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第8章 第4节《直线与圆、圆与圆的位置关系》


第四节

直线与圆、圆与圆的位置关系

对应学生用书 P126

1.直线与圆的位置关系(半径 r,圆心到直线的距离为 d) 相离 相切 相交

图形

量化

方程观点 几何观点

Δ <0 d>r

Δ=0 d=r

r />
Δ>0 d<r

2.圆与圆的位置关系(两圆半径 r1、r2,d=|O1O2|) 相离 图形 |r1-r2|<d<r1 +r2 外切 相交 内切 内含

量的关系

d>r1+r2

d=r1+r2

d=|r1-r2|

d<|r1-r2|

1.对于圆的切线问题,尤其是圆外一点引圆的切线,易忽视切线斜率 k 不存在情形. 2.两圆相切问题易忽视分两圆内切与外切两种情形. [试一试] 1.(2014· 石家庄模拟)过点(2,3)与圆(x-1)2+y2=1 相切的直线的方程为________. 4 解析:设圆的切线方程为 y=k(x-2)+3,由圆心(1,0)到切线的距离为半径 1,得 k= , 3 所以切线方程为 4x-3y+1=0,又直线 x=2 也是圆的切线,所以直线方程为 4x-3y+1=0 或 x=2. 答案:x=2 或 4x-3y+1=0 2.(2013· 北京东城模拟)已知圆 C:x2+y2-6x+8=0, 则圆心 C 的坐标为________;若直 线 y=kx 与圆 C 相切,且切点在第四象限,则 k=________.

解析:圆的方程可化为(x-3)2+y2=1,故圆心坐标为(3,0);由 根据切点在第四象限,可得 k=- 答案:(3,0) - 2 4 2 . 4

|3k| 2 2=1, 解得 k=± 4 , 1+k

1.圆的切线问题 (1)过圆 x2+y2=r2(r>0)上一点 M(x0,y0)的切线方程为 x0x+y0y=r2; (2)过圆 x2+y2+Dx+Ey+F=0 外一点 M(x0,y0)引切线,有两条,求方程的方法是待定系 数法,切点为 T 的切线长公式为|MT|= 的圆心,r 为其半径). 2.求圆的弦长的常用方法 l ?2 2 2 (1)几何法:设圆的半径为 r,弦心距为 d,弦长为 l,则? ?2? =r -d . (2)代数方法:运用根与系数的关系及弦长公式: |AB|= 1+k2|x1-x2|= ?1+k2?[?x1+x2?2-4x1x2]. 注意:常用几何法研究圆的弦的有关问题. [练一练] 1.(2014· 泉州模拟)过坐标原点且与圆 x2-4x+y2+2=0 相切的直线方程为( A.x+y=0 B.x-y=0 C.x+y=0 或 x-y=0 D.x+ 3y=0 或 x- 3y=0 解析:选 C 圆 x2-4x+y2+2=0 的圆心为(2,0),半径为 2,易知过原点与该圆相切时, 直线必有斜率.设斜率为 k,则直线方程为 y=kx,则 ∴k2=1,∴k=± 1, ∴直线方程为 y=± x. 2.圆 x2+y2-2x+4y-20=0 截直线 5x-12y+c=0 所得的弦长为 8,则 c 的值是( A.10 C.5 或-34 B.10 或-68 D.-68 ) |2k| = 2, k2+1 )
2 x2 0+y0+Dx0+Ey0+F=

|MC|2-r2(其中 C 为圆 C

解析:选 B ∵弦长为 8,圆的半径为 5, ∴弦心距为 52-42=3, ∵圆心坐标为(1,-2),



|5×1-12×?-2?+c| =3, 13

∴c=10 或 c=-68.

