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椭圆的综合运用


椭圆的综合运用
适用学科 适用区域 知识点
高中数学 苏教版 1、怎样求椭圆的标准方程; 2、椭圆的简单几何性质; 3、用椭圆的标准方程和几何性质处理一些简单的实际问题.

适用年级 课时时长(分钟)

高中三年级 120

教学目标

1、使学生能够根据已知条件求椭圆的标准方程;

2、使学生掌握椭圆的简单几何性质; 3、使学生能运用椭圆的标准方程和几何性质处理一些简单的实际问题.

教学重点 教学难点

椭圆的简单几何性质 运用椭圆的标准方程和几何性质处理一些简单的实际问题

1

教学过程
课堂导入
已知椭圆 G 的中心在坐标原点,长轴在 x 轴上,离心率为 的方程为______________. 椭圆的基本量求法以及椭圆的第二定义分别是什么? 下面进入我们今天的学习! 3 ,且 G 上一点到 G 的两个焦点的距离之和为 12,则椭圆 G 2

2

复习预习
1、椭圆的标准方程;包含焦点在 x 轴上和焦点在 y 轴上的情况 2、椭圆的简单几何性质; 3、用椭圆的标准方程和几何性质处理一些简单的实际问题.

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知识讲解
考点 1
椭圆的第二定义 平面内动点 P 到定点 F 的距离和它到定直线 l 的距离的比是常数 e(点 F 不在直线 l 上)的点的轨迹是椭圆.定点 F 是焦点,定直线 l 是准线,常数 e 是离心率.

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例题精析
例1 x2 y2 3→ 如图,F1、F2 是椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点,点 M 在 x 轴上,且→ OM= OF 2,过点 F2 的直线与椭圆交于 A、 a b 2

→ ·AF → =0. B 两点,且 AM⊥x 轴,AF 1 2 (1) 求椭圆的离心率; (2) 若△ABF1 的周长为 4 6,求椭圆的方程.

5

6 【答案】(1) 椭圆的离心率 e= .(2) 3

x2 y2 椭圆方程为 + =1. 6 2

? 3 ? 3 【解析】(1) 设 F1(-c,0),F2(c,0),A(x0,y0),椭圆的离心率为 e,则 M? c,0?,x0= c. 2 ?2 ? ∵ |AF1| =e,∴ |AF1|=a+ex0.同理,|AF2|=a-ex0. a2 x0+ c

→ ·AF → =0,∴ AF ⊥AF , ∵ AF 1 2 1 2 ∴ |AF1|2+|AF2|2=|F1F2|2,
2 ∴ (a+ex0)2+(a-ex0)2=4c2, 即 a2+e2x2 0=2c .

∵ x0=

3 3 c,∴ a2+e2· c2=2c2, 2 4

3 ∴ 1+ e4=2e2,即 3e4-8e2+4=0, 4 2 6 ∴ e2= 或 2(舍),∴ 椭圆的离心率 e= . 3 3 (2) ∵ △ABF2 的周长为 4 6,∴ 4a=4 6,
6

c 6 ∴ a= 6.又 = ,∴ c=2, ∴ b2=2. a 3 x2 y2 ∴ 椭圆方程为 + =1. 6 2

7

例2

x2 y2 设 A、B 分别为椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左、右顶点,椭圆长半轴的长等于焦距,且直线 x=4 是它的右准线. a b (1) 求椭圆的方程; (2) 设 P 为椭圆右准线上不同于点(4,0)的任意一点,若直线 BP 与椭圆相交于两点 B、N,求证:∠NAP 为锐角.

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x2 y2 【答案】(1) 椭圆的方程为 + =1 . 4 3 (2) 证明:由(1)得 A(-2,0),B(2,0),设 N(x0,y0), 3 2 ∵ N 点在椭圆上,∴ y2 0= (4-x0).又 N 点异于顶点 A、B, 4 2y0 ? 2y0 ? ? ? ?,从而→ ?,则→ ∴ -2<x0<2,y0≠0.由 P、B、N 三点共线可得 P?4, AN=(x0+2,y0),→ AP=?6, AN·→ AP=6x0 x - 2 x - 2 0 0 ? ? ? ? 2y2 3 9 0 +12+ =6x0+12- (2+x0)= (x0+2). x0-2 2 2 ∵ x0+2>0,y0≠0,∴ → AN·→ AP>0,于是∠NAP 为锐角. 【解析】(1)

?a=2c, ?a=2, 解:依题意,得?a 解得? 从而 b= =4, ?c=1, ?c
2

x2 y2 3,故椭圆的方程为 + =1 . 4 3

(2) 证明:由(1)得 A(-2,0),B(2,0),设 N(x0,y0), 3 2 2 ∵ N 点在椭圆上,∴ y0= (4-x0).又 N 点异于顶点 A、B, 4 2y0 ? 2y0 ? ? ? ?,从而→ ?,则→ ∴ -2<x0<2,y0≠0.由 P、B、N 三点共线可得 P?4, AN=(x0+2,y0),→ AP=?6, AN·→ AP=6x0 x0-2? x0-2? ? ?
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+12+

2y2 3 9 0 =6x0+12- (2+x0)= (x0+2). x0-2 2 2

∵ x0+2>0,y0≠0,∴ → AN·→ AP>0,于是∠NAP 为锐角.

