (Ⅱ)则 cn ? 1 ? (?1)n an ? 1 ? (?2)n , 当 n 为偶数, cn ? 1 ? 2n ? 2014 ,即 2 ? ?2013 ,不成立 …………8 分
n

1 (舍)或 q ? 2 2

…………4 分

…………6 分

当 n 为奇数, cn ? 1+2n ? 2014 ,即 2 ? 2013 ,
n

2 因为 2 =1024, =2048 ,所以 n ? 2m ? 1,5 ? m ? 49 …………10 分
10 11

{ak }(k ? M ) 组成首项为 211 ,公比为 4 的等比数列
则所有 ak (k ? M ) 的和

211 (1 ? 445 ) 2101 ? 2048 ? ……………12 分 1? 4 3

19. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由余弦定理得
a 2 ? b2 ? c 2 ?2 b c o s A

……………2 分

代入 2bc cos A ? a2 ? (b ? c)2 得 4bc cos A ? ?2bc ,……………4 分

1 2? ∴ cos A ? ? , ∵ 0 ? A ? ? ,∴ A ? ………………6 分 2 3
(Ⅱ) S ?

1 bc sin A ? 4 3 ? bc ? 16 ………………8 分 2

2 2 a2 ? b2 ? c2 ?2 b c o s A? b ? c ?3 2 ? b? c ?8 c ………………10 分

解得: b ? c ? 4 ………………12 分 20. (本小题满分 12 分)

? 解: (Ⅰ)由值域为 [0 , ?) ,当 x 2 ? 2x ?b =0 时有 V? 4 ? 4b ? 0 ,即 b ? 1 ,………2 分

所以 f ( x) ? x2 ? 2 x ? 1 ,则 f ( x) ? x2 ? 2 x ? 1 ? 4
2 则 x ? 2 x ? 3 ? 0 ,化简得 ( x ? 3)( x ? 1) ? 0 ,解得 ?3 ? x ? 1

所以不等式的解集为 {x ? 3 ? x ? 1} ……………4 分 (Ⅱ)当 b ? 0 时, f ( x) ? x2 ? 2x ,所以

f (t ) ? t 2 ? t t = 2 f (t ) ? 2t ? 1 t ? 1

因为 0 ? m ? 1 , 1 ? m ? t ? m ? 1,所以 0 ? 1 ? m ? t ? m ? 1 ? 2 令 g (t )=

t 1? t2 ?(t )= 2 ,则 g ……………6 分 t2 ?1 (t ? 1)2

当 0 ? t ? 1 时, g ?(t ) ? 0 , g (t ) 单调增,当 t ? 1 时, g ?(t ) ? 0 , g (t ) 单调减,……8 分 因为 g (1 ? m) ? g (1 ? m) ?

1? m 1? m ? 2 (1 ? m) ? 1 (1 ? m) 2 ? 1

?2m3 ? ? 0 ,所以 g (1 ? m) ? g (1 ? m) ……………10 分 [(1 ? m)2 ? 1][(1 ? m)2 ? 1]
所以 g (t )=

t 1? m 的最小值为 g (1 ? m) ? ……………12 分 t ?1 (1 ? m)2 ? 1
2

故 L( x)max ? L(7) ? 27 ? 9a

……………10 分

2 3 a ? 7 ,即 ? a ? 3 时, 3 2 2 2 ? x ? [7, 6 ? a ] 时, L' ( x) ? 0 ; x ? [6 ? a,9] 时, L?( x) ? 0 3 3 2 2 ? L( x) 在 x ? [7, 6 ? a ] 上单调递增;在 x ? [6 ? a,9] 上单调递减, 3 3 2 a 3 故 L( x) max ? L(6 ? a ) ? 4(2 ? ) ……………12 分 3 3 3 答:当 1 ? a ? 每件商品的售价为 7 元时,该连锁分店一年的利润 L 最大, 2 最大值为 27 ? 9a 万元; 2 3 当 ? a ? 3 每件商品的售价为 6 ? a 元时,该连锁分店一年的利润 L 最大, 3 2 a 3 最大值为 4(2 ? ) 万元. ……………13 分 3
②当 6 ? 22. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)∵ 函数 f ( x ) 恰有两个不同的极值点 x1 , x2 ,即 f ?( x) ? 0 有两个零点 x1 , x2 令 h ? x ? ? e ? 2x ? a .
x

∴ 方程 e ? 2 x ? a ? 0 有两个不同的零点 x1 , x2
x

……………………………2 分

……………………………4 分 h?( x) ? ex ? 2 , 当 x ? ln 2 时, h?( x) ? 0 , h( x) 是减函数; 当 x ? ln 2 时, h?( x) ? 0 , h( x) 是增函数,……………………………………6 分 ∴ h( x) 在 x ? ln 2 时取得最小值. ∴ x1 ? ln 2 . …………………………………7 分 (Ⅱ)∵ h( x1 ) ? 0 ,即 e 1 ? 2x1 ? a ? 0 ,
x

∴ a ? e 1 ? 2x1
x x x

…………………………………9 分
x

2 2 于是 f ( x1 ) ? e 1 ? x1 ? (e 1 ? 2x1 ) ? x1 ? (1 ? x1 )e 1 ? x1 ,

∴ f ?( x1 ) ? x1 (2 ? e 1 )
x

…………………………11 分

∵ x1 ? ln 2 , ∴ 2 ? e x1 ? 0 . ∴ 当 x1 ? 0 时, f ?( x1 ) ? 0 , f ( x1 ) 是减函数; 当 0 ? x1 ? ln 2 时, f ?( x2 ) ? 0 , f ( x1 ) 是增函数 ……………………………12 分

ln ∴ f ( x1 ) 在 (??, 2) 上的最小值为 f ? 0? ? 1,此时 a ? 1 . …………………13 分


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