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2011山东临清三中数学必修4教学案:1.2.2同角的三角函数的基本关系(教、学案)

时间:2013-07-27


临清三中数学组 编写人:贾明磊

审稿人: 庞红玲 李怀奎

1.2.2 同角的三角函数的基本关系
一、教学目标: ⒈掌握同角三角函数的基本关系式,理解同角公式都是恒等式的特定意义; 2 通过运用公式的训练过程,培养学生解决三角函数求值、化简、恒等式证明的解题技 能,提高运用公式的灵活性; 3 注意运用数形结合的思想解决有关求值问

题;在解决三角函数化简问题过程中,注意 培养学生思维的灵活性及思维的深化;在恒等式证明的教学过程中,注意培养学生分析问题 的能力,从而提高逻辑推理能力. 二、教学重、难点
王新敞
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王新敞
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新疆

重点:公式 sin ? ? cos ? ? 1 及
2 2

sin ? ? tan ? 的推导及运用: (1)已知某任意角的正 cos ?

弦、余弦、正切值中的一个,求其余两个; (2)化简三角函数式; (3)证明简单的三角恒等 式. 难点: 根据角α 终边所在象限求出其三角函数值;选择适当的方法证明三角恒等式. 三、学法与教学用具

sin ? ? tan ? ,并灵活应用求三角函数值,化减三角函数式,证明三角恒等式等. cos ?

利 用三角 函数 线的定 义 , 推导 同角三 角函 数的基本 关系式 : sin ? ? cos ? ? 1 及
2 2

教学用具:圆规、三角板、投影 四、教学过程 【创设情境】 与初中学习锐角三角函数一样,本节课我们来研究同角三角函数之间关系,弄清同角各 不同三角函数之间的联系,实现不同函数值之间的互相转化. 【探究新知】 y 探究:三角函数是以单位圆上点的坐标来定义的,你能从 P 圆的几何性质出发,讨论一 下同一个角不同三角函数之间的关系吗? 1 MP ,余弦线 OM 和半径 OP 三者的长构 如图:以正弦线 M O A(1,0 x 2 2 ) 成直角三角形,而且 OP ? 1 .由勾股定理由 MP ? OM ? 1 ,
2 2 因此 x ? y ? 1,即 sin ? ? cos ? ? 1 .
2 2

根据三角函数的定义,当 a ? k? ?

?
2

(k ? Z ) 时,有

这就是说,同一个角 ? 的正弦、余弦的平方等于 1,商等于角 ? 的正切. 【例题讲评】 例 1 化简: 1 ? sin 2 440?
2 ? ? 2 ? 解:原式 ? 1 ? sin (360 ? 80 ) ? 1 ? sin 80 ?

sin ? ? tan ? . cos ?

cos 2 80 ? ? cos 80 ?

例 2 已知 ?是第三象限角,化简

1 ? sin ? 1 ? sin ? ? 1 ? sin ? 1 ? sin ?

解: 原式 ?

(1 ? sin ? )(1 ? sin ? ) (1 ? sin ? )(1 ? sin ? ) ? (1 ? sin ? )(1 ? sin ? ) (1 ? sin ? )(1 ? sin ? )

?

(1 ? sin ? ) 2 (1 ? sin ? ) 2 1 ? sin ? 1 ? sin ? ? ? ? | cos? | | cos? | 1 ? sin 2 ? 1 ? sin 2 ?

??是第三象限角, cos? ? 0 ?
限、符号)

?原式 ?

1? s i n 1? s i n ? ? ? ? ?2 t a n (注意象 ? ?cos ? ?cos ?

例 3 求证:

cos ? 1 ? sin ? ? 1 ? sin ? cos ?

分析:思路 1.把左边分子分母同乘以 cos x ,再利用公式变形;思路 2:把左边分子、分 母同乘以(1+sinx)先满足右式分子的要求;思路 3:用作差法,不管分母,只需将分子转化 为零;思路 4:用作商法,但先要确定一边不为零;思路 5:利用公分母将原式的左边和右边 转化为同一种形式的结果;思路 6:由乘积式转化为比例式;思路 7:用综合法.

cos x ? cos x 1 ? sin 2 x 1 ? sin x 证法 1:左边= ? ? ? 右边, (1 ? sin x) cos x (1 ? sin x) ? cos x cos x
∴原等式成立 证法 2:左边=
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(1 ? sin x) ? cos x (1 ? sin x) ? cos x = 1 ? sin 2 x (1 ? sin x)(1 ? sin x)
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?
证法 3:

