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《泄露天机》陕西省西安市第一中学2017届高三高考押题卷+数学(理)(二)学生版含答案

时间:2017-05-18


理 科 数 学(二)
本试题卷共 6 页, 23 题 ( 含选考题 ) 。全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。

第Ⅰ卷
一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。
1. 已知集合 A ? ?( x, y) | y ? x ?1,0≤x≤ 集合 B ? ?( x

, y) | y ? 2x,0≤x≤ 则集合 A ? B = 1? , 10? , ( ) B. ?x | 0≤x≤ 1? C. ?1, 2 ?

A. ?1, 2? 2.已知复数 z 满足 A.第一象限

?

?

D. ?

z ?1 1 ? i ,则复数 z 在复平面内对应点在( z ?1 2
B.第二象限 C.第三象限

) D.第四象限

3. 《九章算术》 中“开立圆术”曰: “置积尺数, 以十六乘之, 九而一, 所得开立方除之, 即立圆径” . “开 立圆术”相当于给出了已知球的体积 V,求其直径 d,公式为 d ? “开立圆术”的方法求球的体积为( A. ) C.
3

16 1 V .如果球的半径为 ,根据 3 9
? 6

4? 81

B.

? 6

4 81

D.

4. 已知函数 f ? x ? ? sin ? ? x ? 的最小值为( A. ) B.

? ?

π? 1 7π ? ? 满足 ? ? cos ? ? x ? ? ?? ? 0 ? , 3? 2 6 ? ?

? π? 3 则满足题意的 ? f ?? ? ? , ? 6? 4

1 3

1 2

C.1

D. 2 )

5.某几何体的三视图如图所示,设正方形的边长为 a,则该三棱锥的表面积为(

A. a 2

B. 3a

2

C.

3 2 a 6

D. 2 3a

2

6.某工厂生产了一批颜色和外观都一样的跳舞机器人,从这批跳舞机器人中随机抽取了 8 个,其中 有 2 个是次品,现从 8 个跳舞机器人中随机抽取 2 个分配给测验员,则测验员拿到次品的概率是 ( A. )

3 28

B.

1 28

C.

7.如图所示,在梯形 ABCD 中,∠B= 在向量 BC 上的投影为 ?

??? ?

??? ? ??? ? 1 ,则 CE ? BD ? ( 2

??? ? π , AB ? 2 ,BC=2,点 E 为 AB 的中点,若向量 CD 2


3 7

D.

13 28

A.-2

B. ?

1 2

C.0

D. 2

8.已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn,且 S2=4,S4=16,数列 ?bn ? 满足 bn ? an ? an?1 ,则数列

?bn ? 的前 9 和 T9 为(
A.80

) B.20 C.180 D.166

9.2015 年 12 月 16 日“第三届世界互联网大会”在中国乌镇举办.为了保护与会者的安全,将 5 个安 保小组全部安排到指定三个区域内工作,且这三个区域每个区域至少有一个安保小组,则这样的安 排的方法共有( A.96 种 ) B.100 种 C.124 种 D.150 种

10.已知函数 y ? x ? cos x ,有以下命题:

① f ? x ? 的定义域是 ? 2kπ,2kπ ? 2π ? ; ② f ? x ? 的值域是 R; ③ f ? x ? 是奇函数; ④ f ? x ? 的图象与直线 y ? x 的交点中有一个点的横坐标为 其中推断正确的个数是( A.0 B.1 ) C.2 D.3

π , 2

11.已知椭圆的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1 , F1 , F2 为椭圆的左右焦点,O 为原点,P 是椭圆在第一象 5 4


限的点,则

PF1 ? PF2 PO

的取值范围(

A. ? 0,

? ? ?

5? ? 5 ? ?

B. ? 0,

? ? ?

2 5? ? 5 ? ?

C. ? 0,

? ? ?

3 5? ? 5 ? ?

D. ? 0,

? ? ?

6 5? ? 5 ? ?

