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数列求和经典题型


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2014 届高考数学快速提升成绩题型训练——数列求和
1. 求数列

1 3 5 7 2n ? 1 , , , , ? ? ? , n 的前 n 项和. 2 4 8 16 2

2 已知 log 3 x ?

?1 ,求

x ? x 2 ? x3 ? ? ? ? ? x n ? ? ? ? 的前 n 项和. log 2 3

3. 求数列 a,2a2,3a3,4a4,?,nan, ?(a 为常数)的前 n 项和。

0 1 2 n 4. 求证: C n ? 3C n ? 5C n ? ? ? ? ? (2n ? 1)C n ? (n ? 1)2 n

5. 求数列

1 1 1 1 , , ,?, ,?的前 n 项和 S n ( n ? 2) 1? 3 2 ? 4 3 ? 5

6. 数列{an}: a1 ? 1, a2 ? 3, a3 ? 2, an ? 2 ? an ?1 ? an ,求 S2002.

7. 求数 5,55,555,?,55?5 的前 n 项和 Sn

8.

已知数列 ?a n

?

是等差数列,且 a1 ? a5 ? a9 ? a13 ? a17 ? 117 ,求 a3 ? a15 的值.

9. 已知数列 ?a n ?的通项公式为 a n ?

1 n ?1 ? n

求它的前 n 项的和.

10. 在数列 ?a n ?中, a1 ? 1 , a n ? Sn 的表达式.

?1? 2S 2 (n ? 2). 证明数列 ? ? 是等差数列,并求出 2S n ? 1 ? sn ?

11. 数列 ?a n

?为正数的等比数列,它的前 n

项和为 80,前 2 n 项和为 6560,且前 n 项中

数值最大的项为 54. 求其首项 a1 及公比 q.

12. 已知数列 a n ?

1 2 n ? ??? 2! 3! (n ? 1) !

求 a 2008 .

13. 设 ?a n

?

为等差数列,Sn 为数列 ?a n

? 的前 n

项和,已知 S7 = 7, S15 = 75. 记 Tn 为数列

? Sn ? ? ? 的前 n 项和,求 Tn . ?n ?

14. 求数列 1 ,3 ,5 ? (2n ? 1 ?

1 2

1 4

1 8

1 ) 的前项和 2n

15. 已知: S n ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? ? ? (?1) n ?1 ? n .求 S n .

16. 求和 12 ? 2 2 ? 32 ? 4 2 ? ? ? 99 2 ? 100 2 .

17. S n ?

1 1 1 1 ? ? ??? ,求 S n 。 1? 2 ? 3 2 ? 3 ? 4 3 ? 4 ? 5 n ? n ? 1?? n ? 2 ?

18. 设数列{an}的前 n 项和为 Sn,且方程 x2-anx-an=0 有一根为 Sn-1,n =1,2,3,?. (Ⅰ)求 a1,a2; (Ⅱ) {an}的通项公式。

19. 已知数列 {a n } : a n ?

? 8 ,求 ? (n ? 1)( a n ? a n ?1 ) 的值。 (n ? 1)( n ? 3) n ?1

2 n 20. 求和: ? ?x? y? ??? ? x ? y2 ? ? ??? ? ? x ? yn ? ? ?x ? 0, x ? 1, y ? 1? ? ? ? ? ? ?

?

1? ?

1 ?

?

1 ?

21. 求数列的前 n 项和: 1 ? 1,

1 1 1 ? 4, 2 ? 7,?, n?1 ? 3n ? 2,? a a a

22. 求数列 {n(n ? 1)(n ? 2)} 的前 n 项和。
0 1 2 n 23. 求证: C n ? 3C n ? 5C n ? ? ? ? ? (2n ? 1)C n ? (n ? 1)2 n

24. 求 sin 2 1? ? sin 2 2? ? sin 2 3? ? ? ? ? ? sin 2 88? ? sin 2 89? 的值。

25. 已知数列 {a n } 的通项公式 a n ?

( 2n) 2 ,求它的前 n 项和. (2n ? 1)( 2n ? 1)

26. 已知数列 {a n } 的通项公式 a n ?

2n ? 1 , 求它的前 n 项和. [n(n ? 1)] 2

27. 求和: S n ? 1 ? n ? 2 ? (n ? 1) ? 3 ? (n ? 2) ? ? ? n ? 1;

28. 已知数列 a n ? (n ? 1) ? (

9 n ) , 求{an }的前n项和S n . 10

0 1 2 3 n 29. 求和 W ? C n ? 4C n ? 7C n ? 10C n ? ? ? (3n ? 1)C n

30. 解答下列问题: (I)设 f ( x) ?

x 2 ? 9 ( x ? ?3),
?1

(1)求 f ( x) 的反函数 f (2)若 u1 ? 1, u n ? ? f (3)若 a k ?

( x);

?1

(u n ?1 ), (n ? 2), 求u n ;

1 , k ? 1,2,3,?, 求数列{a n }的前n项和S n ; u k ? u k ?1

31. 设函数 f ( x) ?

