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2013届惠州一中广州二中东莞中学中山纪中深圳实验珠海一中高三第一次联考数学理

时间:2016-01-23


2013 届高三六校第一次联考
理科数学 试题
命题学校:珠海一中

第一部分 选择题(共 40 分) 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的 1. 若集合 M 是函数 y ? lg x 的定义域,N 是函数 y ? 1 ? x 的定义域, 则 M ? N 等于(

A. (0,1] 2.在复平面内,复数 A.第一象限 B. (0, ??) C. ? ) D.第四象限 D. [1, ??) )

1 ? i 3 对应的点位于 ( 1? i


B.第二象限

C.第三象限

3.下列命题正确的是(

2 A. ?x0 ? R, x0 ? 2x0 ? 3 ? 0

B. ?x ? N , x3 ? x2
2 2 D.若 a ? b ,则 a ? b

C. x ? 1 是 x ? 1 的充分不必要条件
2

4.已知向量 a =(x,1),b =(3,6),a ? b ,则实数 x 的值为( ) A.

1 2

B. ? 2

C. 2

D. ?

1 2

2 2 5.经过圆 C : ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 4 的圆心且斜率为 1 的直线方程为 (

) D. x ? y ? 3 ? 0
甲 5 3 1 2 3 4 图1 4 2 5 5 6 7 3 7 8 乙

A. x ? y ? 3 ? 0

B. x ? y ? 3 ? 0

C. x ? y ? 1 ? 0

6. 图 1 是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图, 则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是( ) A.65 C.63 B.64 D.62
3 4

6 8 7 9 1

1 a ? a9 7.已知等比数列 ?an ? 中,各项都是正数,且 a1 , a 3 ,2a 2 成等差数列,则 8 等于( ) 2 a6 ? a7
A. 1 ? 2 B. 1 ? 2 C. 3 ? 2 2 D. 3 ? 2 2

1

?x ? 0 ?y ? 0 8. 在约束条件 ? 目标函数 z ? 3x ? 2 y 的最大值的变化范围是 () 下,当3 ? s ? 5 时, ? x ? y ? s ? ? ? y ? 2x ? 4

( A) .[6,15]

( B ) .[7,15]

(C ) [6,8]

( D) .[7,8]

第二部分 非选择题(共 110 分) 二、填空题: 本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分 (一)必做题(9~13 题) 9.( ax -

1 x

) 的展开式中 x 的系数为 70 ,则 a 的值为
8

2

; ;

10.下面是一个算法的程序框图,当输入的值 x 为 5 时,则其输出的结果是

开始

输入x

x?0
Y

N

x ? x ?3

y ? 0.5x
输出 y

结束 11. 若

?

a

0

xdx = 1 ,则实数 a 的值是_________.
x2 y 2 x 2 y2 ? ? 1( a > 0 , b > 0) ? =1 有相同的焦点,且双曲线的离 和椭圆 a 2 b2 16 9
.

12.已知双曲线

心率是椭圆离心率的两倍,则双曲线的方程为 13 .已知函数 f ( x) ? ?

?a x ( x ? 0), f ( x1 ) ? f ( x2 ) 满足对任意 x1 ? x2 , 都有 ?0 x ? x ( a ? 3 ) x ? 4 a ( x ? 0 ) 1 2 ?

成立,则 a 的取值范围是 . (二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题)

2

14. (坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中,直线ρ sin(θ + 为 .

π )=2 被圆ρ =4 截得的弦长 4

P 是圆 O 外一点, PCD , 15. (几何证明选讲选做题) 如图 4, 过 P 引圆 O 的两条割线 PAB 、

PA ? AB ? 5 , CD ? 3 ,则 PC ? ____________.
P

B A O C

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? 2sin x cos x ? cos 2x ( x ?R). (1) 求 f ? x ? 的最小正周期和最大值; (2) 若 ? 为锐角,且 f ? ? ? 17.(本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? loga x( a为常数且 a ? 0, a ? 1 ),已知数列 f ( x1 ), f ( x2 ), ? f ( xn ),?是 公差为 2 的等差数列,且 x1 ? a 2 . (Ⅰ)求数列 {xn } 的通项公式; (Ⅱ)当 a ?
图4

D

? ?

??