12.已知正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的棱长为 1,E 为棱 CC1 的中点,F 为棱 AA 1 上的点,且满足 点 F、 B、 E、 G、 H 为面 MBN 过三点 B、 E、 F 的截面与正方体 ABCD ? A1B1C1D1 A1F : FA ? 1: 2 , 在棱上的交点,则下列说法错误的是( A.HF//BE B. BM ? )

13 2 65 65 23 61 144

C.∠MBN 的余弦值为

D.五边形 FBEGH 的面积为

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第 13~21 题为必考题,每个试题考生都必 须作答。第 22~23 题为选考题,考生根据要求作答。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。

13.为了确定学生的答卷时间,需要确定回答每道题所用的时间,为此进行了 5 次实验,根据收集 到的数据,如表所示: 题数 x(道) 所需要时间 y(分钟) 2 3 3 6 4 7 5 8 6 11

由最小二乘法求得回归方程 y ? 1.8 x ? a ,则 a 的值为_________.

?? (参考公式: b

? ? x ? x ?? y ? y ?
n i ?1 i i

? ? x ? x?
n i ?7 i

2

? ? y ? bx ? ) ,a

14.若 ( x ? 3)(1 ?

n 2 n ) 的展开式中常数项为 43,则 ? 2 xdx ? 2 x



15.执行如图所示的程序框图,若输出 S 的值为 ?

103 ,则判断框中应填入的条件是__________. 32

16.已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,满足 S n ? ?2an ? 1 ? 公式________.

1 ?3? , cn ? ? ? an ,则数列 ?cn ? 的通项 n 3 ?2?

n

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17. (本小题满分 12 分)已知锐角三角形 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且满足

cos2 B ? cos2 C ? sin 2 A ? ? sin A sin B , sin ? A ? B ? ? cos ? A ? B ? .

(1)求角 A、B、C; (2)若 a ?

2 ,求三角形 ABC 的边长 b 的值及三角形 ABC 的面积.

18. (本小题满分 12 分) 2017 年 3 月 29 日, 中国自主研制系全球最大水陆两栖飞机 AG600 将于 2017 年 5 月计划首飞. AG600 飞机的用途很多, 最主要的是森林灭火、 水上救援、 物资运输、 海洋探测. 根 据灾情监测情报部门监测得知某个时间段全国有 10 起灾情,其中森林灭火 2 起,水上救援 3 起,物 资运输 5 起.现从 10 起灾情中任意选取 3 起, (1)求三种类型灾情中各取到 1 个的概率; (2)设 X 表示取到的森林灭火的数目,求 X 的分布列与数学期望.

ABCD 是平行四边形, 19 . (本小题满分 12 分)如图所示,直棱柱 ABCD ? A 1B 1C1D 1 ,底面

AA1 ? AB ? B1D1 ? 3 , BC ? 2 , E 是边 B1C1 的中点, F 是边 CC1 上的动点.
(1)求证: D1E ? BF ; (2)当 C1F ? BC 时, (Ⅰ)求证: BF ? 平面 D1EF . (Ⅱ)求面 D1BF 与底面 A1B1C1D1 所成的二面角的余弦值.

20. (本小题满分 12 分)设椭圆 C:

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的左顶点为 ? ?2,0? ,且椭圆 C 与直线 a 2 b2

y?

6 x ? 3 相切. 2

(1)求椭圆的标准方程; (2)过点 P ? 0,1? 的动直线与椭圆 C 交于 A,B 两点,设 O 为坐标原点,是否存在常数 ? ,使得

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? OA ? OB ? ? PA ? PB ? ?7 ?请说明理由.

21. (本小题满分 12 分)设函数 y ? (1)求证: f ? x ? ≤1 ?

ln x , x ?1

2 ; x ?1

(2)当 x≥1 时, f ? x ?≥ln x ? a( x ?1) 恒成立,求 a 的取值范围.

请考生在 22 、 23 题中任选一题作答 , 如果多做 , 则按所做的第一题计分。
22. (本小题满分 10 分)已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处,极轴与 x 轴非负半轴重合, 直线 l 的极坐标方程为 3? cos ? ? ? sin ? ? 6 ? 0 ,圆 C 的参数方程为 ? (1)求直线被圆所截得的弦长; (2)已知点 P ? 0, ?2? ,过 P 的直线 l ' 与圆所相交于 A、B 不同的两点,求 PA ? PB .

? ? x ? 5 cos ? ? ? y ? 1 ? 5 sin ?
??? ? ??? ?



23. (本小题满分 10 分)已知点 P ? a, b? 在圆 C: x2 ? y 2 ? x ? y x, y ? ? 0, ??? 上, (1)求

?

?

