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2012优化方案高考数学(理)总复习(北师大版)课时卷(6-8章)

时间:2014-07-19


作业 34 第 6 章 不等式与推理证明 § 6.1 不等关系与不等式 1 1 1.若 < <0,则下列结论不正确的是( ) a b A.a2<b2 B.ab<b2 b a C. + >2 D.|a|+|b|>|a+b| a b 1 1 解析:选 D.由 < <0,得 b<a<0,则 A、B、C 三项均正确.但|a+b|

=|a|+|b|,故选 D a b 项. 2.(2009 年高考安徽卷)“a+c>b+d”是“a>b 且 c>d”的( ) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选 A.易得 a>b 且 c>d 时,必有 a+c>b+d.若 a+c>b+d 时,则不一定有 a>d 且 c>b. - 3.若 x∈(e 1,1),a=lnx,b=2lnx,c=(lnx)3,则( ) A.a<b<c B.c<a<b C.b<a<c D.b<c<a 1 解析:选 C.法一:∵ <x<1,∴-1<lnx<0. e 令 t=lnx,则-1<t<0, ∴a-b=t-2t=-t>0,∴a>b. ∵c-a=t3-t=t(t+1)(t-1),又-1<t<0, ∴0<t+1<1,-2<t-1<-1. ∴c>a.∴c>a>b.故选 C. 1 - 法二:取 x=e 2∈(e 1,1),


1 1 则 a=- ,b=-1,c=- . 2 8 ∴b<a<c.故选 C. a b 4.(2011 年南阳质检)若 a>0>b>-a,c<d<0,则下列命题:(1)ad>bc;(2) + <0;(3)a d c -c>b-d;(4)a· (d-c)>b(d-c)中能成立的个数是( ) A.1 B .2 C.3 D.4 解析:选 C.∵a>0>b,c<d<0,∴ad<0,bc>0, ∴ad<bc,∴(1)错误. ∵a>0>b>-a,∴a>-b>0, ∵c<d<0,∴-c>-d>0, ∴a(-c)>(-b)(-d), a b ac+bd ∴ac+bd<0,∴ + = <0, d c cd ∴(2)正确. ∵c<d,∴-c>-d,∵a>b, ∴a+(-c)>b+(-d),a-c>b-d, ∴(3)正确. ∵a>b,d-c>0,∴a(d-c)>b(d-c), ∴(4)正确,故选 C. 5.甲、乙两人同时从寝室到教室,甲一半路程步行,一半路程跑步,乙一半时间步行,

一半时间跑步,如果两人步行速度、跑步速度均相同,则( ) A.甲先到教室 B.乙先到教室 C.两人同时到教室 D.谁先到教室不确定 解析:选 B.设甲用时间 T,乙用时间 2t,步行速度为 a,跑步速度为 b,距离为 s,则 T s s 2 2 s a+b s 2s = + = + =s· ,ta+tb=s?2t= , a b 2a 2b 2ab a+b s?a+b? 2s ∴T-2t= - 2ab a+b ?a+b?2-4ab s?a-b?2 =s· = >0,故选 B 项. 2ab?a+b? 2ab?a+b? 1 1 6.下列四个不等式:①a<0<b;②b<a<0;③b<0<a;④0<b<a,其中能使 < 成立的充 a b 分条件有________. 1 1 b-a 解析: < ? <0?b-a 与 ab 异号,因此①②④能使 b-a 与 ab 异号. a b ab 答案:①②④ 7.设 a>b>c>0,x= a2+?b+c?2,y= b2+?c+a?2,z= c2+?a+b?2,则 x,y,z 的大 小顺序是________. 解析:法一:y2-x2=2c(a-b)>0, ∴y>x. 同理,z>y,∴z>y>x. 法二:令 a=3,b=2,c=1,则 x= 18,y= 20,z= 26,故有 z>y>x. 答案:z>y>x 8. (2011 年焦作调研)已知 1≤a+b≤4, -1≤a-b≤2, 则 4a-2b 的取值范围是________. u+v u-v 解析:设 u=a+b,v=a-b,得 a= ,b= , 2 2 所以 4a-2b=2u+2v-u+v=u+3v. 又因为 1≤u≤4,-1≤v≤2, 所以-3≤3v≤6. 故-2≤u+3v≤10,即-2≤4a-2b≤10. 答案:[-2,10] 9.一学生计划使用不超过 20 元的钱为自己购买学习用具.根据需要,单价为 4 元的圆 珠笔至少需要购买 2 支,单价为 2 元的笔记本至少需要购买 3 本.写出满足上述所有不等关 系的不等式. 解:设购买圆珠笔和笔记本分别为 x 支,y 本. 4x+2y≤20, ? ?x≥2, 则? y≥3, ? ?x,y∈N ,


2x+y≤10, ? ?x≥2, 即? y≥3, ? ?x,y∈N .


10.(1)比较 x +1 与 x +x 的大小,其中 x∈R; (2)若 x<y<0,试比较(x2+y2)(x-y)与(x2-y2)· (x+y)的大小. 解:(1)(x6+1)-(x4+x2) =x6-x4-x2+1=x4(x2-1)-(x2-1) =(x2-1)(x4-1)=(x2-1)(x2-1)(x2+1) =(x2-1)2(x2+1). 当 x=± 1 时,x6+1=x4+x2; 当 x≠± 1 时,x6+1>x4+x2. 2 (2)(x +y2)(x-y)-(x2-y2)(x+y)

6

4

2

=(x-y)[x2+y2-(x+y)2] =-2xy(x-y). ∵x<y<0,∴xy>0,x-y<0,∴-2xy(x-y)>0, ∴(x2+y2)(x-y)>(x2-y2)(x+y). 11. (探究选做)设二次函数 f(x)=ax2+bx+c, 函数 F(x)=f(x)-x 的两个零点为 m, n(m<n). (1)若 m=-1,n=2,求不等式 F(x)>0 的解集; 1 (2)若 a>0,且 0<x<m<n< ,比较 f(x)与 m 的大小. a 解:(1)由题意知,F(x)=f(x)-x=a(x-m)(x-n), 当 m=-1,n=2 时,不等式 F(x)>0, 即为 a(x+1)(x-2)>0. 当 a>0 时,不等式 F(x)>0 的解集为{x|x<-1 或 x>2}; 当 a<0 时,不等式 F(x)>0 的解集为{x|-1<x<2}. (2)f(x)-m=a(x-m)(x-n)+x-m=(x-m)(ax-an+1), 1 ∵a>0,且 0<x<m<n< , a ∴x-m<0,1-an+ax>0. ∴f(x)-m<0,即 f(x)<m. 作业 35 § 6.2 一元二次不等式 1.不等式|x|(1-2x)>0 的解集是( ) 1 1 A.(-∞, ) B.(-∞,0)∪(0, ) 2 2 1 1 C.( ,+∞) D.(0, ) 2 2 答案:B ?a b?=ad-bc,则不等式 0<?x 1?<1 的解集是( 2.若规定? ) ? ? ? ?c d ? ?1 x? A.(-1,1) B.(-1,0)∪(0,1) C.(- 2,-1)∪(1, 2) D.(1, 2) 2 解析:选 C.由题意可知 0<x -1<1?1<x2<2?1<|x|< 2?- 2<x<-1 或 1<x< 2.故选 C. 3.(2009 年高考山东卷)在 R 上定义运算⊙:a⊙b=ab+2a+b,则满足 x⊙(x-2)<0 的 实数 x 的取值范围为( ) A.(0,2) B.(-2,1) C.(-∞,-2)∪(1,+∞) D.(-1,2) 解析: 选 B.根据给出的定义得 x⊙(x-2)=x(x-2)+2x+(x-2)=x2+x-2=(x+2)(x-1), 又 x⊙(x-2)<0,则(x+2)· (x-1)<0,故这个不等式的解集是(-2,1). 4.不等式 x2-3x+2<0 的解集为( ) A.(-∞,-2)∪(-1,+∞) B.(-2,-1) C.(-∞,1)∪(2,+∞) D.(1,2) 解析:选 D.方程 x2-3x+2=0 的解是 x1=1,x2=2.又函数 y=x2-3x+2 的图像开口向 上,所以不等式 x2-3x+2<0 的解集为{x|1<x<2}. 3 5.(2011 年宿州联考)若关于 x 的不等式 a≤ x2-3x+4≤b 的解集恰好是[a,b],则 a+b 4 的值为( ) A.5 B .4 8 16 C. D. 3 3 3 解析:选 A.令 f(x)= (x-2)2+1.若 a≥2,则由 a,b 是方程 f(x)=x 的两个实根,解得 a 4

4 8 4 = ,b=4,矛盾;若 b≤2,则 f(a)=b,f(b)=a,相减得 a+b= ,代入可得 a=b= ,矛盾; 3 3 3 若 a<2<b,则 f(x)min=f(2)=1,所以 a=1,b=4,a+b=5. 2-x 6.(2010 年高考上海卷)不等式 >0 的解集是________. 4+x 解析:原不等式可化为(2-x)(4+x)>0,即(x-2)(x+4)<0,解得-4<x<2. 答案:{x|-4<x<2} 7.若函数 f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,且对一切 x>0,y>0 满足 f(xy)=f(x)+f(y), 则不等式 f(x+6)+f(x)<2f(4)的解集为________. 解析:由已知得 f(x+6)+f(x)=f[(x+6)x],2f(4)=f(16).根据单调性得(x+6)x<16,解得 -8<x<2. 又 x+6>0,x>0,所以 0<x<2. 答案:(0,2) 8.若关于 x 的不等式 ax2-|x|+2a<0 的解集为?,则实数 a 的取值范围为________. 解析:由题可知不等式 ax2-|x|+2a<0 的解集为?,即函数 y=ax2-|x|+2a 的图像在 x 轴 上方,因为此函数是偶函数,故我们只需要研究 x>0 时的情况即可,要使函数 f(x)=ax2-x ?a>0 ? 2 +2a(x>0)满足题意,需? ,解得 a> . 2 4 ?Δ=1-8a <0 ? 2 4 9.(2011 年亳州质检)已知关于 x 的不等式 x+2 >0. x2-?1+a?x+a (1)当 a=2 时,求此不等式的解集; (2)当 a>-2 时,求此不等式的解集. x+2 解: (1)当 a=2 时, 不等式可化为 >0, 所以不等式的解集为{x|-2<x<1 或 x>2}. ?x-1??x-2? x+2 (2)当 a>-2 时,不等式可化为 >0, ?x-1??x-a? 当-2<a<1 时,解集为{x|-2<x<a 或 x>1}; 当 a=1 时,解集为{x|x>-2 且 x≠1}; 当 a>1 时,解集为{x|-2<x<1 或 x>a}. 10.汽车在行驶中,由于惯性作用,刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住,我们 称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析事故的一个重要因素.在一个限速 40 km/h 以 内的弯道上,甲、乙两辆汽车相向而行,发现情况不对,同时刹车,但还是相碰了,事发后 现场测得甲车的刹车距离略超过 12 m,乙车的刹车距离略超过 10 m,又知甲、乙两种车型 的刹车距离 s(m)与车速 x(km/h)之间有如下关系:s 甲=0.1x+0.01x2,s 乙=0.05x+0.005x2.问: 超速行驶应负主要责任的是谁? ?0.1x+0.01x2>12, ? 解:由题意列出不等式组? 2 ?0.05x+0.005x >10. ? 答案:a>
? ?x<-40或x>30, 分别求解,得? ?x<-50或x>40. ? 由于 x>0,从而可得: x 甲>30 km/h,x 乙>40 km/h. 经比较知乙车超过限速,应负主要责任. 11.(探究选做)设 a 为实数,函数 f(x)=2x2+(x-a)|x-a|. (1)若 f(0)≥1,求 a 的取值范围; (2)求 f(x)的最小值; (3)设函数 h(x)=f(x), x∈(a, +∞), 直接写出(不需给出演算步骤)不等式 h(x)≥1 的解集.

解:(1)因为 f(0)=-a|-a|≥1,所以-a>0,即 a<0. 由 a2≥1 知 a≤-1.因此,a 的取值范围为(-∞,-1]. (2)记 f(x)的最小值为 g(a).我们有 f(x)=2x2+(x-a)|x-a| a 2a2 ? ?3?x-3?2+ 3 ,x>a ① =? .

? ??x+a?2-2a2,x≤a ②

当 a≥0 时,f(-a)=-2a2,由①②知 f(x)≥-2a2, 此时 g(a)=-2a2. a 2 2 当 a<0 时,f( )= a2.若 x>a,则由①知 f(x)≥ a2; 3 3 3 2 若 x≤a,则 x+a≤2a<0,由②知 f(x)≥2a2> a2. 3 2 2 此时 g(a)= a . 3 -2a ,a≥0 ? ? 2 综上,得 g(a)=?2a . ? 3 ,a<0 ? 6 2 ]∪( ,+∞)时,解集为(a,+∞); 2 2 a+ 3-2a2 2 2 当 a∈[- , ]时,解集为[ ,+∞); 2 2 3 a- 3-2a2 a+ 3-2a2 6 2 当 a∈(- ,- )时,解集为(a, ]∪[ ,+∞). 2 2 3 3 作业 36 (3)当 a∈(-∞,- § 6.3 基本不等式 1.(2010 年高考重庆卷)已知 x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则 x+2y 的最小值是( A.3 B .4 9 11 C. D. 2 2 )
2

解析:选 B.依题意得(x+1)(2y+1)=9,(x+1)+(2y+1)≥2 ?x+1??2y+1?=6,即 x+ 2y≥4,当且仅当 x+1=2y+1,即 x=2,y=1 时取等号,故 x+2y 的最小值是 4,选 B. 1 1 2.设 x,y∈R,a>1,b>1.若 ax=by=3,a+b=2 3,则 + 的最大值为( ) x y 3 A.2 B. 2 1 C.1 D. 2 a+b 2 1 1 解析:选 C.由 ax=by=3,得 x=loga3,y=logb3,∴ + =log3(ab)≤log3( ) =1,故 x y 2 选 C. 3. (2011 年阜阳质检)已知 b>0, 直线(b2+1)x+ay+2=0 与直线 x-b2y-1=0 互相垂直, 则 ab 的最小值等于( ) A.1 B .2 C.2 2 D.2 3 b2+1 1 b2+1 解析:选 B.由两条直线垂直的充要条件可得:- ·2=-1.解得 a= 2 ,所以 ab a b b b2+1 b2+1 1 1 1 1 = 2 · b= =b+ .又因为 b>0,故 b+ ≥2 b·=2,当且仅当 b= ,即 b=1 时取 b b b b b b

“=”. 4.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营.据市场分 析,每辆客车营运的总利润 y(单位:10 万元)与营运年数 x(x∈N+)为 二次函数的关系(如图),则每辆客车营运多少年,营运的年平均利润 最大?( ) A.3 B .4 C.5 D.6 解析:选 C.由图易求得函数解析式为 y=-(x-6)2+11, 则营运的年平均利润 2 y -?x-6? +11 = x x 25? =12-? ?x+ x ?≤12-2 25=2, y 25 当 最大时,x= ,解得 x=5. x x 2 1 5.(2011 年蚌埠质检)已知 x>0,y>0,且 + =1,若 x+2y>m2+2m 恒成立,则实数 m x y 的取值范围是( ) A.m≥4 或 m≤-2 B.m≥2 或 m≤-4 C.-2<m<4 D.-4<m<2 2 1 解析:选 D.∵x>0,y>0,且 + =1, x y 2 1 4y x 4y x 4y x ∴x+2y=(x+2y)( + )=4+ + ≥4+2 ·=8,当且仅当 = ,即 4y2=x2,x= x y x y x y x y 2 1 2y 时取等号,又 + =1,此时 x=4,y=2,∴(x+2y)min=8,要使 x+2y>m2+2m 恒成立, x y 只需(x+2y)min>m2+2m 恒成立,即 8>m2+2m,解得-4<m<2. t2-4t+1 6.(2010 年高考重庆卷)已知 t>0,则函数 y= 的最小值为________. t t2-4t+1 1 1 解析:依题意得 y=t+ -4≥2 t·-4=-2,此时 t=1,即函数 y= (t>0)的 t t t 最小值是-2. 答案:-2 x y 7.已知 x,y∈(0,+∞),且满足 + =1,则 xy 的最大值为________. 3 4 x y xy xy xy x y 3 解析:因为 1= + ≥2 ·=2 = ,所以 xy≤3,当且仅当 = ,即 x= ,y 3 4 34 12 3 3 4 2 =2 时取等号,故 xy 的最大值为 3. 答案:3 8.(2010 年高考安徽卷)若 a>0,b>0,a+b=2,则下列不等式对一切满足条件的 a,b 恒成立的是________(写出所有正确命题的编号). 1 1 ①ab≤1;② a+ b≤ 2;③a2+b2≥2;④a3+b3≥3;⑤ + ≥2. a b 解析:两个正数,和为定值,积有最大值, ?a+b?2 即 ab≤ =1, 4 当且仅当 a=b 时取等号,故①正确;( a+ b)2=a+b+2 ab=2+2 ab≤4,当且仅当 a2+b2 ?a+b?2 a=b 时取等号,得 a+ b≤2,故②错误;由于 ≥ =1,故 a2+b2≥2 成立,故 2 4 ③正确;a3+b3=(a+b)(a2+b2-ab)=2(a2+b2-ab),∵ab≤1,∴-ab≥-1,又 a2+b2≥2, 1 1 1 1 a+b a b ∴a2+b2-ab≥1,∴a3+b3≥2,故④错误; + =( + )· =1+ + ≥1+1=2,当且 a b a b 2 2b 2a

仅当 a=b 时取等号,故⑤正确. 答案:①③⑤ 1 1 1 1 1 1 9.设 a,b,c 都是正数,求证: + + ≥ + + . 2a 2b 2c b+c c+a a+b 证明:∵a,b,c 都是正数, 1 1 1 1 1 ∴ ( + )≥ ≥ . 2 2a 2b 2 ab a+b 1 1 1 1 同理可证 ( + )≥ , 2 2b 2c b+c 1 1 1 1 ( + )≥ . 2 2c 2a c+a 1 1 1 1 1 1 三式相加得 + + ≥ + + , 2a 2b 2c b+c c+a a+b 当且仅当 a=b=c 时等号成立. 10. 学校食堂定期从某粮店以每吨 1500 元的价格购买大米, 每次购进大米需支付运输劳 务费 100 元,已知食堂每天需要大米 1 吨,贮存大米的费用为每吨每天 2 元,假定食堂每次 均在用完大米的当天购买. (1)该食堂每多少天购买一次大米,能使平均每天所支付的费用最少? (2)粮店提出价格优惠条件:一次购买量不少于 20 吨时,大米价格可享受九五折优惠(即 是原价的 95%),问食堂可否接受此优惠条件?请说明理由. 解:设该食堂每 x 天购买一次大米,则每次购买 x 吨,设平均每天所支付的费用为 y 元, 则 1 (1)y= [1500x+100+2(1+2+?+x)] x 100 =x+ +1501≥1521, x 100 当且仅当 x= ,即 x=10 时取等号, x 故该食堂每 10 天购买一次大米,能使平均每天所支付的费用最少. 1 (2)y= [1500x· 0.95+100+2(1+2+?+x)] x 100 =x+ +1426(x≥20). x 又函数 y 在[20,+∞)上为增函数, 100 所以 y≥20+ +1426=1451. 20 而 1451<1521,故食堂可接受粮店的优惠条件. 11.(探究选做)若 a>0,b>0,且 ab=a+b+3. (1)求 ab 的取值范围; (2)求 a+b 的取值范围. 解:(1)∵a>0,b>0, ∴ab=a+b+3≥2 ab+3, 令 ab=t(t>0), ∴t2≥2t+3, ∴t2-2t-3≥0, ∴(t+1)(t-3)≥0,又 t>0, ∴t≥3,即 ab≥3,∴ab≥9, 所以 ab 的取值范围是[9,+∞). (2)∵a>0,b>0,ab=a+b+3. a+b 2 ∴a+b+3=ab≤( ) ,令 a+b=t(t>0), 2

t ∴t+3≤( )2, 2 ∴t2-4t-12≥0, ∴(t+2)(t-6)≥0, 又∵t>0, ∴t≥6, 所以 a+b 的取值范围为[6,+∞). 作业 37 § 6.4 简单线性规划 x≥1, ? ? 1. (2010 年高考福建卷)若 x、 y∈R, 且?x-2y+3≥0, ? ?y≥x,

则 z=x+2y 的最小值等于(

)

A.2 B .3 C.5 D.9 解析:选 B.可行域如图中阴影部分所示,则当直线 x+2y-z=0 经过点 M(1,1)时,z=x +2y 取得最小值,为 1+2×1=3.

x+y-1≥0 ? ? 2.在平面直角坐标系中,若不等式组?x-1≤0 ? ?ax-y+1≥0

(a 为常数)所表示的平面区域的面

积等于 2,则 a 的值为( ) A.-5 B .1 C.2 D.3 解析:选 D.由题意知不等式组所表示的平面区域为一个三角形区域,设为△ABC,则 A(1,0),B(0,1),C(1,1+a)且 a>-1,∵S△ABC=2, 1 ∴ (1+a)×1=2,解得 a=3. 2 x≥0, ? ? 3.(2010 年高考重庆卷)设变量 x,y 满足约束条件?x-y≥0, ? ?2x-y-2≤0, 则 z=3x-2y 的最