对应学生用书 P126

考点一

直线与圆的位置关系

1.(2013· 陕西高考)已知点 M(a,b)在圆 O:x2+y2=1 外,则直线 ax+by=1 与圆 O 的位 置关系是( A.相切 C.相离 ) B.相交 D.不确定 1 a2+b2

解析: 选 B 由点 M 在圆外, 得 a2+b2>1, ∴圆心 O 到直线 ax+by=1 的距离 d= <1,则直线与圆 O 相交. 2.“a=1”是 “直线 l:y=kx+a 和圆 C:x2+y2=2 相交”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

解析:选 A 直线 l:y=kx+a 经过定点 P(0,a), 显然当 a=1 时,点 P 在圆 C 内,所以 直线 l 和圆 C 恒相交, 故“a=1”是“直线 l: y=kx+a 和圆 C: x2+y2=2 相交”的充分条件; 而当 a=0 时,亦有直线 l 和圆 C 相交,所以“a=1”是“直线 l:y=kx+a 和圆 C:x2+y2= 2 相交”的不必要条件.综上,“a=1”是“直线 l:y=kx+a 和圆 C:x2+y2=2 相交”的充 分不必要条件. [类题通法] 判断直线与圆的位置关系常见的方法 (1)几何法:利用 d 与 r 的关系. (2)代数法:联立方程随之后利用 Δ 判断. (3)点与圆的位置关系法:若直线恒过定点且定点在圆内,可判断直线与圆相交. 上述方法中最常用的是几何法,点与圆的位置关系法适用于动直线问题. 考点二 切线、弦长问题

[典例] (1)(2013· 山东高考)过点(3,1)作圆(x-1)2+y2=1 的两条切线,切点分别为 A,B, 则直线 AB 的方程为( )

A.2x+y-3=0 C.4x-y-3=0

B.2x-y-3=0 D.4x+y-3=0

(2)过点(3,1)作圆(x-2)2+(y-2)2=4 的弦,其中最短弦的长为________. [解析] (1)根据平面几何知识,直线 AB 一定与点(3,1),(1,0)的连线垂直,这两点连线的 1 斜率为 ,故直线 AB 的斜率一定是-2,只有选项 A 中直线的斜率为-2. 2 (2) 最 短 弦 为 过 点 (3,1) , 且 垂 直 于 点 (3,1) 与 圆 心 的 连 线 的 弦 , 易 知 弦 心 距 d = ?3-2?2+?1-2?2= 2,所以最短弦长为 2 r2-d2=2 22-? 2?2=2 2. [答案] (1)A [类题通法] 1.处理直线与圆的弦长问题时多用几何法,即弦长一半、弦心距、半径构成直角三角形. 2.圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径建立关系解决问题. [针对训练] (2014· 济南模拟)已知直线 ax+by+c=0 与圆 O: x2+y2=1 相交于 A, B 两点, 且|AB|= 则 OA · OB 的值是( 1 A.- 2 3 C.- 4 ) 1 B. 2 D.0 3, (2)2 2

解析:选 A 在△OAB 中,|OA|=|OB|=1,|AB|= 1 =1×1×cos 120° =- . 2 考点三 圆与圆的位置关系

OB 3,可得∠AOB=120° ,所以 OA ·

[典例] (2014· 郑州一检)若⊙O1:x2+y2=5 与⊙O2:(x+m)2+y2=20(m∈R)相交于 A,B 两点,且两圆在点 A 处的切线互相垂直,则线段 AB 的长度是________. [解析] 由两圆在点 A 处的切线互相垂直, 可知两切线分别过另一圆的圆心, 即 AO1⊥AO2, 2 5× 5 在直角三角形 AO1O2 中,(2 5)2+( 5)2=m2,∴m=± 5,|AB|=2× =4. 5 [答案] 4

在本例条件下求 AB 所在的直线方程. 解:由本例可知 m=± 5. 当 m=5 时,⊙O1:x2+y2=5,① ⊙O2:x2+y2+10x+5=0.② ②-①得,x=-1,即 AB 所在直线方程为 x=-1.

当 m=-5 时,⊙O1:x2+y2=5,① ⊙O2:x2+y2-10x+5=0.② ②-①得,x=1,即 AB 所在直线方程为 x=1. ∴AB 所在的直线方程为 x=1 或 x=-1. [类题通法] 1. 两圆位置关系的判断常用几何法, 即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系, 一般不采用代数法. 2.若两圆相交,则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到. [针对训练] 与圆 x2+y2+4x-4y+7=0 和 x2+y2-4x-10y+13=0 都相切的直线共有( A.1 条 C .3 条 B.2 条 D.4 条 )

解析:选 C 由题意知,两圆圆心分别为(-2,2)与(2,5),半径分别为 1 和 4,圆心距为 ?-2-2?2+?2-5?2=5,显然两圆外切,故公切线的条数为 3.

