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北京市海淀区2009届高三一模数学(文)试题(WORD精校版)

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海淀区高三年级第二学期期中练习 数 学 (文科) 2009.4

本试卷共 4 页,150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上 作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 (1)若 sin ? ? cos ? ? 0 ,且 cos ? ? 0 ,则角 ? 是 (A)第一象限角 (B) 第二象限角 (C)第三象限角 (2)函数

f ( x) = 2 的反函数 y ? f
x ?1

( ) (D)第四象限角 ( )

? x ? 的图象是
y 2 1

y 2 1

y 2 1
1 2 x

o

1

2

x

o

o

1

2

x

(A) (B) (C) (3)若向量 a =(1,2) =(1,-3) ,b ,则向量 a 与 b 的夹角等于 (A) 45
?

(D) ( ) (D) 135 )
?

(B) 60

?

(C) 120

?

(4)已知 l 是直线, ? 、 ? 是两个不同平面,下列命题中真命题是( (A)若 l // ? , l // ? ,则 ? // ? (C)若 l ^

(B)若 ? ^ ? , l // ? ,则 l ^ ? (D)若 l // ? , ? // ? ,则 l // ? ( )

? , l // ? ,则 ? ^ ?

(5) “ a ? 2 ” “ 是 “直线 2 x + ay - 1 = 0 与直线 ax + 3 y - 2 = 0 平行” 的 (A)充分必要条件 (C)必要而不充分条件 (6)函数 f ( x) ? sin( (B)充分而不必要条件 (D)既不充分也不必要条件 (

? ? x) 的一个单调增区间为 4 3? 7? ? 3? ? ? (A) ( , (B) (? , ) (C)(? , ) ) 4 4 4 4 2 2 (7)若实数 a, b, c 成公差不为 0 的等差数列,则下列不等式不成立的是 ...
(A) b - a + (C) b ? ac
2



(D)(?

3? ? , ) 4 4




1 c- b

2

(B) ab + bc + ca ? a

2

b2 + c 2

(D) b - a ? c

b

(8) 对于数列 {an } , 若存在常数 M , 使得对任意 n ? N * , n 与 an ?1 中至少有一个不小于 M , a 则记作 {an } ? M ,那么下列命题正确的是( )

(A).若 {an } ? M ,则数列 {an } 各项均大于或等于 M (B) 若 {an } ? M , {bn } ? M ,则 {an ? bn } ? 2M (C)若 {an } ? M ,则 {an } ? M
2 2

(D)若 {an } ? M ,则 {2an ? 1} ? 2M ? 1 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在题中横线上. (9)函数 y ? sin πx 的最小正周期是 (10)在 (2 ? .

x )6 的展开式中, x 的系数是__________(用数字作答).

(11)椭圆的两个焦点为 F1 、 F2 ,短轴的一个端点为 A ,且三角形 F1 AF2 是顶角为 120?的 等腰三角形形,则此椭圆的离心率为 .
?

(12)已知四面体 P — A B C 中, PA ? PB ? PC ,且 AB ? AC , ?BAC ? 90 ,则异面 直线 PA 与 BC 所成的角为 ( 13 ) 在 ?ABC 中 , AC = . ;

6 , BC= 2, B = 60 , 则 ∠ A 的 大 小 是

AB =

.

? x ≤1, ? (14.)若实数 x,y 满足 ? y ≤ x, ,则 z ? 3x ? 2 y 的最小值是 ? 2 2 ?x ? y - 4x ? 2≥ 0
直角坐标系中,此不等式组表示的平面区域的面积是 三、解答题: (15) (本小题共 12 分) 已知 A ? x | x ? a |? 4 , B ? x | x ? 2 |? 3 . (I)若 a ? 1 ,求 A ? B ; (II)若 A ? B ? R,求实数 a 的取值范围. .

;在平面

?

?

?

?

(16) 本小题共 14 分) ( 如图, 四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 平 面 ABCD, 底 面 ABCD为 直 角 梯 形 , 且 AB // CD ,

P

?BAD ? 90? , PA ? AD ? DC ? 2 , AB ? 4 .
(I)求证: BC ? PC ; (II)求 PB 与平面 PAC 所成的角的正弦值; (III)求点 A 到平面 PBC 的距离.

A D B C

(17) (本小题共 13 分)

, 3, 已知数列 {an }前 n 项的和为 S n ,且满足 S n = 1- nan (n = 1 2, ?) .
(Ⅰ)求 a1 、 a2 的值; (Ⅱ)求 an .