2x ? 3 1 , 作数列{bn } : b1 ? 1, bn ? f ( )( n ? 2), 3x bn ?1

求和: Wn ? b1b2 ? b2 b3 ? b3b4 ? ? ? (?1) n ?1 ? bn bn ?1 .

32. 已知数列 {a n } 的各项为正数,其前 n 项和 S n 满足S n ? (

an ? 1 2 ) , 2

(I)求 a n 与a n ?1 (n ? 2) 之间的关系式,并求 {a n } 的通项公式; (II)求证

1 1 1 ? ??? ? 2. S1 S 2 Sn

33. 已知数列 { a n } 的各项分别为 1, a ? a 2 , a 2 ? a 3 ? a 4 , a 3 ? a 4 ? a 5 ? a 6 ,??, 求{a n } 的 前 n 项和 S n .

34.已知数列{ a n }满足: a1 ? 3a 2 ? ? ? (2n ? 1)a n ? (2n ? 3) ? 2 n ?1 , 数列{bn } 的前 n 项和

S n ? 2n 2 ? n ? 2.求数列{a n ? bn }的前n项和Wn .

35.设数列{ a n }中, a n ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n(n ? N ? ), 将{a n } 中 5 的倍数的项依次记为

b1 , b2 , b3 ,?? ,
(I)求 b1 , b2 , b3 , b4 的值. (II)用 k 表示 b2 k ?1与b2 k ,并说明理由. (III)求和: b1 ? b2 ? b3 ? ? ? b2 n ?1 ? b2 n .

36.数列{ a n }的前 n 项和为 S n ,且满足 a1 ? 1,2S n ? (n ? 1)a n , (I)求 a n 与 a n ?1 的关系式,并求{ a n }的通项公式; (II)求和 Wn ?

1 1 1 ? 2 ??? 2 . a ? 1 a3 ? 1 a n ?1 ? 1
2 2

37. 将等差数列{ a n }的所有项依次排列, 并如下分组: ( a1 ) , ( a 2 , a3 ) , ( a 4 , a5 , a 6 , a 7 ) , ?, 其中第 1 组有 1 项,第 2 组有 2 项,第 3 组有 4 项,?,第 n 组有 2 组中各项的和,已知 T3=-48,T4=0, (I)求数列{ a n }的通项公式; (II)求数列{Tn}的通项公式; (III)设数列{ Tn }的前 n 项和为 Sn,求 S8 的值.
n?1

项,记 Tn 为第 n

38. 设数列 ?a n ?是公差为 d ,且首项为 a0 ? d 的等差数列,
0 1 n 求和: S n ?1 ? a0 C n ? a1C n ? ? ? a n C n

39. (1)设 a1 , a2 ,? , an 是各项均不为零的 n ( n ≥ 4 )项等差数列,且公差 d ? 0 ,若将 此数列删去某一项后得到的数列(按原来的顺序)是等比数列. (i)当 n ? 4 时,求

a1 的数值; d

(ii)求 n 的所有可能值. (2)求证:对于给定的正整数 n ( n ≥ 4 ),存在一个各项及公差均不为零的等差数列

bn ,其中任意三项(按原来的顺序)都不能组成等比数列. b1,b2, ?,

40. 某企业进行技术改造,有两种方案,甲方案:一次性贷款 10 万元,第一年便可获利 1 万元, 以后每年比前一年增加 30%的利润; 乙方案: 每年贷款 1 万元, 第一年可获利 1 万元, 以后每年比前一年增加 5 千元;两种方案的使用期都是 10 年,到期一次性归还本息. 若银 行两种形式的贷款都按年息 5%的复利计算,试比较两种方案中,哪种获利更多? (取 1.05
10

? 1.629,1.310 ? 13.786 ,1.510 ? 57.665 )

答案: 1. 设 Sn ?

1 3 5 7 2n ? 1 1 1 3 5 2n ? 3 2 n ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? n 则 Sn ? ? ? ? ? ? ? ? n ? n?1 2 2 4 8 16 2 4 8 16 2 2


1 Sn ? 2 (




2


??? ? ?


? 12 ? 4 1

1 2 n? 12 ? ?? ? ? n ) ? n ?1 ? ( ? 2 2 2 24

1 1 2 2n 1 ?1 ? ) ? n ?1 n ?1 2 28 2

1? ?1? ?1 ? ? ? ?2? 1 2? ? ? ? 1 2 1? 2
2. 解:由 log 3 x ?

n ?1

? ? n ?1 ? ? ? 2 n ? 1 ? 3 ? ? 1 ? ? 2 n ? 1 ∴ S ? 3 ? 2n ? 3 . ? ? n 2 ?2? 2n ?1 2n ?1 2n

?1 1 ? log 3 x ? ? log 3 2 ? x ? log 2 3 2
Sn ? x ? x ? x ? ? ? ? ? x
2 3 n

由等比数列求和公式得

x(1 ? x n ) = = 1? x

1 1 (1 ? n ) 2 2 =1- 1 1 2n 1? 2
3. 解:若 a=0, 则 Sn=0 若 a=1,
n(n ? 1) 2 若 a≠0 且 a≠1 则