对应学生用书 P127

[课堂练通考点] 1. (2013· 青岛一模)圆(x-1)2+y2=1 与直线 y= A.直线过圆心 C.相切 3 x 的位置关系是( 3 )

B.相交 D.相离

解析:选 B ∵圆(x-1)2+y2=1 的圆心为(1,0),半径 r=1, ∴圆心到直线 y= 3 | 3| 1 x 的距离为 = <1=r,故选 B. 3 3+9 2

2. (2013· 西安质检)若 a2+b2=2c2(c≠0),则直线 ax+by+c=0 被圆 x2+y2=1 所截得的弦 长为( 1 A. 2 C. 2 2 ) B.1 D. 2 |c| |c| 2 = ,因此根 2= 2 2|c| a +b
2

解析:选 D 因为圆心(0,0)到直线 ax+by+c=0 的距离 d= 1-?

据直角三角形的关系,弦长的一半就等于

2 2?2 = ,所以弦长为 2. ?2? 2

3. (2014· 吉林模拟)已知直线 x+y-k=0(k>0)与圆 x2+y2=4 交于不同的两点 A,B,O 是 坐标原点,且有| OA + OB |≥ A.( 3,+∞) C.[ 2,2 2) 解析:选 C 当| OA + OB |= 3 | |,那么 k 的取值范围是( 3 AB B.[ 2,+∞) D.[ 3,2 2) 3 | |时,O,A,B 三点为等腰三角 3 AB )

形的三个顶点,其中 OA=OB,∠AOB=120° ,从而圆心 O 到直线 x+y -k=0(k>0)的距离为 1, 此时 k= 2; 当 k> 2时| OA + OB |> 3 | |, 3 AB

又直线与圆 x2+y2=4 存在两交点,故 k<2 2,综上,k 的取值范围为[ 2,2 2),故选 C. 4. (2014· 陕西模拟)已知点 P 是圆 C:x2+y2+4x-6y-3=0 上的一点,直线 l:3x-4y-5 =0.若点 P 到直线 l 的距离为 2,则符合题意的点 P 有________个. 解析:由题意知圆的标准方程为(x+2)2+(y-3)2=42, |-6-12-5| 23 ∴圆心到直线 l 的距离 d= = >4, 5 5 故直线与圆相离,则满足题意的点 P 有 2 个. 答案:2 5.求过点 P(4,-1)且与圆 C:x2+y2+2x-6y+5=0 切于点 M(1,2)的圆的方程. 解: 设所求圆的圆心为 A(m,n),半径为 r, 则 A,M,C 三点共线,且有|MA|=|AP|=r, 因为圆 C:x2+y2+2x-6y+5=0 的圆心为 C(-1,3),则 n-2 2-3 ? ?m-1=1+1, ? ? ? ?m-1?2+?n-2?2= ?m-4?2+?n+1?2=r, 解得 m=3,n=1,r= 5, 所以所求圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=5. [课下提升考能] 第Ⅰ卷:夯基保分卷 1. 圆 x2+y2-2x+4y-4=0 与直线 2tx-y-2-2t=0(t∈R)的位置关系为( A.相离 C.相交 B.相切 D.以上都有可能
2

)

解析:选 C ∵圆的方程可化为(x-1) +(y+2)2=9, ∴圆心为(1,-2),半径 r=3. 又圆心在直线 2tx-y-2-2t=0 上,

∴圆与直线相交. 2. 圆 O1:x2+y2-2x=0 和圆 O2:x2+y2-4y=0 的位置关系是( A.相离 C.外切 B.相交 D.内切 )