大值为( ) A.0 B .2 C.4 D.6 解析:选 C.在坐标平面内画出题中不等式组表示的可行域及直线 3x-2y=0,平移该直 线,当直线 3x-2y=0 经过可行域内的点(0,-2)时,相应的直线在 x 轴上的截距最大,此时 z=3x-2y 取得最大值,其最大值是 z=3×0-2×(-2)=4,选 C. 4.某加工厂用某原料由甲车间加工出 A 产品,由乙车间加工出 B 产品.甲车间加工一 箱原料需耗费工时 10 小时,可加工出 7 千克 A 产品,每千克 A 产品获利 40 元,乙车间加工 一箱原料需耗费工时 6 小时,可加工出 4 千克 B 产品,每千克 B 产品获利 50 元.甲、乙两 车间每天共能完成至多 70 箱原料的加工,每天甲、乙车间耗费工时总和不得超过 480 小时, 甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为( )

A.甲车间加工原料 10 箱,乙车间加工原料 60 箱 B.甲车间加工原料 15 箱,乙车间加工原料 55 箱 C.甲车间加工原料 18 箱,乙车间加工原料 50 箱 D.甲车间加工原料 40 箱,乙车间加工原料 30 箱 x∈N,y∈N, ? ? 解析:选 B.设甲车间加工原料 x 箱,乙车间加工原料 y 箱,则?x+y≤70, ? ?10x+6y≤480, 甲、

乙两车间每天总获利为 z=280x+200y,画出可行域,由线性规划知识可知当直线 z=280x+ 200y 经过 x+y=70 与 10x+6y=480 的交点(15,55)时,z=280x+200y 取到最大值,因此,甲 车间加工原料 15 箱,乙车间加工原料 55 箱,每天能够获得最大利润,选 B. 5.(2010 年高考课标全国卷)已知?ABCD 的三个顶点为 A(-1,2),B(3,4),C(4,-2),点 (x,y)在?ABCD 的内部,则 z=2x-5y 的取值范围是( ) A.(-14,16) B.(-14,20) C.(-12,18) D.(-12,20) 解析:选 B.由题可知,平行四边形 ABCD 的顶点 D 的坐标为(0, -4),点(x,y)在平行四边形内部,如图,所以在 D(0,-4)处目标函 数 z=2x-5y 取得最大值为 20,在点 B(3,4)处目标函数 z=2x-5y 取 得最小值为-14,由题知点(x,y)在平行四边形内部,所以端点取不 到,故 z=2x-5y 的取值范围是(-14,20),故选 B. 6.若点 P(m,3)到直线 4x-3y+1=0 的距离为 4,且点 P 在不等式 2x+y<3 表示的平面 区域内,则 m=________. |4m-9+1| ? ? =4 5 解析:由题意可得? ,解得 m=-3. ?2m+3<3 ? 答案:-3 2x-y+2≥0, ? ? 7.(2010 年高考安徽卷)设 x,y 满足约束条件?8x-y-4≤0, ? ?x≥0,y≥0, 若目标函数 z=abx+

y(a>0,b>0)的最大值为 8,则 a+b 的最小值为________. 解析:原不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,当直线 z=abx+y(a>0,b>0) 过直线 2x-y+2=0 与直线 8x-y-4=0 的交点(1,4)时,目标函数 z=abx+y(a>0,b>0)取得 最大值 8,即 8=ab+4,ab=4,∴a+b≥2 ab=4.

答案:4 8.铁矿石 A 和 B 的含铁率 a,冶炼每万吨铁矿石的 CO2 的排放量 b 及每万吨铁矿石的 价格 c 如下表: a b(万吨) c(百万元) A 50% 1 3

B 70% 0.5 6 某冶炼厂至少要生产 1.9(万吨)铁,若要求 CO2 的排放量不超过 2(万吨),则购买铁矿石 的最少费用为________(百万元). 解析:可设需购买 A 矿石 x 万吨,B 矿石 y 万吨,则根据题意得到约束条件为: x≥0 ? ?y≥0 ?0.5x+0.7y≥1.9 ? ?x+0.5y≤2

,目标函数为 z=3x+6y,当目标函数经过(1,2)点时取得最小值为:

zmin=3×1+6×2=15. 答案:15 ? ??x+y??x-y+5?≥0 9.求不等式组? 表示的平面区域的面积. ?-3≤x≤3 ?
??x+y??x-y+5?≥0 ? 解:不等式组? 所表示的可行域如下图所示: ?-3≤x≤3 ?

1 11 其可行域为两个等腰直角三角形,其底边长分别为 1 与 11,高分别为 与 ,所以,可 2 2 1 1 1 11 61 行域的面积为 ×1× + ×11× = . 2 2 2 2 2

x-y+2≥0, ? ? 10.已知?x+y-4≥0, ? ?2x-y-5≤0,



(1)z=x+2y-4 的最大值; (2)z=x2+y2-10y+25 的最小值; y+1 (3)z= 的范围. x+1 解:作出可行域如图,并求出顶点的坐标 A(1,3)、B(3,1)、C(7,9).

(1)易知可行域内各点均在直线 x+2y-4=0 的上方,故 x+2y-4>0, 将 C(7,9)代入得 z 最大值为 21. (2)z=x2+(y-5)2 表示可行域内任一点(x,y)到定点 M(0,5)的距离的平方,过 M 作直线 |0-5+2| 2 9 AC 的垂线,易知垂足 N 在线段 AC 上,故 z 的最小值是|MN|2=( )= . 2 2

y+1 表示可行域内任一点(x,y)与定点 Q(-1,-1)连线的斜率的变化范围.因为 x+1 1 1 kQA=2,kQB= ,故 z 的范围是[ ,2]. 2 2 11. (探究选做)某家具厂有方木料 90 m3, 五合板 600 m2, 准备加工成书桌和书橱出售. 已 3 2 3 知生产每张书桌需要方木料 0.1 m ,五合板 2 m ,生产每个书橱需要方木料 0.2 m ,五合板 1 m2,出售一张方桌可获利润 80 元,出售一个书橱可获利润 120 元.怎样安排生产可使所得 利润最大? 解:由题意可列表格如下: 方木料(m3) 五合板(m2) 利润(元) 0.1 2 80 书桌(张) 0.2 1 120 书橱(个) 设生产书桌 x 张,书橱 y 个,利润总额为 z 元. (3)z= 0.1x+0.2y≤90 ? ?2x+y≤600 则? x≥0 ? ?y≥0 x+2y≤900 ? ?2x+y≤600 ,?? x≥0 ? ?y≥0



z=80x+120y. 在直角坐标平面内作出上面不等式组所表示的平面区域,即可行域. 作直线 l:80x+120y=0, 即直线 l:2x+3y=0. 把直线 l 向右上方平移至 l1 的位置时, 直线经过可行域上的点 M,此时 z=80x+120y 取得最大值. ? ?x+2y=900 由? , ?2x+y=600 ? 解得点 M 的坐标为(100,400). 所以当 x=100,y=400 时,zmax=80×100+120×400=56000(元). 因此,生产书桌 100 张、书橱 400 个,可使所得利润最大. 作业 38 § 6.5 合情推理与演绎推理 1.(2010 年高考山东卷)观察(x2)′=2x,(x4)′=4x3,(cos x)′=-sin x,由归纳推理可 得:若定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(-x)=f(x),记 g(x)为 f(x)的导函数,则 g(-x)=( ) A.f(x) B.-f(x) C.g(x) D.-g(x) 解析:选 D.观察可知,偶函数 f(x)的导函数 g(x)都是奇函数,所以 g(-x)=-g(x),故选 D. 2.将正奇数 1,3,5,7,?排成五列(如下表),按此表的排列规律,89 所在的位置是( ) 第一列 第二列 第三列 第四列 第五列

15 17 31 A.第一列

1 13 19 29 ?

3

5 7 11 9 21 23 27 25

B.第二列

C.第三列 D.第四列 解析:选 D.正奇数从小到大排,则 89 位居第 45 位,而 45=4×11+1,故 89 位于第四 列. 3.(2009 年高考广东卷)2010 年广州亚运会火炬传递在 A,B,C,D,E 五个城市之间进 行,各城市之间的路线距离(单位:百公里)见下表.若以 A 为起点,E 为终点,每个城市经 过且只经过一次,那么火炬传递的最短路线距离是( ) A B C D E A 0 5 4 5 6 B 5 0 7 6 2 C 4 7 0 9 8.6 D 5 6 9 0 5 E 6 2 8.6 5 0 A.20.6 B.21 C.22 D.23 解析:选 B.由于“以 A 为起点,E 为终点,每个城市经过且只经过一次”,并且求“最 短路线的距离”,由选项判断,A 中 20.6 在表中只有 C 和 E 之间的距离 8.6 是出现小数部分 的,故 CE 必定是经过的路线,又因为 A 为起点,E 为终点,故如果 A 正确,那么路线必然 是:1.A-B-D-C-E 或 2.A-D-B-C-E,进行验证:路线 1 的距离之和为 5+6+9+8.6 =28.6,故路线 1 不符合;路线 2 的距离之和为 5+6+7+8.6=26.6,路线 2 也不符合,故排 除 A;再验证选项 B,发现路线 A-C-D-B-E 的距离之和为 4+9+6+2=21 符合,故选 B. 4.(2011 年铜川质检)正方形 ABCD 的边长是 a,依次连接正方形 ABCD 各边中点得到一个新的正方形,再依次连接新正方形各边中点又 得到一个新的正方形,依此得到一系列的正方形,如图所示.现有一只 小虫从 A 点出发,沿正方形的边逆时针方向爬行,每遇到新正方形的顶 点时,沿这个正方形的边逆时针方向爬行,如此下去,爬行了 10 条线 段.则这 10 条线段的长度的平方和是( ) 1023 2 1023 2 A. a B. a 2048 768 511 2 2047 2 C. a D. a 1024 4096 1 2 1 2 解析:选 A.由题可知,这只小虫爬行的第一段长度的平方为 a2 1=( a) = a ,第二段长 2 4 2 1 1 2 度的平方为 a2 a)2= a2,?,从而可知,小虫爬行的线段长度的平方可以构成以 a2 2=( 1= a 4 8 4 1 2 1 10 a [1-? ? ] 4 2 1 1023 2 为首项, 为公比的等比数列,所以数列的前 10 项和为 S10= = a. 2 1 2048 1- 2 5.如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”, 它们是由整数的倒数组成的,第 n 行有 n 个数且两端的数均 1 1 为 (n≥2),其余每个数是它下一行左右相邻两数的和,如 = n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + , = + , = + ,?,则第 7 行第 4 个数(从左往右 2 2 2 3 6 3 4 12 数)为( ) 1 1 A. B. 140 105 1 1 C. D. 60 42 1 1 解析:选 A.由“第 n 行有 n 个数且两端的数均为 ”可知,第 7 行第 1 个数为 ,由“其 n 7

1 1 1 余每个数是它下一行左右相邻两数的和”可知,第 7 行第 2 个数为 - = ,同理易知,第 6 7 42 1 1 1 1 1 1 7 行第 3 个数为 - = ,第 7 行第 4 个数为 - = . 30 42 105 60 105 140 6.(2009 年高考江苏卷)在平面上,若两个正三角形的边长的比为 1∶2,则它们的面积 比为 1∶4,类似地,在空间中,若两个正四面体的棱长的比为 1∶2,则它们的体积比为 ________. 解析:由类比推理得,若两个正四面体的棱长的比为 1∶2,则它们的体积比为 1∶8. 1 Sh V1 3 1 1 S1 h1 1 1 1 即 = = ·= × = . V2 1 S2 h2 4 2 8 S2h2 3 答案:1∶8 7 . (2010 年高考陕西卷 ) 观察下列等式: 13 + 23 = 32,13 + 23 + 33 = 62,13 + 23 + 33 + 43 = 102,?,根据上述规律,第五个等式为________. 解析:观察等式发现等式左边各加数的底数之和等于等式右边的底数,右边数的指数均 为 2,故猜想第五个等式应为 13+23+33+43+53+63=(1+2+3+4+5+6)2=212. 答案:13+23+33+43+53+63=212 1 1 8.(2010 年高考浙江卷)设 n≥2,n∈N,(2x+ )n-(3x+ )n=a0+a1x+a2x2+?+anxn, 2 3 1 1 1 1 将|ak|(0≤k≤n)的最小值记为 Tn,则 T2=0,T3= 3- 3,T4=0,T5= 5- 5,?,Tn,?,其 2 3 2 3 中 Tn=________. 解析:根据已知条件,总结规律,进而可得 0,当n为偶数时 ? ? Tn=? 1 1 . n- n,当n为奇数时 ? ?2 3 0,当n为偶数时 ? ? 答案:? 1 1 ? ?2n-3n,当n为奇数时 9.已知等差数列{an}的公差 d=2,首项 a1=5. (1)求数列{an}的前 n 项和 Sn; (2)设 Tn=n(2an-5),求 S1,S2,S3,S4,S5;T1,T2,T3,T4,T5,并归纳出 Sn 与 Tn 的 大小规律. 解:(1)由已知 a1=5,d=2, ∴an=a1+(n-1)· d=5+2(n-1)=2n+3. ∴Sn=n(n+4). (2)Tn=n(2an-5)=n[2(2n+3)-5], ∴Tn=4n2+n. ∴T1=5,T2=4×22+2=18,T3=4×32+3=39, T4=4×42+4=68,T5=4×52+5=105. S1=5,S2=2×(2+4)=12,S3=3×(3+4)=21, S4=4×(4+4)=32,S5=5×(5+4)=45. 由此可知 S1=T1,当 n≥2 时,Sn<Tn. 归纳猜想:当 n≥2,n∈N 时,Sn<Tn. 10.观察: ①tan10° · tan20° +tan10° · tan60° +tan20° · tan60° =1; ②tan5° · tan10° +tan5° · tan75° +tan10° · tan75° =1. 由以上两式成立且有一个从特殊到一般的推广,此推广是什么?并证明你的推广. 解:观察 10° +20° +60° =90° ,5° +10° +75° =90° ,

π 因此猜测推广为:若 α+β+γ= , 2 则 tanα· tanβ+tanα· tanγ+tanβ· tanγ=1, π 证明如下:由 α+β= -γ, 2 π 1 ∴tan(α+β)=tan( -γ)= . 2 tanγ tanα+tanβ 又∵tan(α+β)= , 1-tanα· tanβ ∴tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanα· tanβ) 1 = (1-tanα· tanβ). tanγ ∴tanα· tanβ+tanα· tanγ+tanβ· tanγ =tanα· tanβ+(tanα+tanβ)· tanγ 1 =tanα· tanβ+ · (1-tanα· tanβ)· tanγ=1. tanγ 命题得证. 11.(探究选做)在 Rt△ABC 中,AB⊥AC,AD⊥BC 于 D. 1 1 1 (1)求证: 2= 2+ 2; AD AB AC (2)在四面体 ABCD 中,类比上述结论,你能得到怎样的猜想?并说明理由. 解:(1)证明:如图(1)所示,由射影定理 AD2=BD· DC,AB2=BD· BC, 2 AC =BC· DC, 1 1 ∴ 2= AD BD· DC BC2 = (1) BD· BC· DC· BC 2 BC = 2 . AB · AC2 又 BC2=AB2+AC2, AB2+AC2 1 1 1 ∴ 2= = + . AD AB2· AC2 AB2 AC2 (2)猜想:在四面体 ABCD 中,AB、AC、AD 两两垂直, 1 1 1 1 AE⊥平面 BCD,则 2= 2+ 2+ 2. AE AB AC AD 理由如下:如图(2),连结 BE 并延长交 CD 于 F,连结 AF. ∵AB⊥AC,AB⊥AD, ∴AB⊥平面 ACD. 而 AF 平面 ACD,∴AB⊥AF. 在 Rt△ABF 中,AE⊥BF, 1 1 1 ∴ 2= 2+ 2. AE AB AF 1 1 1 在 Rt△ACD 中,AF⊥CD,∴ 2= 2+ 2. (2) AF AC AD 1 1 1 1 ∴ 2= 2+ 2+ 2,故猜想正确. AE AB AC AD 作业 39 § 6.6 直接证明与间接证明 1.用反证法证明命题:“三角形的内角中至少有一个不大于 60 度”时,假设正确的是 )

(

A.假设三内角都不大于 60 度 B.假设三内角都大于 60 度 C.假设三内角至多有一个大于 60 度 D.假设三内角至多有两个大于 60 度 解析: 选 B.根据反证法的步骤,假设是对原命题结论的否定,即 “三内角都大于 60 度”.故选 B. 2 1 m 2.(2011 年汉中调研)已知 a>0,b>0,如果不等式 + ≥ 恒成立,那么 m 的最大值 a b 2a +b 等于( ) A.10 B .9 C.8 D.7 解析:选 B.∵a>0,b>0,∴2a+b>0. 2 1 b a ∴不等式可化为 m≤( + )(2a+b)=5+2( + ). a b a b b a ∵5+2( + )≥5+4=9,即其最小值为 9, a b ∴m≤9,即 m 的最大值等于 9. 3.已知△ABC 的顶点 A(x,y),B(-1,0),C(1,0),若△ABC 满足的条件分别是:(1)△ ABC 的周长是 6; (2)∠A=90° ; (3)kAB· kAC=1; (4)kAB-kAC=-2.下列给出了点 A 的轨迹方程: 2 x y2 (a)x2+y2=1(y≠0),(b)x2-y2=1(y≠0),(c) + =1(y≠0),(d)y=x2-1(y≠0).其中与条件 4 3 (1)(2)(3)(4)分别对应的轨迹方程的代码依次是( ) A.(a)(b)(c)(d) B.(d)(a)(b)(c) C.(c)(a)(d)(b) D.(c)(a)(b)(d) 解析: 选 D.由△ABC 的周长是 6, |BC|=2, 可知点 A 位于以 B, C 为焦点的椭圆上, y≠0, 2 2 与(c)相对应;由∠A=90° ,可知点 A 位于以 B,C 为端点的圆 x +y =1(y≠0)上;由 kAB· kAC =1,化简得 x2-y2=1(y≠0);显然(4)与(d)相对应. 1 1 1 4.设 a、b、c 都是正数,则 a+ ,b+ ,c+ 三个数( ) b c a A.都大于 2 B.至少有一个大于 2 C.至少有一个不大于 2 D.至少有一个不小于 2 1 1 1 1 解析:选 D.利用反证法证明.假设三个数都小于 2,则 a+ +b+ +c+ <6,而 a+ + b c a b 1 1 b+ +c+ ≥2+2+2=6,与假设矛盾.故选 D. c a 5.(2009 年高考浙江卷)对于正实数 α,记 Mα 为满足下述的条件的函数 f(x)构成的集合: 对任意的 x1, x2∈R 且 x2>x1, 有-α· (x2-x1)<f(x2)-f(x1)<α(x2-x1). 下列结论中正确的是( ) A.若 f(x)∈Mα1,g(x)∈Mα2,则 f(x)· g(x)∈Mα1· α2 f?x? α1 B.若 f(x)∈Mα1,g(x)∈Mα2,且 g(x)≠0,则 ∈M α2 g?x? C.若 f(x)∈Mα1,g(x)∈Mα2,则 f(x)+g(x)∈Mα1+α2 D.若 f(x)∈Mα1,g(x)∈Mα2,且 α1>α2,则 f(x)-g(x)∈Mα1-α2 解析:选 C.∵x2>x1,∴x2-x1>0. f?x2?-f?x1? ∴-α< <α, x2-x1 f?x2?-f?x1? 即 Mα 具有的特征是| |<α. x2-x1 f?x2?+g?x2?-f?x1?-g?x1? ∴ x2-x1 [f?x2?-f?x1?]+[g?x2?-g?x1?] = x2-x1

f?x2?-f?x1? g?x2?-g?x1? + . x2-x1 x2-x1 ∵f(x)∈Mα1,g(x)∈Mα2, f?x2?-f?x1? g?x2?-g?x1? ∴-α1< <α1,-α2< <α2. x2-x1 x2-x1 [f?x2?-f?x1?]+[g?x2?-g?x1?] ∴-(α1+α2)< <α1+α2. x2-x1 f?x2?+g?x2?-f?x1?-g?x1? ∴-(α1+α2)< <α1+α2, x2-x1 即 f(x)+g(x)∈Mα1+α2. 6.如果 a a+b b>a b+b a,则 a、b 应满足的条件是________. 解析:∵a a+b b>a b+b a?( a- b)2( a+ b)>0?a≥0,b≥0 且 a≠b. 答案:a≥0,b≥0 且 a≠b 7.船在流水中在甲地和乙地间来回行驶一次的平均速度 v1 和在静水中的速度 v2 的大小 关系为________. 解析:设甲地到乙地的距离为 s,船在静水中的速度为 v2,水流速度为 v(v2>v>0),则 2v2s s s 2s 船在流水中在甲、乙间来回行驶一次的时间 t= + = 2,平均速度 v1= = t v2+v v2-v v2 - v 2 2 2 v2-v . v2 2 v2 v2 2-v ∵v1-v2= -v2=- <0,∴v1<v2. v2 v2 答案:v1<v2 8.已知三棱锥 S-ABC 的三视图如图所示,在原三棱锥中给出下列命题: ① BC ⊥平面 SAC ;②平面 SBC ⊥平面 SAB ;③ SB ⊥ AC. 其中所有正确命题的代号是 ________. =

解析: 由三视图知, 在三棱锥 S-ABC 中, 底面 ABC 为 Rt△ 且∠ACB=90° . 又 SA⊥底面 ABC, ∴BC⊥AC,且 BC⊥SA,并且 SA∩AC=A. ∴BC⊥平面 SAC.命题①正确. 由已知推证不出②③命题正确. 答案:① 1 9.(2011 年蚌埠质检)已知 a、b、c>0,求证:a3+b3+c3≥ (a2+b2+c2)(a+b+c). 3 证明:∵a、b、c>0, ∴a2+b2≥2ab,∴(a2+b2)(a+b)≥2ab(a+b), ∴a3+b3+a2b+ab2≥2ab(a+b)=2a2b+2ab2, ∴a3+b3≥a2b+ab2. 同理,b3+c3≥b2c+bc2,a3+c3≥a2c+ac2, 将三式相加得,2(a3+b3+c3)≥a2b+ab2+b2c+bc2+a2c+ac2.