则 Sn=1+2+3+?+n=

Sn=a+2a2+3a3+4a4+?+ nan ∴aSn= a2+2 a3+3 a4+?+nan+1

a ? a n ?1 ? nan ?1 1? a
∴Sn=

∴(1-a) Sn=a+ a2+ a3+?+an- nan+1 =

a ? a n ?1 nan ?1 ? (a ? 1) (1 ? a) 2 1 ? a

当 a=0 时,此式也成立。
n(n ? 1) (a ? 1) 2

∴Sn=

a ? a n ?1 nan ?1 ? (a ? 1) (1 ? a) 2 1 ? a

解析:数列 na

? ?是由数列 ?n?与 ?a ?对应项的积构成的,此类型的才适应错位相减,
n n

(课本中的的等比数列前 n 项和公式就是用这种方法推导出来的) ,但要注意应按以上三种 情况进行讨论,最后再综合成两种情况。
0 1 2 n 4. 证明: 设 S n ? C n ? 3C n ? 5C n ? ? ? ? ? (2n ? 1)C n ………………………….. ①

把①式右边倒转过来得
n n ?1 1 0 S n ? (2n ? 1)C n ? (2n ? 1)C n ? ? ? ? ? 3C n ? Cn

(反序)
m n?m 又由 Cn 可得 ? Cn

0 1 n ?1 n …………..…….. ② S n ? (2n ? 1)C n ? (2n ? 1)C n ? ? ? ? ? 3C n ? Cn 0 1 n ?1 n 2S n ? (2n ? 2)(C n ? Cn ? ? ? ? ? Cn ? Cn ) ? 2(n ? 1) ? 2 n

① + ② 得

(反序相加)


S n ? (n ? 1) ? 2 n

5. 解:∵

1 1 1 1 = ( ? ) n ( n ? 2) 2 n n ? 2
1? 1 1 1 1 1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ? ? ( ? ) ? 2? 3 2 4 n n?2 ? ?

Sn=

1 1 1 1 (1 ? ? ? ) 2 2 n ?1 n ? 2 3 1 1 = ? ? 4 2n ? 2 2n ? 4
= 6. 解:设 S2002= a1 ? a 2 ? a3 ? ? ? ? ? a 2002 由 a1 ? 1, a 2 ? 3, a3 ? 2, a n? 2 ? a n ?1 ? a n 可得

a 4 ? ?1, a5 ? ?3, a6 ? ?2, a7 ? 1, a8 ? 3, a9 ? 2, a10 ? ?1, a11 ? ?3, a12 ? ?2,
??

a6 k ?1 ? 1, a6 k ? 2 ? 3, a6 k ?3 ? 2, a6 k ? 4 ? ?1, a6 k ?5 ? ?3, a6 k ?6 ? ?2
∵ a6 k ?1 ? a6 k ? 2 ? a6 k ?3 ? a6 k ? 4 ? a6 k ?5 ? a6 k ?6 ? 0

(找特

殊性质项)
∴ S2002 =

a1 ? a 2 ? a3 ? ? ? ? ? a 2002

(合并求和)


(a1 ? a 2 ? a3 ? ? ? ?a6 ) ? (a7 ? a8 ? ? ? ?a12 ) ? ? ? ? ? (a6 k ?1 ? a6 k ? 2 ? ? ? ? ? a6 k ?6 )

? ? ? ? ? (a1993 ? a1994 ? ? ? ? ? a1998 ) ? a1999 ? a2000 ? a2001 ? a2002
= a1999 ? a 2000 ? a 2001 ? a2002 = a6 k ?1 ? a6 k ? 2 ? a6 k ?3 ? a6 k ? 4 =5

7. 解: 因为 55?5=

5 (10 n ? 1) 9n

所以 Sn=5+55+555+?+55?5 n =

5 (10 ? 1) ? (10 2 ? 1) ? ? ? ? ? (10 n ? 1) 9

?

?

? 5 ?10 (10 n ? 1) ? n? = ? 9 ? 10 ? 1 ?
=

50 5 50 ? 10 n ? n ? 81 9 81

解析:根据通项的特点,通项可以拆成两项或三项的常见数列,然后再分别求和。

1 1 1 1 ? 2 ? 3 ? ??? ? n n 2 4 8 2 1 1 1 1 可以拆成:Sn=(1+2+3+?+n)+( ? ? ? ? ? ? ? n ) 2 4 8 2
另外:Sn= 1

8. ∵ ?a n

?为等差数列,且 1+17=5+13,
∴ a1 ? a17 ? a5 ? a13 . 由题设易知 a 9 =117. 又 a 9 为 a 3 与 a15 的等差中项,∴ a3 ? a15 ? 2a9 ? 234 .

9. a n ?

1 n ?1 ? n
于是有

? n ?1 ? n

(裂项)

?a1 ? 2 ? 1 ? ?a 2 ? 3 ? 2 ? ?? ?a ? n ? 1 ? n ? n
方程组两边相加,即得

Sn ? n ? 1 ? n

10. 【证明】∵ an ? S n ? S n?1 , ∴. S n ? S n ?1 ? 化简,得 Sn-1-Sn= 2 Sn Sn-1

2 2S n (n ? 2). 2S n ? 1

两边同除以. Sn Sn-1,得

1 1 ? ? 2 (n ? 2). S n S n ?1

∴数列 ?