解析:选 B 圆 O1 的圆心坐标为(1,0),半径为 r1=1,圆 O2 的圆心坐标为(0,2),半径 r2 =2,故两圆的圆心距|O1O2|= 5,而 r2-r1=1,r1+r2=3,则有 r2-r1<|O1O2|<r1+r2,故两 圆相交. 3. (2013· 安徽高考)直线 x+2y-5+ 5=0 被圆 x2+y2-2x-4y=0 截得的弦长为( A.1 C .4 B.2 D. 4 6 )

|1+4-5+ 5| 解析: 选 C 依题意, 圆的圆心为(1,2), 半径 r= 5, 圆心到直线的距离 d= 5 =1,所以结合图形可知弦长的一半为 r2-d2=2,故弦长为 4. )

4.过点(1,1)的直线与圆(x-2)2+(y-3)2=9 相交于 A,B 两点,则|AB|的最小值为( A.2 3 C .2 5 B.4 D.5

解析:选 B 由圆的几何性质可知,当点(1,1)为弦 AB 的中点时,|AB|的值最小,此时|AB| =2 r2-d2=2 9-5=4. 5. (2013· 福建模拟) 已知直线 l: y=- 3(x-1)与圆 O: x2+y2=1 在第一象限内交于点 M, 且 l 与 y 轴交于点 A,则△MOA 的面积等于________. 解析:依题意,直线 l:y=- 3(x-1)与 y 轴的交点 A 的坐标为(0, 3).

?x +y =1, 由? 得, ?y=- 3?x-1?
1 点 M 的横坐标 xM= ,所以△MOA 的面积为 2 1 1 1 3 S= |OA|×xM= × 3× = . 2 2 2 4 答案: 3 4

2

2

6.以圆 C1:x2+y2-12x-2y-13=0 和圆 C2:x2+y2+12x+16y-25=0 公共弦为直径的 圆的方程为______________. 解析:法一 将 两 圆 方 程 相 减 得 公 共 弦 所 在 直 线 方 程 为 4x + 3y - 2 = 0. 由

? ?4x+3y-2=0, ? 2 解得两交点坐标 A(-1,2),B(5,-6).∵所求圆以 AB 为直径,∴ 2 ?x +y -12x-2y-13=0. ?

1 所求圆的圆心是 AB 的中点 M(2,-2),圆的半径为 r= |AB|=5,∴圆的方程为(x-2)2+(y+ 2 2)2=25. 法二 易求得公共弦所在直线方程为 4x+3y-2=0.设所求圆 x2+y2-12x-2y-13+λ(x2 12λ-12 16λ-2 +y2+12x+16y-25)=0(λ≠-1), 则圆心为- , - .∵圆心在公共弦所在直线上, 2?1+λ? 2?1+λ? 12λ-12 16λ-2 1 ∴4×- +3- -2=0,解得 λ= .故所求圆的方程为 x2+y2-4x+4y-17=0. 2 2?1+λ? 2?1+λ? 答案:x2+y2-4x+4y-17=0 7. 已知圆 C 的圆心与点 P(-2,1)关于直线 y=x+1 对称,直线 3x+4y-11=0 与圆 C 相 交于 A,B 两点,且|AB|=6,求圆 C 的方程. 解:设点 P 关于直线 y=x+1 的对称点为 C(m,n), 1+n -2+m ? ? 2 = 2 +1, 则由? n-1 1=-1 ?m+2· ?
? ?m=0, ?? ?n=-1. ?

|-4-11| 故圆心 C 到直线 3x+4y-11=0 的距离 d= =3, 9+16 |AB|2 所以圆 C 的半径的平方 r2=d2+ =18. 4 故圆 C 的方程为 x2+(y+1)2=18. 8. 已知点 M(3,1),直线 ax-y+4=0 及圆(x-1)2+(y-2)2=4. (1)求过 M 点的圆的切线方程; (2)若直线 ax-y+4=0 与圆相切,求 a 的值. 解:(1)圆心 C(1,2),半径为 r=2,当直线的斜率不存在时,方程为 x=3. 由圆心 C(1,2)到直线 x=3 的距离 d=3-1=2=r 知,此时,直线与圆相切. 当直线的斜率存在时,设方程为 y-1=k(x-3), 即 kx-y+1-3k=0. |k-2+1-3k| 由题意知 =2, k2+1 3 解得 k= . 4 3 故方程为 y-1= (x-3), 4 即 3x-4y-5=0. 故过 M 点的圆的切线方程为 x=3 或 3x-4y-5=0.