∴3(a3+b3+c3)≥(a3+a2b+a2c)+(b3+b2a+b2c)+(c3+c2a+c2b)=(a2+b2+c2)· (a+b+ c). 1 ∴a3+b3+c3≥ (a2+b2+c2)(a+b+c). 3 10.若 a,b,c 是不全相等的正数, a+b b+c c+a 求证:lg +lg +lg >lg a+lg b+lg c. 2 2 2 a+b b+c c+a 证明:要证 lg +lg +lg >lg a+lg b+lg c, 2 2 2 a+b b+c c+a 只需证 lg( · · )>lg(a· b· c), 2 2 2 a+b b+c c+a 只需证 · · >abc.(中间结果) 2 2 2 a+b b+c c+a 因为 a,b,c 是不全相等的正数,则 ≥ ab>0, ≥ bc>0, ≥ ca>0. 2 2 2 a+b b+c c+a 且上述三式中的等号不全成立,所以 · · >abc(中间结果) 2 2 2 a+b b+c c+a 所以 lg +lg +lg >lga+lgb+lgc. 2 2 2 11.(探究选做)如图,已知两个正方形 ABCD 和 DCEF 不在同一 平面内,M、N 分别为 AB、DF 的中点. (1)若平面 ABCD⊥平面 DCEF,求直线 MN 与平面 DCEF 所成角 的正弦值; (2)用反证法证明:直线 ME 与 BN 是两条异面直线. 解:(1)取 CD 的中点 G,连结 MG、NG. 设正方形 ABCD、DCEF 的边长为 2, 则 MG⊥CD,MG=2,NG= 2.

因为平面 ABCD⊥平面 DCEF, 所以 MG⊥平面 DCEF. 可得∠MNG 是 MN 与平面 DCEF 所成的角. 6 因为 MN= 6,所以 sin∠MNG= 为 MN 与平面 DCEF 所成角的正弦值. 3 (2)证明:假设直线 ME 与 BN 共面,则 AB 平面 MBEN,且平面 MBEN 与平面 DCEF 交于 EN. 由已知,两正方形不共面,故 AB?平面 DCEF. 又 AB∥CD,所以 AB∥平面 DCEF. 而 EN 为平面 MBEN 与平面 DCEF 的交线,所以 AB∥EN. 又 AB∥CD∥EF,所以 EN∥EF,这与 EN∩EF=E 矛盾,故假设不成立. 所以 ME 与 BN 不共面,它们是异面直线. 作业 40 § 6.7 数学归纳法

1-an 2 + 1.用数学归纳法证明 1+a+a2+?+an 1= (a≠1,n∈N),在验证 n=1 时,等 1-a 式左边的项是( ) A.1 B.1+a C.1+a+a2 D.1+a+a2+a3 答案:C 1 2. 在应用数学归纳法证明凸 n 边形的对角线为 n(n-3)条时,第一步验证第一个值 n0 等 2 于( ) A.1 B .2 C.3 D.0 答案:C 3.某个命题与正整数有关,如果当 n=k(k∈N+)时该命题成立,那么可以推出 k+1 时该 命题也成立,现已知 n=5 时该命题不成立,那么( ) A.n=4 时成立 B.n=6 时不成立 C.n 为大于 5 的某个自然数时命题成立 D.以上均不对 答案:C 1 1 1 127 4.用数学归纳法证明不等式 1+ + +?+ n-1> (n∈N+)成立,其初始值至少应取 2 4 64 2 ( ) A.7 B .8 C.9 D.10 答案:B 5.(2011 年铜川调研)设 f(x)是定义在正整数集上的函数,且 f(x)满足:“当 f(k)≥k2 成立 时,总可推出 f(k+1)≥(k+1)2 成立”.那么,下列命题总成立的是( ) A.若 f(3)≥9 成立,则当 k≥1,均有 f(k)≥k2 成立 B.若 f(5)≥25 成立,则当 k≤5 时,均有 f(k)≥k2 成立 C.若 f(7)<49 成立,则当 k≥8 时,均有 f(k)<k2 成立 D.若 f(4)=25 成立,则当 k≥4 时,均有 f(k)≥k2 成立 答案:D 1 1 1 6.设 f(n)=1+ + +?+ (n∈N+),那么 f(n+1)-f(n)=________. 2 3 3n-1 1 1 1 解析:f(n+1)-f(n)= + + . 3n 3n+1 3n+2 1 1 1 答案: + + 3n 3n+1 3n+2 7.用数学归纳法证明“对于足够大的正整数 n,总有 2n>n3”时,验证第一步不等式成 立所取的第一个最小值 n0 应当是________. 解析:将 n 的值依次代入验证即可. 答案:10 8.设 S1=12,S2=12+22+12,?,Sn=12+22+32+?+n2+?+22+12,用数学归纳 n?2n+1? 法证明 Sn≥ 时,第二步从 k 到 k+1 应添加的项为________. 3 解析:当 n=k 时,左端为 12+22+32+?+k2+?+22+12; 当 n=k+1 时,左端为 1+22+32+?+k2+(k+1)2+k2+?+22+12. 答案:(k+1)2+k2 1 9.(2010 年高考大纲全国卷Ⅰ )已知数列{an}中,a1=1,an+1=c- . an


5 1 (1)设 c= ,bn= ,求数列{bn}的通项公式; 2 an-2 (2)求使不等式 an<an+1<3 成立的 c 的取值范围. an-2 5 1 解:(1)an+1-2= - -2= , 2 an 2an 1 2an 4 = = +2,即 bn+1=4bn+2. an+1-2 an-2 an-2 2 2 1 所以 bn+1+ =4(bn+ ),又 a1=1,故 b1= =-1. 3 3 a1-2 2 1 所以{bn+ }是首项为- ,公比为 4 的等比数列, 3 3 - 4n 1 2 2 1 - ∴bn+ =(- )×4n 1,bn=- - . 3 3 3 3 (2)a1=1,a2=c-1,由 a2>a1,得 c>2. 用数学归纳法证明:当 c>2 时,an<an+1. 1 (i)当 n=1 时,a2=c- >a1,命题成立; a1 (ii)假设当 n=k 时,ak<ak+1,则当 n=k+1 时, 1 1 ak+2=c- >c- =ak+1. ak ak + 1 故由(i)(ii)知,当 c>2 时,an<an+1. c+ c2-4 当 c>2 时,令 α= , 2 1 1 由 an+ <an+1+ =c,得 an<α; an an 10 当 2<c≤ 时,an<α≤3. 3 10 当 c> 时,α>3,且 1≤an<α,于是 3 1 1 α-an+1= (α-an)≤ (α-an), anα 3 1 α-an+1≤ n(α-1). 3 α-1 所以当 n>log3 时,α-an+1<α-3,an+1>3. α-3 10 因此 c> 不符合要求. 3 10 所以 c 的取值范围是(2, ]. 3 10.(2010 年高考安徽卷)设数列 a1,a2,?,an,?中的每一项都不为 0.证明:{an}为等 1 1 1 n 差数列的充分必要条件是:对任何 n∈N+,都有 + +?+ = . a1a2 a2a3 anan+1 a1an+1 证明:先证必要性. 设数列{an}的公差为 d, 若 d=0,则所述等式显然成立. 1 1 1 若 d≠0,则 + +?+ a1a2 a2a3 anan+1 an+1-an 1 a2-a1 a3-a2 = ( + +?+ ) d a1a2 a2a3 anan+1 1 1 1 1 1 1 1 = [( - )+( - )+?+( - )] d a1 a2 a2 a3 an an+1

1 1 1 1 an+1-a1 n = ( - )= · = . d a1 an+1 d a1an+1 a1an+1 再证充分性. (数学归纳法)设所述的等式对一切 n∈N+都成立. 1 1 2 首先,在等式 + = a1a2 a2a3 a1a3 两端同乘 a1a2a3,即得 a1+a3=2a2, 所以 a1,a2,a3 成等差数列,记公差为 d,则 a2=a1+d. 假设 ak=a1+(k-1)d,当 n=k+1 时, 观察如下两个等式: k-1 1 1 1 + +?+ = ,① a1a2 a2a3 ak-1ak a1ak 1 1 1 1 k + +?+ + = ,② a1a2 a2a3 ak-1ak akak+1 a1ak+1 k-1 1 k 将①代入②,得 + = , a1ak akak+1 a1ak+1 在该式两端同乘 a1akak+1,得(k-1)ak+1+a1=kak. 将 ak=a1+(k-1)d 代入其中,整理后, 得 ak+1=a1+kd. 由数学归纳法原理知,对一切 n∈N+,都有 an=a1+(n-1)d.所以{an}是公差为 d 的等差 数列. 11.(探究选做)在数列{an}与{bn}中,a1=1,b1=4,数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 nSn+1 -(n+3)Sn=0,2an+1 为 bn 与 bn+1 的等比中项,n ∈N+. (1)求 a2,b2 的值; (2)求数列{an}与{bn}的通项公式. 解:(1)由题设有 a1+a2-4a1=0,a1=1,解得 a2=3. 由题设又有 4a2 2=b2b1,b1=4,解得 b2=9. (2)由题设 nSn+1-(n+3)Sn=0,a1=1,b1=4,及 a2=3,b2=9,进一步可得 a3=6,b3 n?n+1? =16,a4=10,b4=25,由此猜想 an= ,bn=(n+1)2,n∈N+. 2 n?n+1? 先证 an= ,n∈N+. 2 1×?1+1? 当 n=1 时,a1= ,等式成立. 2 当 n≥2 时用数学归纳法证明如下: 2×?2+1? 当 n=2 时,a2= ,等式成立. 2 k?k+1? 假设 n=k 时等式成立,即 ak= ,k≥2. 2 由题设,kSk+1=(k+3)Sk,① (k-1)Sk=(k+2)Sk-1.② ①的两边分别减去②的两边,整理得 kak+1=(k+2)ak, k+2 k+2 k?k+1? 从而 ak+1= ak= · k k 2 ?k+1?[?k+1?+1] = . 2 这就是说,当 n=k+1 时等式也成立. n?n+1? 综上可知,等式 an= 对任何的 n∈N+都成立. 2 下证 bn=(n+1)2,n∈N+, 当 n=1 时,b1=4,∴等式成立.

假设 n=k 时,等式成立,即 bk=(k+1)2, 那么 n=k+1 时, ∵(2ak+1)2=bk· bk+1, ?k+1??k+2? 2 ∴[2· ] =(k+1)2· bk+1. 2 ∴bk+1=(k+2)2=[(k+1)+1]2. ∴n=k+1 时等式成立. ∴综上知,bn=(n+1)2,n∈N+. 作业 41 第 7 章 平面解析几何 § 7.1 直线及其方程 1.直线 x-2y+1=0 关于直线 x=1 对称的直线方程是( ) A.x+2y-1=0 B.2x+y-1=0 C.2x+y-3=0 D.x+2y-3=0 ? ?x-2y+1=0 1 解析:选 D.由? 得交点 A(1,1),且可知所求直线斜率为- , 2 ?x=1 ? 1 ∴直线方程为 y-1=- (x-1)即 x+2y-3=0.故选 D. 2 2.(2011 年南阳调研)直线 x+ 3y+1=0 的倾斜角是( ) π π A. B. 6 3 2π 5π C. D. 3 6 3 解析:选 D.直线的斜率为- =tanα, 3 5π ∴直线倾斜角为 . 6 3.将直线 y=3x 绕原点逆时针旋转 90° ,再向右平移 1 个单位,所得到的直线为( ) 1 1 1 A.y=- x+ B.y=- x+1 3 3 3 1 C.y=3x-3 D.y= x+1 3 1 解析: 选 A.将直线 y=3x 绕原点逆时针旋转 90° 得到直线 y=- x, 再向右平移 1 个单位, 3 1 1 1 所得到的直线为 y=- · (x-1),即 y=- x+ ,选 A. 3 3 3 4.直线 xsinα-y+1=0 的倾斜角的变化范围是( ) π A.(0, ) B.(0,π) 2 π π π 3π C.[- , ] D.[0, ]∪[ ,π) 4 4 4 4 解析:选 D.直线 xsinα-y+1=0 的斜率是 k=sinα, 又∵-1≤sinα≤1,∴-1≤k≤1. π 当 0≤k≤1 时,倾斜角的范围是[0, ], 4 3π 当-1≤k<0 时,倾斜角的范围是[ ,π). 4 5.(2011 年九江质检)如图,在同一直角坐标系中,正确表示直线 y=ax 与 y=x+a 的是 ( )

解析:选 C.当 a>0 时,直线 y=ax 的倾斜角为锐角,直线 y=x+a 在 y 轴上的截距为 a >0,A、B、C、D 都不成立; 当 a=0 时,直线 y=ax 的倾斜角为 0° ,A、B、C、D 都不成立; 当 a<0 时,直线 y=ax 的倾斜角为钝角,直线 y=x+a 在 y 轴上的截距为 a<0,只有 C 成立. 6.不论 k 为何值时,直线(k-1)x+y-k+1=0 恒过定点________. 解析:将直线方程整理得 k(x-1)+y-x+1=0. ∵k∈R, ? ? ?x-1=0 ?x=1 ∴? 即? . ?y-x+1=0 ?y=0 ? ? 答案:(1,0) π π 7.(2011 年蚌埠调研)如图, 点 A、B 在函数 y=tan( x- )的图 4 2 像上,则直线 AB 的方程为________. 解析:由图像得 A(2,0)、B(3,1), ∴直线方程为 x-y-2=0. 答案:x-y-2=0 8. 若点 A(a,0), B(0, b), C(1, -1)(a>0, b<0)三点共线, 则 a-b 的最小值等于________. 解析: AB=(-a,b), AC=(1-a,-1), ∵A、B、C 共线, ∴a-b(1-a)=0. a ∴b= . 1-a ∵b<0, a ∴ <0,故 a>1. 1-a a 1 1 ∴a-b=a+ =a+1+ =(a-1)+ +2≥4,当 a=2 时,a-b 最小值为 4. a-1 a-1 a-1 答案:4 9.直线 l 经过点 P(3,2)且与 x 轴、y 轴的正半轴分别交于 A、B 两点,△OAB 的面积为 12,求直线 l 的方程. x y 解:法一:设直线 l 的方程为 + =1(a>0,b>0), a b ∴A(a,0),B(0,b). ab=24, ? ? ? ?a=6, ∴?3 2 解得? ?b=4. ? ? ?a+b=1, x y ∴所求的直线方程为 + =1, 6 4 即 2x+3y-12=0. 法二:设直线 l 的方程为 y-2=k(x-3),(k<0), 2 令 y=0,得直线 l 在 x 轴上的截距 a=3- , k 令 x=0,得直线 l 在 y 轴上的截距 b=2-3k.





2 2 ∴(3- )(2-3k)=24,解得 k=- . k 3 2 ∴所求的直线方程为 y-2=- (x-3), 3 即 2x+3y-12=0. 10. 如图, l1, l2 分别表示一种白炽灯和一种节能灯的费用 y(费 用=灯的售价+电费(元))与照明时间 x(小时)的函数图像,假设两 种灯的使用寿命都是 2000 小时,照明效果一样. (1)根据图像,分别求出 l1,l2 的函数关系式; (2)当照明时间为多少时,两种灯的费用相等? (3)小明的房间计划照明 2500 小时,他买了一个白炽灯和一个 节能灯,请帮他设计最省钱的用灯方法,并求出最低费用. 解:(1)设 l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2. ∵点(0,2),(500,17)在 l1 上, (0,20),(500,25)在 l2 上, ∴l1:y=0.03x+2(0≤x≤2000), l2:y=0.01x+20(0≤x≤2000). ? ? ?y=0.03x+2 ?x=900 (2)联立? 得? , ?y=0.01x+20 ?y=29 ? ? ∴当照明时间为 900 小时时,两种灯费用相等,都是 29 元. (3)由题可知,前 2000 小时使用节能灯的费用较白炽灯低,后 500 小时使用白炽灯费用 较节能灯低. ∴2000×0.01+20+500×0.03+2=57(元). 即总费用为 57 元. 11.(探究选做)为了绿化城市,拟在矩形区域 ABCD 内建一个矩 形草坪(如右图),另外△EFA 内部有一文物保护区不能占用,经测量 AB=100 m,BC=80 m,AE=30 m,AF=20 m,应如何设计才能使 草坪面积最大? 解:如右图所示建立直角坐标系,则 E(30,0),F(0,20), ∴线段 EF 的方程为 x y + =1(0≤x≤30). 30 20 在线段 EF 上取点 P(m,n), 作 PQ⊥BC 于点 Q,PR⊥CD 于点 R, 设矩形 PQCR 的面积为 S, 则 S=|PQ||PR|=(100-m)(80-n). m n 又 + =1(0≤m≤30), 30 20 m ∴n=20(1- ), 30 2 ∴S=(100-m)(80-20+ m) 3 2 18050 =- (m-5)2+ (0≤m≤30), 3 3 |EP| 30-5 ∴当 m=5 时,S 有最大值,这时 = =5∶1. |PF| 5 所以, 当草坪矩形的两边在 BC、 CD 上, 一个顶点在线段 EF 上, 且这个顶点分 EF 成 5∶ 1 时,草坪面积最大. 作业 42

§ 7.2 两条直线的位置关系 1.点(4,t)到直线 4x-3y=1 的距离不大于 3,则 t 的取值范围是( ) 1 31 A. ≤t≤ B.0<t<10 3 3 C.0≤t≤10 D.t<0 或 t>10 |16-3t-1| 解析:选 C.由题意,得 ≤3,即|15-3t|≤15, 5 ∴0≤t≤10. 2.已知直线 l1:x+y+1=0,l2:x+y-1=0,则 l1,l2 之间的距离为( ) A.1 B. 2 C. 3 D.2 |C1-C2| |1-?-1?| 解析:选 B.l1 与 l2 之间的距离 d= 2 = = 2,故选 B. 2 A +B2 3.(2011 年济源质检)光线自点 M(2,3)射到 N(1,0)后被 x 轴反射,则反射光线所在的直线 方程为( ) A.y=3x-3 B.y=-3x+3 C.y=-3x-3 D.y=3x+3 y-0 解析: 选 B.点 M 关于 x 轴的对称点 M′(2, -3), 则反射光线即在直线 NM′上, 由 -3-0 x-1 = ,得 y=-3x+3,故选 B. 2-1 4.设曲线 y=ax2 在点(1,a)处的切线与直线 2x-y-6=0 垂直,则 a=( ) 1 A.1 B. 4 1 C.- D.-1 4 答案:C 5.与直线 3x-4y+5=0 关于 x 轴对称的直线方程为( ) A.3x+4y+5=0 B.3x+4y-5=0 C.-3x+4y-5=0 D.-3x+4y+5=0 解析: 选 A.依题意得, 直线 3x-4y+5=0 关于 x 轴对称的直线方程是 3x-4(-y)+5=0, 即 3x+4y+5=0,选 A. 6.直线 x+2y-3=0 与直线 ax+4y+b=0 关于点 A(1,0)对称,则 b=________. 1 a 解析:由题意,点 A(1,0)不在直线 x+2y-3=0 上,则- =- ,∴a=2,又点 A 到两 2 4 直线的距离相等, ∴|b+2|=4,∴b=-6 或 b=2,又∵点 A 不在直线上,两直线不重合,∴b=2. 答案:2 7.经过点(-2,3),且与直线 2x+y-5=0 垂直的直线方程为________. 1 1 解析:与 2x+y-5=0 垂直的直线斜率为 ,所求直线的点斜式方程为:y-3= (x+2), 2 2 即 x-2y+8=0. 答案:x-2y+8=0 8.(2009 年高考江西卷)设直线系 M:xcosθ+(y-2)· sinθ=1(0≤θ≤2π),对于下列四个命 题: A.M 中所有直线均经过一个定点 B.存在定点 P 不在 M 中的任一条直线上 C.对于任意整数 n(n≥3),存在正 n 边形,其所有边均在 M 中的直线上 D.M 中的直线所围成的正三角形面积都相等 其中真命题的代号是________(写出所有真命题的代号).