1 1 ? 的最小值; a b

(2)是否存在 a , b ,满足 ? a ?1??b ?1? ? 4 ?如果存在,请说明理由.

理科数学(二)答案
第I卷
一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。
1. 【答案】C 【解析】 根据题意可得,? 选 C. 2. 【答案】D 【解析】设复数 z ? a ? bi , ? a, b ? R ? ,则 z ? a ? bi ,因为

? y ? x ?1 ?x ? 1 , 解得 ? , 满足题意 0≤x≤1 , 所以集合 A ? B = ??1, 2 ?? . 故 y ? 2 x y ? 2 ? ?

z ?1 1 ? i ,所以 2 z ? 1 ? ? z ? 1? i , z ?1 2

?

?

5 ? a? ? 2 a ? 2 ? ? b ? 5 4 ? 3 所以 2(a ? 1) ? 2bi ? ? a ?1? i ? b ,所以可得 ? ,解得 ? ,所以 z ? ? i ,所以 3 3 ??2b ? a ? 1 ?b ? ? 4 ? 3 ?
复数 z 在复平面内对应点 ? , ?

?5 ?3

4? ? 在第四象限上.故选 D. 3?

3. 【答案】D 【解析】根据公式 d ? 4. 【答案】C 【 解 析 】 根 据 题 意 可 得 ,
3

16 2 16 1 V 得, ? 3 V ,解得 V ? .故选 D. 6 9 3 9

π? 1 7π ? π? 1 ? π? 3 ? π? ? ? ? f ? x ? ? sin ? ? x ? ? ? cos ? ? x ? ? ? sin ? ? x ? ? ? sin ? ? x ? ? ? sin ? ? x ? ? , 因 3? 2 6 ? 3? 2 ? 3? 2 ? 3? ? ? ?
为 f ??

5? 3 ?? π ? π? 3 ? ?? ? ? ? π? 3 ? ? ,所以 sin ? ? ? ? ? ? ? ? , ? ? ? ? ? ? ? 2k ? 或 6 ? 2k ?, k ? Z ,解 3 6 2 ?? 6 ? 3? 4 ? 6? ? 6? 4

得 ? ? ?12k ? 1 或 ?12k ? 3 ,又 ? ? 0 ,显然 ?min ? 1 .故选 C. 5. 【答案】D 【解析】如图所示,

该几何体是正方体的内接正三棱锥,所以三棱锥的棱长为

2a , 因 此 此 几 何 体 的 表 面 积

1 S ? 4? ? 2

?

2a sin 60? ? 2 3a 2 .故选 D.

?

2

6. 【答案】D 【解析】根据题意可得 P ? 7. 【答案】A 【解析】以 B 为原点,BC 为 x 轴,AB 为 y 轴建系如图,
1 C1 C2 13 6 C2 2 .故选 D. ? ? 2 2 C8 C8 28

∵ AB ? 2 ,BC=2,∴ A 0, 2 , B ? 0,0? , C ? 2,0? ,D 的纵坐标为 2 , ∵点 E 为 AB 的中点, ∴ E ? 0,

?

?

? ? ?

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 1 2? , 若向量 CD 在向量 BC 上的投影为 ? , 设向量 CD 与向量 BC ? 2 2 ? ?
1 , 过 D 作 DF ⊥ BC , 垂 足 为 F , 在 Rt △ DFC 中 , 2

? ?? 的 夹 角 为 ? , 所 以 CD c o s

??? ?

??? ? FC ??? ? 1 ??? ? ? ? ?3 2 ? ??? ? ?3 ? , BD ? ? , 2 ? , ? 2, cos? π ? ? ? ? ??? ? ,所以 CF ? ,所以 D ? , 2 ? ,所以 CE ? ? ? ? ? 2 2 ? ?2 ? ?2 ? CD ? ??? ? ??? ? 所以 CE ? BD ? ?3 ? 1 ? ?2 .
8. 【答案】C. 【解析】设等差数列 ?an ? 的公差为 d ,因为 bn ? an ? an?1 ,所以 bn?1 ? an?1 ? an?2 ,两式相减 所以数列 ?bn ? 也为等差数列. 因为 ?an ? 为等差数列, bn?1 ? bn ? an?1 ? an?2 ? an ? an?1 ? 2d 为常数, 且 S2=4,S4=16,所以 b1 ? a1 ? a2 ? S2 ? 4 , b3 ? a3 ? a4 ? S4 ? S2 ? 12 ,所以等差数列 ?bn ? 的 公差 2d ? 选 C. 9.【答案】D 【解析】∵三个区域至少有一个安保小组,所以可以把 5 个安保小组分成三组,一种是按照 1、1、 3,另一种是 1、2、2;当按照 1、1、3 来分时共有 N1 ?
1 3 C1 5C4 C3 A3 3 ? 60 ,当按照 1、2、2 来分时 2 A2