2 ,求 tan 2? 的值. ?? 8? 3

1 1 时,求证: x1 ? x 2 ? ? ? x n ? . 2 3

18.(本小题满分 14 分) 为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关,对本班 50 人进行了问卷调查得到了如下的列联 表: 喜爱打篮球 男生 女生 合计 已知在全部 50 人中随机抽取 1 人抽到喜爱打篮球的学生的概率为 . (1)请将上面的列联表补充完整(不用写计算过程); (2)能否在犯错误的概率不超过 0.005 的前提下认为喜爱打篮球与性别有关?说明你的 理由; (3)现从女生中抽取 2 人进一步调查,设其中喜爱打篮球的女生人数为 ? ,求 ? 的分布 10 50 不喜爱打篮球 5 合计

3 5

3

列与期望. 下面的临界值表供参考:
P( K ? k )
2

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

k
(参考公式: K 2 ?

n(ad ? bc)2 ,其中 n ? a ? b ? c ? d ) (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

19.(本小题满分 14 分) 一个几何体的三视图如右图所示,其中正视图和侧视 图是腰长为 6 的两个全等的等腰直角三角形. (Ⅰ)请画出该几何体的直观图,并求出它的体积; (Ⅱ)用多少个这样的几何体可以拼成一个棱长为 6 的正方体 ABCD—A1B1C1D1? 如何组拼?试证明你的结论; (Ⅲ)在(Ⅱ)的情形下,设正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱 CC1 的中点为 E, 求平面 AB1E 与平面 ABC 所成二面 角的余弦值. 20.(本小题满分14分)

正视图

侧视图

俯视图 已知点 F ? 0,1? ,直线 l : y ? ?1 , P 为平面上的动点,过点 P 作直线 l 的垂线,垂足 为 Q ,且 QP ? QF ? FP ? FQ . (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)已知圆 M 过定点 D ? 0,2? ,圆心 M 在轨迹 C 上运动,且圆 M 与 x 轴交于 A 、 B 两点,设 DA ? l1 , DB ? l2 ,求 21.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x ? ax(a ? 0) , g ( x) ? ln x , f ( x ) 图象与 x 轴异于原点的交点 M 处
2

l1 l2 ? 的最大值. l2 l1

[来源:中国学考频道www.xk100.com]

的切线为 l1 , g ( x ? 1) 与 x 轴的交点 N 处的切线为 l2 , 并且 l1 与 l2 平行. (1)求 f (2) 的值; (2)已知实数 t∈R,求函数 y ? f [ xg ( x)+t ], x ??1, e? 的最小值;

g( ' x) (3) 令 F (x) ?g (x) ?

, 给定 x 1 , x2 ? (1, ??), x 1 ? x2 , 对于两个大于 1 的正数 ? , ? ,

存在实数 m 满足: ? ? mx1 ? (1 ? m) x2 , ? ? (1 ? m) x1 ? mx2 ,并且使得不等式

| F (? ) ? F (? ) |?| F ( x1 ) ? F ( x2 ) | 恒成立,求实数 m 的取值范围.
4

2013 届高三六校第一次联考
理科数学参考答案及评分标准
一、选择题:本大题主要考查基本知识和基本运算.共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 题号 1 2 3 答案 A D C 4 5 6 7 8 D

B A B C

二、填空题:本大题主要考查基本知识和基本运算.本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每 小题 5 分,满分 20 分.其中 14~15 题是选做题,考生只能选做一题. 9. 1或-1 10. 2 11. 2 12.

x2 y 2 ? ?1 4 3

13. ? 0. ? 4

? 1? ? ?

14.4 3

15. 2

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(1) 解: f ? x ? ? 2sin x cos x ? cos 2x

? sin 2 x ? cos 2 x

…… 2 分 …… 3 分

? 2 ? 2 ? 2? ? 2 sin 2 x ? 2 cos 2 x ? ? ? ?

?? ? ? 2 sin ? 2 x ? ? . 4? ?
∴ f ? x ? 的最小正周期为 (2) 解:∵ f ? ? ?

…… 4 分

2? ? ? , 最大值为 2 . 2
∴ 2 sin ? 2? ?

…… 6 分

? ?

??

2 , ?? 8? 3
1 . 3

? ?

??

2 . ?? 2? 3

…… 7 分

∴ cos 2? ?

…… 8 分

∵ ? 为锐角,即 0 ? ? ?

?
2

,

∴ 0 ? 2? ? ? .

∴ sin 2? ? 1 ? cos 2? ?
2

2 2 . 3
5

…… 10 分

∴ tan 2? ?

sin 2? ?2 2. cos 2?

…… 12 分

17.(本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ)? f ( x1 ) ? loga a 2 ? 2

d ?2

? f ( xn ) ? 2 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n
--------6 分

即: loga xn ? 2n

xn ? a 2n
n

1 ?1? (Ⅱ)当 a ? 时, x n ? ? ? 2 ? 4?