解析:注意到点(0,2)到直线 xcosθ+(y-2)sinθ=1,即 xcosθ+ysinθ-2sinθ-1=0 的距离 |-1| 等于 =1,因此以点(0,2)为圆心、1 为半径的圆与所有直线都相切,因此直线系 cos2θ+sin2θ M 可视为圆 x2+(y-2)2=1 的所有切线,显然圆心(0,2)不在 M 中的任一条直线上,再结合图 形分析可知 A、D 不正确,B、C 正确.综上所述,其中正确的是 B、C. 答案:B、C 9. 求出一个数学问题的正确结论后, 将其作为条件之一, 提出与原来问题有关的新问题, 我们把它称为原来问题的一个“逆向”问题. 例如,原来问题是“若正四棱锥底面边长为 4,侧棱长为 3,求该正四棱锥的体积”.求 16 16 出体积 后,它的一个“逆向”问题可以是“若正四棱锥底面边长为 4,体积为 ,求侧棱 3 3 16 长”;也可以是“若正四棱锥的体积为 ,求所有侧面面积之和的最小值”. 3 试给出问题“在平面直角坐标系 xOy 中,求点 P(2,1)到直线 3x+4y=0 的距离”的一个 有意义的“逆向”问题,并解答你所给出的“逆向”问题. |3×2+4×1| 解:点(2,1)到直线 3x+4y=0 的距离为 =2.“逆向”问题可以是:(1)求到直 32+42 线 3x+4y=0 的距离为 2 的点的轨迹方程. |3x+4y| 设所求轨迹上任意一点为 P(x,y),则 =2,所求轨迹为 3x+4y-10=0 或 3x+4y 5 +10=0. (2)若点 P(2,1)到直线 l:ax+by=0 的距离为 2,求直线 l 的方程. |2a+b| =2,化简得 4ab-3b2=0,解得 b=0 或 4a=3b. a2+b2 所以,直线 l 的方程为 x=0 或 3x+4y=0. 10.已知直线 l1:ax+2y+6=0 和直线 l2:x+(a-1)y+a2-1=0. (1)试判断 l1 与 l2 是否平行; (2)l1⊥l2 时,求 a 的值. ?a?a-1?-2×1=0, ? 解:(1)若 l1∥l2,则? 2 ?a?a -1?-6×1≠0. ? ∴a=-1. ∴a=-1 时,l1∥l2. (2)当 l2 的斜率不存在时,a=1. 则 l2:x=0,l1:x+2y+6=0. 显然 l1 与 l2 不垂直. 当 l2 斜率存在时,a≠1. 1 a 则 k2= ,k1=- . 2 1-a ∵l1⊥l2, 1 a ∴k1· k2= · (- )=-1. 2 1-a 2 ∴a= . 3 11.(探究选做)已知直线 l 经过直线 2x+y-5=0 与 x-2y=0 的交点, (1)点 A(5,0)到 l 的距离为 3,求 l 的方程; (2)求点 A(5,0)到 l 的距离的最大值. 解:(1)经过两已知直线交点的直线系方程为(2x+y-5)+λ(x-2y)=0, 即(2+λ)x+(1-2λ)y-5=0, |10+5λ-5| ∴ =3. ?2+λ?2+?1-2λ?2

即 2λ2-5λ+2=0, 1 ∴λ=2 或 . 2 ∴l 的方程为 x=2 或 4x-3y-5=0. ? ?2x+y-5=0 (2)由? ,解得交点 P(2,1),如图,过 P 作任一直线 ?x-2y=0 ? l,设 d 为点 A 到 l 的距离, 则 d≤|PA|(当 l⊥PA 时等号成立). ∴dmax=|PA|= 10. 作业 43 § 7.3 圆的方程 1.(2010 年高考广东卷)若圆心在 x 轴上、半径为 5的圆 O 位于 y 轴左侧,且与直线 x +2y=0 相切,则圆 O 的方程是( ) 2 2 A.(x- 5) +y =5 B.(x+ 5)2+y2=5 C.(x-5)2+y2=5 D.(x+5)2+y2=5 |a| 解析:选 D.设圆心 O(a,0)(a<0),则 5= 2 2?|a|=5,得 a=-5,∴圆 O 的方程为 1 +2 2 2 (x+5) +y =5. 2. (2010 年高考福建卷)以抛物线 y2=4x 的焦点为圆心, 且过坐标原点的圆的方程为( ) A.x2+y2+2x=0 B.x2+y2+x=0 C.x2+y2-x=0 D.x2+y2-2x=0 2 解析:选 D.抛物线 y =4x 的焦点坐标为(1,0),故以(1,0)为圆心,且过坐标原点的圆的半 径为 r= 12+02=1,所以圆的方程为(x-1)2+y2=1,即 x2+y2-2x=0,故选 D. 3.圆心在 y 轴上,半径为 1,且过点(1,2)的圆的方程是( ) 2 2 2 2 A.x +(y-2) =1 B.x +(y+2) =1 C.(x-1)2+(y-3)2=1 D.x2+(y-3)2=1 解析:选 A.设圆心为(0,b), ∴ ?0-1?2+?b-2?2=1, ∴b=2,∴x2+(y-2)2=1. 4.若圆 C 的半径为 1,圆心在第一象限,且与直线 4x-3y=0 和 x 轴都相切,则该圆的 标准方程是( ) 7 2 A.(x-3) +(y- )2=1 3 B.(x-2)2+(y-1)2=1 C.(x-1)2+(y-3)2=1 3 D.(x- )2+(y-1)2=1 2 |b|=1 ? ? 解析:选 B.设圆心坐标为(a,b),则?|4a-3b| ,又 b>0,故 b=1,由|4a-3|=5, =1 ? ? 5 1 得 a=2 或 a=- ,又 a>0,故 a=2,所求圆的标准方程是(x-2)2+(y-1)2=1.(采用检验的 2 方法也可以) 5.已知圆 C 与直线 x-y=0 及 x-y-4=0 都相切,圆心在直线 x+y=0 上,则圆 C 的 方程为( ) A.(x+1)2+(y-1)2=2 B.(x-1)2+(y+1)2=2

C.(x-1)2+(y-1)2=2 D.(x+1)2+(y+1)2=2 解析: 选 B.∵直线 x-y=0 与 x-y-4=0 平行且与圆相切, 故它们之间的距离即为圆的 直径, 4 设圆 C 半径为 R,∴2R= .∴R= 2. 2 设圆心坐标为 C(a,-a),则满足点 C 到两条切线的距离都等于半径, |2a-4| 2|a| ∴ = 2, = 2,解得 a=1,故圆心为(1,-1), 2 2 ∴圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=2. 6.(2010 年高考天津卷)已知圆 C 的圆心是直线 x-y+1=0 与 x 轴的交点,且圆 C 与直 线 x+y+3=0 相切,则圆 C 的方程为________________. 解析:直线 x-y+1=0 与 x 轴的交点为(-1,0),即圆 C 的圆心坐标为(-1,0).又圆 C |-1+0+3| 与直线 x+y+3=0 相切,∴圆 C 的半径为 r= = 2,∴圆 C 的方程为(x+1)2+y2 2 =2. 答案:(x+1)2+y2=2 7.(2010 年高考山东卷)已知圆 C 过点(1,0),且圆心在 x 轴的正半轴上.直线 l:y=x-1 被该圆所截得的弦长为 2 2,则圆 C 的标准方程为________________. 解析:设圆心坐标为(a,0)(a>0),因为圆截直线所得的弦长为 2 2,根据半弦、半径、弦 |a-1| 2 心距之间的关系有( ) +2=(a-1)2,即(a-1)2=4,所以 a=3 或 a=-1(舍去),则半径 2 r=3-1=2,圆心坐标为(3,0).所以圆 C 的标准方程为(x-3)2+y2=4. 答案:(x-3)2+y2=4 8.已知 AC、BD 为圆 O:x2+y2=4 的两条相互垂直的弦,垂足为 M(1, 2),则四边形 ABCD 的面积的最大值为________. 解析:如图所示,设弦 AC、BD 的中点分别为 P、Q,根据弦的中点 的性质,则 OP⊥AC,OQ⊥BD.又 AC⊥BD,故四边形 OPMQ 为矩形, 2 2 设圆心 O 到 AC、BD 的距离分别为 d1、d2,则 d1 +d2 2=|OM| =3.又|AC| 1 2 =2 4-d2 |BD|= 1 , |BD|= 2 4-d2 ,则四边形 ABCD 的面积 S= |AC|· 2 6 2 2 2 2 ?4-d2 时成立, 1??4-d2?≤8-(d1 +d2)=5,等号当且仅当 d1=d2= 2 即四边形 ABCD 的面积的最大值为 5. 答案:5 9.已知圆 C 通过不同的三点 P(m,0)、Q(2,0),R(0,1),且 CP 的斜率为-1,试求圆 C 的 方程. m+2 解:依题意,PQ 的垂直平分线方程为 x= , 2 RQ 的垂直平分线的方程为 4x-2y-3=0, m+2 1 圆心为两直线的交点( ,m+ ), 2 2 1 m+ 2 由 =-1,得 m=-3, m+2 -m 2 1 5 1 49 50 故圆心为(- ,- ),半径为 + = , 2 2 4 4 2 1 5 25 故圆的方程为(x+ )2+(y+ )2= . 2 2 2

10.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,A(a,0)(a>0),B(0,a), C(-4,0),D(0,4),设△AOB 的外接圆圆心为 E. (1)若⊙E 与直线 CD 相切,求实数 a 的值. (2)设点 P 在⊙E 上,使△PCD 的面积等于 12 的点 P 有且只有 三个,试问这样的⊙E 是否存在?若存在,求出⊙E 的标准方程; 若不存在,说明理由. a a 2 解:(1)易知,直线 CD 方程为 y=x+4,圆心 E( , ),半径 r= a. 2 2 2 a a | - +4| 2 2 2 由题意得 = a,解得 a=4. 2 2 (2)∵|CD|= ?-4?2+42=4 2, ∴当△PCD 的面积为 12 时,点 P 到直线 CD 的距离为 3 2. 又圆心 E 到直线 CD 距离为 2 2(定值), 要使△PCD 的面积等于 12 的点 P 有且只有三个, 2a 需⊙E 的半径 =5 2,解得 a=10, 2 此时,⊙E 的标准方程为(x-5)2+(y-5)2=50. 11.(探究选做)已知点(x,y)在圆(x-2)2+(y+3)2=1 上. (1)求 x+y 的最大值和最小值; y (2)求 的最大值和最小值; x (3)求 x2+y2+2x-4y+5的最大值和最小值. 解:(1)设 t=x+y,则 y=-x+t,t 可视为直线 y=-x+t 的纵截距,所以 x+y 的最大 值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值,即直线与圆相切时的纵 截距. |2+?-3?-t| 由直线与圆相切得:圆心到直线的距离等于半径,即 =1,解之得:t= 2- 2 1 或 t=- 2-1, 所以 x+y 的最大值为 2-1,最小值为- 2-1. y y (2) 可视为点(x,y)与原点连线的斜率, 的最大值和最小值就是过原点的直线与该圆有 x x 公共点时斜率的最大值和最小值,即直线与圆相切时的斜率. 设过原点的直线的方程为 y= kx,由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径,即 |2k-?-3?| =1, 1+k2 2 3 2 3 解之得:k=-2+ 或 k=-2- . 3 3 y 2 3 2 3 所以 的最大值为-2+ ,最小值为-2- . x 3 3 (3) x2+y2+2x-4y+5即为 [x-?-1?]2+?y-2?2,可视为点(x,y)到定点(-1,2)的距离的最值,可转化为圆心(2, - 3) 到定点 ( - 1,2) 的距离与半径的和或差.又因为圆心到定点 ( - 1,2) 的距离为 34 ,所以 x2+y2+2x-4y+5的最大值为 34+1,最小值为 34-1.

作业 44 § 7.4 直线与圆、圆与圆的位置关系 1.直角坐标平面内,过点 P(2,1)且与圆 x2+y2=4 相切的直线( ) A.有两条 B.有且仅有一条 C.不存在 D.不能确定 解析:选 A.可以判断点 P 在圆外,因此,过点 P 且与圆相切的直线有两条. → → → → 2.已知直线 x+y=a 与圆 x2+y2=4 交于 A,B 两点,且|OA+OB|=|OA-OB|(其中 O 为 坐标原点),则实数 a 等于( ) A.2 B.-2 C.2 或-2 D. 6或- 6 |a| → → → → 解析:选 C.由|OA+OB|=|OA-OB|知 OA⊥OB,所以由题意可得 = 2,所以 a=± 2. 2 2 2 x y 3.(2009 年高考全国卷Ⅱ)双曲线 - =1 的渐近线与圆(x-3)2+y2=r2(r>0)相切,则 r 6 3 =( ) A. 3 B .2 C.3 D.6 2 2 x y 2 解析:选 A.∵双曲线 - =1 的渐近线方程为 y=± x,则圆心(3,0)到 2y+x=0 的距 6 3 2 离为 r, 3 ∴r= = 3.故选 A. 3 4.过原点且倾斜角为 60° 的直线被圆 x2+y2-4y=0 所截得的弦长为( ) A. 3 B .2 C. 6 D.2 3 解析: 选 D.过原点且倾斜角为 60° 的直线方程为 3x-y=0, 圆 x2+(y-2)2=4 的圆心(0,2) | 3×0-2| 到直线的距离为 d= =1,因此弦长为 2 R2-d2=2 4-1=2 3. 3+1 5.(2010 年高考江西卷)直线 y=kx+3 与圆(x-2)2+(y-3)2=4 相交于 M,N 两点,若 |MN|≥2 3,则 k 的取值范围是( ) 3 3 3 A.[- ,0] B.[- , ] 4 3 3 2 C.[- 3, 3 ] D.[- ,0] 3 解析:选 B.如图,若|MN|=2 3,则由圆与直线的位置关系 可知圆心到直线的距离满足 d2=22-( 3)2=1. ∵直线方程为 y=kx+3, |k· 2-3+3| 3 ∴d= 2 =1,解得 k=± 3 . 1+k 3 3 若|MN|≥2 3,则- ≤k≤ . 3 3 6.(2010 年高考江苏卷)在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 x2+y2=4 上有且只有四个点 到直线 12x-5y+c=0 的距离为 1,则实数 c 的取值范围是__________. 解析:由题设得,若圆上有四个点到直线的距离为 1,则需圆心(0,0)到直线的距离 d 满 足 0≤d<1. |c| |c| ∵d= = , 122+?-5?2 13 ∴0≤|c|<13,即 c∈(-13,13).

答案:(-13,13) 7.两圆 x2+y2-6x+6y-48=0 与 x2+y2+4x-8y-44=0 公切线的条数是________. 答案:2 8.若⊙O:x2+y2=5 与⊙O1:(x-m)2+y2=20(m∈R)相交于 A、B 两点,且两圆在点 A 处的切线互相垂直,则线段 AB 的长度是________. 解析:由题意⊙O1 与⊙O 在 A 处的切线互相垂直,则两切线分别过另一圆的圆心,所以 O1A⊥OA. 又∵|OA|= 5, |O1A|=2 5, ∴|OO1|=5, 而 A、 B 关于 OO1 轴对称, 所以|AB|为 Rt△OAO1 5×2 5 斜边上高的 2 倍,即|AB|=2× =4. 5 答案:4 9.已知圆 x2+y2-6mx-2(m-1)y+10m2-2m-24=0(m∈R). (1)求证:不论 m 为何值,圆心在同一直线 l 上; (2)与 l 平行的直线中,哪些与圆分别相交、相切、相离. 解:(1)证明:配方得: (x-3m)2+[y-(m-1)]2=25, ? ?x=3m 设圆心为(x,y),则? , ?y=m-1 ? 消去 m 得 l:x-3y-3=0, 则不论 m 为何值,圆心恒在直线 l:x-3y-3=0 上. (2)设与 l 平行的直线是 l1:x-3y+b=0, 则圆心到直线 l1 的距离为 |3m-3?m-1?+b| |3+b| d= = . 10 10 ∵圆的半径为 r=5, ∴当 d<r,即-5 10-3<b<5 10-3 时,直线与圆相交; 当 d=r,即 b=± 5 10-3 时,直线与圆相切; 当 d>r,即 b<-5 10-3 或 b>5 10-3 时,直线与圆相离. 2 10.以点 C(t, )(t∈R,t≠0)为圆心的圆经过坐标原点 O,且与直线 y=-2x+4 交于点 t M,N.若|OM|=|ON|,判断直线 OC 与直线 MN 的位置关系,并求圆 C 的方程. 解:∵|OM|=|ON|,|CM|=|CN|, ∴OC 垂直平分线段 MN. 1 1 ∵kNM=-2,∴kOC= ,∴直线 OC 的方程是 y= x, 2 2 2 1 ∴ = t,解得 t=2 或 t=-2. t 2 (1)当 t=2 时,圆心 C 的坐标为(2,1),半径|OC|= 5, 此时圆心 C 到直线 y=-2x+4 的距离为 |4+1-4| 1 d= = < 5,直线与圆 C 相交,符合题意. 5 5 (2)当 t=-2 时,圆心 C 的坐标为(-2,-1),半径|OC|= 5,此时圆心 C 到直线 y=- |-4-1-4| 9 2x+4 的距离 d= = > 5,直线与圆 C 相离,不符合题意. 5 5 综合(1)(2)得,圆 C 的方程为(x-2)2+(y-1)2=5. 11.(探究选做)已知 m∈R,直线 l:mx-(m2+1)y=4m 和圆 C:x2+y2-8x+4y+16= 0. (1)求直线 l 斜率的取值范围; 1 (2)直线 l 能否将圆 C 分割成弧长的比值为 的两段圆弧?为什么? 2

m 4m m 解:(1)直线 l 的方程可化为 y= 2 x- 2 ,直线 l 的斜率 k= 2 . m +1 m +1 m +1 1 |m| 1 因为|m|≤ (m2+1),所以|k|= 2 ≤ ,当且仅当|m|=1 时等号成立. 2 m +1 2 1 1 所以,斜率 k 的取值范围是[- , ]. 2 2 1 (2)不能.由(1)知 l 的方程为 y=k(x-4),其中|k|≤ . 2 2 圆 C 的圆心为 C(4,-2),半径 r=2.圆心 C 到直线 l 的距离为 d= . 1+k2 1 4 r 由|k|≤ ,得 d≥ >1,即 d> . 2 2 5 从而,若 l 与圆 C 相交, 2π 则圆 C 截直线 l 所得的弦所对的圆心角小于 . 3 1 所以 l 不能将圆 C 分割成弧长的比值为 的两段圆弧. 2 作业 45 § 7.5 椭 圆 x2 y2 1.已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左焦点为 F,右顶点为 A,点 B 在椭圆上,且 BF⊥x a b → → 轴,直线 AB 交 y 轴于点 P.若AP=2PB,则椭圆的离心率是( ) 3 2 A. B. 2 2 1 1 C. D. 3 2 → → 解析:选 D.AP=2PB, 1 ∴|OA|=2|OF|,即 a=2c,∴e= . 2 2.“m>n>0”是“方程 mx2+ny2=1 表示焦点在 y 轴上的椭圆”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 x2 y2 1 1 解析:选 C.mx2+ny2=1 可化为 + =1.因为 m>n>0,所以 0< < ,因此椭圆焦点在 y 1 1 m n m n 轴上,反之亦成立. 3 3.(2011 年南昌调研)已知椭圆的中心为原点,离心率 e= ,且它的一个焦点与抛物线 2 x2=-4 3y 的焦点重合,则此椭圆方程为( ) y2 x2 A.x2+ =1 B. +y2=1 4 4 x2 y2 x2 y2 C. + =1 D. + =1 16 4 4 16 解析:选 A.抛物线的焦点为(0,- 3),椭圆中心在原点,则所求椭圆的一个焦点为(0, c 3 y2 - 3),半焦距 c= 3,又离心率 e= = ,所以 a=2,b=1,故椭圆方程为 x2+ =1. a 2 4 x2 y2 4.(2010 年高考福建卷)若点 O 和点 F 分别为椭圆 + =1 的中心和左焦点,点 P 为椭 4 3

→ → 圆上的任意一点,则OP· FP的最大值为( ) A.2 B.3 C.6 D.8 x2 y2 → → 解析: 选 C.由椭圆 + =1 可得点 F(-1,0), 点 O(0,0), 设 P(x, y), -2≤x≤2, 则OP· FP 4 3 x2 1 1 → → =x2+x+y2=x2+x+3(1- )= x2+x+3= (x+2)2+2,当且仅当 x=2 时,OP· FP取得最大 4 4 4 值 6. 5.如图所示,“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球, 在月球附近一点 P 变轨进入以月球球心 F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕 月飞行,之后卫星在 P 点第二次变轨进入仍以 F 为一个焦点的椭圆轨 道Ⅱ绕月飞行,最终卫星在 P 点第三次变轨进入以 F 为圆心的圆形轨 道Ⅲ绕月飞行. 若用 2c1 和 2c2 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距, 用 2a1 和 2a2 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长,给出下列式子:①a1+c1 c1 c2 =a2+c2;②a1-c1=a2-c2;③c1a2>a1c2;④ < . a1 a2 其中正确式子的序号是( ) A.①③ B.②③ C.①④ D.②④ 解析:选 B.对椭圆Ⅰ、Ⅱ,对于焦点 F 的焦半径的最小值均为|PF|. ∴a1-c1=a2-c2. c1 两椭圆最大焦半径 a1+c1 与 a2+c2 不相等,又Ⅰ比Ⅱ“扁”,离心率 e1= 较大,故② a1 ③成立. 3 6.已知椭圆 G 的中心在坐标原点,长轴在 x 轴上,离心率为 ,且 G 上一点到 G 的两 2 个焦点的距离之和为 12,则椭圆 G 的方程为________________. c 3 解析:设椭圆的长半轴长为 a,由 2a=12 知 a=6,又 e= = ,故 c=3 3,∴b2=a2 a 2 -c2=36-27=9. x2 y2 ∴椭圆标准方程为 + =1. 36 9 2 2 x y 答案: + =1 36 9 7.(2010 年高考大纲全国卷Ⅰ)已知 F 是椭圆 C 的一个焦点,B 是短轴的一个端点,线 → → 段 BF 的延长线交 C 于点 D,且BF=2FD,则 C 的离心率为__________. 解析:如图,设椭圆 C 的焦点在 x 轴上,B(0,b),F(c,0), → → D(xD,yD),则BF=(c,-b),FD=(xD-c,yD), → → ∵BF=2FD, ? ?c=2?xD-c?, ∴? ? ?-b=2yD,