? n ? 1? n ? 4 ? 2n2 ? 2n , b3 ? b1 ? 4, 所以前 n 项和公式为 Tn ? 4n ? 所以 T9 ? 180 . 故 2 2

共有 N2 ?

2 2 1 C5 C3 C1 3 A3 ? 90 ,根据分类计数原理知共有,故 N ? N1 ? N2 ? 150 ,选 D. A2 2

10. 【答案】C

【解析 】根据题意可以得到函 数的定义域 为 R ,值域 为 R ,所 以①不正确, ②正确;由 于

f ? x? ? x? cos x,所以 f ? ?x ? ? ? x ? cos x ,所以 f ? ?x ? ? f ? x ? ,且 f ? ?x ? ? ? f ?x ? ,故此函
数是非奇非偶函数,所以③不正确;当 x ? 点中有一个点的横坐标为 11. 【答案】B 【解析】 设 P ? x0 , y0 ? , 则 0 ? x0 ? 5 ,e ?

π 时, x ? cos x ? x ,即 f ? x ? 的图象与直线 y ? x 的交 2

π ;所以④正确.故选 C. 2

1 5 5 5 , PF1 ? 5 ? x0 , PF2 ? 5 ? x0 , ? 5 5 5 5
2 5 x0 5 ? 1 2 x0 ? 4 5 2 5 5 ,因为 0 ? x0 ? 5 ,所以 1 4 ? 2 5 x0

PF ? PF2 1 2 2 2 PO ? x0 ? y0 ? x0 ? 4 ,则 1 ? 5 PO

1 4 4 4 ? 2 ? 1 ,所以 0 ? ? ,所以 2 5 x0 x0 5

2 5 PF1 ? PF2 2 5 2 5 5 ,所以 0 ? .故选 B. ? ? 5 PO 5 1 4 ? 2 5 x0

12. 【答案】C 【解析】因为面 AD1 / /面BC1 ,且面 AD1 与面 MBN 的交线为 FH, 面BC1 与面 MBN 的交线为

BE,所以 HF//BE,A 正确;因为 A1F / / BB1 ,且 A1F : FA ? 1: 2 ,所以 MA1 : A1B1 ? 1: 2 ,所以
MA1 ? 1 3 13 2 2 ,所以 B1 M ? ,在 Rt△ BB1M 中, BM ? BB1 ? B1M ? ,所以 B 正确;在 Rt 2 2 2

△ BB1 N 中,E 为棱 CC1 的中点,所以 C1 为棱 NB1 上的中点,所以 C1 N ? 1 ,在 Rt△ C1EN 中,

EN ? C1E 2 ? C1 N 2 ?

5 5 2 2 ,所以 BN ? 5 ;因为 MN ? MB1 ? NB1 ? ,在△ BMN 中, 2 2

cos ?MBN ?

BM 2 ? BN 2 ? MN2 2 65 2 65 ? , 所 以 C 错 误 ; 因 为 cos ?MBN ? ,所以 2 BM ? BN 65 65

sin ?MBN ?

61 1 61 , 所 以 S△BMN ? ? BM ?BN ? sin ?MBN ? ,根据题意可得, 2 4 65

S△GEN ?

1 1 23 61 S△BMN , S△MFH ? S△BMN ,所以 S面BEGHF ? S△BMN ? S△GEN ? S△MFH ? .故选 4 9 144

C.

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第 13~21 题为必考题,每个试题考生都必 须作答。第 22~23 题为选考题,考生根据要求作答。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。
13. 【答案】 ?0.2 【 解 析 】 由 题 意 可 知 , x?

2?3? 4?5? 6 3 ? 5 ? 7 ? 9 ? 11 ?4 , y? ?7 , 5 5

?? b

? ? x ? x ?? y ? y ?
5 i ?1 i i

? ( x ? x)
i ?1 i

5

? 1.8 ,所以 a ? 7 ? 4 ?1.8 ? ?0.2 .