1 ?1? 1 ?? ? ? n 4 ? 4? 4 1 ? ?1? ? 1 x1 ? x 2 ? ? ? x n ? ? ?1 ? ? ? ? ? ----------12 分 1 3? ? 3 ? ? 4? ? 1? 4
18.(本小题满分 14 分) 解:(1) 列联表补充如下:----------------------------------------3 分 喜爱打篮球 男生 女生 合计 (2)∵ K ?
2

n

不喜爱打篮球 5 15 20

合计 25 25 50

20 10 30

50 ? (20 ?15 ? 10 ? 5) 2 ? 8.333 ? 7.879 ------------------------6 分 30 ? 20 ? 25 ? 25

∴ 在 犯 错 误 的 概 率 不 超 过 0.005 的 前 提 下 , 认 为 喜 爱 打 篮 球 与 性 别 有 关.---------------------7 分 (3)喜爱打篮球的女生人数 ? 的可能取值为 0,1, 2 .-------------------------9 分
0 2 1 1 2 0 C10 C15 C10 C15 C10 C15 7 1 3 其概率分别为 P(? ? 0) ? ? , P(? ? 1) ? ? , P(? ? 2) ? ? 2 2 2 C25 20 C25 2 C25 20

------------ --------------12 分 故 ? 的分布列为:

?
P

0

1

2

7 20

1 2

3 20

--------------------------13 分

7 1 3 4 ? 的期望值为: E? ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? ---------------------14 分 20 2 20 5

6

19.(本小题满分 14 分) 解:(Ⅰ)该几何体的直观图如图 1 所示,它是有一条 侧棱垂直于底面的四棱锥. 其中底面 ABCD 是边长为 6 的 正方形,高为 CC1=6,故所求体积是

C1

C D 图1 A

1 V ? ? 6 2 ? 6 ? 72 3

B

------------------------4 分

(Ⅱ)依题意,正方体的体积是原四棱锥体积的 3 倍, 故用 3 个这样的四棱锥可以拼成一个棱长为 6 的正方体, 其拼法如图 2 所示. ------------------------6 分 证明:∵面 ABCD、面 ABB1A1、面 AA1D1D 为全等的

C1 D1
正方形,于是

B1 A1

VC1 ? ABCD ? VC1 ? ABB1A1 ? VC1 ? AA1D1D

故所拼图形成立.---8 分

C D z C1 图2 A

B

(Ⅲ)方法一:设 B1E,BC 的延长线交于点 G, 连结 GA,在底面 ABC 内作 BH⊥AG,垂足为 H, 连结 HB1,则 B1H⊥AG,故∠B1HB 为平面 AB1E 与 平面 ABC 所成二面角或其补角的平面角. --------10 分 在 Rt△ABG 中, AG ? 180 ,则

B1 A1 H B A y

D1 E C

BH ?

6 ? 12 180

?

12 5

, B1 H ?

BH ? BB1 ?
2

2

18 5

G

[来源:中国学考频道 www.xk100.com]

x

D

图3

cos?B1 HB ?

2 HB 2 ? ,故平面 AB1E 与平面 ABC 所成二面角的余弦值为 ? .---14 分 3 HB1 3

方法二:以 C 为原点,CD、CB、CC1 所在直线分别为 x、y、z 轴建立直角坐标系(如 图 3),∵正方体棱长为 6,则 E(0,0,3),B1(0,6,6),A(6,6,0). 设向量 n=(x,y,z),满足 n⊥ EB1 ,n⊥ AB1 ,

?x ? z ?6 y ? 3z ? 0 ? 于是 ? ,解得 ? 1 . y?? z ?? 6 x ? 6 z ? 0 ? 2 ?

--------------------12 分

取 z=2, 得 n= (2, -1, 2) . 又 BB1 ?(0, 0, 6) ,cos ? n, BB1 ?? 故平面 AB1E 与平面 ABC 所成二面角的余弦值为 ?

n ? BB1 | n || BB1 |

?

12 2 ? 18 3

2 . ----------------14 分 3

20.(本小题满分14分)

7

(1)解:设 P ? x, y ? ,则 Q ? x, ?1? , ∵ QP? QF ? FP?FQ , ∴ ? 0, y ?1?? ? ?x,2? ? ? x, y ?1??? x, ?2? . --------------------2分 即 2 ? y ? 1? ? x ? 2 ? y ?1? ,即 x2 ? 4 y ,
2

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

所以动点 P 的轨迹 C 的方程 x2 ? 4 y . --------------------4分 (2)解:设圆 M 的圆心坐标为 M ? a, b ? ,则 a 2 ? 4b . 圆 M 的半径为 MD ? a ? ? b ? 2 ? .
2 2
2 圆 M 的方程为 ? x ? a ? ? ? y ? b ? ? a ? ? b ? 2 ? . 2 2 2 2 2 令 y ? 0 ,则 ? x ? a ? ? b ? a ? ? b ? 2 ? , 2 2



整理得, x2 ? 2ax ? 4b ? 4 ? 0 . 由①、②解得, x ? a ? 2 . --------------------6分 不妨设 A ? a ? 2,0? , B ? a ? 2,0? , ∴ l1 ?