?x = 2 , ∴? b ?y =-2.
D D

3c

3c b ? ?2 ?- ?2 2 2 1 ∴ 2 + 2 =1,即 e2= , a b 3

x2 x2 0 8.(2010 年高考湖北卷)已知椭圆 C: +y2=1 的两焦点为 F1,F2, 点 P(x0,y0)满足 0< 2 2 x0x 2 +y0 <1,则|PF1|+|PF2|的取值范围为________,直线 +y0y=1 与椭圆 C 的公共点个数为 2 ________. 解析:依题意得,点 P 位于椭圆 C 的内部(异于原点 O),因此有|F1F2|≤|PF1|+|PF2|<2a, 即 2≤|PF1|+|PF2|<2 2, |PF1|+|PF2|的取值范围是[2,2 2); 依题意, 可考虑取特殊点 P(-1,0), x0x 相应的直线为 x=-2,显然该直线与椭圆没有公共点,即直线 +y0y=1 与椭圆的公共点的 2 个数为 0. 答案:[2,2 2) 0 3 9.已知椭圆 C 经过点 A(1, ),两个焦点为(-1,0),(1,0). 2 (1)求椭圆 C 的方程; (2)E,F 是椭圆 C 上的两个动点,如果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率互为相反数,证明: 直线 EF 的斜率为定值,并求出这个定值. x2 y2 解:(1)由题意,知 c=1,可设椭圆方程为 2+ 2=1, 1+b b 1 9 因为 A 在椭圆上,所以 + 2=1, 1+b2 4b 3 x2 y2 解得 b2=3,b2=- (舍去).所以椭圆方程为 + =1. 4 4 3 3 (2)证明:设直线 AE 的方程为 y=k(x-1)+ , 2 x2 y2 代入 + =1,得 4 3 3 (3+4k2)x2+4k(3-2k)x+4( -k)2-12=0. 2 3 设 E(xE,yE),F(xF,yF),因为点 A(1, )在椭圆上, 2 3 4? -k?2-12 2 3 所以 xE= ,yE=kxE+ -k. 2 2 3+4k 3 4? +k?2-12 2 又直线 AF 的斜率与 AE 的斜率互为相反数, 在上式中以-k 代 k, 可得 xF= , 3+4k2 3 yF=-kxF+ +k. 2 yF-yE -k?xE+xF?+2k 1 所以直线 EF 的斜率 kEF= = = , 2 xF-xE xF-xE 1 即直线 EF 的斜率为定值,其值为 . 2 x2 y2 10.(2010 年高考课标全国卷)设 F1,F2 分别是椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点, a b 过 F1 斜率为 1 的直线 l 与 E 相交于 A,B 两点,且|AF2|,|AB|,|BF2|成等差数列. (1)求 E 的离心率; (2)设点 P(0,-1)满足|PA|=|PB|,求 E 的方程. 解:(1)由椭圆定义知|AF2|+|BF2|+|AB|=4a,

3 . 3 3 答案: 3 ∴ e=

4 又 2|AB|=|AF2|+|BF2|,得|AB|= a. 3 l 的方程为 y=x+c,其中 c= a2-b2, y=x+c, ? ? 2 2 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 A,B 两点坐标满足方程组?x y 化简得(a2+b2)x2+ ?a2+b2=1. ? 2a2cx+a2(c2-b2)=0, -2a2c a2?c2-b2? 则 x1+x2= 2 ,x1x2= 2 . a +b2 a +b2 因为直线 AB 的斜率为 1, 所以|AB|= 2|x2-x1| = 2[?x1+x2?2-4x1x2]. 4 4ab2 得 a= 2 ,故 a2=2b2, 3 a +b2 a2-b2 c 2 所以椭圆 E 的离心率 e= = = . a a 2 (2)设线段 AB 的中点为 N(x0,y0),由(1)知 x1+x2 -a2c 2 c x0= = 2 =- c,y0=x0+c= . 2 3 3 a +b2 由|PA|=|PB|,得 kPN=-1. y0+1 即 =-1, x0 得 c=3,从而 a=3 2,b=3. x2 y2 故椭圆 E 的方程为 + =1. 18 9 x2 y2 11.(探究选做)如图,椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的顶点为 A1, a b A2,B1,B2,焦点为 F1,F2,|A1B1|= 7,S?B1A1B2A2=2S?B1F1B2F2. (1)求椭圆 C 的方程; (2)设 n 为过原点的直线,l 是与 n 垂直相交于 P 点、与椭圆 → → → 相交于 A,B 两点的直线,|OP|=1.是否存在上述直线 l 使OA· OB =0 成立?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,请说明理由. 解:由|A1B1|= 7,知 a2+b2=7,① 由 S?A1B1A2B2=2S?B1F1B2F2 知 a=2c,② 又 b2=a2-c2,③ 由①②③解得 a2=4,b2=3, x2 y2 故椭圆 C 的方程为 + =1. 4 3 (2)设 A,B 两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2), → → 假设使OA· OB=0 成立的直线 l 存在, (ⅰ)当 l 不垂直于 x 轴时,设 l 的方程为 y=kx+m, 由 l 与 n 垂直相交于 P 点且| OP|=1 得 |m| =1,即 m2=k2+1. 1+k2 → → 由OA· OB=0,得 x1x2+y1y2=0. 将 y=kx+m 代入椭圆方程,得 (3+4k2)x2+8kmx+(4m2-12)=0,



-8km 由根与系数的关系可得 x1+x2= ,④ 3+4k2 4m2-12 x1x2= .⑤ 3+4k2 0=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+m)(kx2+m) =x1x2+k2x1x2+km(x1+x2)+m2 =(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2, 将④⑤代入上式并化简得 (1+k2)(4m2-12)-8k2m2+m2(3+4k2)=0,⑥ 将 m2=1+k2 代入⑥并化简得-5(k2+1)=0,矛盾. 即此时直线 l 不存在. → (ⅱ)当 l 垂直于 x 轴时,满足|OP|=1 的直线 l 的方程为 x=1 或 x=-1. 3 3 3 3 则 A,B 两点的坐标为(1, ),(1,- )或(-1, ),(-1,- ), 2 2 2 2 3 3 5 → → 当 x=1 时,OA· OB=(1, )· (1,- )=- ≠0; 2 2 4 3 3 → → 当 x=-1 时,OA· OB=(-1, )· (-1,- ) 2 2 5 =- ≠0, 4 ∴此时直线 l 也不存在. → → 综上可知,使OA· OB=0 成立的直线 l 不存在. 作业 46 § 7.6 双曲线 1.(2010 年高考大纲全国卷Ⅰ)已知 F1、F2 为双曲线 C:x2-y2=1 的左、右焦点,点 P 在 C 上,∠F1PF2=60° ,则|PF1|· |PF2|=( ) A.2 B .4 C.6 D.8 解析:选 B.设|PF1|=m,|PF2|=n, 由双曲线的定义得|m-n|=2,① 在△F1PF2 中,由余弦定理得 m2+n2-mn=8,② ②-①2 得 mn=4, 即|PF1|· |PF2|=4,故选 B. 2.中心在原点,焦点在 x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4,-2),则它的离心率为 ( ) A. 6 B. 5 6 5 C. D. 2 2 x2 y2 b 解析:选 D.双曲线方程为 2- 2=1(a>0,b>0),所以其渐近线方程为 y=± x,因为点(4, a b a 2 2 c - a b 1 1 5 -2)在渐近线上,所以 = ,根据 c2=a2+b2,可得 2 = ,解得 e= ,故选 D. a 2 a 4 2 x2 y2 3.(2010 年高考浙江卷)设 O 为坐标原点,F1、F2 是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的焦点, a b 若在双曲线上存在点 P,满足∠F1PF2=60° ,|OP|= 7a,则该双曲线的渐近线方程为( ) A.x± 3y=0 B. 3x± y=0 C.x± 2y=0 D. 2x± y=0 解析:选 D.在△F1PF2 中,根据余弦定理得|PF1|2+|PF2|2-|PF1||PF2|=4c2①,不妨设 P 在双曲线的右支上, F 1、 F2 为双曲线的左、 右焦点, 根据定义得||PF1|-|PF2||=2a, 平方得|PF1|2

+|PF2|2-2|PF1||PF2|=4a2②,①-②得|PF1|· |PF2|=4b2,代入②得|PF1|2+|PF2|2=4a2+8b2, → → → → → → → → 由于 2PO=PF1+PF2,所以 4|PO|2=|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|· |PF2|· cos∠F1PF2,故 28a2=4a2+ b 8b2+4b2, 即 2a2=b2, 即 b= 2a, 所以双曲线的渐近线方程是 y=± x, 即 y=± 2x, 即 2x± y a =0. x2 y2 4.若双曲线 2- =1(a>0)的离心率为 2,则 a 等于( ) a 3 A.2 B. 3 3 C. D.1 2 2 c2 a +3 解析:选 D.∵c2=a2+3,∴ 2= 2 =4,得 a=1. a a x2 2 5.(2010 年高考福建卷)若点 O 和点 F(-2,0)分别为双曲线 2-y =1(a>0)的中心和左焦 a → → 点,点 P 为双曲线右支上的任意一点,则OP· FP的取值范围为( ) A.[3-2 3,+∞) B.[3+2 3,+∞) 7 7 C.[- ,+∞) D.[ ,+∞) 4 4 x2 2 2 解析: 选 B. ∵ a = ( - 2) - 1 = 3 ,故双曲线方程为 - y2 = 1 ,设点 P 的坐标为 (x1 , 3 y1)(x1≥ 3), 2 x1 x2 4x2 → → 1 1 2 2 则 - y2 FP=(x1,y1)· (x1+2,y1)=x2 +2x1- 1 = 1. ∴OP· 1 + 2x1 + y1 = x 1 + 2x1 + - 1 = 3 3 3 1(x1≥ 3), 4x2 1 令 f(x1)= +2x1-1(x1≥ 3), 3 4x2 4? 3?2 1 因函数 f(x1)= +2x1-1 在[ 3, +∞)上单调递增, 故 f(x1)≥ +2 3-1=3+2 3, 3 3 应选 B. x2 y2 6.在平面直角坐标系 xOy 中,已知双曲线 - =1 上一点 M 的横坐标为 3,则点 M 4 12 到此双曲线的右焦点的距离为________. 解析:由题意知,双曲线的右焦点为(4,0),点 M 的坐标为(3, 15)或(3,- 15),则点 M 到此双曲线的右焦点的距离为 4. 答案:4 x2 y2 x2 y2 7.(2010 年高考北京卷)已知双曲线 2- 2=1 的离心率为 2,焦点与椭圆 + =1 的焦 a b 25 9 点相同,那么双曲线的焦点坐标为________;渐近线方程为________. c 解析:椭圆的焦点坐标为(4,0),(-4,0),故 c=4,且满足 =2,故 a=2,b= c2-a2= a 2 3.所以双曲线的渐近线方程为 y=± 3x. 答案:(± 4,0) y=± 3x x2 y2 8.已知 F 是双曲线 - =1 的左焦点,A(1,4),P 是双曲线右支上的动点,则|PF|+|PA| 4 12 的最小值为________. 解析:设双曲线的右焦点为 F1,则由双曲线的定义可知|PF|=2a+|PF1|=4+|PF1|,所以 当满足|PF1|+|PA|最小时就满足|PF|+|PA|取最小值.由双曲线的图像可知当点 A,P,F1 共线 时,满足|PF1|+|PA|最小.而|AF1|即为|PF1|+|PA|的最小值,|AF1|=5,故所求最小值为 9. 答案:9 9.(2010 年高考重庆卷)已知以原点 O 为中心,F( 5,0)为右

5 . 2 (1)求双曲线 C 的标准方程及其渐近线方程; (2)如图,已知过点 M(x1,y1)的直线 l1:x1x+4y1y=4 与过点 N(x2,y2)(其中 x2≠x1)的直 线 l2:x2x+4y2y=4 的交点 E 在双曲线 C 上,直线 MN 与双曲线的两条渐近线分别交于 G、 → → H 两点,求OG· OH的值. x2 y2 解:(1)设 C 的标准方程为 2- 2=1(a>0,b>0),则 a b c 5 由题意,得 c= 5,又 e= = ,因此 a=2,b= c2-a2=1. a 2 x2 2 C 的标准方程为 -y =1. 4 1 C 的渐近线方程为 y=± x,即 x-2y=0 和 x+2y=0. 2 (2)如图,由题意知点 E(xE,yE)在直线 l1:x1x+4y1y=4 和 l2:x2x+4y2y=4 上,因此有 x1xE+4y1yE=4,x2xE+4y2yE=4. 焦点的双曲线 C 的离心率 e=

故点 M、N 均在直线 xEx+4yEy=4 上,因此直线 MN 的方程为 xEx+4yEy=4. 已知 G、H 分别是直线 MN 与渐近线 x-2y=0 及 x+2y=0 的交点, ?xEx+4yEy=4, ? 由方程组? 及 ?x-2y=0, ?
? ?xEx+4yEy=4, ? ?x+2y=0, ?

?x =x +2y , 解得? 2 ?y =x +2y ,
G E E G E E

4

? ?x =x -2y , ? -2 ?y =x -2y . ?
H E E H E E

4

4 4 2 2 12 → → 故OG· OH= · - · = 2 . xE+2yE xE-2yE xE+2yE xE-2yE xE-4y2 E x2 2 因为点 E 在双曲线 -y2=1 上,有 x2 E-4yE=4, 4 12 → → 所以OG· OH= 2 =3. xE-4y2 E x2 y2 3 10.已知双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的离心率为 3,右准线方程为 x= . a b 3 (1)求双曲线 C 的方程; (2)已知直线 x-y+m=0 与双曲线 C 交于不同的两点 A,B,且线段 AB 的中点在圆 x2+ y2=5 上,求 m 的值.

?ac = 33, 解:(1)由题意得? c ?a= 3.
解得 a=1,c= 3.

2

所以 b2=c2-a2=2.

y2 所以双曲线 C 的方程为 x2- =1. 2 (2)设 A,B 两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),线段 AB 的中点为 M(x0,y0). x-y+m=0, ? ? 由? 2 y2 ?x - 2 =1, ? 得 x2-2mx-m2-2=0(判别式 Δ>0). x1+x2 所以 x0= =m , 2 y0=x0+m=2m. 因为点 M(x0,y0)在圆 x2+y2=5 上, 所以 m2+(2m)2=5. 故 m=± 1. x2 11.(探究选做)已知双曲线 C: -y2=1,P 为 C 上的任意点. 4 (1)求证:点 P 到双曲线 C 的两条渐近线的距离的乘积是一个常数; (2)设点 A 的坐标为(3,0),求|PA|的最小值. 解:(1)证明:设 P(x1,y1)是双曲线上任意一点, 该双曲线的两条渐近线方程分别是 x-2y=0 和 x+2y=0. 点 P(x1,y1)到两条渐近线的距离分别是 |x1-2y1| |x1+2y1| 和 , 5 5 2 |x1-2y1| |x1+2y1| |x2 4 1-4y1| 它们的乘积是 · = = . 5 5 5 5 故点 P 到双曲线的两条渐近线的距离的乘积是一个常数. (2)设点 P 的坐标为(x,y),则 x2 |PA|2=(x-3)2+y2=(x-3)2+ -1 4 5 12 2 4 = (x- ) + , 4 5 5 ∵|x|≥2, 12 4 ∴当 x= 时,|PA|2 取得最小值,最小值为 , 5 5 2 5 即|PA|的最小值为 . 5 作业 47 § 7.7 抛物线 1.抛物线 y=-2x2 的准线方程是( ) 1 1 A.x= B.x= 2 8 1 1 C.y= D.y= 2 8 答案:D 2.(2010 年高考四川卷)抛物线 y2=8x 的焦点到准线的距离是( ) A.1 B .2 C.4 D.8 2 解析:选 C.y =8x 的焦点到准线的距离为 p=4.选 C. 3.设抛物线 y2=8x 上一点 P 到 y 轴的距离是 4,则点 P 到该抛物线焦点的距离是(

)

B .6 D.12 p 4 解析: 选 B.由抛物线的方程得 = =2, 再根据抛物线的定义, 可知所求距离为 4+2=6, 2 2 故选 B. 4.(2010 年高考辽宁卷)设抛物线 y2=8x 的焦点为 F,准线为 l,P 为抛物线上一点,PA ⊥l,A 为垂足.如果直线 AF 的斜率为- 3,那么|PF|=( ) A.4 3 B .8 C.8 3 D.16 解析:选 B.如图,由直线 AF 的斜率为- 3,得∠AFH=60° ,∠FAH=30° ,∴∠PAF =60° .又由抛物线的定义知|PA|=|PF|,

A.4 C.8

∴△PAF 为等边三角形,由|HF|=4 得|AF|=8,∴|PF|=8. 5.已知抛物线 y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于 A、B 两点,若线 段 AB 的中点的纵坐标为 2,则该抛物线的准线方程为( ) A.x=1 B.x=-1 C.x=2 D.x=-2 p p 解析:选 B.抛物线的焦点 F( ,0),所以过焦点且斜率为 1 的直线方程为 y=x- ,即 x 2 2 y + y p 1 2 =y+ ,将其代入 y2=2px 得 y2-2py-p2=0,所以 =p=2,所以抛物线的方程为 y2= 2 2 4x,准线方程为 x=-1,故选 B. 6. (2011 年南阳调研)已知过抛物线 y2=4x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A、 B 两点, |AF| =2,则|BF|=________. 解析:设点 A,B 的横坐标分别是 x1,x2,依题意有焦点 F(1,0),|AF|=x1+1=2,x1=1, 直线 AF 的方程是 x=1,此时弦 AB 为抛物线的通径,故|BF|=|AF|=2. 答案:2 7.(2009 年高考宁夏、海南卷)已知抛物线 C 的顶点为坐标原点,焦点在 x 轴上,直线 y =x 与抛物线 C 交于 A,B 两点,若 P(2,2)为 AB 的中点,则抛物线 C 的方程为________. ?y2=ax ? 2 解析:设抛物线方程为 y =ax(a≠0),由方程组? 得交点为 A(0,0),B(a,a),而 ?y=x ? 点 P(2,2)是 AB 的中点,从而有 a=4,故所求抛物线的方程为 y2=4x. 答案:y2=4x 8.(2010 年高考浙江卷)设抛物线 y2=2px(p>0)的焦点为 F,点 A(0,2).若线段 FA 的中点 B 在抛物线上,则 B 到该抛物线准线的距离为________. p p 解析:由题得抛物线的焦点 F 的坐标为( ,0),线段 FA 的中点 B 的坐标为( ,1),代入 2 4 p 2 抛物线方程得 1=2p× ,解得 p= 2,故点 B 的坐标为( ,1),故点 B 到该抛物线准线的 4 4 2 2 3 2 距离为 + = . 4 2 4 3 2 答案: 4

9.如图,曲线 G 的方程为 y2=2x(y≥0).以原点为圆心, 以 t(t>0)为半径的圆分别与曲线 G 和 y 轴的正半轴相交于点 A 与点 B.直线 AB 与 x 轴相交于点 C. (1)求点 A 的横坐标 a 与点 C 的横坐标 c 的关系式; (2)设曲线 G 上点 D 的横坐标为 a+2, 求证: 直线 CD 的斜 率为定值. 解:(1)由题意知,A(a, 2a). 因为|OA|=t,所以 a2+2a=t2. 由于 t>0,故有 t= a2+2a. ① x y 由点 B(0,t),C(c,0)的坐标知,直线 BC 的方程为 + =1. c t a 2a 又因点 A 在直线 BC 上,故有 + =1, c t a 2a 将①代入上式,得 + =1, c a?a+2? 解得 c=a+2+ 2?a+2?. (2)证明:因为 D(a+2, 2?a+2?),所以直线 CD 的斜率为 kCD= = = 2?a+2? a+2-[a+2+ 2?a+2?] 2?a+2? 2?a+2? a+2-c

=-1,所以直线 CD 的斜率为定值. - 2?a+2? 10.(2010 年高考浙江卷)已知 m 是非零实数,抛物线 C:y2= m2 2px(p>0)的焦点 F 在直线 l:x-my- =0 上. 2 (1)若 m=2,求抛物线 C 的方程; (2)设直线 l 与抛物线 C 交于 A,B 两点,过 A,B 分别作抛物线 C 的准线的垂线,垂足为 A1,B1,△AA1F,△BB1F 的重心分别为 G, H.求证:对任意非零实数 m,抛物线 C 的准线与 x 轴的交点在以线段 GH 为直径的圆外. p 解:(1)因为焦点 F( ,0)在直线 l 上,得 p=m2, 2 又 m=2,故 p=4. 所以抛物线 C 的方程为 y2=8x. (2)证明:因为抛物线 C 的焦点 F 在直线 l 上,所以 p=m2,所以抛物线 C 的方程为 y2 =2m2x. 设 A(x1,y1),B(x2,y2), m2 ? ?x=my+ 2 , 由? 消去 x 得 y2-2m3y-m4=0,由于 m≠0,故 Δ=4m6+4m4>0,且有