|a-2+4| 4 (2)由题意有 =2,解得 a=0 或 a= . 2 3 a +1 第Ⅱ卷:提能增分卷 1.(2013· 枣庄月考)已知:圆 C:x2+y2-8y+12=0,直线 l:ax+y+2a=0. (1)当 a 为何值时,直线 l 与圆 C 相切; (2)当直线 l 与圆 C 相交于 A,B 两点,且|AB|=2 2时,求直线 l 的方程. 解:将圆 C 的方程 x2+y2-8y+12=0 配方得标准方程为 x2+(y-4)2=4,则此圆的圆心 为(0,4),半径为 2. (1)若直线 l 与圆 C 相切. 则有 |4+2a|
2

3 =2.解得 a=- . 4 a +1

(2)过圆心 C 作 CD⊥AB,则根据题意和圆的性质,

?|CD|= a +1, 得?|CD| +|DA| =|AC| =2 , |AB|= 2. ?|DA|=1 2
|4+2a|
2 2 2 2 2

解得 a=-7 或 a=-1. 故所求直线方程为 7x-y+14=0 或 x-y+2=0. 2.(2013· 湛江六校联考)已知圆 C:x2+y2-2x+4y-4=0,是否存在斜率为 1 的直线 l, 使以 l 被圆截得的弦 AB 为直径的圆过原点?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理 由. 解:假设存在斜率为 1 的直线 l,满足题意,则 OA⊥OB.设直线 l 的方程是 y=x+b,其 y1 y2 与圆 C 的交点 A,B 的坐标分别为 A(x1,y1),B(x2,y2)则 · =-1, x1 x2 即 x1x2+y1y2=0.①
?y=x+b, ? 由? 2 2 ?x +y -2x+4y-4=0. ?

消去 y 得,2x2+2(b+1)x+b2+4b-4=0, 1 ∴x1+x2=-(b+1),x1x2= (b2+4b-4),② 2 y1y2=(x1+b)(x2+b)=x1x2+b(x1+x2)+b2 1 1 = (b2+4b-4)-b2-b+b2= (b2+2b-4).③ 2 2 把②③式代入①得,得 b2+3b-4=0, 解得 b=1 或 b=-4, 且 b=1 或 b=-4 都使得 Δ=4(b+1)2-8(b2 +

4b-4)>0 成立.故存在直线 l 满足题意,其方程为 y=x+1 或 y=x-4. 3.(2013· 江苏高考)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(0,3),直线 l:y=2x-4.设圆 C 的半径为 1,圆心在 l 上. (1)若圆心 C 也在直线 y=x-1 上,过点 A 作圆 C 的切线,求切线的方程; (2)若圆 C 上存在点 M,使 MA=2MO,求圆心 C 的横坐标 a 的取值范围. 解:(1)由题设,圆心 C 是直线 y=2x-4 和 y=x-1 的交点,解得点 C(3,2),于是切线的 斜率必存在.设过 A(0,3)的圆 C 的切线方程为 y=kx+3, 由题意,得 |3k+1|
2

3 =1,解得 k=0 或- , 4 k +1

故所求切线方程为 y=3 或 3x+4y-12=0. (2)因为圆心在直线 y=2x-4 上,所以圆 C 的方程为(x-a)2+[y-2(a-2)]2=1. 设点 M(x,y),因为 MA=2MO, 所以 x2+?y-3?2=2 x2+y2,化简得 x2+y2+2y-3=0,即 x2+(y+1)2=4,所以点 M 在 以 D(0,-1)为圆心,2 为半径的圆上. 由题意,点 M(x,y)在圆 C 上,所以圆 C 与圆 D 有公共点,则|2-1|≤CD≤2+1,即 1≤ a2+?2a-3?2≤3. 由 5a2-12a+8≥0,得 a∈R; 12 由 5a2-12a≤0,得 0≤a≤ . 5 12 所以点 C 的横坐标 a 的取值范围为 0, . 5


第8章 第4节《直线与圆、圆与圆的位置关系》

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