?1 ? 1 1 ? 1 为首项,2 为公差的等差数列. ? 是以 ? a1 S1 ? Sn ?
∴ Sn ?



1 ? 1 ? (n ? 1) 2 ? 2n ? 1, Sn

1 . 2n ? 1

11. ∵ S 2 n ? S n ? 6560 ? 80 ? 80,

∴此数列为递增等比数列. 故 q ≠ 1.

? a1 (1 ? q n ) ? 80, ? ? 1? q 2n ? ? a (1 ? q ) 依题设,有 ? 1 ? 6560 , ? 1? q ?a q n ?1 ? 54 . ? 1 ? ?
1 ? q n ? 82, q n ? 81.

① ② ③

②÷①,得 ④代入①,得 ⑤代入③,得 ④代入⑥,得

④ ⑤ ⑥

a1 ? q ? 1.
q n ? q n?1 ? 54.

q n?1 ? 27 , 再代入③,得 a1 =2, 再代入⑤,得 q = 3.

12. 令 bn ?

n 1 1 ? ? (n ? 1) ! n ! (n ? 1) !

(裂项)

a n ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? ( ? 1?
故有 a 2008 = 1 ?

? 1 ? 1 1 1 1 1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ?( ? )? 1! 2 ! 2! 3! ? n ! ( n ? 1) ! ?

1 ( n ? 1) !
1 . 2009 !

13. 设等差数列 ?a n

?的公差为 d,则 Sn
∴?

? na1 ?

1 n(n ? 1)d . 2

(I)

∵ S 7 ? 7, S15 ? 75, 解得 a1 ? ?2, d ? 1. 代入(I)得

?7 a1 ? 21d ? 7, ?15 a1 ? 105 d ? 75,

?a1 ? 3d ? 1, 即? ?a1 ? 7 d ? 5.

Sn 1 1 ? a1 ? (n ? 1)d ? ?2 ? (n ? 1). n 2 2

(II)



S n?1 S n 1 ? ? , n ?1 n 2
1 1 2 9 ? Sn ? ? 是首项为 -2,公差为 的等差数列,∴ Tn ? n ? n. 2 4 4 ?n ?

∴数列 ?

14. 解: Sn= 1 1 ? 3 1 ? 5 1 ? ? ? (2n ? 1 ? 1 ) n
2 4 8 2

1 1 1 1 ? (1 ? 3 ? 5 ? ? ? 2n ? 1) ? ( ? ? ? ? ? n ) 2 4 8 2 1? 1 ? 1 ? ( )n ? (1 ? 2n ? 1)n 2 ? 1 2 ? ? ? ? ? n2 ?1? n 1 2 2 1? 2

S n ? (1 ? 2) ? (3 ? 4) ? ? ? [( n ? 2) ? (n ? 1)] ? n
15. 当 n 为正奇数时,

??

n ?1 n ?1 ?n? 2 2 S n ? (1 ? 2) ? (3 ? 4) ? ? ? [( n ? 1) ? n]

当 n 为正偶数时,

??

n 2

?n ?1 (n为正奇数) ? ? 2 综上知 S n ? ? ,注意按 n 的奇偶性讨论! ?? n (n为正偶数) ? ? 2
原式 ? (1 ? 2)(1 ? 2) ? (3 ? 4)(3 ? 4) ? ? ? (2n ? 1 ? 2n)( 2n ? 1 ? 2n) ?
16. ? ? (99 ? 100 )(99 ? 100 ) ? ?3 ? 7 ? 11 ? ? ? (4n ? 1) ? ? ? 199

?-

50 (3+199) =-5050 2

17. 解:因为 an ?

? 1 1? 1 1 ? ? ? ? n ? n ? 1?? n ? 2 ? 2 ? n ? n ? 1? ? n ? 1?? n ? 2 ? ?

所以 S n ?

? 1? 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ?? ? ? ? ? 2 ?1 ? 2 2 ? 3 2 ? 3 3 ? 4 n ? n ? 1? ? n ? 1?? n ? 2 ? ? ? 1 ?1 1 ? ? ? 2 ? 2 ? n ? 1?? n ? 2 ? ?

?

?

4 ? n ? 1?? n ? 2 ?
2

n ? n ? 3?

18. 解:(Ⅰ)当 n=1 时,x -a1x-a1=0 有一根为 S1-1=a1-1,

1 于是(a1-1)2-a1(a1-1)-a1=0,解得 a1=2. 1 当 n=2 时,x2-a2x-a2=0 有一根为 S2-1=a2-2, 1 1 1 于是(a2-2)2-a2(a2-2)-a2=0,解得 a1=6. (Ⅱ)由题设(Sn-1)2-an(Sn-1)-an=0, 即 Sn2-2Sn+1-anSn=0. 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1,代入上式得 Sn-1Sn-2Sn+1=0 ① 1 1 1 2 由(Ⅰ)知 S1=a1=2,S2=a1+a2=2+6=3. 3 由①可得 S3=4. 由此猜想 Sn= n ,n=1,2,3,?. n+1