? ?y2=2m2x,

y1+y2=2m3,y1y2=-m4, 设 M1,M2 分别为线段 AA1,BB1 的中点, → → → → 由 2M1G=GF,2M2H=HF, x1 2y1 x2 2y2 可知 G( , ),H( , ), 3 3 3 3 x1+x2 m?y1+y2?+m2 所以 = 6 6 m4 m2 2y1+2y2 2m3 = + , = , 3 6 6 3

m4 m2 2m3 所以 GH 的中点为 M( + , ). 3 6 3 设 R 是以线段 GH 为直径的圆的半径, 1 1 则 R2= |GH|2= (m2+4)(m2+1)m4. 4 9 m2 设抛物线的准线与 x 轴的交点为 N(- ,0), 2 2 4 2 3 m m m 2 m 则|MN|2=( + + )2+( )2 2 3 6 3 1 = m4(m4+8m2+4) 9 1 = m4[(m2+1)(m2+4)+3m2] 9 1 4 2 > m (m +1)(m2+4)=R2, 9 故点 N 在以线段 GH 为直径的圆外. x2 y2 3 11.(探究选做)已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 ,以原点为圆心、椭圆短半轴长 a b 3 为半径的圆与直线 y=x+2 相切. (1)求 a 与 b; (2)设该椭圆的左、右焦点分别为 F1 和 F2,直线 l1 过 F2 且与 x 轴垂直,动直线 l2 与 y 轴 垂直,l2 交 l1 于点 P.求线段 PF1 的垂直平分线与 l2 的交点 M 的轨迹方程,并指明曲线类型. c b2 3 b 6 解:(1)由 e= = 1- 2= ,得 = . a a 3 a 3 又由原点到直线 y=x+2 的距离等于圆的半径,得 b= 2, ∴a= 3. (2)法一:由 c= a2-b2=1 得 F1(-1,0),F2(1,0). 设 M(x,y),则 P(1,y). 由|MF1|=|MP|,得(x+1)2+y2=(x-1)2,即 y2=-4x, 此轨迹是抛物线. 法二:因为点 M 在线段 PF1 的垂直平分线上,所以|MF1|=|MP|,即 M 到 F1 的距离等于 M 到 l1 的距离. 此轨迹是以 F1(-1,0)为焦点,l1:x=1 为准线的抛物线,轨迹方程为 y2=-4x. 作业 48 § 7.8 曲线与方程

→ → 1.平面内有两定点 A,B,且|AB|=4,动点 P 满足|P A +PB|=4,则点 P 的轨迹是( ) A.线段 B.射线 C.圆 D.直线 答案:C 5 2.(2011 年宿州质检)设椭圆 C1 的离心率为 ,焦点在 x 轴上且长轴长为 26.若曲线 C2 13 上的点到椭圆 C1 的两个焦点的距离的差的绝对值等于 8,则曲线 C2 的标准方程为( ) x2 y2 x2 y2 A. 2- 2=1 B. 2- 2=1 4 3 13 5 2 2 x y x2 y2 C. 2- 2=1 D. 2- 2=1 3 4 13 12 答案:A x2 y2 1 3.设椭圆 2+ 2=1(m>0,n>0)的右焦点与抛物线 y2=8x 的焦点相同,离心率为 ,则 m n 2

此椭圆的方程为( x2 y2 A. + =1 12 16 x2 y2 C. + =1 48 64 答案:B

)

x2 y2 B. + =1 16 12 x2 y2 D. + =1 64 48

→ → 4.设 P 为圆 x2+y2=1 上的动点,过 P 作 x 轴的垂线,垂足为 Q,若PM=λMQ,(其中 λ 为正常数),则点 M 的轨迹为( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 答案:B 5. (2010 年高考重庆卷)到两互相垂直的异面直线的距离相等的点, 在过其中一条直线且 平行于另一条直线的平面内的轨迹是( ) A.直线 B.椭圆 C.抛物线 D.双曲线 答案:D 6.过抛物线 y2=8x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A、B 两点,过原点 O 作 OM⊥AB,垂 足为 M,则点 M 的轨迹方程是________. 解析:设 M(x,y), ∵OM⊥AB,F(2,0). → → ∴OM· MF=0. → → ∵OM=(x,y),MF=(2-x,-y), 2 ∴x(2-x)-y =0 ∴x2+y2-2x=0. 答案:x2+y2-2x=0 7.(2011 年阜阳调研)若动圆 P 过点 N(-2,0),且与另一圆 M:(x-2)2+y2=8 相外切, 则动圆 P 的圆心的轨迹方程是________. 解析:因为动圆 P 过点 N,所以|PN|是该圆的半径. 又因为动圆 P 与圆 M 外切,所以有|PM|=|PN|+2 2,即|PM|-|PN|=2 2. 故点 P 的轨迹是以 M、N 为焦点,实轴长为 2 2,焦距|MN|为 4 的双曲线的左支. 即有 a= 2,c=2,所以 b= c2-a2= 2, x2 y2 从而动圆 P 的圆心的轨迹方程为 - =1(x≤- 2). 2 2 x2 y2 答案: - =1(x≤- 2) 2 2 → → → 8.已知 A(2,-1),B(-1,1),O 为坐标原点,动点 M 满足OM=mOA+nOB,其中 m, 2 2 n∈R 且 2m -n =2,则 M 的轨迹方程为________. 解析:设 M(x,y),则(x,y)=m(2,-1)+n(-1,1), ?x=2m-n ?m=x+y ? ? ∴? ?? , ?y=n-m ?n=x+2y ? ? 代入 2m2-n2=2, 得 x2-2y2=2. 答案:x2-2y2=2 9.已知曲线 C:y=x2 与直线 l:x-y+2=0 交于两点 A(xA,yA )和 B(xB,yB),且 xA<xB. 记曲线 C 在点 A 和点 B 之间那一段为 L,设点 P(s,t)是 L 上的任一点,且点 P 与点 A 和点 B 均不重合.若点 Q 是线段 AB 的中点,试求线段 PQ 的中点 M 的轨迹方程. ?y=x2 ? 解:由? ,解得 A(-1,1),B(2,4). ?x-y+2=0 ?

设点 Q,M 的坐标分别为 Q(x1,y1),M(x,y), -1+2 1 1+4 5 依题意得 x1= = ,y1= = . 2 2 2 2 x1+s 2s+1 y1+t 2t+5 于是 x= = ,y= = . 2 4 2 4 4x-1 4y-5 ∴s= ,t= .① 2 2 4x-1 1 5 ∵-1<s<2,∴-1< <2,即- <x< . 2 4 4 又点 P(s,t)在曲线 C 上, ∴t=s2(-1<s<2).② 4y-5 4x-1 2 将①代入②得 =( ), 2 2 11 1 5 即 y=2x2-x+ (- <x< ). 8 4 4 10.(2010 年高考北京卷节选)在平面直角坐标系 xOy 中,点 B 与点 A(-1,1)关于原点 O 1 对称,P 是动点,且直线 AP 与 BP 的斜率之积等于- .求动点 P 的轨迹方程. 3 解:因为点 B 与点 A(-1,1)关于原点 O 对称,所以点 B 的坐标为(1,-1). 设点 P 的坐标为(x,y), y-1 y+1 1 由题意得 · =- , 3 x+1 x-1 2 2 化简得 x +3y =4(x≠± 1). 故动点 P 的轨迹方程为 x2+3y2=4(x≠± 1). 11.(探究选做)已知抛物线 y2=4x 的焦点为 F,过 F 作两条相互垂直的弦 AB、CD,设 弦 AB、CD 的中点分别为 M、N.求证:直线 MN 必过定点. 证明:由题设知 F(1,0)且直线 AB 的斜率存在, 设 lAB:y=k(x-1)(k≠0),代入 y2=4x, 得 k2x2-2(k2+2)x+k2=0, xA+xB k2+2 2 得 xM= = 2 ,又 yM=k(xM-1)= , 2 k k k2+2 2 故 M( 2 , ). k k 1 1 因为 CD⊥AB,所以 kCD=- ,以- 代 k, k k 同理可得 N(2k2+1,-2k).所以直线 MN 的方程为 k2+2 2 (2k2+1- 2 )(y+2k)=(-2k- )· (x-2k2-1), k k 化简整理得 yk2+(x-3)k-y=0,该方程对任意 k 恒成立, y=0, ? ? 故?x-3=0, 解得 x=3,y=0. ? ?-y=0, 故不论 k 为何值,直线 MN 恒过定点(3,0).

作业 49 第 8 章 立体几何 § 8.1 空间几何体的结构特征和三视图 1.(2009 年高考福建卷)如下图,某几何体的主视图与左视图都是边长为 1 的正方形,且 1 体积为 ,则该几何体的俯视图可以是( ) 2

1 解析:选 C.当几何体为三棱柱时,体积为 ,其余均不合题意. 2 2.(2011 年宁波质检)三视图如下图的几何体是( )

A.三棱锥 B.四棱锥 C.四棱台 D.三棱台 解析:选 B.由三视图知该几何体为一四棱锥,其中有一侧棱垂直于底面,底面为一直角 梯形.故选 B. 3.下列三个命题,其中正确的有( ) ①用一个平面去截棱锥,棱锥底面和截面之间的部分是棱台;②两个底面平行且相似, 其余各面都是梯形的多面体是棱台;③有两个面互相平行,其余各面都是等腰梯形的六面体 是棱台. A.0 个 B .1 个 C.2 个 D.3 个 解析:选 A.①中的平面不一定与底面平行,②③可用反例法去验证. 4.(2010 年高考安徽卷)一个几何体的三视图如图,该几何体的表面积为( )

A.280 B.292 C.360 D.372 解析: 选 C.由该几何体的直观图(图略), 可知所求表面积为 S 表=2×(2×8+8×10+2×10) +2×(8×6+8×2)=360,故选 C. 5. (2010 年高考广东卷)如图, △ABC 为正三角形, AA′∥BB′∥CC′, 3 CC′ ⊥ 平 面 ABC 且 3AA′ = BB′ = CC′ = AB , 则 多 面 体 2 ABC A′B′C′的主视图是( )

解析: 选 D.由 AA′∥BB′∥CC′及 CC′⊥平面 ABC, 知 BB′⊥平面 ABC.又 CC′= 3 BB′,且△ABC 为正三角形,故主视图为选项 D 所示的图形. 2 6. (2010 年高考课标全国卷)一个几何体的正视图为一个三角形, 则这个几何体可能是下 列几何体中的________.(填入所有可能的几何体前的编号) ①三棱锥;②四棱锥;③三棱柱;④四棱柱;⑤圆锥;⑥圆柱. 解析:三棱锥、四棱锥和圆锥的正视图都是三角形,当三棱柱的一个侧面平行于水平面, 底面对着观测者时其正视图是三角形,其余的正视图均不是三角形. 答案:①②③⑤ 7.(2010 年高考辽宁卷)如图,网格纸的小正方形的边长是 1,在其上用粗线画出了某多 面体的三视图,则这个多面体最长的一条棱的长为________.

解析: 由三视图得到直观图为棱长为 2 的正方体的一部分(如图), 从而最长的棱长是 2 3.

答案:2 3 8.已知△ABC 的平面直观图△A′B′C′是边长为 a 的正三角形,则原△ABC 的面积 是________. 解析:如图(1)为直观图,如图(2)为实际图形.

取 B′C′所在直线为 x′轴, 过 B′C′中点 O′与 O′x′成 45° 的直线为 y′轴, 过 A′ 点作 A′N′∥O′x′,交 y′轴于 N′点,过 A′点作 A′M′∥O′y′,交 x′轴于 M′ 点,则在直角三角形 A′O′M′中, 3 ∵O′A′= a,∠A′M′O′=45° , 2 3 6 ∴M′O′=O′A′= a,故 A′M′= a. 2 2 a 在直角坐标系中,在 x 轴上取 O 点左、右两侧到 y 轴距离为 的点 B、点 C,在 x 轴上 O 2 3 点左侧取到 y 轴距离为 a 的点 M, 过 M 作 x 轴的垂线, 在垂线上且在 y 轴正方向上取点 A, 2 使 MA= 6a,连结 AB、AC,则△ABC 即为所求. 1 6 显然 S△ABC= a· 6a= a2. 2 2 6 答案: a2 2 9 .某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图 1 所示.墩的上半部分是正四棱锥 P EFGH,下半部分是长方体 ABCD-EFGH.图 2、图 3 分别是该标识墩的正(主)视图和俯视 图.

(1)请画出该安全标识墩的左视图; (2)求该安全标识墩的体积. 解:(1)该安全标识墩的左视图如图所示:

(2)该安全标识墩的体积为 V=VP-EFGH+VABCD-EFGH 1 = ×402×60+402×20 3 =32000+32000 =64000(cm3).

10.如图所示,长方体的长、宽、高分别为 4 cm,3 cm,5 cm, 则一只蚂蚁从 A 到 C1 点沿着表面爬行的最短距离是多少? 解: 长方体 ABCD A1B1C1D1 的表面如下图三种方法展开后,

A、C1 两点间的距离分别为: ?5+4?2+32=3 10, ?5+3?2+42=4 5, ?3+4?2+52= 74,三者比较得 74是从点 A 沿表面到 C1 的最短 距离,∴最短距离是 74 cm. 11.(探究选做)如图是一个几何体的主视图和俯视图. (1)试判断该几何体是什么几何体; (2)画出其左视图,并求该平面图形(左视图)的面积; (3)求该几何体的体积. 解:(1)由该几何体的主视图和俯视图可知该几何体是一个正六 棱锥. (2)该几何体的左视图如图所示:

其中 AB=AC,AD⊥BC,且 BC 的长是俯视图正六边形对边的距离,即 BC= 3a,AD 1 3 是正六棱锥的高,即 AD= 3a,所以该平面图形的面积为 S= · 3a· 3a= a2. 2 2 3 3 3 2 (3)设这个正六棱锥的底面积是 S′,体积为 V,则 S′=6× a2= a, 4 2 1 3 3 2 3 所以 V= × a × 3a= a3. 3 2 2 作业 50 § 8.2 空间几何体的表面积与体积 1.(2009 年高考陕西卷)若正方体的棱长为 2,则以该正方体各个面的中心为顶点的凸 多面体的体积为( ) 2 2 A. B. 6 3 3 2 C. D. 3 3 1 2 2 解析:选 B.由题意,知该凸多面体是棱长为 1 的正八面体.V=2× × ×1= . 3 2 3 2.(2010 年高考辽宁卷)已知 S,A,B,C 是球 O 表面上的点,SA⊥平面 ABC,AB⊥BC, SA=AB=1,BC= 2,则球 O 的表面积等于( ) A.4π B.3π C.2π D.π 解析:选 A.如图,以 SA,AB,BC 为棱长构造长方体,得体对 角线长为 12+12+? 2?2=2R,所以 R=1,S=4πR2=4π. 3.(2011 年南阳检测)已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面相切,若这个球

32π 的体积是 ,则这个三棱柱的体积是( ) 3 A.96 3 B.48 3 C.24 3 D.16 3 4 3 32π 解析:选 B.由 πR = ,得 R=2. 3 3 ∴正三棱柱的高 h=4. 1 3 设其底面边长为 a,则 · a=2. 3 2 ∴a=4 3. 3 ∴V= (4 3)2×4=48 3. 4 4.(2011 年宝鸡质检)一个几何体的三视图如图所示, 其中主视图 和左视图是腰长为 1 的两个全等的等腰直角三角形,则该几何体的 外接球的表面积为( ) A.12π B.4 3π C.3π D.12 3π 解析:选 C.由三视图知该几何体为四棱锥,记为 S-ABCD,其 中 SA⊥面 ABCD.四边形 ABCD 为正方形, 将此四棱锥还原为正方体, 易知正方体的体对角线长即为外接球直径,所以 2r= 3.所以 S 球= 3 4πr2=4π× =3π.故选 C. 4 5.(2010 年高考北京卷)如图,正方体 ABCD A1B1C1D1 的 棱长为 2,动点 E,F 在棱 A1B1 上,点 Q 是棱 CD 的中点,动 点 P 在棱 AD 上.若 EF=1,DP=x,A1E=y(x,y 大于零),则 三棱锥 P EFQ 的体积( ) A.与 x,y 都有关 B.与 x,y 都无关 C.与 x 有关,与 y 无关 D.与 y 有关,与 x 无关 解析: 选 C.三棱锥 P-EFQ 的体积与点 P 到平面 EFQ 的距离和三角形 EFQ 的面积有关. 由 图可知,平面 EFQ 与平面 A1B1CD 是同一平面,故点 P 到平面 EFQ 的距离即是点 P 到面 A1B1CD 的距离,且该距离即是点 P 到线段 A1D 的距离,此距离只与 x 有关.因为 EF 的长度 为 1,点 Q 到 EF 的距离即为线段 B1C 的长度,所以△EFQ 的面积为定值,综上可知所求三 棱锥的体积只与 x 有关,与 y 无关. 6.(2010 年高考湖南卷)如图所示的三个直角三角形是一个体积为 20 cm3 的几何体的三 视图,则 h=________cm.

1 1 解析:由三视图可知,棱锥的三条长分别为 5,6,h 的侧棱两两垂直,故 × ×5×6×h 3 2 =20,h=4. 答案:4

7.各棱长都为 1 的正四棱锥的体积 V=________. 解析: 如图所示, 正四棱锥 S ABCD 的各棱长均为 1, 连接 AC, O 为 AC 的中点, 连接 SO, 则易知 SO 为正四棱锥 S ABCD 的高. SO2 1 1 2 =SC2-OC2=1- = ,SO= ,所以各棱长都为 1 的正四棱锥 2 2 2 1 1 2 2 S ABCD 的体积 V= S 四边形 ABCD· SO= ×1× = . 3 3 2 6 2 答案: 6 8.如图,在三棱锥 O ABC 中,三条棱 OA,OB,OC 两两垂直,且 OA>OB>OC,分别 经过三条棱 OA,OB,OC 作一个截面平分三棱锥的体积,截面面积依次为 S1,S2,S3,则 S1,S2,S3 的大小关系为________.