(18) (本小题共 13 分) 3 名志愿者在 10 月 1 日至 10 月 5 日期间参加社区服务工作, 若每名志愿者在这 5 天中 任选两天参加社区服务工作,且各名志愿者的选择互不影响.求 (Ⅰ)这 3 名志愿者中在 10 月 1 日都参加社区服务工作的概率; . (Ⅱ)这 3 名志愿者中在 10 月 1 日至多有 1 人参加社区服务工作的概率.

(19). (本小题共 14 分) 已知函数 f ? x ? 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ?x ? ? 2 x ? mx ? ?1 ? m?x .
3 2

(I)当 m ? 2 时,求 f ? x ? 的解析式; (II)设曲线 y ? f ?x ? 在 x ? x0 处的切线斜率为 k,且对于任意的 x0 ? ? ?1,1? -1≤k≤9,求实数

m 的取值范围.

(20) (本小题共 14 分)

在△ PAB 中,已知 A ? 6 ,0 、 B (I)求动点 P 的轨迹方程;

?

?

?

6 ,0 ,动点 P 满足 PA ? PB ? 4 .

?

(II)设 M ?? 2,0? , N ?2,0? ,过点 N 作直线 l 垂直于 AB ,且 l 与直线 MP 交于点 Q , , 试在 x 轴上确定一点 T ,使得 PN ? QT ; (III)在(II)的条件下,设点 Q 关于 x 轴的对称点为 R ,求 OP ? OR 的值.

文科数学试题答案
选择题:CADC 填空题: (9)2 15 解: (I)当 a = 1 时, A = BABD

(10)240 (11)

3 2

(12 ) 90 (13)45°

?

3 + 1 (14)0

2-

?
2

{x -

3 < x < 5} .

????????????2 分 ????????????4 分 ????????????6 分 ????????????8 分

B = {x x < - 1或x > 5}. \ A? B

{x -

3 < x < - 1} . 4 < x < a + 4}.

(II)? A =

{x a -

B = {x x < - 1或x > 5}. 且 A ? B

R
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 10 分

\

ì a- 4< - 1 ? ? í ? a+ 4> 5 ? ?

\ 1< a < 3 . \ 实数 a 的取值范围是 (1, 3) .
注 若答案误写为 1 剟a 16 解:方法 1

????????????11 分 ????????????12 分

3 ,扣 1 分
?

(I)证明:在直角梯形 ABCD 中,? AB // CD , ?BAD ? 90 , AD ? DC ? 2

? ?ADC ? 90? ,且 AC ? 2 2 .

?????????1 分

取 AB 的中点 E ,连结 CE , 由题意可知,四边形 AECD 为正方形,所以 AE ? CE ? 2 ,

1 1 AB ? 2 ,所以 CE ? AB , 2 2 则 ?ABC 为等腰直角三角形, 所以 AC ? BC , ?????????2 分 又因为 PA ? 平面 ABCD , AC 为 PC 在平面 ABCD 内的射影, BC ? 平面 ABCD , 且 由三垂线定理得, BC ? PC ?????????4 分 (II)由(I)可知, BC ? PC , BC ? AC , PC ? AC ? C , 所以 BC ? 平面 PAC ,??????5 分
又 BE ?

PC 是 PB 在平面 PAC 内的射影,所以 ?CPB 是 PB 与平面 PAC 所成的角,??6 分
又 CB ? 2 2 ,??????7 分

PB 2 ? PA2 ? AB 2 ? 20 , PB ? 2 5 ,??????8 分
sin CPB ? 10 10 ,即 PB 与平面 PAC 所成角的正弦为 5 5
????9 分

(III)由(II)可知, BC ? 平面 PAC , BC ? 平面 PBC , 所以平面 PBC ? 平面 PAC , ??????10 分 过 A 点在平面 PAC 内作 AF ? PC 于 F ,所以 AF ? 平面 PBC , 则 AF 的长即为点 A 到平面 PBC 的距离, ??????11 分 在直角三角形 PAC 中, PA ? 2 , AC ? 2 2 , ??????12 分 ?????13 分

PC ? 2 3 ,
所以 AF ? 方法 2 ∵ AP ? 平面 ABCD , ?BAD ? 90
?

2 6 2 6 即点 A 到平面 PBC 的距离为 3 3

????14 分

∴以 A 为原点,AD、AB、AP 分别为 x、y、z 轴,建立空间直角坐标系????1 分 ∵ PA ? AD ? DC ? 2 , AB ? 4 . ∴ B (0,4,0), D (2,0 ,0) , C (2,2,0) , P ( 0,0,2) ????2 分 (I)∴ BC ? (2, ?2, 0), PC ? (2, 2, ?2) ∵ BC ?PC ? 0 ∴ BC ? PC ,

??? ?