下面用数学归纳法证明这个结论. (i)n=1 时已知结论成立. (ii)假设 n=k 时结论成立,即 Sk= k , k+1

当 n=k+1 时,由①得 Sk+1= 故 n=k+1 时结论也成立. 综上,由(i)、(ii)可知 Sn=

k+1 1 ,即 Sk+1= , 2-Sk k+2

n 对所有正整数 n 都成立. n+1 n-1 n 1 - n = , n+1 n(n+1)

于是当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=

1 1 又 n=1 时,a1=2= ,所以 1×2 {an}的通项公式 an= n ,n=1,2,3,?. n+1

1 1 ? ] (找通项及特征) (n ? 1)( n ? 3) (n ? 2)( n ? 4) 1 1 (设制分组) ? 8 ?[ ? ] (n ? 2)( n ? 4) (n ? 3)( n ? 4) 1 1 1 1 (裂项) ? 4?( ? ) ? 8( ? ) n?2 n?4 n?3 n?4 ? ? ? 1 1 1 1 ∴ ? (n ? 1)( a n ? a n ?1 ) ? 4? ( ? ) ? 8? ( ? ) (分组、裂项求和) n?4 n?4 n ?1 n ?1 n ? 2 n ?1 n ? 3 1 1 1 13 ? 4?( ? ) ? 8? ? 3 4 4 3

19. 解:∵ (n ? 1)( a n ? a n ?1 ) ? 8(n ? 1)[

20. 解:原式= x ? x ? x ? ? ? x
2 3

?

n

1 1 ? ??? ?y? y ?

2

???

1 yn

? ? ? ?

=

x 1? x 1? x

?

n

?

1? 1 ? ? 1? n ? ? y y ? ? ? ? 1 1? y

=

x ? x n ?1 yn ?1 ? n ?1 1? x y ? yn

21. 解:设 S n ? (1 ? 1) ? (

1 1 1 ? 4) ? ( 2 ? 7) ? ? ? ? ? ( n?1 ? 3n ? 2) a a a

将其每一项拆开再重新组合得

1 1 1 ? 2 ? ? ? ? ? n?1 ) ? (1 ? 4 ? 7 ? ? ? ? ? 3n ? 2) a a a (3n ? 1)n (3n ? 1)n 当 a ? 1 时, S n ? n ? = 2 2 1 1? n 1? n a ? (3n ? 1)n = a ? a ? (3n ? 1)n 当 a ? 1 时, S n ? 1 a ?1 2 2 1? a S n ? (1 ?
22. 解:设 a k ? k (k ? 1)( 2k ? 1) ? 2k 3 ? 3k 2 ? k ∴

S n ? ? k (k ? 1)( 2k ? 1) = ? (2k 3 ? 3k 2 ? k )
k ?1 k ?1

n

n

将其每一项拆开再重新组合得

S n ? 2? k 3 ? 3? k 2 ? ? k

n

n

n

? 2(1 ? 2 ? ? ? ? ? n ) ? 3(12 ? 2 2 ? ? ? ? ? n 2 ) ? (1 ? 2 ? ? ? ? ? n)
3 3

k ?1 3

k ?1

k ?1

n 2 (n ? 1) 2 n(n ? 1)( 2n ? 1) n(n ? 1) ? ? 2 2 2 2 n(n ? 1) (n ? 2) ? 2 ?
0 1 2 n ? 3C n ? 5C n ? ? ? ? ? (2n ? 1)C n 23. 证明: 设 S n ? C n ………………………….. ①

把①式右边倒转过来得
n n ?1 1 0 (反序) S n ? (2n ? 1)C n ? (2n ? 1)C n ? ? ? ? ? 3C n ? Cn
m n?m 又由 Cn ? Cn 可得

0 1 n ?1 n …………..…….. ② S n ? (2n ? 1)C n ? (2n ? 1)C n ? ? ? ? ? 3C n ? Cn

①+②得

0 1 n ?1 n 2S n ? (2n ? 2)(C n ? Cn ? ? ? ? ? Cn ? Cn ) ? 2(n ? 1) ? 2 n (反序相加)



S n ? (n ? 1) ? 2 n

24. 解:设 S ? sin 2 1? ? sin 2 2? ? sin 2 3? ? ? ? ? ? sin 2 88 ? ? sin 2 89 ? …………. ① 将①式右边反序得 2 ? 2 ? 2 ? S ? sin 2 89 ? ? sin 2 88 ? ? ? ? ? ? s i n 3 ?s in 2 ?s in 1 ……② (反序) 又? sin x ? cos(90 ? x), sin x ? cos x ? 1 ①+②得
? 2 2

(反序相加)

2S ? (sin 2 1? ? cos2 1? ) ? (sin 2 2 ? ? cos2 2 ? ) ? ? ? ? ? (sin 2 89 ? ? cos2 89 ? ) ? 89 ∴ S ? 44.5
25. ? a n ?

n n ? , 2n ? 1 2n ? 1

1 2 2 n ?1 n ?1 n n ? S n ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )?( ? ), 3 3 5 2n ? 3 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 1 2 2 3 n ?1 n n n =1 ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )? ? n? 3 3 5 5 2 n ? 1 2 n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 2n(n ? 1) = 2n ? 1
(n ? 1) 2 ? n 2 1 1 ? 2 ? , 2 2 n ? (n ? 1) n (n ? 1) 2

26. ? a n ?