解析: 由题意知,满足要求的三个截面必分别经过 BC, 1 1 AC,AB 的中点 D,E,F.则 S1= OA· OD,S2= OB· OE,S3= 2 2 1 OC· OF, 又因为 OA>OB>OC, 且 AB2=OA2+OB2, BC2=OC2 2 +OB2,AC2=OA2+OC2,所以有 AB>AC>BC,由直角三角形 1 1 1 1 斜边的中线性质知 OD= BC, OE= AC, OF= AB, 设 OA=a, OB=b, OC=c.则 S1= OA· OD 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 = a· b2+c2= a b2+c2,同理有 S2= OB· OE= b· a2+c2,S3= OC· OF= c a2+b2,假 2 2 4 2 4 2 4 1 1 设 S1>S2,则 a· b2+c2> b a2+c2?a2(b2+c2)>b2(a2+c2)?a2c2>b2c2?a2>b2?a>b 成立,故 4 4 S1>S2;同理可证 S2>S3,故 S3<S2<S1. 答案:S3<S2<S1 9.(2011 年宿州质检)如图,A1A 是圆柱的母线,AB 是圆柱底面圆的直 径,C 是底面圆周上异于 A、B 的任意一点,A1A=AB=2. (1)求证:BC⊥平面 A1AC; (2)求三棱锥 A1-ABC 的体积的最大值. 解:(1)证明:∵C 是底面圆周上异于 A、B 的任意一点,且 AB 是圆 柱底面圆的直径, ∴BC⊥AC. ∵AA1⊥平面 ABC,BC 平面 ABC, ∴AA1⊥BC. ∵AA1∩AC=A,AA1 平面 AA1C,AC 平面 AA1C, ∴BC⊥平面 AA1C. (2)设 AC=x,在 Rt△ABC 中, BC= AB2-AC2= 4-x2(0<x<2), 1 11 故 VA1-ABC= S△ABC· AA1= ·· AC· BC· AA1 3 32 1 = x 4-x2(0<x<2), 3 1 1 即 VA1-ABC= x 4-x2= x2?4-x2? 3 3 1 = -?x2-2?2+4. 3 ∵0<x<2,0<x2<4,∴当 x2=2,即 x= 2时,

2 三棱锥 A1-ABC 的体积最大,其最大值为 . 3 10 . (2010 年高考山东卷 ) 在如图所示的几何体中,四边形 ABCD 是正方形,MA⊥平面 ABCD,PD∥MA,E、G、F 分别为 MB、PB、PC 的中点,且 AD=PD=2MA. (1)求证:平面 EFG⊥平面 PDC; (2)求三棱锥 P-MAB 与四棱锥 P-ABCD 的体积之比. 解:(1)证明:由已知 MA⊥平面 ABCD,PD∥MA, 所以 PD⊥平面 ABCD. 又 BC 平面 ABCD, 所以 PD⊥BC. 因为四边形 ABCD 为正方形, 所以 BC⊥DC. 又 PD∩DC=D, 因此 BC⊥平面 PDC. 在△PBC 中,因为 G、F 分别为 PB、PC 的中点, 所以 GF∥BC, 因此 GF⊥平面 PDC. 又 GF 平面 EFG, 所以平面 EFG⊥平面 PDC. (2)因为 PD⊥平面 ABCD,四边形 ABCD 为正方形,不妨设 MA=1,则 PD=AD=2, 1 8 所以 VP-ABCD= S 正方形 ABCD· PD= . 3 3 由于 DA⊥平面 MAB,且 PD∥MA, 所以 DA 即为点 P 到平面 MAB 的距离, 1 1 1 2 三棱锥 VP-MAB= S△MAB· DA= × ×1×2×2= , 3 3 2 3 所以 VP-MAB∶VP-ABCD=1∶4. 11. (探究选做)正三棱锥的高为 1, 底面边长为 2 6, 内有一个球与它的四个面都相切. 求: (1)正三棱锥的表面积; (2)内切球的表面积与体积. 1 解:(1)如图所示,底面正三角形的中心到一边的距离为 FD = 3 3 × ×2 6= 2,则正三棱锥侧面的高为 PD= 12+? 2?2= 3. 2 1 ∴S 侧=3× ×2 6× 3=9 2. 2 1 3 ∴S 表=S 侧+S 底=9 2+ × ×(2 6)2=9 2+6 3. 2 2 (2)设正三棱锥 P ABC 的内切球的球心为 O,连接 OP、OA、OB、OC,而 O 点到三棱 锥的四个面的距离都为球的半径 r. ∴VP-ABC=VO-PAB+VO-PBC+VO-PAC+VO-ABC 1 1 = · S 侧· r+ · S · r 3 3 △ABC 1 = S 表· r=(3 2+2 3)r. 3 1 1 3 又 VP-ABC= × × ×(2 6)2×1=2 3, 3 2 2 ∴(3 2+2 3)r=2 3, 2 3?3 2-2 3? 2 3 得 r= = = 6-2, 18-12 3 2+2 3

∴S 内切球=4π( 6-2)2=(40-16 6)π. 72 6-176 4 V 内切球= π( 6-2)3= π. 3 3 作业 51 § 8.3 空间图形的基本关系及公理 1.(2009 年高考湖南卷)平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,既与 AB 共面也与 CC1 共面的 棱的条数为( ) A.3 B .4 C.5 D.6 解析:选 C.依题意,与 AB 和 CC1 都相交的棱有 BC;与 AB 相交且与 CC1 平行的棱有 AA1,BB1;与 AB 平行且与 CC1 相交的棱有 CD,C1D1,故符合条件的棱共有 5 条,选 C. 2.纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、 南、西、北.现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开,外面朝上展 平,得到右侧的平面图形(如图),则标“Δ”的面的方位是( ) A.南 B.北 C.西 D.下 解析:选 B.将展开图还原成原来的正方体可知选 B. 3.(2011 年黄山调研)已知三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧棱与底面边长都相等,A1 在底面 ABC 上的射影为 BC 的中点,则异面直线 AB 与 CC1 所成的角的余弦值为( ) 3 5 A. B. 4 4 7 3 C. D. 4 4 解析:选 D.记 BC 的中点为 D,直线 AB 与 AA1 所成的角是 θ,该三棱柱的各棱长为 a, 3 a AD 2 3 3 π 则有 A1D⊥平面 ABC, 且 cos∠A1AD= = = , cosθ=cos∠A1AD· cos∠DAB= · cos AA1 a 2 2 6 3 3 = ,于是直线 AB 与 CC1 所成的角的余弦值等于 ,选 D. 4 4 4.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别为棱 AA1、CC1 的中点,则在空间中与三条 直线 A1D1、EF、CD 都相交的直线( ) A.不存在 B.有且只有两条 C.有且只有三条 D.有无数条 解析:选 D.先说明“对于空间内任意三条两两异面的直线 a、b、c,与直线 a、b、c 都 相交的直线有无数条”这个结论的正确性.无论两两异面的三条直线 a、b、c 的相对位置如 何,总可以构造一个平行六面体 ABCD-A1B1C1D1,使直线 AB、B1C1、DD1 分别作为直线 a、 b、c,在棱 DD1 的延长线上任取一点 M,由点 M 与直线 a 确定一个平面 α,平面 α 与直线 B1C1 交于点 P,与直线 A1D1 交于点 Q,则 PQ 在平面 α 内,直线 PM 不与 a 平行,设直线 PM 与 a 交于点 N.这样的直线 MN 就同时与直线 a、 b、 c 相交. 由于点 M 的取法有无穷多种, 因此在空间同时与直线 a、b、c 相交的直线有无数条.依题意,不难得知题中的直线 A1D1、 EF、CD 是两两异面的三条直线,由以上结论可知,在空间与直线 A1D1、EF、CD 都相交的 直线有无数条,选 D. 5.已知正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,AA1=2AB,E 为 AA1 中点,则异面直线 BE 与 CD1 所成角的余弦值为( ) 10 1 A. B. 10 5 3 10 3 C. D. 10 5 解析:选 C.连接 BA1,则 CD1∥BA1,于是∠A1BE 就是异面直线 BE 与 CD1 所成的角(或

5+2-1 3 10 补角), 设 AB=1, 则 BE= 2, BA1= 5, A1E=1, 在△A1BE 中, cos∠A1BE= = , 10 2· 5· 2 选 C. 6. (2009 年高考四川卷)如图所示, 已知正三棱柱 ABC A1B1C1 的各 条棱长都相等,M 是侧棱 CC1 的中点,则异面直线 AB1 和 BM 所成的角 的大小是________. 解析:取 BC 的中点 D,连接 AD,B1D.因为 ABC A1B1C1 是正三棱 柱,所以易得 B1D 是 B1A 在平面 BCC1B1 内的射影,又易得 B1D⊥BM, 所以根据三垂线定理得 B1A⊥BM. 所以异面直线 B1A 和 BM 所成的角是 90° . 答案:90° 7.设 a,b,c 是空间的三条直线,给出以下四个命题:①若 a⊥b,b⊥c,则 a∥c;② 若 a,b 是异面直线,b,c 是异面直线,则 a,c 也是异面直线;③若 a 和 b 相交,b 和 c 相 交,则 a 和 c 也相交;④若 a 和 b 共面,b 和 c 共面,则 a 和 c 也共面. 其中正确命题的个数是________. 解析:如图所示的正方体 ABCD-A1B1C1D1,直线 AA1⊥AD,AA1 ⊥AB,但是直线 AD 和 AB 相交,所以①错;直线 AB 和 A1D1 是异面直 线, 直线 AB 和 B1C1 也是异面直线, 但是 A1D1 和 B1C1 平行, 所以②错; 直线 AA1 和 AB 相交,直线 AA1 和 A1B1 也相交,而直线 AB 和 A1B1 平 行,所以③错;直线 AB 和 BB1 共面,直线 BB1 和 B1C1 共面,但是直 线 AB 和 B1C1 是异面直线,所以④错. 答案:0 8.(2011 年合肥质检)设平面 α,β,直线 a,b,集合 A={与 α 垂直的平面},B={与 β 垂直的平面},M={与 a 垂直的直线},N={与 b 垂直的直线},给出下列命题: ①若 A∩B≠?,则 α∥β;②若 α∥β,则 A=B;③若 a,b 为异面直线,则 M∩N=?; ④若 a,b 相交,则 M=N.其中不正确命题的序号是________. 解析:A∩B≠?说明存在平面同时与 α、β 都垂直,如底面是直角三角形的直三棱柱,故 ①不成立;若 α∥β,则 γ⊥α?γ⊥β,故②成立;因为存在无数条同时垂直于两条异面直线的 直线,故③不成立;若 a,b 相交显然存在无数条只与 a 垂直但不垂直于 b 的直线,故④不成 立,故应填①③④. 答案:①③④ 9.(2011 年焦作调研)如图所示,直线 a,b 是异面直线,A,B 两点 在直线 a 上,C、D 两点在直线 b 上,求证:BD 与 AC 是异面直线. 证明:假设 BD 和 AC 不是异面直线, 则 BD 和 AC 共面,设它们共面于 α. ∵A、B、C、D∈α,∴AB、CD α,即 a、b α. 这与 a、b 是异面直线矛盾,假设不成立. 故 BD 和 AC 是异面直线. 10.如图,在四边形 ABCD 中,已知 AB∥CD,直线 AB, BC,AD,DC 分别与平面 α 相交于点 E,G,H,F. 求证:E,F,G,H 四点必定共线. 证明:∵AB∥CD,∴AB,CD 确定一个平面 β. 又∵AB∩α=E,AB β,∴E∈α,E∈β, 即 E 为平面 α 与 β 的一个公共点. 同理可证 F,G,H 均为平面 α 与 β 的公共点. ∵两个平面有公共点,它们有且只有一条通过公共点的公共直线, ∴E,F,G,H 四点必定共线. 11.(探究选做)在长方体 ABCD-A1B1C1D1 的面 A1C1 上有一 点 P,如图所示,其中 P 点不在对角线 B1D1 上. (1)过 P 点在空间中作一直线 l,使 l∥BD,应该如何作图? 并说明理由;

π (2)过 P 点在平面 A1C1 内作一直线 m,使 m 与 BD 成 α 角,其中 α∈(0, ],这样的直线 2 有几条,应该如何作图? 解:(1)连结 B1D1,在平面 A1C1 内过 P 作直线 l, 使 l∥B1D1,则 l 即为所求作的直线. ∵B1D1∥BD,l∥B1D1,∴l∥BD. (2)在平面 A1C1 内作直线 m, 使直线 m 与 B1D1 相交成 α 角, ∵BD∥B1D1,∴直线 m 与直线 BD 也成 α 角, 即直线 m 为所求作的直线. 由图知 m 与 BD 是异面直线, π 且 m 与 BD 所成的角 α∈(0, ]. 2 π 当 α= 时,这样的直线 m 有且只有一条, 2 π 当 α≠ 时,这样的直线 m 有两条. 2 作业 52 § 8.4 空间中的平行关系 1.若空间三条直线 a、b、c 满足 a⊥b,b⊥c,则直线 a 与 c( ) A.一定平行 B.一定相交 C.一定是异面直线 D.平行、相交、异面直线都有可能 解析:选 D.本题引入正方体模型观察即易知直线 a 与直线 c 的位置关系可能为相交、平 行、异面,故选 D. 2.(2010 年高考福建卷)如图,若 Ω 是长方体 ABCD-A1B1C1D1 被 平面 EFGH 截去几何体 EFGHB1C1 后得到的几何体,其中 E 为线段 A1B1 上异于 B1 的点,F 为线段 BB1 上异于 B1 的点,且 EH∥A1D1,则 下列结论中不正确的是( ) A.EH∥FG B.四边形 EFGH 是矩形 C.Ω 是棱柱 D.Ω 是棱台 解析:选 D.根据棱台的定义(侧棱延长之后,必交于一点,即棱台可以还原成棱锥).因 此,几何体 Ω 不是棱台,应选 D. 3.设 m,n 是平面 α 内的两条不同直线,l1,l2 是平面 β 内的两条相交直线,则 α∥β 的 一个充分而不必要条件是( ) A.m∥ β 且 l1∥α B.m∥l1 且 n∥l2 C.m∥β 且 n∥β D.m∥β 且 n∥l2 解析:选 B.因 m α,l1 β,若 α∥β,则有 m∥β 且 l1∥α,故 α∥β 的一个必要条件是 m∥β 且 l1∥α,排除 A.因 m,n α,l1,l2 β 且 l1 与 l2 相交,若 m∥l1 且 n∥l2,因 l1 与 l2 相交,故 m 与 n 也相交,故 α∥β;若 α∥β,则直线 m 与直线 l1 可能为异面直线,故 α∥β 的一个充分而不必要条件是 m∥l1 且 n∥l2,故选 B. 4.(2011 年济源调研)设 α,β 表示平面,m,n 表示直线,则 m∥α 的一个充分不必要条 件是( ) A.α⊥β 且 m⊥β B.α∩β=n 且 m∥n C.m∥n 且 n∥α D.α∥β 且 m β 解析:选 D.若两个平面平行,其中一个面内的任一直线均平行于另一个平面,故选 D. 5.一条直线 l 上有相异三个点 A、B、C 到平面 α 的距离相等,那么直线 l 与平面 α 的位

置关系是( ) A.l∥α B.l⊥α C.l 与 α 相交但不垂直 D.l∥α 或 l α 解析:选 D.l∥α 时,直线 l 上任意点到 α 的距离相等;l α 时,直线 l 上所有的点到 α 的距离都是 0;l⊥α 时,直线 l 上有两个点到 α 距离相等;l 与 α 斜交时,也只能有两点到 α 距离相等,故选 D. 6.棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M 是棱 AA1 的中点,过 C、M、D1 作正方体 的截面,则截面的面积是________. 解析: 由面面平行的性质知截面与面 AB1 的交线 MN 是△AA1B 的中位线,所以截面是梯 9 形 CD1MN,易求其面积为 . 2 9 答案: 2 7.(2011 年陕西榆林质检)如图, 空间四边形 ABCD 的 两条对棱 AC、BD 的长分别为 5 和 4,则平行于两条对棱 的截面四边形 EFGH 在平移过程中,周长的取值范围是 ________. DH GH 解析: 易知四边形 EFGH 为平行四边形, 设 = = DA AC k, AH EH ∴ = =1-k,∴GH=5k,EH=4(1-k), DA BD ∴四边形 EFGH 的周长 C=8+2k. 又∵0<k<1, ∴C 的取值范围为(8,10). 答案:(8,10) 8.(2011 年合肥质检)如图,在正四棱柱 ABCD-A′B′C′D′ 中, AB=1, BB′= 3+1, E 为 BB′上使 B′E=1 的点, 平面 AEC′ 交 DD′于 F,交 A′D′的延长线于 G,则异面直线 AD 与 C′G 所 成角的大小为________. 解析:如图,连结 C′F,由 AD∥D′G,知∠C′GD′为异面 直线 AD 与 C′G 所成的角. ∵AE 和 C′F 分别是平行平面 ABB′A′和平面 DCC′D′与平 面 AEC′G 的交线,∴AE∥C′F. 从而 D′F=BE= 3. 再由△FD′G∽△FDA, 可得 D′G= 3. 在 Rt△C′D′G 中,C′D′=1, D′G= 3, π 得∠C′GD′= . 6 π 答案: 6 9.如图所示,在三棱柱 ABC A1B1C1 中,D 点为棱 AB 的中点, 求证:AC1∥平面 CDB1. 证明:连结 BC1 交 B1C 于点 E,连结 DE,则 BC1 与 B1C 互相平 分.

∴BE=C1E, 又 AD=BD, ∴DE 为△ABC1 的中位线, ∴AC1∥DE. 又 DE 平面 CDB1, ? 平面 CDB1, AC1? ∴AC1∥平面 CDB1. 10.(2010 年高考湖南卷)如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 是棱 DD1 的中点. (1)求直线 BE 和平面 ABB1A1 所成的角的正弦值; (2)在棱 C1D1 上是否存在一点 F, 使 B1F∥平面 A1BE?证明你的结论. 解:(1)如图(a)所示,取 AA1 的中点 M,连结 EM,BM.因为 E 是 DD1 的中点,四边形 ADD1A1 为正方形,所以 EM∥AD. 又在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AD⊥平面 ABB1A1, 所以 EM⊥平面 ABB1A1,从而 BM 为直线 BE 在平面 ABB1A1 上的射影,∠EBM 为 BE 和 平面 ABB1A1 所成的角. 设正方体的棱长为 2, 则 EM=AD=2,BE= 22+22+12=3. EM 2 于是,在 Rt△BEM 中,sin∠EBM= = , BE 3 2 即直线 BE 和平面 ABB1A1 所成的角的正弦值为 . 3

(2)在棱 C1D1 上存在点 F,使 B1F∥平面 A1BE.证明如下: 事实上,如图(b)所示,分别取 C1D1 和 CD 的中点 F,G,连结 B1F,EG,BG,CD1,FG. 因 A1D1∥B1C1∥BC, 且 A1D1=BC, 所以四边形 A1BCD1 是平行四边形, 因此 D1C∥A1B. 又 E,G 分别为 D1D,CD 的中点, 所以 EG∥D1C,从而 EG∥A1B.这说明 A1,B,G,E 共面. 所以 BG 平面 A1BE. 因四边形 C1CDD1 与 B1BCC1 皆为正方形,F,G 分别为 C1D1 和 CD 的中点, 所以 FG∥C1C∥B1B,且 FG=C1C=B1B. 因此四边形 B1BGF 是平行四边形.

? 平面 A1BE,BG 所以 B1F∥BG.而 B1F ? 故 B1F∥平面 A1BE.

平面 A1BE,

11. (探究选做)如图, 在底面是菱形的四棱锥 P-ABCD 中, ∠ABC=60° ,PA=AC=a,PB=PD= 2a,点 E 在 PD 上,且 PE∶ED=2∶1, 在棱 PC 上是否存在一点 F, 使 BF∥平面 AEC? 证明你的结论. 解:存在.证明如下: 取棱 PC 的中点 F, 线段 PE 的中点 M, 连结 BD.设 BD∩AC =O,连结 BF,MF,BM,OE.

∵PE∶ED=2∶1,F 为 PC 的中点,E 是 MD 的中点, ∴MF∥EC,BM∥OE. ? 平面 AEC,CE 平面 AEC,BM ? ? 平面 AEC,OE 平面 AEC. ∵MF ? ∴MF∥平面 AEC, BM∥平面 AEC. ∵MF∩BM=M, ∴平面 BMF∥平面 AEC. 又 BF 平面 BMF, ∴BF∥平面 AEC. 作业 53 § 8.5 垂直关系 1.在下列关于直线 l,m 与平面 α,β 的命题中,为真命题的是( ) A.若 l β 且 α⊥β,则 l⊥α B.若 l⊥β 且 α∥β,则 l⊥α C.若 l⊥β 且 α⊥β,则 l∥α D.若 α∩β=m 且 l∥m,则 l∥α 解析:选 B.A 显然不对,C、D 中的直线 l 有可能在平面 α 内,故选 B. 2.已知 α,β,γ 是三个不同的平面,命题“α∥β,且 α⊥γ?β⊥γ”是真命题.如果把 α, β,γ 中的任意两个换成直线,另一个保持不变,在所得的所有新命题中,是真命题的个数有 ( ) A.0 个 B .1 个 C.2 个 D.3 个 解析:选 C.依题意得,命题“a∥b,且 a⊥γ?b⊥γ”是真命题(由“若两条平行线中的 一条与一个平面垂直,则另一条也与这个平面垂直”可知);命题“a∥β,且 a⊥c?β⊥c”是 假命题(直线 c 可能位于平面 β 内,此时结论不成立);命题“α∥b,且 α⊥c?b⊥c”是真命 题(因为 α∥b,因此在平面 α 内必存在直线 b1∥b;又 α⊥c,因此 c⊥b1,c⊥b).综上所述, 其中真命题共有 2 个,选 C. 3.(2011 年黄山联考)两个平面 α 与 β 相交但不垂直,直线 m 在平面 α 内,则在平面 β 内( ) A.一定存在直线与 m 平行,也一定存在直线与 m 垂直 B.一定存在直线与 m 平行,但不一定存在直线与 m 垂直 C.不一定存在直线与 m 平行,但一定存在直线与 m 垂直

D.不一定存在直线与 m 平行,也不一定存在直线与 m 垂直 解析:选 C.直线 m 在平面 α 内,直线 m 与平面 α、β 的交线的位置关系有两种可能:平 行或相交,当平行时,在平面 β 内一定存在直线与 m 平行,也一定存在直线与 m 垂直,当相 交时,在平面 β 内不存在直线与 m 平行,但一定存在直线与 m 垂直,故选 C. 4.在正四面体 A BCD 中,棱长为 4,M 是 BC 的中点,P 在线段 AM 上运动(P 不与 A、 M 重合),过点 P 作直线 l⊥平面 ABC,l 与平面 BCD 交于点 Q,给 出下列命题: ①BC⊥平面 AMD;②Q 点一定在直线 DM 上; ③VC-AMD=4 2. 其中正确的是( ) A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 解析:选 A.连接 MD,对于①,由于该几何体为正四面体,点 M 为 BC 边上的中点,所 以 BC⊥AM,BC⊥DM,从而 BC⊥平面 AMD,故①正确;对于②,由 BC⊥平面 AMD 易得 平面 AMD⊥平面 ABC,又直线 l⊥平面 ABC,所以直线 l 一定在平面 AMD 内,l 与 DM 不平 行,故②正确;对于③,取 AD 中点 N,连接 MN,易知 MN⊥AD,在等腰三角形 AMD 中, 1 1 1 8 2 MN= MD2-ND2= ?2 3?2-22=2 2,VC-AMD= S△AMD· MC= × AD×MN×2= ,故 3 3 2 3 ③错,故选 A. 5.(2011 年江西师大附中调研)已知直线 l⊥平面 α,直线 m 平面 β,有下面四个命题: ①α∥β?l⊥m;②α⊥β?l∥m;③l∥m?α⊥β;④l⊥m?α∥β.其中正确的命题是( ) A.①与② B.①与③ C.②与④ D.③与④ 解析:选 B.对于①,由 l⊥α,α∥β 得 l⊥β,又 m β,因此 l⊥m,故①正确;对于②, 易知 l 与 m 的位置关系不确定,因此②不正确.对于③,由 l⊥α,l∥m 得 m⊥α,又 m β. 因此 α⊥β,③正确;对于④,平面 α、β 可能是相交的平面,因此④不正确.故选 B. 6.(2010 年高考四川卷)如图,二面角 α-l-β 的大小是 60° ,线段 AB α,点 B∈l,AB 与 l 所成的角为 30° ,则 AB 与平面 β 所成的角的正弦值是________.