? a ? 2?

2

? 4 , l2 ?

? a ? 2?

2

? 4 .--------------------8分

l1 l2 l12 ? l2 2 2a 2 ? 16 ∴ ? ? ? l2 l1 l1l2 a 4 ? 64
?2

?a

16a 2 ? 2 1? 4 , a 4 ? 64 a ? 64

2

? 8?

2



当 a ? 0 时,由③得,

l1 l2 16 16 ? ? 2 1? ≤2 1 ? ?2 2. 64 l2 l1 2 ? 8 2 a ? 2 a

当且仅当 a ? ?2 2 时,等号成立.--------------------12分 当 a ? 0 时,由③得,

l1 l2 ? ? 2 . --------------------13分 l2 l1

故当 a ? ?2 2 时,

l1 l2 ? 的最大值为 2 2 . --------------------14分 l2 l1

21. (本小题满分 14 分)

8

解: y ? f ( x) 图象与 x 轴异于原点的交点 M (a,0) , f '( x) ? 2 x ? a

y ? g ( x ? 1) ? ln( x ? 1) 图象与 x 轴的交点 N (2, 0) , g '( x ? 1) ?
由 题 意 可 得

1 x ?1
, 即

kl1 ? kl2

a ? 1,


………………………………………………2 分

f ( x) ? x2 ? x,
…………………………………………3 分



f (2) ? 22 ? 2 ? 2

y ? f [ xg ( x)+t ] ? [ x ln x+t ]2 ? ( x ln x+t ) = ( x ln x)2 ? (2t ?1)( x ln x) ? t 2 ? t ………………
…4 分 令 u ? x ln x ,在 x ??1, e? 时, u ' ? ln x ? 1 ? 0 , ∴

u ? x ln x



?1, e?











0 ? u ? e,

…………………………5 分

y ? u 2 ? (2t ?1)u ? t 2 ? t 图象的对称轴 u ?
① 当
2 i

u?

1 ? 2t ?0 2

1 ? 2t ,抛物线开口向上 2 1 t? 即 2





ym ? |u?


y

? n
u?

分 t ? …………………………………6 t 0



1 ? 2t ?e 2



t?

1 ? 2e 2





ymin ? y |u ?e ? e2 ? (2t ?1)e ? t 2 ? t
③当 0 ?

………………………………7 分

1 ? 2t 1 ? 2e 1 ? e即 ? t ? 时, 2 2 2
u? 1? 2t 2

ymin ? y |

1 ? 2t 2 1 ? 2t 2 1 ?( ) ? (2t ? 1) ?t ?t ? ? 2 2 4
1, 1 1 x ?1 F '( x) ? ? 2 ? 2 ? 0 得x ? 1 x x x x
区 间

……………… ……

……………8 分

(3) F ( x) ? g ( x) ? g '( x) ? ln x ?
所 增 以

F ( x)



(1, ??)









……………………………………………………………9 分

? F(1) ?0 ∴ 当x ? 1 时, F(x)

9

①当 m ? (0,1) 时,有 ? ? mx1 ? (1 ? m) x2 ? mx1 ? (1 ? m) x1 ? x1 ,

? ? mx1 ? (1 ? m) x2 ? mx2 ? (1 ? m) x2 ? x2 ,


? ? ( x1, x2 )







? ? ( x1, x2 ) ,

………………………………………10分

∴ 由 f ( x) 的单调性知 从 设. 而 有

0 ? F ( x1 ) ? F (? ) 、 F (? ) ? F ( x2 )
, 符 合 题

| F (? ) ? F (? ) |?| F ( x1 ) ? F ( x2 ) |

………………………………11 分

②当 m ? 0 时, ? ? mx1 ? (1 ? m) x2 ? mx2 ? (1 ? m) x2 ? x2 ,

? ? (1 ? m) x1 ? mx2 ? (1 ? m) x1 ? mx1 ? x1 ,
由 f ( x) 的单调性知 0 ? F (? ) ? F ( x1 ) ? F ( x2 ) ? F (? ) , ∴

| F (? ) ? F (? ) |?| F ( x1 ) ? F ( x2 ) |











符 ……………………………………12 分 ③当 m ? 1 时,同理可得 ? ? x1 , ? ? x2 , 得 符. ∴ 综

| F (? ) ? F (? ) |?| F ( x1 ) ? F ( x2 ) |











……………………………………13 分 合 ① 、 ② 、 ③ 得

m ? (0,1)

……………………………………14 分 说明:各题如有其它解法,按照相应的步骤给分.

10


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