? S n ? (1 ? ? 1?

1 1 1 1 1 1 1 ) ? ( 2 ? 2 ) ??? ( ? 2)?( 2 ? ) 2 2 2 2 3 (n ? 1) n n (n ? 1) 2

1 . (n ? 1) 2

27. 注意:数列的第 n 项“n·1”不是数列的通项公式,记这个数列为 {a n } , ∴其通项公式是

a k ? k ? [n ? (k ? 1)] ? k n ? k 2 ? k (k ? 1,2,3, ? , n), ? S n ? (1 ? 2 ? 3 ? ? ? n) ? n ? (12 ? 2 2 ? 3 2 ? ? ? n 2 ) ? (1 ? 2 ? 3 ? ? ? n) ? n 2 (n ? 1) n(n ? 1)( 2n ? 1) n(n ? 1) n(n ? 1)( n ? 2) ? ? ? . 2 6 2 6
28. ? a n ? n ? 1为等差数列, bn ? (

9 n ) 为等比数列,∴应运用错位求和方法: 10

9 9 9 ? 3 ? ( ) 2 ? ? ? (n ? 1) ? ( ) n ; 10 10 10 9 9 9 9 ? S n ? 2 ? ( ) 2 ? 3 ? ( ) 3 ? ? ? (n ? 1) ? ( ) n ?1 , 10 10 10 10 1 9 9 9 9 9 两式相减得 : S n ? ? [( ) 2 ? ( ) 3 ? ? ? ( ) n ] ? (n ? 1) ? ( ) n ?1 10 5 10 10 10 10 9 81 9 n 9 n ?1 99 9 n ?1 ? ? ? [1 ? ( ) ] ? (n ? 1) ? ( ) ? ? ( ) (n ? 10 ), 5 10 10 10 10 10 9 ? S n ? 99 ? 9(n ? 10 ) ? ( ) n . 10 ? Sn ? 2 ?
29. ? a n ? 3n ? 1为等差数列,? a0 ? an ? a1 ? an ?1 ? ?,
k n?k 而 C n ? C n ,?运用反序求和方法是比较好的想法, 0 1 2 n ?1 n ?W ? C n ? 4C n ? 7C n ? ? ? (3n ? 2)C n ? (3n ? 1)C n ①,

n n ?1 n?2 1 0 ? (3n ? 1)C n ? (3n ? 2)C n ? (3n ? 5)C n ? ? ? 4C n ? Cn 0 1 n?2 1 0 ②, ?W ? (3n ? 1)C n ? (3n ? 2)C n ? (3n ? 5)C n ? ? ? 4C n ? Cn 0 1 2 n ①+②得 2W ? (3n ? 2)(C n ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ) ? (3n ? 2) ? 2 n ,

?W ? (3n ? 2) ? 2 n ?1.

30. (1) f (2)? ?

?1

( x) ? ? x 2 ? 9
2 ?{u n } 是公差为 9 的等差数列,

?u1 ? 1
2 2 ?u n ? u n ?1 ? 9(n ? 2),

2 ? un ? 9n ? 8,

? u n ? 0,
1

? u n ? 9k ? 8 ,
? 1 ( 9k ? 1 ? 9k ? 8 ), 9

(3) a k ?

9k ? 8 ? 9k ? 1

1 ? S n ? [( 10 ? 1) ? ( 19 ? 10 ) ? ? ? ( 9n ? 1 ? 9n ? 8 )] 9 1 ? ( 9n ? 1 ? 1); 9
2 2n ? 1 1 ? bn?1 ,? bn ? ,? bn bn?1 ? (4n 2 ? 8n ? 3), 3 3 9 4 ①当 n 为偶数时 Wn ? {(12 ? 2 2 ) ? (32 ? 4 2 ) ? ? ? [( n ? 1) 2 ? n 2 ]} 9
31. ? bn ?

8 ? {(1 ? 2) ? (3 ? 4) ? ? ? [( n ? 1) ? n]} 9 4 8 n ? ? [3 ? 7 ? 11 ? ? ? (2n ? 1)] ? ? 9 9 2
4 1 n 4 1 ? ? [ (2n ? 2)] ? n ? ? (2n 2 ? 6n); 9 2 2 9 9 4 ②当 n 为奇数时 Wn ? {(12 ? 2 2 ) ? ? ? [( n ? 2) 2 ? (n ? 1) 2 ] ? n 2 } 9
=?