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例3

x2 y2 如图, 在平面直角坐标系 xOy 中, 椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左焦点为 F, 右顶点为 A, 动点 M 为右准线上一点(异 a b

2 9 于右准线与 x 轴的交点),设线段 FM 交椭圆 C 于点 P,已知椭圆 C 的离心率为 ,点 M 的横坐标为 . 3 2 (1) 求椭圆 C 的标准方程; (2) 设直线 PA 的斜率为 k1,直线 MA 的斜率为 k2,求 k1·k2 的取值范围.

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26? x2 y2 ? 【答案】(1)椭圆 C 的标准方程为 + =1. (2) k1·k2 的取值范围是?-∞,- ?. 9? 9 5 ? c 2 ? ?a=3, ?a=3, 由已知,得? 解得? ∴ a 9 ?c=2, ? ? c =2,
2 2 ?a =9, ? 2 ?b =5.

【解析】(1)

x2 y2 ∴椭圆 C 的标准方程为 + =1. 9 5 ?9 ? (2) 设点 P(x1,y1)(-2<x1<3),点 M? ,y2?. 2 ? ? ∵点 F、P、M 三点共线,x1≠-2, ∴ y1 y2 13y1 = ,y2= , x1+2 13 2(x1+2) 2

13y1 ? ?9 ?. ∴点 M? , ?2 2(x1+2)? ∵k1= y1 13y1 ,k2= , x1-3 3(x1+2)

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y1 13y1 13y2 1 ∴k1·k2= × = . x1-3 3(x1+2) 3(x1 + 2)(x1 -3) ∵点 P 在椭圆 C 上,∴ x2 y2 5 1 1 + = 1,∴y2 = - (x2 1 1 -9). 9 5 9

? 5? 13×?- ?(x2 1 -9) ? 9? ∴k1·k2= 3(x1 +2)(x1 -3) =- 1 ? 65 x1+3 65 ? ?. × =- ×?1+ x1+2? 27 x1+2 27 ? 26 . ∴ k1 · k2 9 26? ? 的 取 值 范 围 是 ?-∞,- ? . 9? ?

∵ - 2<x1<3 , ∴ k1 · k2< -

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a2 例 4 已知椭圆的中心为坐标原点 O,椭圆短半轴长为 1,动点 M(2,t)(t>0)在直线 x= (a 为长半轴,c 为半焦距)上. c (1) 求椭圆的标准方程; (2) 求以 OM 为直径且被直线 3x-4y-5=0 截得的弦长为 2 的圆的方程; (3) 设 F 是椭圆的右焦点,过点 F 作 OM 的垂线与以 OM 为直径的圆交于点 N,求证:线段 ON 的长为定值,并求出这 个定值.

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x2 【答案】(1)椭圆方程为 +y2=1.(2) 所求圆的方程为(x-1)2+(y-2)2=5. 2 (3) 证明:设 N(x0,y0),则→ FN=(x0-1,y0),→ OM=(2,t),→ MN=(x0-2,y0-t),→ ON=(x0,y0). ∵ ∵ → FN⊥→ OM,∴ → MN⊥→ ON,∴ 2(x0-1)+ty0=0,∴ 2x0+ty0=2.
2 → 2 x2 x2 2为定值. 0+y0=2x0+ty0=2,∴ |ON|= 0+y0=

x0(x0-2)+y0(y0-t)=0,∴

a2 1+c2 【解析】(1) 解:由点 M 在准线上,得 =2,故 =2,∴ c c

x2 c=1,从而 a= 2,所以椭圆方程为 +y2=1. 2

t?2 t2 t? ? ? (2) 解:以 OM 为直径的圆的方程为 x(x-2)+y(y-t)=0,即(x-1)2+?y- ? = +1,其圆心为?1, ?,半径 r 2? 2? 4 ? ? = t2 +1 , 因为以 OM 为直径的圆被直线 3x-4y-5=0 截得的弦长为 2, 所以圆心到直线 3x-4y-5=0 的距离 d= r2-1 4

t |3-2t-5| t = ,所以 = ,解得 t=4,所求圆的方程为(x-1)2+(y-2)2=5. 2 5 2 → → → → (3) 证明:设 N(x0,y0),则FN=(x0-1,y0),OM=(2,t),MN=(x0-2,y0-t),ON=(x0,y0). ∵ ∵ → FN⊥→ OM,∴ → MN⊥→ ON,∴ 2(x0-1)+ty0=0,∴ 2x0+ty0=2.
2 → 2 x2 x2 2为定值. 0+y0=2x0+ty0=2,∴ |ON|= 0+y0=

x0(x0-2)+y0(y0-t)=0,∴

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课程小结
1. 解决与椭圆几何性质有关的问题时:一是要注意定义的应用;二是要注意数形结合;三是要注意-a≤x≤a,- b≤y≤b,0<e<1 等几何性质在建立不等关系或求最值时的关键作用. 2. 直线与椭圆位置关系的判断 将直线的方程和椭圆的方程联立,通过讨论此方程组的实数解的组数来确定,即用消元后的关于 x(或 y)的一元二 次方程的判断式Δ 的符号来确定:当Δ >0 时,直线和椭圆相交;当Δ =0 时,直线和椭圆相切;当Δ <0 时,直线和椭圆 相离. 3. 直线与椭圆相交时的常见处理方法 当直线与椭圆相交时:涉及弦长问题,常用“根与系数的关系” ,设而不求计算弦长;涉及求平行弦中点的轨迹、 求过定点的弦中点的轨迹和求被定点平分的弦所在的直线方程问题,常用“点差法”设而不求,将动点的坐标、弦所在 直线的斜率、弦的中点坐标联系起来,相互转化.

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