解析:如图,作 AO⊥β 于 O,AC⊥l 于 C,连接 OB、OC,则 OC⊥l.设 AB 与 β 所成角 的为 θ, 则∠ABO=θ, AO AC AO 3 由图得 sinθ= = · =sin 30° · sin 60° = . AB AB AC 4 3 答案: 4 AA1 7.如图,在直四棱柱 ABCD A1B1C1D1 中,∠ADC=90° ,且 =AD=DC=2,M∈平面 ABCD,当 D1M⊥平面 A1C1D 时,DM= ________. 解析:连接 AC.依题意得 AC∥A1C1.一方面,当 D1M⊥平面 A1C1D 时,D1M⊥A1C1,又 A1C1∥AC,所以 D1M⊥AC,又 DD1 ⊥ 平面 ABCD,所以 D1D⊥AC,

AC⊥平面 DD1M,所以 DM⊥AC,即点 M 应位于平面 ABCD 内由点 D 向直线 AC 所引 的垂线 l1 上;另一方面,当 D1M⊥平面 A1C1D 时,D1M⊥C1D,作 MN⊥CD 于点 N,连接 D1N,易知 MN⊥平面 CD1,D1N⊥C1D.又四边形 CDD1C1 是正方形,所以 D1C⊥DC1,直线 D1N 与 D1C 重合,即点 N 与 C 重合,即点 M 应位于平面 ABCD 内由点 C 向直线 CD 所引的 垂线 l2 上.因此,点 M 应是直线 l1、l2 的交点,结合图形不难得知 DM=2 2. 答案:2 2 8.如图,△ABC 是正三角形,E、F 分别为线段 AB、AC 上的动点,现将△AEF 沿 EF AE 折起,使平面 AEF⊥平面 BCF,设 =λ,当 AE⊥CF 时,λ=________. AF

解析: 当 E 与 B 重合, F 为 AC 的中点时, 折起后, 由于 EF⊥CF, 平面 AEF⊥平面 BCF. AE ∴CF⊥平面 AEF,则 CF⊥AE,满足题意,此时 =λ=2.当 E、F 不与线段 AB、AC 的端点 AF 重合时,作 OF⊥BC 于点 O,则 OF⊥平面 AEF,OF⊥AE,又 AE⊥CF,故 AE⊥平面 BCF, AE 1 故 AE⊥EF,在 Rt△AEF 中,∠EAF=60° ,故 =λ= . AF 2 1 答案: 或 2 2 9.在如图所示的四面体 ABCD 中,AB、BC、CD 两两相互垂 直,且 BC=CD=1. (1)求证:平面 ACD⊥平面 ABC; π (2) 若直线 BD 与平面 ACD 所成的角 θ = ,求此时三棱锥 6 A BCD 的体积. 解:(1)由题知 CD⊥AB,CD⊥BC,AB∩BC=B, ∴CD⊥平面 ABC, 又 CD 平面 ACD, ∴平面 ACD⊥平面 ABC. (2)过点 B 作 BH⊥AC,垂足为 H,连接 DH, ∵平面 ACD⊥平面 ABC, 且平面 ACD∩平面 ABC=AC, ∴BH⊥平面 ACD, ∴∠BDH 为直线 BD 与平面 ACD 所成的角, π ∴∠BDH=θ= . 6 2 又 BC=CD=1,∴BD= 2,BH= ,从而 AB=1, 2 1 1 ∴VA-BCD= · S△BCD· AB= . 3 6 10.(2009 年高考天津卷)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PD ⊥平面 ABCD,AD⊥CD,DB 平分∠ADC,E 为 PC 的中点, AD=CD=1,DB=2 2.

(1)证明:PA∥平面 BDE; (2)证明:AC⊥平面 PBD; (3)求直线 BC 与平面 PBD 所成的角的正切值. 解:(1)证明:设 AC∩BD=H,连接 EH.

在△ADC 中,因为 AD=CD,且 DB 平分∠ADC,所以 H 为 AC 的中点.又由题设,E ? 平面 BDE,所以 PA∥平面 BDE. 为 PC 的中点,故 EH∥PA.又 EH 平面 BDE,且 PA ? (2)证明:因为 PD⊥平面 ABCD,AC 平面 ABCD, 所以 PD⊥AC. 由(1)可得,DB⊥AC.又 PD∩DB=D, 故 AC⊥平面 PBD. (3)由 AC⊥平面 PBD 可知,BH 为 BC 在平面 PBD 内的射影,所以∠CBH 为直线 BC 与 平面 PBD 所成的角. 2 3 2 由 AD⊥CD,AD=CD=1,DB=2 2,可得 DH=CH= ,BH= . 2 2 CH 1 在 Rt△BHC 中,tan∠CBH= = . BH 3 1 所以直线 BC 与平面 PBD 所成的角的正切值为 . 3 11.(探究选做)如图,已知四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的底面是菱 形,侧棱 BB1⊥底面 ABCD,E 是侧棱 CC1 的中点. (1)求证:AC⊥平面 BDD1B1; (2)求证:AC∥平面 B1DE. 证明:(1)因为底面 ABCD 是菱形,所以 AC⊥BD, 因为 BB1⊥底面 ABCD,AC 平面 ABCD, 所以 BB1⊥AC,又 BD∩BB1=B. 所以 AC⊥平面 BDD1B1. 1 (2)设 AC,BD 交于点 O,取 B1D 的中点 F,连接 OF,EF,则 OF∥BB1,且 OF= BB1, 2 1 又 EC= CC1,BB1∥CC1,BB1=CC1, 2 1 所以 OF∥CC1,且 OF= CC1, 2 所以 OF∥EC,且 OF=EC, 所以四边形 OCEF 为平行四边形,OC∥EF, 又 AC ? ? 平面 B1DE,EF 平面 B1DE, 所以 AC∥平面 B1DE.

作业 54 § 8.6 空间向量的概念及其运算 1.(2011 年铜川调研)有以下命题:①如果向量 a,b 与任何向量不能构成空间向量的一 → → → 个基底,那么 a,b 的关系是不共线;②O,A,B,C 为空间四点,且向量OA,OB,OC不构 成空间的一个基底,那么点 O,A,B,C 一定共面;③已知向量 a,b,c 是空间的一个基底, 则向量 a+b,a-b,c 也是空间的一个基底.其中正确的命题是( ) A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 答案:C 2.已知向量{a,b,c}是空间的一个基底,向量{a+b,a-b,c}是空间的另一个基底, 向量 p 在基底{a, b, c}下的坐标为(4,2,3), 则向量 p 在基底{a+b, a-b, c}下的坐标是( ) A.(4,0,3) B.(3,1,3) C.(1,2,3) D.(2,1,3) 答案:B 3.已知 a=(cosθ,1,sinθ),b=(sinθ,1,cosθ),则向量 a+b 与 a-b 的夹角是( ) A.0° B.30° C.60° D.90° 答案:D 4.已知向量 a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且 ka+b 与 2a-b 互相垂直,则 k 的值是( ) 1 A.1 B. 5 3 7 C. D. 5 5 答案:D 5.如图所示,在边长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中,点 → → → → P 为正方体内一动点 (包括表面),若AP=xAB+yAD+zAA1,且 0≤x≤y≤z≤1, 则点 P 所有可能的位置所构成的几何体的体积是 ( ) 1 A.1 B. 2 1 1 C. D. 3 6 答案:D 6.在空间直角坐标系中,以点 A(4,1,9)、B(10,-1,6)、C(x,4,3)为顶点的△ABC 是以 BC 为斜边的等腰直角三角形,则实数 x 的值为________. → → 解析:由题意知,AB· AC=0, → → |AB|=|AC|,可解得 x=2. 答案:2 7.(2011 年汉中联考)如果向量 a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,z)共面,则 z 的值为________. 解析:因为 a、b 不共线,所以存在 λ、μ 使得 c=λa+μb,即(7,5,z)=λ(2,-1,3)+μ(- 7=2λ-μ, ? ? 1,4,-2),解方程:?5=-λ+4μ, ? ?z=3λ-2μ, 65 答案: 7 33 17 65 可得:λ= ,μ= ,z= . 7 7 7

8.如图所示,在空间四边形 OABC 中,OA=8,AB=6,AC=4,BC=5,∠OAC=45° , ∠OAB=60° ,则 OA 与 BC 所成角的余弦值为________.

→ → → → → → → → → → → → → → → → 解析: ∵BC=AC-AB, OA· BC=OA· (AC-AB)=OA· AC-OA· AB=|OA|· |AC|cos 〈OA, AC〉 → → → → -|OA||AB|cos〈OA,AB〉=8×4×cos 135° -8×6×cos 120° =24-16 2, → → OA· BC 24-16 2 3-2 2 → → ∴cos〈OA,BC〉= = = , 5 → → 8×5 |OA||BC| 3-2 2 故 OA 与 BC 所成角的余弦值为 . 5 3-2 2 答案: 5 9.如图平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,以顶点 A 为端点的三 条棱长都为 1,且两两夹角为 60° . (1)求 AC1 的长; (2)求 BD1 与 AC 夹角的余弦值. → → → 解:记AB=a,AD=b,AA1=c,则|a|=|b|=|c|=1, 〈a,b〉= 〈b,c〉=〈c,a〉=60° , 1 ∴a· b=b· c=c· a= . 2 → 2 (1)|AC1| =(a+b+c)2 =a2+b2+c2+2(a· b+b· c+c· a) 1 1 1 =1+1+1+2×( + + )=6, 2 2 2 → ∴AC1=|AC1|= 6. → → (2)BD1=b+c-a,AC=a+b, → → ∴|BD1|= 2,|AC|= 3, → → BD1· AC=(b+c-a)· (a+b) =b2-a2+a· c+b· c=1, 6 → → ∴cos〈BD1,AC〉= , 6 6 ∴AC 与 BD1 夹角的余弦值为 . 6 D1P 10.设动点 P 在棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1 的对角线 BD1 上,记 =λ,当∠ D1B APC 为钝角时,求 λ 的取值范围. → → → 解:由题设可知,以DA、DC、DD1为单位正交基底,建立 如图所示的空间直角坐标系 D xyz,则有 A(1,0,0),B(1,1,0), → → → C(0,1,0),D1(0,0,1).由D1B=(1,1,-1),得D1P=λD1B=(λ,λ, → → → -λ),所以PA=PD1+D1A=(-λ,-λ,λ)+(1,0,-1)=(1-λ, → → → -λ,λ-1),PC=PD1+D1C=(-λ,-λ,λ)+(0,1,-1)=(-λ,

1-λ,λ-1). → → PA· PC → → 显然∠APC 不是平角, 所以∠APC 为钝角等价于 cos∠APC=cos 〈PA, PC〉 = <0, → → |PA|· |PC| → → 这等价于PA· PC<0, 1 即(1-λ)(-λ)+(-λ)(1-λ)+(λ-1)2=(λ-1)· (3λ-1)<0,得 <λ<1.因此,λ 的取值范围为 3 1 ( ,1). 3 11.(探究选做)已知 A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2),求满足下列条件的点 D 的坐标. (1)DB∥AC,DC∥AB; (2)DB⊥AC,DC⊥AB,且 AD=BC. 解:设点 D 坐标为(x,y,z), → → ∴DB=(-x,1-y,-z),AC=(-1,0,2), → → DC=(-x,-y,2-z),AB=(-1,1,0). → → → → (1)∵DB∥AC,DC∥AB,∴DB∥AC,DC∥AB,

? ? 即?1-y=0, -x y , ? ?-1=-1
-x z =- , 2 -1

x=-1, ? ? 解得?y=1, ? ?z=2,

此时点 D(-1,1,2). → → (2)∵AD=(x-1,y,z),BC=(0,-1,2), 又∵DB⊥AC,DC⊥AB,且 AD=BC, → → → → → → ∴DB⊥AC,DC⊥AB,且|AD|=|BC|, x= , 9 ? ? 4+4 10 解得?y= , 9 ? ?z=2+29 10, 4+4 10

x-2z=0, ? ? ∴?x-y=0, ? ??x-1?2+y2+z2=5,

x= , 9 ? ? 4-4 10 或?y= , 9 ? ?z=2-29 10, 4-4 10 4+4 10 4+4 10 2+2 10 ∴点 D( , , ), 9 9 9 4-4 10 4-4 10 2-2 10 或点 D( , , ). 9 9 9 作业 55

§ 8.7 立体几何中的向量方法 → → → → 1.(2011 年铜川调研)设 A、B、C、D 是空间不共面的四个点,且满足AB· AC=0,AD· AC → → =0,AD· AB=0,则△BCD 的形状是( ) A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.无法确定 答案:C 2.(2009 年高考重庆卷)已知二面角 α-l-β 的大小为 50° ,P 为空间中任意一点,则过 点 P 且与平面 α 和平面 β 所成的角都是 25° 的直线的条数为( ) A.2 B .3 C.4 D.5 答案:B → → 3.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M、N 分别为棱 AA1 和 BB1 的中点,则 sin〈CM,D1N〉 的值为( ) 1 4 A. B. 5 9 9 2 2 C. 5 D. 9 3 答案:B 4.(2011 年汉中质检)如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=BC=2,AA1=1,则 BC1 与平面 BB1D1D 所成角的正弦值为( ) 6 2 5 A. B. 3 5 15 10 C. D. 5 5 答案:D 5.已知二面角 α-l-β 为 60° ,动点 P、Q 分别在面 α、β 内,P 到 β 的距离为 3,Q 到 α 的距离为 2 3,则 P、Q 两点之间距离的最小值为( ) A. 2 B .2 C.2 3 D.4 答案:C 6.如图,在 45° 的二面角 α l β 的棱上有两点 A、B,点 C、D 分别在 α、β 内,且 AC⊥AB,∠ABD=45° ,AC=BD= AB=1,则 CD 的长度为________. 解析: (图略)点 β 内过 D 作 DE⊥l 交 l 于 E.在 Rt△BED 中, 2 2 因 BD=1,∠ABD=45° ,∴DE=BE= ,∴AE=1- . 2 2 → → → → 又CD=CA+AE+ED → → → → → → → → → → ∴|C D |2=CA2+AE2+ED2+2(CA· AE+CA· ED+AE· ED) 22 22 2 =1+(1- ) +( ) +2(0+1× · cos135° +0) 2 2 2 =2- 2. → ∴|CD|= 2- 2. 答案: 2- 2 7.如图,在棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中,M 和 N 分 别是 A1B1 和 BB1 的中点,那么直线 AM 与 CN 所成角的余弦值为 ________.

→ → → 解析:以 D 为坐标原点,分别以DA,DC,DD1为 x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角 1 1 1 1 → → 坐标系,则 A(1,0,0),M(1, ,1),C(0,1,0),N(1,1, ),则AM=(0, ,1),CN=(1,0, ), 2 2 2 2 → → AM· CN → → ∴cos〈AM,CN〉= → → |AM|· |CN| 1 1 0×1+ ×0+1× 2 2 2 = = . 1 1 5 0+ +1× 1+0+ 4 4 2 答案: 5 8.(原创题)已知长方体 ABCD-A1B1C1D1(建系如图),BC=AB=1,AA1=3,A1E=2EA, EF∥AB,则面 EFC1D1 的单位法向量等于________.

→ → 解析:由已知可得 C1(1,0,3),D1(0,0,3),E(0,1,1),∴C1D1=(-1,0,0),D1E=(0,1,-2). 设面 EFC1D1 的法向量 n=(x,y,1), → → 则 n· C1D1=0 且 n· D1E=0, ?-x=0 ?x=0 ? ? 即? ,∴? . ?y-2=0 ?y=2 ? ? ∴n=(0,2,1)∴|n|= 5, 2 5 5 ∴单位法向量为± (0, , ). 5 5 2 5 5 答案:± (0, , ) 5 5 9.(2010 年高考湖南卷)如图所示,在正方体 ABCD A1B1C1D1 中,E 是棱 DD1 的中点. (1)求直线 BE 和平面 ABB1A1 所成的角的正弦值; (2)在棱 C1D1 上是否存在一点 F,使 B1F∥平面 A1BE?证明你的结论.

→ → → 解:设正方体的棱长为 1.如图所示,以AB、AD、AA1为单 位正交基底建立空间直角坐标系. 1 (1)依题意,得 B(1,0,0),E(0,1, ),A(0,0,0),D(0,1,0),所 2 1 → → 以BE=(-1,1, ),AD=(0,1,0). 2 在正方体 ABCD A1B1C1D1 中,因为 AD⊥平面 ABB1A1,所

→ 以AD是平面 ABB1A1 的一个法向量.设直线 BE 和平面 ABB1A1 所成的角为 θ,则 → → |BE· AD| 1 2 sinθ= = = . 3 3 → → |BE|· |AD| ×1 2 2 即直线 BE 和平面 ABB1A1 所成的角的正弦值为 . 3 (2)在棱 C1D1 上存在点 F,使 B1F∥平面 A1BE.证明如下: → 依题意,得 A1(0,0,1),BA1=(-1,0,1), 1 → BE=(-1,1, ). 2 → 设 n=(x,y,z)是平面 A1BE 的一个法向量,则由 n· BA1=0, -x+z=0, ? ? → n· BE=0,得? 1 ? ?-x+y+2z=0. 1 所以 x=z,y= z.取 z=2,得 n=(2,1,2). 2 设 F 是棱 C1D1 上的点,即 F(t,1,1)(0≤t≤1). → → 又 B1(1,0,1),所以B1F=(t-1,1,0).而 B1F?平面 A1BE,于是 B1F∥平面 A1BE?B1F· n= 1 0?(t-1,1,0)· (2,1,2)=0?2(t-1)+1=0?t= ?F 为棱 C1D1 的中点. 这说明在棱 C1D1 上存在 2 点 F(C1D1 的中点),使 B1F∥平面 A1BE. 10.(2010 年高考湖北卷)如图所示,在四面体 ABOC 中,OC ⊥OA,OC⊥OB,∠AOB=120° ,且 OA=OB=OC=1. (1)设 P 为 AC 的中点,证明:在 AB 上存在一点 Q,使 PQ⊥ AB OA,并计算 的值; AQ (2)求二面角 O-AC-B 的平面角的余弦值. 解:(1)作 ON⊥AB 于点 N,取 O 为坐标原点,分别以 OA、ON、OC 所在的直线为 x 轴、 y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系 O xyz(如图所示). 则 A(1,0,0),C(0,0,1), 1 3 B(- , ,0). 2 2 1 1 ∵P 为 AC 的中点,∴P( ,0, ). 2 2 3 3 → → → 设AQ=λAB(λ∈(0,1)),∵AB=(- , ,0), 2 2 3 3 3 3 → → → ∴OQ=OA+AQ=(1,0,0)+λ(- , ,0)=(1- λ, λ,0), 2 2 2 2 3 1 → → → 1 3 ∴PQ=OQ-OP=( - λ, λ,- ). 2 2 2 2 1 3 1 → → ∵PQ⊥OA,∴PQ· OA=0,即 - λ=0,λ= . 2 2 3 1 3 AB 所以存在点 Q( , ,0),使得 PQ⊥OA 且 =3. 2 6 AQ → → → (2)记平面 ABC 的一个法向量为 n=(n1,n2,n3),则由 n⊥CA,n⊥AB,且CA=(1,0,- 3 3 → 1),AB=(- , ,0), 2 2

n -n =0, ? ? 1 3 得? 3 故可取 n=(1, 3,1). 3 - n1+ n2=0, ? 2 2 ? 又平面 OAC 的一个法向量为 e=(0,1,0). ?1, 3,1?· ?0,1,0? 15 ∴cos〈n,e〉= = . 5 5×1 15 . 5 11. (探究选做 )在直三棱柱 ABC A1B1C1 中,AA1= BC=AB= 2,AB ⊥BC,求二面角 A1C C1 的大小. 解:如图所示,建立空间直角坐标系. 则 A(2,0,0),C(0,2,0),A1(2,0,2),B1(0,0,2),C1(0,2,2), 设 AC 的中点为 M, ∵BM⊥AC,BM⊥CC1, ∴BM⊥平面 A1C1C, → 即BM=(1,1,0)是平面 A1C1C 的一个法向量. → → 设平面 A1B1C 的一个法向量是 n=(x,y,z),A1C=(-2,2,-2),A1B1=(-2,0,0), → → ∴n· A1B1=-2x=0,n· A1C=-2x+2y-2z=0. 令 z=1,解得 x=0,y=1.∴n=(0,1,1). → 设法向量 n 与BM的夹角为 φ,二面角 B1-A1C-C1 的大小为 θ,显然 θ 为锐角. → |n· BM| 1 π ∵cosθ=|cosφ|= = ,解得 θ= , 3 → 2 |n|· |BM| π ∴二面角 B1 A1C C1 的大小为 . 3 二面角 O AC B 的平面角是锐角,记为 θ,则 cosθ=

B1


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