8 1 ? {(1 ? 2) ? (3 ? 4) ? ? ? [( n ? 2) ? (n ? 1)] ? n} ? 9 3 4 8 n ? 1 1 ? {?[3 ? 7 ? 11 ? (2n ? 3)] ? n 2 } ? [? ? n] ? 9 9 2 3 4 1 n ?1 8 n ?1 1 1 ? [? ? ? 2n ? n 2 ] ? ? ? ? (2n 2 ? 6n ? 7). 9 2 2 9 2 3 9

32. (I)? 4 S n ? (a n ? 1) 2 ①,而 4S n ?1 ? (a n ?1 ? 1) 2 ②,
2 2 ①—②得 a n ? an ?1 ? 2(a n ? a n ?1 ) ? 0 ? ( a n ? a n ?1 )( a n ? a n ?1 ? 2) ? 0,

? a n ? 0,? a n ? a n ?1 ? 2(n ? 2),?{a n }是公差d ? 2 的等差数列, 而4a1 ? (a1 ? 1) 2 ? a1 ? 1,
(II)? S n ? n 2 ,?

? a n ? 2n ? 1;

1 1 1 1 1 1 ? ??? ? 2 ? 2 ??? 2 S1 S 2 Sn 1 2 n

1 1 1 1 ? ? ? (n ? 2), 2 n(n ? 1) n ? 1 n n 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? 1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) S1 S 2 Sn 2 2 3 n ?1 n ? ? 2? 1 ? 2. n

33.? a n ? a n ?1 ? a n ? ? ? a 2 n ? 2 , (1) 当a ? 1时a n ? n,? S n ? (2)当 a ? 1时a n ?

n(n ? 1) ; 2

a n ?1 (1 ? a n ) a n ?1 ? a 2 n ?1 ? , 1? a 1? a

? Sn ?

1 [(1 ? a ? a 2 ? ? ? a n?1 ) ? (a ? a 3 ? ? ? a 2 n?1 )], 1? a

1 1 ? a n a(1 ? a 2 n ) [ ? ]; ① 当a ? ?1时, S n ? 1? a 1? a 1? a2
②当 a ? ?1时,1)当 n 为奇数时 S n ?

1? n ; 2 n 2)当 n 为偶数时 S n ? . 2

n ?1 n n 34.当 n ? 2时, (2n ? 1) ? a n ? (2n ? 3) ? 2 ? (2n ? 5) ? 2 ? 2 (2n ? 1),

?a ? 2 n (n ? 2) ? a n ? 2 n ; 而a1 ? ?4, 得? n . ?a1 ? ?4 当n ? 2时, bn ? S n ? S n?1 ? 4n ? 1;
而 b1 ? 1, 得?

?b1 ? 1 . ?bn ? 4n ? 1(n ? 2)

?Wn ? ?4 ? [2 2 ? 7 ? 2 3 ? 11 ? ? ? 2 n (4n ? 1)], 记s ? 2 2 ? 7 ? 2 3 ? 11 ? 2 4 ? 15 ? ? ? 2 n (4n ? 1) ①
? 2s ? 2 3 ? 7 ? 2 4 ? 11 ? ? ? 2 n (4n ? 5) ? 2 n?1 (4n ? 1) ②,
①-②得 ? s ? 28 ? 4(2 ? 2 ? ? ? 2 ) ? 2
3 4 n n ?1

(4n ? 1)

? 28 ? 32(2 n ? 2 ? 1) ? 2 n ?1 (4n ? 1) ? ?4 ? 2 n ?1 (5 ? 4n), ? s ? 4 ? 2 n ?1 (4n ? 5), 得Wn ? 2 n ?1 (4n ? 5).
35. (I) b1 ? a 4 ? 10, b2 ? a5 ? 15, b3 ? a9 ? 45, b4 ? a10 ? 55; (II)? a n ?

n(n ? 1) ? 5m(m ? N ? ),? n ? 5k或n ? 1 ? 5k (k ? N ? ), 2

即n ? 5k ? 1或n ? 5k ,? b2 k ?1 ? b2 k ,? b2 k ?1 ? a5 k ?1 ? b2 k ? a5k ? 5k (5k ? 1) ; 2

5k (5k ? 1) , 2

(III)? b2 n ?1 ? b2 n ? 25n 2 ,? b1 ? b2 ? ? ? b2 n ?

25 n(n ? 1)( 2n ? 1). 6

36. (I)? ?

?2S n ? (n ? 1)a n n , 两式相减得a n ? a n ?1 (n ? 2), n ?1 ?2S n ?1 ? nan ?1

?

an a a a n n ?1 2 ? n ? n ?1 ? ? ? 2 ? ? ? ? ? ? n,? a n ? n; a1 a n ?1 a n ?2 a1 n ? 1 n ? 2 1
1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? [(1 ? ) ? ( ? )] 1? 3 2 ? 4 3 ? 5 n(n ? 2) 2 3 2 4

(II) Wn ?

1 1 1 1 1 3 1 1 ? ( ? ) ??? ( ? )] ? [ ? ? ]. 3 5 n n?2 2 2 n ?1 n ? 2

37. (I)设{ a n }的公差为 d,则 T3 ? 4a7 ? 6d ? ?48 ①, T4 ? 8a7 ? 36 d ? 0 ②,解①、 ②得 d ? 2, a7 ? ?9,? a n ? 2n ? 23; (II)当 n ? 2 时,在前 n-1 组中共有项数为 1 ? 2 ? ? ? 2
n ?1
n?2

? 2 n ?1 ? 1,

∴第 n 组中的 2

项的和Tn ? (2 n ? 23) ? 2 n ?1 ?

