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高二数学立体几何专题资料:平行与垂直的综合应用


平行与垂直的综合应用
[基础要点]
线面平行


线线平行

⑵ ⑸




面面平行

⑹ ⑺
线面垂直



⑼ ⑽
线线垂直

⑾ ⑿

面垂直

指出每个箭头方向表示的定理: ⑴ ⑶ ⑸ ⑺ ⑼ ⑾ 题型一、平行关系的综合应用

⑵ ⑷ ⑹ ⑻ ⑽ ⑿
C1
A1
N
M
A

例 1、如图示,正三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 的底面边长为 2,点 E、F 分别是 棱上 CC1 , BB1 的点,点 M 是线段 AC 上的动点,EC=2FB=2 (1)当点 M 在何位置时,MB∥平面 AFE (2)若 MB∥平面 AFE,判断 MB 与 EF 的位置关系,说明理由,并求 MB 与 EF 所成角的余弦值。 变式:如图示,在四面体 ABCD 中,截面 EFGH 平行于对棱 AB 和 CD, 试问:截面在什么位置时,其截面的面积最大?

B1
E

C
F
B

A

E F B H G C D

题型二、垂直关系的综合应用 例 2、如图示,已知平行六面体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的底面 ABCD 是菱 形,且 ?C1CB ? ?C1CD ? ?BCD = (1)求证: C1C ? BD (2)当
C1
B

B1 D1

A1

? 3

A

C

D

CD 的值为多少时,能使 AC ? 平面 C1BD ?请给出证明 1 CC1

变式:平面 ? 内有一个半圆,直径为 AB,过 A 作 SA⊥平面 ? ,在半圆上任取一点 M,连 SM、SB,且 N、H 分别是 A 在 SM、SB 上的射影 (1)求证:NH⊥SB (2)这个图形中有多少个线面垂直关系? (3)这个图形中有多少个直角三角形? (4)这个图形中有多少对相互垂直的直线?

题型三、空间角的问题 例 3 、 如 图 示 , 在 正 四 棱 柱 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中 ,
A C D

A B? 1 , B1 B?

3 ?, 1E 为 BB1 上使 B1 E ? 1的点,平面 AEC1

B

F

交 DD1 于 F,交 A1D1 的延长线于 G,求: (1)异面直线 AD 与 C1G 所成的角的大小 (2)二面角 A ? C1G ? A1 的正弦值

E

A1 B1 C1

D1

G

S
变式:如图示,在四棱锥 S-ABCD 中,底面 ABCD 为正方形,SB A ⊥面 ABCD,SB=AB,设 Q 为 SD 的中点, M 为 AB 的中点, (1)求证:MQ∥平面 SBC (2)求证:平面 SDM⊥平面 SCD (3)求锐二面角 S-M-C 的大小

Q
C
D

A

M

B

题型四、探索性、开放型问题 例 4、已知正方体中 ABCD ? A 1B 1C1D 1 ,E 为棱 CC1 上的动点, (1)求证: A 1E ⊥BD

EBD (2) 当 E 恰为棱 CC1 的中点时,求证:平面 A 1BD ⊥平面
(3)在棱 CC1 上是否存在一个点 E,可以使二面角 A1 ? BD ? E 的大小为 45 ?如果存在, 试确定 E 在棱 CC1 上的位置;如果不存在,请说明理由。

变式:已知△ABC 中, ?BCD ? 90 , BC ? CD ? 1 ,AB⊥平面 BCD, ?ADB ? 60 ,E、F 分 别是 AC、AD 上的动点,且

(1)求证:不论 ? 为何值,总有平面 BEF⊥平面 ABC (2)当 ? 为何值时,平面 BEF⊥平面 ACD?

AE AF ? ? ? (0 ? ? ? 1) AC AD

[自测训练] 1 错误!未指定书签。 、若直线 a 与平面 ? , ? 所成的角相等,则平面 ? 与 ? 的位置关系是 ( ) B、 ? 不一定平行于 ? C、 ? 不平行于 ? D、以上结论都不正确

A、 ? / / ?

2 错误! 未指定书签。 、 在斜三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 , ?BAC ? 90 ,又 BC1 ? AC ,过 C1 作 C1 H ⊥底面 ABC,垂足为 H ,则 H 一定在( ) A、直线 AC 上 B、直线 AB 上 C、直线 BC 上 D、△ABC 的内部 3 错误!未指定书签。 、有如下三个命题:①分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线 ②垂直于同一个平面的两条直线是平行直线③过平面 ? 的一条斜线有一个平面与平面 ? 垂 直,基中真命题的个数是( ) A、0 B、1 C、2 D、3 4 错误! 未指定书签。 、 如图示, 平面 ? ⊥平面 ? ,A ?? , B ? ? , AB

?
A

? ? 与两平面 ? , ? 所成的角分别为 和 , 过 A、 B 分别作两平面交线 4 6
的垂线,垂足为 A?, B? ,则 AB : A?B? ? ( A、2:1 B、3:1 C、3:2 ) D、4:3

B` B A`

?

5 错误!未指定书签。 、已知平面 ? , ? 和直线 l , m ,使 ? / / ? 的一个充分条件是( A、 l / / m, l / /? , m / / ? C、 l / / m, l ? ? , m ? ? B、 l ? m, l / /? , m / / ? D、 l ? m, l / /? , m ? ?



6 错误!未指定书签。 、正三棱锥 P-ABC 的三条侧棱两两垂直,则该正三棱锥的内切球与 外接球的半径之比为( ) A、1:3 B、 1: (3 ? 3) C、 ( 3 ? 1) : 3 D ( 3 ? 1) : 3
C
D

7 错误!未指定书签。 、 如图示,正四面体 ABCD 的棱长为1,平面 ? 过 棱 AB,且 CD∥ ? ,则正四面体上的所有点在平面 ? 内的射影构成的

B

?

A

图形面积为 8 错误!未指定书签。 、如图示,直三棱柱 ABB1 ? DCC1 中, ?ABB1 ? 90 , AB ? 4 ,

BC ? 2, CC1 ? 1 DC 上有一动点 P,则△ APC1 周长的最小值是
C1 B1

D

C

A

B

S
M
A

9 错误!未指定书签。 、在正棱锥 S-ABC 中,M、N 分别是棱 SC、BC 的中点,AM⊥MN,若 SA ? 3 ,则此正三棱锥的外接球表面积为 10 错误!未指定书签。 、PA 垂直于矩形 ABCD 所在平面,M、E、N 分 别是 AB、CD 和 PC 的中点, P (1)求证:MN∥平面 PAD (2)若二面角 P-DC-A 为 平面 MND⊥平面 PDC
D

C
N
B

? ,求证: 4

N

E

C

A

M

B

S

11 错误! 未指定书签。 、 如图示, ABCD 为长方形, SA 垂直于 ABCD 所在平面,过 A 且垂直于 SC 的平面分别交 SB、SC、SD 于 E、F、 G,求证:AE⊥SB,AG⊥SD
A

G D

F E C B

12 错误!未指定书签。 、四棱锥 P-ABCD 底面为一直角梯形,AB ⊥AD,CD⊥AD,CD=2AB,PA⊥面 ABCD,E 为 PC 中点, (1)求证:平面 PDC⊥平面 PAD (2)求证:BE∥平面 PAD (3)假定 PA=AD=CD,求二面角 E-BC-C 的平面角的正切值

P E D C

A

B


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