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第3章 3.3.2 均匀随机数的产生 学案


3.3.2
【明目标、知重点】

均匀随机数的产生

1.了解均匀随机数的意义,会利用计算器(计算机)产生均匀随机数. 2.会用模拟方法(包括计算器产生随机数进行模拟)估计概率. 3.理解用模拟方法估计概率的实质,会利用均匀随机数解决具体的有关概率的问题. 【填要点、记疑点】 1.均匀随机数的产生 (1)计算器上产生[0,1]的均

匀随机数的函数是 RAND 函数. (2)Excel 软件产生[0,1]区间上均匀随机数的函数为“rand()”. 2.用模拟的方法近似计算某事件概率的方法 (1)试验模拟的方法:制作两个转盘模型,进行模拟试验,并统计试验结果. (2)计算机模拟的方法:用 Excel 软件产生[0,1]区间上均匀随机数进行模拟.注意操作步 骤. 3.[a,b]上均匀随机数的产生. 利用计算器或计算机产生[0,1]上的均匀随机数 x=RAND,然后利用伸缩和平移交换,x =x1]就可以得到[a,b]内的均匀随机数,试验的结果是[a,b]上的任何一个实数,并且 任何一个实数都是等可能的. 【探要点、究所然】 [情境导学] 在古典概型中我们可以利用(整数值)随机数来模拟古典概型的问题,那么在几 何概型中我们能不能通过随机数来模拟试验呢?如果能, 我们又如何产生随机数呢?这 就是本节课要解决的问题. 探究点一 均匀随机数的产生 思考 1 我们常用的是[0,1]上的均匀随机数, 如何利用计算器产生 0~1 之间的均匀随机数? 如何利用计算机产生 0~1 之间的均匀随机数? 答 用计算器产生 0~1 之间的均匀随机数的方法见教材;用计算机的方法如下:用

Excel 演示. (1)选定 A1 格,键入“=rand()”,按 Enter 键,则在此格中的数是随机产生的[0,1]上的 均匀随机数; (2)选定 A1 格,点击复制,然后选定要产生随机数的格,比如 A2~A100,点击粘贴, 则在 A1~A100 的数都是[0,1]上的均匀随机数.这样我们就很快就得到了 100 个 0~1 之间的均匀随机数,相当于做了 100 次随机试验. 思考 2 计算机只能产生[0,1]上的均匀随机数,如果试验的结果是区间[a,b]上等可能出现

的任何一个值,则需要产生[a,b]上的均匀随机数,对此,你有什么办法解决? 答 首先利用计算器或计算机产生[0,1]上的均匀随机数 X=RAND,然后利用伸缩和平

移变换:Y=X*(b—a)+a 计算 Y 的值,则 Y 为[a,b]上的均匀随机数. 思考 3 利用计算机产生 100 个[2,6]上的均匀随机数,具体如何操作? 答 (1)在 A1~A100 产生 100 个 0~1 之间的均匀随机数;

(2)选定 B1 格,键入“=A1] 例 1 取一根长度为 5 m 的绳子,拉直后在任意位置剪断,用均匀随机模拟方法估计剪得两 段的长都不小于 2 m 的概率有多大? 解 设剪得两段的长都不小于 2 m 为事件 A.

(1)利用计算器或计算机产生 n 个 0~1 之间的均匀随机数,x=RAND. (2)作伸缩变换:y=x*(5-0),转化为[0,5]上的均匀随机数. (3)统计出[2,3]内均匀随机数的个数 m. m (4)则概率 P(A)的近似值为 . n 反思与感悟 通过模拟试验求某事件发生的概率, 不同于古典概型和几何概型试验求概 率,前者只能得到概率的近似值,后者求得的是准确值. 跟踪训练 1 如图所示,向边长为 2 的正方形内投飞镖,用计算机随机模拟这个试验,求飞 镖落在中央边长为 1 的正方形内的概率.



用计算机随机模拟这个试验,步骤如下:

(1)利用计算器或计算机产生两组[0,1]上的均匀随机数 a1=RAND,b1=RAND. (2)经过伸缩平移变换, a=(a1-0.5)*4, b=(b1-0.5)*4 得到两组[-2,2]上的均匀随机数. (3)统计出试验总次数 N,落在阴影部分的次数 N1. N1 (4)计算频率 fn(A)= 就是飞镖落在小正方形内的概率的近似值. N 探究点二 随机模拟方法 例 2 假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上 6:30~7:30 之间把报纸送到你家,你 父亲离开家去上班的时间在早上 7:00~8:00 之间,如果把“你父亲在离开家之前能 得到报纸”称为事件 A,则事件 A 的概率是多少? 思考 1 设 X、Y 为[0,1]上的均匀随机数,6.5+X 表示送报人到达你家的时间,7+Y 表 示父亲离开家的时间,若事件 A 发生,则 X、Y 应满足什么关系?



7+Y >6.5+X,即 Y>X-0.5.

思考 2 设送报人到达你家的时间为 x,父亲离开家的时间为 y,若事件 A 发生,则 x、 y 应满足什么关系?不等式組表示的平面區域如何?