2

14. 【答案】21

? 2 ? 2 n 2 n ) 的展开式的通项为 C r ) 的常数项 【解析】根据题意可得 (1 ? n ?? ? ,当 r=0 时, (1 ? x? x x ?
r ? ?1 2 n r ? 2 ? r r 2 ,令 ? ? 1 ? 0 ,解得 r ) 的常数项为 3,而 Cr 为 1, ( x ? 3)(1 ? ? ? x ? ? 2 C x ? ? n n? ? 2 x x? ? r

r

=2,所以当 r=2 时, ( x ? 3)(1 ?
2

2 n 2 n 2 ) 的常数项为 ? ?2 ? C 2 ) 的展开式中 n ,综上, ( x ? 3)(1 ? x x

2 2 常 数 项 为 3 ? ? ?2 ? C n = 43 , 整 理 得 n ? n ? 20 ? 0 , 解 得 n = 5 , 或 n = - 4 ( 舍 去 ) ,则

?

n

2

2 xdx ? ? 2 xdx ? x 2 5 2 ? 21 .
2

5

15. 【答案】 n≥6 (注:此题类似于 n >5 等符合题意的答案均可,答案不唯一) 【解析】当 n ? 1 时, S ? 0 ?

2?7 5 5 2? 2? 7 13 ? ? ,当 n ? 2 时, S ? ? ? ? ? ,当 n ? 3 时, 2 2 2 2 2 4 103 13 6 ? 7 13 1 27 27 8 ? 7 53 , S?? ? ? ? ? ? ? ,当 n ? 4 时, S ? ? ? ? ? ,当 n ? 5 时, S ? ? 32 4 8 4 8 8 8 16 16

所以判断框中应填入的条件是 n≥6 . 16. 【答案】 cn ?

2 1 ? 3 3 ? 2n ?1 1 2 ,解得 a1 ? , 1 3 9

【解析】由 a1 ? S1 ? ?2a1 ? 1 ?

当 n≥2 时, an ? Sn ? Sn ?1 ? ? ?2an ? 1 ? 解得 an ?

? ?

1 1 1? ? 1 ? ? ?2an?1 ? 1 ? n?1 ? ? 2an?1 ? 2an ? n ?1 ? n , n ? ? 3 3 3 ? ? 3 ?

2 2 an ?1 ? n ?1 , 3 3
n n ?1

3n ? 3 ? ?3? 两边同时乘以 n 得 ? ? an ? ? ? 2 ?2? ?2?

an?1 ?

21?n , 3

?3? ?3? 由 cn ? ? ? an ,所以 cn?1 ? ? ? ?2? ?2?

n

n ?1

21?n , an?1 ,则 cn ? cn?1 ? 3

所以数列 ?cn ? cn?1? 是一个等比数列, 所以 c2 ? c1 ?

21?n 1 1 1 , c3 ? c2 ? , c4 ? c3 ? ,……, cn ? cn ?1 ? , 6 12 24 3
n ?1

1? ?1? ?1 ? ? ? ?2? 1 1 21?n 6 ? 将上述式子相加,可得 cn ? c1 ? ? ??? ? ? 1 6 12 3 2
n ?1 3 2 1 1? ?1? ? 1 2 1 而 c1 ? ? ? ,所以 cn ? ? 1 ? ? ? ? ? ? ? . n ?1 ? 2 9 3 3? ? ? 2 ? ? 3 3 3? 2

? ? n ?1 ? 1? ? ? 1? ? 1 ? ? , ? ? ? ? ? 3? ? ?2? ?

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17. (本小题满分 12 分) 【答案】 (1) A ?

? 5 ? 6? 2 3? 3 ?,C ? ; ,B ? (2) b ? , S△ABC == . 12 3 4 2 4

【解析】 (1)因为 A,B 均为锐角, sin ? A ? B ? ? cos ? A ? B ? , ∴ sin A cos B ? cos A sin B ? cos A cos B ? sin A sin B , ∴ sin A cos B ? sin A sin B ? cos A cos B ? cos A sin B , ∴ sin A? cos B ? sin B ? ? cos A ? cos B ? sin B ? ∵B 为锐角,∴ cos B ? sin B ? 0 , ∴ sin A ? cos A ,则 A 的大小为

? , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·3 分 4

2 2 2 在△ABC 中, cos B ? cos C ? sin A ? ? sin A sin B ,

2 2 2 ∴ 1 ? sin B ? 1 ? sin C ? sin A ? ? sin A sin B ,

?