??? ?

??? ??? ? ?

??????3 分 即

??? ?
??? ?

??? ?

B C? P C

??????4 分

(II) ∵ AP ? (0, 0, 2), AC ? (2, 2, 0) 设面 APC 法向量 n ? ( x, y, z )

????

??? ? ? n?AP ? 0 ? z ? 0, ? ∴ ? ???? ∴? ?2 x ? 2 y ? 0 ?n?AC ? 0 ?
设 x ? ?1,? y ? 1 ∴ n ? (?1,1,0)

??????6 分

??????7 分

??? ? ??? ? ??? ? PB ?n ? ∵ PB ? (0, 4, ?2) ∴ cos ? PB, n ?? ??? | PB | ? | n |
=

???8 分

10 5

??????9 分

即 PB 与平面 PAC 所成角的正弦值为

10 5

(III)由∵ PB ? (0, 4, ?2), PC ? (2, 2, ?2) 设面 PBC 法向量 m ? (a, b, c)

??? ?

??? ?

??? ? ? m ?PB ? 0 ? 4b ? 2c ? 0, ? ∴ ? ??? ∴? ? ? 2a ? 2b ? 2c ? 0 ?m ?PC ? 0 ?
设 a ? 1,? c ? 2, b ? 1 ∴ m ? (1,1, 2)

??????11 分

??????12 分

??? ? | AB ?m | ∴点 A 到平面 PBC 的距离为 d ? |m|
=

??????13 分

2 6 3
??????14 分

∴点 A 到平面 PBC 的距离为 (17) (I)

2 6 3

当 n = 1 时,? a1 = 1- a1 .

????????????1 分 ????????????2 分 ????????????3 分 ????????????5 分

\ a1 =

1 . 2

当 n = 2 时,? a1 + a2 = 1- 2a2

\ a2 =

1 6

(Ⅱ)? Sn = 1- nan

\ 当 n ? 2 时 Sn- 1 = 1- (n - 1)an- 1
an = (n - 1)an- 1 - nan
????????????7 分

\ an =

n- 1 an- 1 n+ 1

????????????9 分

an =

2 a1 n(n + 1)

????????????10 分

=

1 n(n + 1)

????????????11 分

当 n = 1 时 a1 =

1 符合上式 2
2 3 ,? (n = 1, , )

????????????12 分

\ an =

1 n (n + 1)

????????????13 分

(18)解法 1: (I)这 3 名志愿者中在 10 月 1 号参加社区服务工作的人数恰好为 3 人的事件为 A ????????????1 分

?C ? P ? A? ? ?C ?

1 3 4

2 3 5

?

8 125

????????????5 分

8 . 125 (Ⅱ)这 3 名志愿者中在 10 月 1 号参加社区服务工作的人数至多为 1 人的事件为 B
这 3 名志愿者中在 10 月 1 号参加社区服务工作的人数恰好为 3 人的概率为 ????????????6 分

?C ? P ? B? ? ?C ?

2 3 4

2 3 5

?

1 1 2 C3C4 ? C4 ?

2

?C ?

2 3 5

?

27 54 81 ????????????13 分 ? ? 125 125 125

这 3 名志愿者中在 10 月 1 号参加社区服务工作的人数至多为 1 人的概率为

81 . 125

解法 2: (I)这 3 名志愿者中在 10 月 1 号参加社区服务工作的人数恰好为 3 人的事件为 A ????????????1 分

8 ?2? P ? A? ? ? ? ? ? 5 ? 125

3

????????????5 分

8 . 125 (Ⅱ)这 3 名志愿者中在 10 月 1 号参加社区服务工作的人数至多为 1 人的事件为 B
这 3 名志愿者中在 10 月 1 号参加社区服务工作的人数恰好为 3 人的概率为 ????????????6 分

27 54 81 ?3? 1 ? 2 ?? 3 ? P ? B ? ? ? ? ? C3 ? ?? ? ? ? ? ???????????13 分 ?5? ? 5 ?? 5 ? 125 125 125
这 3 名志愿者中在 10 月 1 号参加社区服务工作的人数至多为 1 人的概率为

3

2

81 . 125

(19)解:(I)? f ( x) 是定义在 R 上的奇函数, \ f (0) = 0. ?????????1 分 当 x ? 0 时, f ( x) = 2 x + mx + (1- m) x .
3 2

当 x ? 0 时,? f ( x) = - f (- x)