6.5≤x≤7.5, ? ? 答 ?7≤y≤8, ? ?y≥x. 思考 3 根据几何概型的概率计算公式,事件 A 发生的概率为多少? 答 试验的全部结果所构成的区域的面积为边长为 1 的正方形,面积为 1;图中的阴影

7 8 7 1 1 1 7 部分面积为 1- × × = ,所以 P(A)= = . 2 2 2 8 1 8 思考 4 你能设计一种随机模拟的方法近似计算上面事件 A 发生的概率吗? 答 方法一 (随机模拟的方法)做两个只带有分针的圆盘,标上时间,分别旋转两个圆 父亲在离家前能得到报纸的次数 . 试验的总次数

盘,记下父亲在离家前能得到报纸的次数,则 P(A)=

方法二 用计算机产生随机数模拟试验.X 是 0~1 之间的均匀随机数,Y 也是 0~1 之 间的均匀随机数. 如果 Y+7>X+6.5, 即 Y>X-0.5, 那么父亲在离开家前能得到报纸. 在 计算机上做 M 次试验,查一下 Y>X-0.5 的 Y 的个数,如果为 N,则所求概率为 N/M. 反思与感悟 用随机数模拟的关键是把实际问题中事件 A 及基本事件总体对应的区域 转化为随机数的范围.用转盘产生随机数,这种方法可以亲自动手操作,但费时费力, 试验次数不可能很大. 随机数模拟的关键是把实际问题中事件 A 及基本事件总体对应的区域转化为随机数的 范围.用计算机产生随机数,可以产生大量的随机数,又可以自动统计试验的结果,同 时可以在短时间内多次重复试验,可以对试验结果的随机性和规律性有更深刻的认识. 跟踪训练 2

在右图的正方形中随机撒一把豆子, 计算落在圆中的豆子数与落在正方形中的豆子数之 比并以此估计圆周率的值. 解 随机撒一把豆子, 每个豆子落在正方形内任何一点是等可能的, 落在每个区域的豆

子数与这个区域的面积近似成正比, 即圆的面积︰正方形的面积≈落在圆中的豆子数︰ 落在正方形中的豆子数.

落在圆中的豆子数 设正方形的边长为 2, 则圆半径为 1, 所以 π≈ ×4.由于落在每个 落在正方形中的豆子数 区域的豆子数是可以数出来的,所以就得到了 π 的近似值. 探究点三 用模拟法估计面积型的几何概率 例 3 利用随机模拟方法计算由 y=1 和 y=x2 所围成的图形的面积.



以直线 x=1,x=-1,y=0,y=1 为边界作矩形,

(1)利用计算器或计算机产生两组 0~1 区间的均匀随机数,a1=RAND,b1=RAND; (2)进行平移和伸缩变换,a=2(a1-0.5); (3)数出落在阴影内的样本点数 N1,用几何概型公式计算阴影部分的面积. 例如做 1 000 次试验,即 N=1 000,模拟得到 N1=698, 阴影面积 698 所以 P= = , 矩形面积 1 000 即阴影面积 S=矩形面积× 698 698 =2× =1.396. 1 000 1 000

反思与感悟 解决本题的关键是利用随机模拟法和几何概率公式分别求得几何概率, 然 后通过解方程求得阴影部分面积的近似值, 解决此类问题时注意两点: 一是选取合适的 对应图形,二是由几何概型正确计算概率. 跟踪训练 3

利用随机模拟的方法近似计算图中阴影部分(y=2-2x-x2 与 x 轴围成的图形)的面积. 解 (1)利用计算机产生两组[0,1]上的均匀随机数,a1=RAND,b1=RAND.

(2)经过平移和伸缩变换 a=a1]N1,N)就是点落在阴影部分的概率的近似值. S (5)设阴影部分面积为 S.由几何概型概率公式得点落在阴影部分的概率为 . 12 ∴ S N1 ≈ . 12 N

12N1 ∴S≈ 即为阴影部分面积的近似值. N 【当堂测、查疑缺】

1.将[0,1]内的均匀随机数转化为[-3,4]内的均匀随机数,需要实施的变换为 A.a=a1*7 C.a= a1*7-3 答案 C 解析 根据伸缩和平移变换 a=a 1*[4-(-3) ]+(-3)=a 1*7-3. ) B.a=a1*7+3 D.a=a1*4

(

)

2.用随机模拟方法求得某几何概型的概率为 m,其实际概率的大小为 n,则( A.m>n C.m=n 答案 D 解析 随机摸拟法求其概率,只是对概率的估计. 1 3.在区间[-1,1]上随机任取两个数 x,y,则满足 x2+y2< 的概率为________. 4 答案 π 16 B.m<n D.m 是 n 的近似值

解析 当 x,y∈[-1,1]时,点(x,y)构成的区域是一个边长为 2 的正方形,其面积等于 1 1 2×2=4,而满足 x2+y2< 的点(x,y)构成的区域是一个半径为 的圆的内部,其面积等 4 2 π 4 π π 于 ,所以所求概率 P= = . 4 4 16 4.某汽车站每隔 10 分钟有一班汽车通过,求乘客候车时间不超过 4 分钟的概率,并尝试用 计算机模拟该实验. 解 因为乘客到达车站的时间是随机的,设乘客候车时间不超过 4 分钟为事件 A. 区间?0,4?的长度 2 = . 区间?0,10?的长度 5

由题意,可得 P(A)=

随机模拟试验的步骤: (1)利用计算机产生[0,1]上的均匀随机数,a1=RAND. (2)经过伸缩变换:a=10]N1,N),即为所求概率的近似值. 呈重点、现规律】 1.在区间[a,b]上的均匀随机数与整数值随机数的共同点都是等可能取值,不同点是均匀 随机数可以取区间内的任意一个实数,整数值随机数只取区间内的整数.

2.利用几何概型的概率公式,结合随机模拟试验,可以解决求概率、面积、参数值等一系 列问题,体现了数学知识的应用价值.


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