2 n ?1 (2 n ?1 ? 1) ?2 2

? 3 ? 2 2 n?2 ? 24 ? 2 n?1 ;
(III) S 8为{a n }的前255项,

? S 8 ? 59415 .

0 1 n 38. 解析:因为 S n ?1 ? a0 C n , ? a1C n ? ? ? an Cn n n ?1 0 0 1 n , S n?1 ? a n C n ? a n?1C n ? ? ? a0 C n ? an Cn ? a n?1C n ? ? ? a0 C n
0 1 n ? 2Sn?1 ? (a0 ? an )C n ?(a1 ? an ?1 )Cn ? ? ? (an ? a0 )Cn
0 1 n ? (a0 ? an )(Cn ? Cn ? ? ? Cn ) ? (a0 ? an )2n

? Sn ?1 ? (a0 ? an ) ? 2n ?1 。
39. (1)①当 n=4 时, a1 , a2 , a3 , a4 中不可能删去首项或末项,否则等差数列中连续三项成 等比数列,则推出 d=0。

a1 ? ?4 d a 若删去 a3 ,则 a2 2 ? a1 ? a4 ,即 (a1 ? d ) 2 ? a1 ? (a1 ? 3d ) 化简得 a1 ? d ? 0 ,得 1 ? 1 d a1 a1 综上,得 ? ?4 或 ? 1 。 d d ②当 n=5 时, a1 , a2 , a3 , a4 , a5 中同样不可能删去 a1 , a2 , a4 , a5 ,否则出现连续三项。
2 ?4 , ) 若删去 a2 , 则 a3 ?a1 a 即 (a1 ?2d 2

?a 1? (a 1?3d )

化简得 a1 ? 4d ? 0 , 得

若删去 a3 ,则 a1 ?a5 ? a2 ?a4 ,即 a1 (a1 ? 4d ) ?(a 1 ?d ) ?(a 1 ?3d) 为 d ? 0 ,所以 a3 不能删去;

化简得 3d ? 0 ,因
2

当 n≥6 时,不存在这样的等差数列。事实上,在数列 a1 , a2 , a3 ,?, an ?2 , an ?1 , an 中, 由于不能删去首项或末项,若删去 a2 ,则必有 a1 ? an ? a3 ? an ? 2 ,这与 d ? 0 矛盾;同样若删 去 an ?1 也有 a1 ? an ? a 3 ? an ? 2 ,这与 d ? 0 矛盾;若删去 a3 ,? , an ? 2 中任意一个,则必有

a1 ? an ? a2 ? an ?1 ,这与 d ? 0 矛盾。(或者说:当 n≥6 时,无论删去哪一项,剩余的项中必
有连续的三项) 综上所述, n ? 4 。 ( 2 )假设对于某个正整数 n ,存在一个公差为 d 的 n 项等差数列 b1 , b2 ,...... bn ,其中

bx ?1 , by ?1 , bz ?1 ( 0 ? x ? y ? z ? n ? 1 )为任意三项成等比数列,则 b 2 y ?1 ? bx ?1 ? bz ?1 ,即
2 2 (b1 ? yd )2 ? ( b 1 ? xd) ? ( b 1 ? zd),化简得 ( y ? xz )d ? ( x ? z ? 2 y )b 1d

(*)

由 b1d ? 0 知, y ? xz 与 x ? z ? 2 y 同时为 0 或同时不为 0
2

当 y ? xz 与 x ? z ? 2 y 同时为 0 时,有 x ? y ? z 与题设矛盾。
2

故 y ? xz 与 x ? z ? 2 y 同时不为 0,所以由(*)得
2

b1 y 2 ? xz ? d x ? z ? 2y
b1 为有理数。 d

因为 0 ? x ? y ? z ? n ? 1 ,且 x、y、z 为整数,所以上式右边为有理数,从而

于是, 对于任意的正整数 n(n ? 4) , 只要

b1 为无理数, 相应的数列就是满足题意要求的数列。 d

例如 n 项数列 1,1 ? 2 , 1 ? 2 2 ,??,1 ? (n ? 1) 2 满足要求。

40. 解析:甲方案是等比数列,乙方案是等差数列, ①甲方案获利: 1 ? (1 ? 30%) ? (1 ? 30%) 2 ? ? ? (1 ? 30%)9 ? 元) , 银行贷款本息: 10(1 ? 5%)
10

1.310 ? 1 ? 42.63 (万 0.3

? 16.29 (万元) ,

故甲方案纯利: 42.63 ? 16.29 ? 26.34 (万元) , ②乙方案获利: 1 ? (1 ? 0.5) ? (1 ? 2 ? 0.5) ? ? ? (1 ? 9 ? 0.5) ? 10 ? 1 ? ; ? 32.50 (万元) 银行本息和: 1.05 ? [1 ? (1 ? 5%) ? (1 ? 5%) ? ? ? (1 ? 5%) ]
2 9

10 ? 9 ? 0.5 2

? 1.05 ?

1.0510 ? 1 ? 13 .21 (万元) 0.05

故乙方案纯利: 32.50 ? 13.21 ? 19.29 (万元) ; 综上可知,甲方案更好。

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