(1 ? sin x) ? cos x 1 ? sin x ? 右边 = cos 2 x cos x

cos x 1 ? sin x cos2 x ? (1 ? sin 2 x) cos2 x ? cos2 x ∵ ? ? ? ?0, 1 ? sin x cos x (1 ? sin x) ? cos x (1 ? sin x) ? cos x


cos x 1 ? sin x ? 1 ? sin x cos x

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证法 4:∵cosx≠0,∴1+sinx≠0,∴

1? sin x ≠0, cos x

cos x cos2 x cos2 x 1 ? sin x = ∴ = =1, 1 ? sin x ?1 ? sin x ??1 ? sin x ? 1 ? sin 2 x cos x cos x 1 ? sin x ? ∴ . 1 ? sin x cos x

cos x cos x cos2 x 证法5 : 左边 ? ? ? 1 ? sin x cos x (1 ? sin x) ? cos x

, ,

1 ? sin x 1 ? sin x 1 ? sin 2 x cos2 x 右边 ? ? ? ? cos x 1 ? sin x cos x(1 ? sin x) (1 ? sin x) cos x
∴左边=右边 ∴原等式成立.

例 4 已知方程 2x 2 ? ( 3 ? 1) x ? m ? 0 的两根分别是 sin ? , ? , cos 求

sin ? cos ? ? 的值。 1 ? cot ? 1 ? tan ?
解:? 原式 ?

sin 2 ? cos2 ? sin 2 ? ? cos2 ? ? ? ? sin ? ? cos? sin ? ? cos? cos? ? sin ? sin ? ? cos?

?由韦达定理知:原式?
例 5 已知 sin ? ? 2 cos ? , 求

3 ?1 2

(化弦法)

sin ? ? 4 cos ? 及 sin 2 ? ? 2 sin ? cos ?的值。 5 sin ? ? 2 cos ?

解:? sin ? ? 2 cos?

? tan? ? 2

?

sin ? ? 4 cos ? tan ? ? 4 ?2 1 ? ? ?? 5 sin ? ? 2 cos ? 5 tan ? ? 2 12 6

sin 2 ? ? 2 sin ? cos? ?

sin 2 ? ? 2 sin ? cos? tan2 ? ? 2 tan? 4 ? 2 6 ? ? ? 4 ?1 5 sin 2 ? ? cos2 ? tan2 ? ? 1

【课堂练习】 化简下列各式

1.

1 ? cos? 1 ? cos? ? 1 ? cos? 1 ? cos? sin x tan x ? sin x ? 1 ? cos x tan x ? sin x
sin ?

? ? ? ( ,? )
2

2.

1 ? cos 2 ? ? 3. cos ? 1 ? sin 2 ?

练习答案: 解: (1)原式=

(1 ? cos? ) 2 (1 ? cos? ) 2 ? sin 2 ? sin 2 ?



1 ? cos? 1 ? cos? ? sin ? sin ? 2 2 ? sin ? sin ?



? ? ? ( ,? )
2

sin x ? sin x sin x cos x ? (2)原式= 1 ? cos x sin x ? sin x cos x


sin x sin x(1 ? cos x) ? 1 ? cos x sin x(1 ? cos x)
sin x 1 ? cos x sin x ? ? 1 ? cos x sin x sin x



(3)原式 ?

sin ? sin ? ? cos? cos?
(2k? ? ? ? 2k? ? (2k? ?

? ? 2 tan? ? ? 0 ? ? ? ?? 2 tan? ? ? ? 0 ? ? 0 ?
【学习小结】

?
2

)

?
2

? ? ? 2k? ? ? ) (k ? z )

3 (2k? ? ? ? ? ? 2k? ? ? ) 2 3? (2k? ? ? ? ? 2k? ? 2? ) 2 (? ? k? )

(1) 同角三角函数的关系式的前提是 “同角” 因此 sin ,

2

? ? cos2 ? ? 1 ,tan? ?

sin ? . cos?

(2)利用平方关系时,往往要开方,因此要先根据角所在象限确定符号,即要就角所在 象限进行分类讨论. (1) 作业:习题 1.2A 组第 10,13 题. (2) 熟练掌握记忆同角三角函数的关系式,试将关系式变形等,得到其他几个常用的关

系式;注意三角恒等式的证明方法与步骤. 【课后作业】见学案 【板书设计】略 【教学反思】

临清三中数学组 编写人:贾明磊

审稿人: 庞红玲 李怀奎

1.2.2 同角的三角函数的基本关系
课前预习学案 预习目标: 通过复习回顾三角函数定义和单位圆中的三角函数线,为本节所要学习的同角三角函数 的基本关系式做好铺垫。 预习内容: 复习回顾三角函数定义和单位圆中的三角函数线: 。 提出疑惑: 与初中学习锐角三角函数一样,我们能不能研究同角三角函数之间关系,弄清同角各不 同三角函数之间的联系,实现不同函数值之间的互相转化呢? 。 课内探究学案 学习目标: ⒈掌握同角三角函数的基本关系式,理解同角公式都是恒等式的特定意义; 2 通过运用公式的训练过程,培养学生解决三角函数求值、化简、恒等式证明的解题技 能,提高运用公式的灵活性; 3 注意运用数形结合的思想解决有关求值问题;在解决三角函数化简问题过程中,注意 培养学生思维的灵活性及思维的深化;在恒等式证明的教学过程中,注意培养学生分析问题 的能力,从而提高逻辑推理能力. 学习过程: 【创设情境】 与初中学习锐角三角函数一样,本节课我们来研究同角三角函数之间关系,弄清同角各 不同三角函数之间的联系,实现不同函数值之间的互相转化. 【探究新知】 y 探究:三角函数是以单位圆上点的坐标来定义的,你能从 P 圆的几何性质出发,讨论一 下同一个角不同三角函数之间的关系吗? 1 MP ,余弦线 OM 和半径 OP 三者的长构 如图:以正弦线 M O A(1,0 x 2 2 ) 成直角三角形,而且 OP ? 1 .由勾股定理由 MP ? OM ? 1 ,
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因此 x ? y ? 1,即
2 2