? ?

?

∴ sin 2 C ? sin 2 B ? sin 2 A ? ? sin A sin B , ∴ a 2 ? b2 ? c2 ? ?ab ,

1 ? ,∴ C ? , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·6 分 2 3 ? ? 5 ?. ∴B ? ?? ? ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·7 分 3 4 12 a b ? (2)根据正弦定理 , sin A sin B
∴ cos C ? 得b ?

a sin B 5π π π 6? 2 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·9 分 ? 2sin ? 2sin( ? ) ? sin A 12 6 4 2

∴ S△ABC =

1 1 3 6 ? 2 3? 3 . · · · · · · · · · · · · · · 12 分 ? sin C ? ab ? ? ? 2? = 2 2 2 2 4

18. (本小题满分 12 分) 【答案】 (1)

1 3 ; (2) . 4 5

【解析】 (1)令 A 表示事件“三种类型灾情中各取到 1 个”, 则由古典概型的概率公式有 P ? A? ?
1 1 C1 1 2 C3C5 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·6 分 ? ; 3 C10 4

(2)随机变量 X 的取值为:0,1,2,则· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·7 分

P( X ? 0) ?

3 C8 7 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·8 分 ? , 3 C10 15 2 C1 7 2 C8 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·9 分 ? , 3 C10 15 1 C2 1 2 C8 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 ? , 3 C10 15

P( X ? 1) ?

P( X ? 2) ?

X P
E ? X ? ? 0?

0

1

2

7 15

7 15

1 15

7 7 1 3 ? 1? ? 2 ? ? . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 15 15 15 5

19. (本小题满分 12 分)

【答案】 (1)见解析; (2) (Ⅰ)见解析, (Ⅱ) ?

6 61 . 61

【解析】 (1)因为底面 A1B1C1D1 是平行四边形,所以 AB ? B1D1 ? D1C1 ? 3 ,E 是 B1C1 的中点,所 以 D1E ⊥ B1C1 .在直棱柱 ABCD ? A 1B 1C1D 1 ,因为 CC1 ⊥底面 A 1B 1C1 D 1, D 1 E ?底面 A 1B 1C1D 1, 所以 D1E ⊥ CC1 ,因为 B1C1 ∩ CC1 = C1 ,所以 D1E ⊥平面 B1BCC1,又 BF?平面 B1BCC1,所以

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·4 分 D1E ⊥BF.
(2) (Ⅰ)由(1)知 D1E ⊥BF, 在矩形 BB1C1C 中,因为 CF ? C1E =1, BC ? C1F ? 2 , ∴ Rt△BCF≌Rt△FC1E . ∴ ?CFB ? ?FEC1 , ?CBF ? ?C1FE , ∴ ?BFE ? 90? ,∴ BF ? EF , 又∵ D1E ? EF ? E , ∴ BF ? 平面 D1EF . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·8 分 (Ⅱ)以 D1 为原点,分别以 A1D1 , D1C1 和 D1 D1 所在直线为 x 轴,y 轴,z 轴,如图建系:

则 D1 ? 0,0,0? , B ? 2,3,3? , F ? 0,3,2? , D ? 0,0,3? 所 以 D1 B ? ? 2 , 3 , ?3, D1 F ? ? 0,3, 2 ? ,

???? ?

???? ?

???? ? D1D ? ? 0, 0,3? ,
设面 D1BF 的法向量为 n ? ? x, y, z ? ,

?

2 ? ? ???? ? y? ? ? ?2 x ? 3 y ? 3 z ? 0 ? ?n ? D1 B ? 0 3 则 ? ? ???? ,解得 ? ,令 z ? ?1 ,所以 ? , ? 1 3 y ? 2 z ? 0 n ? D F ? 0 ? ? ? ? 1 x? ? ? 2
所以 n ? ?

?

?1 2 ? , , ?1? , ?2 3 ?