?????????2 分

\ f ( x) = - (- 2 x3 + mx 2 - (1- m) x) = 2 x3 - mx 2 + (1- m) x
ì 2 x3 + mx 2 + (1- m) x ? \ f ( x) = ? 3 í ? 2 x - mx 2 + (1- m) x ? ? (x …0) (x < 0)
?????????3 分

??????4 分

当 m = 2 时,

ì 2 x 3 + 2 x 2 - x, ? \ f ( x) = ? 3 í ? 2x - 2x2 - x ? ?
2

( x …0) ( x < 0) ( x …0) ( x < 0)

???5 分

ì 6x + 2mx + (1- m), ? ( (Ⅱ)由(I)得: \ f ? x) = ? 2 í ? 6x - 2mx + (1 - m), ? ?

???6 分

曲线 y ? f ?x ? 在 x ? x0 处的切线斜率, 对任意的 x0 ? ? ?1,1? , 总能不小于-1 且不大于

( 9, 则在任意 x0 ? [?1,1] 时, - 1 剟 f ? x0 )

8 恒成立, 9 ...

???7 分

( ∵ f ? x) 是偶函数 ∴对任意 x0 ? (0,1] 时, - 1 剟 f ? x0 ) (
1 ○当 ?

9 恒成立即可 ...

m ? 0 时,由题意得 6

? f ?(0) ? ?1 ? ? f ?(1) ? 9

0 剟m 2 m 2 ○当 0 ? ? ? 1 时 6


????????9 分

ì ? ? m ? f (- ) ? 1 ? ? 6 ? ? f? ? 9 \ í (0) ? ? f? ? 9 (1) ? ? ? ? ? ?
∴ ?6 ? m ? 0
3 ○当 ?

???????? 11 分

m ? 1时 6

ì f? ? 9 ? (0) \ ? í ? f? ? 1 ? (1) ?
∴ ?8 ? m ??6 1 2 3 综合○○○得, ?8 剟m

2

????????13 分 ??????? 14 分

2} \ 实数 m 的取值范围是 {m | ?8 剟m 0 .

(20) 解: (I)? PA ? PB ? 4 ? AB ,∴ 动点 P 的轨迹是以 A 、 B 为焦点的双曲线的右 支除去其与 x 轴的交点. 设双曲线方程为 ??????????1 分

x2 a2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) . a 2 b2
解得 ?

由已知,得 ? ∴b ? 2 .

?c ? 6, ? ? 2a ? 4, ?

?c ? 6, ? ? a ? 2, ?

2分

3分

∴动点 P 的轨迹方程为

x2 a2 ? ? 1 ( x ? 2) . 4 2

4分

注:未去处点(2,0) ,扣 1 分 (II) 由题意,直线 MP 的斜率存在且不为 0,设直线 l 的方程 x =2. 设 MP 的方程为 y ? k ( x ? 2) . ∵点 Q 是 l 与直线 MP 的交点,∴ Q (2, 4k ) .设 P( x0 , y0 ) 5分

? x2 y2 ? 1, ? ? 由? 4 2 ? y ? k ( x ? 2) ?

整理得 (1 ? 2k ) x ? 8k x ? (8k ? 4) ? 0.
2 2 2 2

则此方程必有两个不等实根 x1 ? ?2, x2 ? x0 ? 2

?1 ? 2k 2 ? 0. ,且

8k 2 ? 4 ?2 x0 ? ? . 1 ? 2k 2
∴ y0 ? k ( x0 ? 2) ?

4k 2 ? 2 4 k 4k , ). . ∴ P( 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
???? ??? ?

8分

设 T (t , 0) ,要使得 PN ? QT ,只需 PN ? QT ? 0. 由 N (2, 0) , PN ? (? ∴ PN ? QT ? ?

????

??? ? 8k 2 4k ,? ), QT ? (t ? 2, ?4k ) , 1 ? 2k 2 1 ? 2 k 2
10 分

1 [8k 2 (t ? 2) ? 16k 2 ] ? 0. 2 1 ? 2k ???? ??? ? ∵ k ? 0, ?t ? 4. 此时 PN ? ?, QT ? ?

???? ??? ?

∴所求 T 的坐标为 (4, 0). (III)由(II)知 R (2, ?4k ) ,∴ OP ? (

11 分

??? ?

??? ? 4k 2 ? 2 4k , ) , OR ? (2, ?4k ) . 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k

∴ OP ? OR ?

??? ??? ? ?

4k 2 ? 2 4k 4 ? 8k 2 ?2? ? (?4k ) ? ?4. 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
14 分

∴ OP ? OR ? 4. 说明 其他正确解法按相应步骤给分。

??? ??? ? ?


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