.

根据三角函数的定义,当 a ? k? ?

?
2

(k ? Z ) 时,有

.

这就是说,同一个角 ? 的正弦、余弦的平方等于 1,商等于角 ? 的正切. 【例题讲评】 例 1 化简: 1 ? sin 2 440?

例 2 已知 ?是第三象限角,化简

1 ? sin ? 1 ? sin ? ? 1 ? sin ? 1 ? sin ?

例 3 求证:

cos ? 1 ? sin ? ? 1 ? sin ? cos ?

cos 例 4 已知方程 2x 2 ? ( 3 ? 1) x ? m ? 0 的两根分别是 sin ? , ? ,


sin ? cos ? ? 的值。 1 ? cot ? 1 ? tan ?

例 5 已知 sin ? ? 2 cos ? , 求

sin ? ? 4 cos ? 及 sin 2 ? ? 2 sin ? cos ?的值。 5 sin ? ? 2 cos ?

【课堂练习】 化简下列各式

3.

1 ? cos? 1 ? cos? ? 1 ? cos? 1 ? cos? sin x tan x ? sin x ? 1 ? cos x tan x ? sin x
sin ? 1 ? sin 2 ? ? 1 ? cos 2 ? cos ?

? ? ? ( ,? )
2

4.

3.

课后练习与提高 1 已知 sinα +cosα =
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1? 3 ,且 0<α <π ,则 tanα 的值为( 2 C. 3 3
)

)

A. ?
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3 3

B. - 3

D. 3

2 若 sin4θ +cos4θ =1,则 sinθ +cosθ 的值为(

A0 B1 C -1 3 若 tanθ +cotθ =2,则 sinθ +cosθ 的值为( )
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D ±1
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A0
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B

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2

C- 2
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D± 2
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4若
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4 sin ? ? 2 cos ? =10,则 tanα 的值为 5 cos ? ? 3 sin ?
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5 若 tanα +cotα =2,则 sin4α +cos4α = 2 2 6 若 tan α +cot α =2,则 sinα cosα =
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课后练习与提高答案 1 A 2 D 3 D
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4 -2 5
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1 2


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临清三中数学组 编写人:贾明磊

审稿人: 庞红玲 李怀奎

同角的三角函数的基本关系
教学目的: ⒈掌握同角三角函数的基本关系式,理解同角公式都是恒等式的特定意义; 2 通过运用公式的训练过程,培养学生解决三角函数求值、化简、恒等式证明的解题技 能,提高运用公式的灵活性; 3 注意运用数形结合的思想解决有关求值问题;在解决三角函数化简问题过程中,注意 培养学生思维的灵活性及思维的深化;在恒等式证明的教学过程中,注意培养学生分析问题 的能力,从而提高逻辑推理能力. 教学重点:同角三角函数的基本关系 教学难点:(1)已知某角的一个三角函数值,求它的其余各三角函数值时正负号的选择; (2)三角函数式的化简;(3)证明三角恒等式. 授课类型:新授课 知识回顾:同角三角函数的基本关系公式:
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典型例题: 例1. 已知 sin ? =2,求α 的其余三个三角函数值.

例 2.已知: sin ? ?

1 且 tan ? ? 0 ,试用定义求 ? 的其余三个三角函数值. 5

例 3.已知角 ? 的终边在直线 y=3x 上,求 sin ? 和 cos ? 的值.

说明:已知某角的一个三角函数值,求该角的其他三角函数值时要注意: (1) 角所在的象限; (2) 用平方关系求值时,所求三角函数的符号由角所在的象限决定; (3)若题设中已知角的某个三角函数值是用字母给出的,则求其他函数值时,要对该字母 分类讨论.

? ? ? x ? (2k? ,?2k? ? ) ? (2k? ? ,2k? ? ? ) (k ? z ) ?1 ? 2 2 ?? ?? 1 x ? (2k? ? ? ,2k? ? 3? ) ? (2k? ? 3? ,2k? ? 2? ) (k ? z ) ? 2 2 ?
四、小结 几种技巧 五、课后作业: 六、板书设计(略) 七、课后记:

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