由已知可知 D1D ? 底面 A1B1C1D1 ,所以 D1D 是底面 A1B1C1D1 的一个法向量, 设面 D1BF 与底面 A1B1C1D1 所成的二面角为 ? ,则

???? ? ? D1 D ? n ?6 6 61 . cos ? ? ???? ?? ? ? ? 61 61 D1 D ? n
所以面 D1BF 与底面 A1B1C1D1 所成的二面角的余弦值为 ? 20. (本小题满分 12 分)

6 61 . · · · · · · · · · · · 12 分 61

x2 y 2 ? ? 1, 【答案】 (1) (2)存在, ? ? 2 . 4 3
【解析】 (1)根据题意可知 a ? 2 ,所以

x2 y 2 ? ? 1, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·1 分 4 b2

? x2 y 2 ? ?1 ? 6 ? 4 b2 由椭圆 C 与直线 y ? , x ? 3 相切,联立得 ? 2 6 ?y ? x?3 ? ? 2
2 2 2 消去 y 可得: b ? 6 x ? 12 6 x ? 36 ? 4b ? 0 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·3 分

?

?

? ? 0 ,即 12 6
2

?

?

2

? 4 ? b2 ? 6?? 36 ? 4b2 ? ? 0 ,

解得: b ? 0(舍) 或 3, 所以椭圆的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·5 分 4 3

(2)当过点 P 的直线 AB 的斜率存在时,设直线 AB 的方程为 y ? kx ? 1 ,设 A、B 两点的坐标分 别为 ? x1 , y1 ? , ? x2 , y2 ? ,

? x2 y 2 ?1 ? ? 2 2 联立得 ? 4 ,化简 ? 3 ? 4k ? x ? 8kx ? 8 ? 0 , 3 ? y ? kx ? 1 ?

8k ? x ? x ? ? 1 2 ? 4k 2 ? 3 ? 8 ? 所以 ? x1 x2 ? ? 2 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·7 分 4k ? 3 ? ? ?≥0 ? 恒成立 ? ? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 所以 OA ? OB ? ? PA ? PB ? x1x2+y1 y2+?[ x1x2+( y1- 1)( y2- 1)]
? ?1 ? ? ? ?1 ? k 2 ? x1 x2 ? k ? x1 ? x2 ? ? 1

??

8(1+? )(1+k 2 ) 8k 2 ? ?1 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3

?
?

?2? ? 4 ? 4 ? 4k 2 ? 3? ? 2? ? 4k 2 ? 3? 4k 2 ? 3

?1

?2? ? 4 ? 2? ? 3 , 4k 2 ? 3 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 所以当 ? ? 2 时, OA ? OB ? ? PA ? PB ? ?7 ; · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分
当过点 P 的直线 AB 的斜率不存在时,直线即与 y 轴重合,此时 A 0, 3 ,B 0, ? 3 ,所以

?

? ?

?

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? OA ? OB ? ? PA ? PB ? ?3+?[( 3- 1)(? 3- 1)] ? ?3 ? 2? ,
所以当 ? ? 2 时, OA ? OB ? ? PA ? PB ? ?7 ; 综上所述,当 ? ? 2 时, OA ? OB ? ? PA ? PB ? ?7 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 21. (本小题满分 12 分) 【答案】 (1)见解析, (2) ? , ?? ? . 【解析】 (1)要证明 f ? x ? ≤1 ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

?1 ?2

? ?

2 ln x x ?1 ≤ ,即 ,又因为 x ? 0 , x ?1 x ?1 x ?1

也就是要证明 ln x≤x ? 1 ,即 ln x ? x ? 1≤0 , 下面证明 ln x ? x ? 1≤0 恒成立, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·1 分 令 g ? x ? ? ln x ? x ? 1,

g '? x? ?

1 1? x ?1 ? ,令 g ' ? x ? ? 0 ,得 x ? 1 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·3 分 x x

可知: g ? x ? 在 ? 0,1? 上递增,在 ?1, ?? ? 上递减, 所以 g ? x ?≤g ?1? ? ln1 ?1 ?1 ? 0 , 即证. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·5 分 (2)当 x≥1 时, f ? x ?≥ln x ? a( x ?1) 恒成立,

ln x ≥ ln x ? a ( x ? 1) ,即 x ln x ? a ? x 2 ? 1? ≤0 , x ?1
2 令 h ? x ? ? x ln x ? a x ? 1 , ? x≥ 1? ,

?

?

h ' ? x ? ? ln x ?1 ? 2ax ,
令 H ? x ? ? ln x ? 1 ? 2ax ,所以 H ' ? x ? ? ①当 a≤ 0 时,

1 1 ? 2ax ? 2a ? , · · · · · · · · · · · · · ·6 分 x x

H ' ? x ? ? 0 恒成立,所以 H ? x ? 在 ?1, ?? ? 上递增, h ' ? x ? ? H ? x ?≥H ?1? ? 1 ? 2a ? 0 ,
所以 h ? x ? 在 ?1, ?? ? 上递增, 所以 h ? x ?≥h ?1? ? 0 , 所以 a≤ 0 不符合题意. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·8 分 ②当 0 ? a ? 当 x ? ?1,

1 1 ? 1, 时, 2 2a

? 1 ? ? 时, H ' ? x ? ? 0 , H ? x ? 递增, ? 2a ?

h ' ? x ? ? H ? x ?≥H ?1? ? 1 ? 2a ? 0 ,
从而 h ? x ? 在 ?1,

? 1 ? ? 上递增, ? 2a ?

所以 h ? x ?≥h ?1? ? 0 ,

1 不符合题意. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 2 1 1 ?1, ③当 a≥ 时, 2 2a
所以 0 ? a ?

H ' ? x ? ? 0 恒成立,所以 H ? x ? 在 ?1, ?? ? 上递减, h ' ? x ? ? H ? x ?≤H ?1? ? 1 ? 2a ? 0 ,
所以 h ? x ? 在 ?1, ?? ? 上递减, 所以 h ? x ?≤h ?1? ? 0 , 所以 a≥ 符合题意. 综上所述: a 的取值范围是 ? , ?? ? . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分

1 2

?1 ?2

? ?

请考生在 22 、 23 题中任选一题作答 , 如果多做 , 则按所做的第一题计分。
22. (本小题满分 10 分) 【答案】 (1) 10 ; (2) 4 . 【解析】 ( 1 )将圆 C 的参数方程化为直角坐标系方程: x2 ? y 2 ? 2 y ? 4 ? 0 ,化为标准方程是

x 2 ? ? y ? 1? ? 5 ,直线 l : 3x ? y ? 6 ? 0 .
2 2 由 x ? ? y ? 1? ? 5 ,所以圆心 C ? 0,1? ,半径 r ? 5 ; 2

所以圆心 C 到直线 l : 3x ? y ? 6 ? 0 的距离是 d ?

3 ? 0 ? 1?1 ? 6 32 ? 12

?
2

10 ; 2

直线 l 被圆 C 所截得的弦长为 AB ? 2 r ? d ? 2
2 2

? 5?

2

? 10 ? .5 分 ?? ? 2 ? ? ? 10 ? ?

(2)设直线 l ' 的参数方程为 ?
2

? x ? cos ? ? t 2 2 ,将其带入圆的方程 x ? ? y ? 1? ? 5 , ? y ? ?2 ? sin ? ? t
2

可得: ? cos ? ? t ? ? ? ?2 ? sin ? ? t ? 1? ? 5 ,
2 化简得: t ? 6sin ? ? t ? 4 ? 0 ,

所以 t1 ? t2 ? 6sin ? , t1 ? t2 ? 4 , 所以 PA ? PB ? t1 ? t2 ? 4 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 23. (本小题满分 10 分) 【答案】 (1)2; (2)存在.

??? ? ??? ?

【解析】 (1)

1 1 a ? b a 2 ? b 2 2ab ? ? ? ≥ ? 2, a b ab ab ab

当且仅当 a ? b ? 1 时,等号成立. 所以

1 1 ? 的最小值为 2. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·5 分 a b

(2)存在. 因为 a 2 ? b2≥2ab ,所以 ? a ? b ? ≤2 a ? b
2 2

?

2

? =2 ? a ? b ? ,

所以 ? a ? b ? ? 2 ? a ? b ? ≤0 ,
2

又 a, b ? ? 0, ??? ,所以 0 ? a ? b≤2 .

? ? a ? 1? ? ? b ? 1? ? ?2 ? 2? ? 4, 从而有 ? a ? 1?? b ? 1? ≤ ? ? ≤? 2 ? 2 ? ? ? ?
2 2

因此存在 a ? 1 , b ? 1 ,满足 ? a ?1??b ?1? ? 4 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分


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