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课时跟踪检测(十二) 函数与方程


课时跟踪检测(十二) 函数与方程

? x ?2 -1,x≤1, 1.已知函数 f(x)=? 则函数 f(x)的零点为( ? ?1+log2x,x>1,

)

1 A. ,0 2 1 C. 2

B.-2,0 D.0

1 ?1 2.设 f(x)=x3+bx+c 是[-1,

1]上的增函数,且 f?-2?· 2?<0,则方程 f(x)=0 在[-1,1] ? ? f? ? 内( ) A.可能有 3 个实数根 C.有唯一的实数根 B.可能有 2 个实数根 D.没有实数根

3.(2012· 长沙模拟)已知函数 f(x)的图象是连续不断的,x、f(x)的对应关系如下表: x f(x) 1 136.13 2 15.552 ) 3 -3.92 4 10.88 5 -52.488 6 -232.064

则函数 f(x)存在零点的区间有( A.区间[1,2]和[2,3] B.区间[2,3]和[3,4] C.区间[2,3]、[3,4]和[4,5] D.区间[3,4]、[4,5]和[5,6]

4.(2013· 北京西城二模)执行如图所示的程序框图,若输入如下四个函数: ①y=2x; ②y=-2x; ③f(x)=x+x 1;④f(x)=x-x 1. 则输出函数的序号为( )
- -

A.① C.③

B.② D.④

2 5. (2012· 北京朝阳统考)函数 f(x)=2x- -a 的一个零点在区间(1,2)内, 则实数 a 的取值 x

范围是(

) B.(1,2) D.(0,2)

A.(1,3) C.(0,3)

6.(2013· 哈师大模拟)若定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+2)=f(x),且 x∈[-1,1]时,f(x)

?lg x,x>0, ?0,x=0, =1-x ,函数 g(x)=? ?-1,x<0, ? x
2

则函数 h(x)=f(x)-g(x)在区间[-5,5]内的零点个数是

(

) A.5 C.8 B.7 D.10

7.用二分法研究函数 f(x)=x3+3x-1 的零点时,第一次经计算 f(0)<0,f(0.5)>0 可得其 中一个零点 x0∈________,第二次应计算________. 8.若函数 f(x)=ax-x-a(a>0 且 a≠1)有两个零点,则实数 a 的取值范围是________. 9.(2013· 南通质检)已知函数 f(x)=x2+(1-k)x-k 的一个零点在(2,3)内,则实数 k 的取 值范围是________. 1 x 1 10.已知函数 f(x)=x3-x2+ + .证明:存在 x0∈?0,2?,使 f(x0)=x0. ? ? 2 4 11.关于 x 的二次方程 x2+(m-1)x+1=0 在区间[0,2]上有解,求实数 m 的取值范围. 12.若函数 f(x)=ax2-x-1 有且仅有一个零点,求实数 a 的取值范围.

1.(2012· “江南十校”联考)已知关于 x 的方程|x2-6x|=a(a>0)的解集为 P,则 P 中所 有元素的和可能是( A.3,6,9 C.9,12,15 ) B.6,9,12 D.6,12,15

?x-2,x>0, ? 2. 已知函数 f(x)=? 2 满足 f(0)=1, f(0)+2f(-1)=0, 且 那么函数 g(x) ? ?-x +bx+c,x≤0

=f(x)+x 的零点个数为________. 3.已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c. (1)若 a>b>c,且 f(1)=0,试证明 f(x)必有两个零点; 1 (2)若对 x1,x2∈R,且 x1<x2,f(x1)≠f(x2),方程 f(x)= [f(x1)+f(x2)]有两个不等实根,证 2 明必有一个实根属于(x1,x2).

[答 题 栏] 1._________ 2._________ 3._________ 4._________ A级 5.__________ 6._________ 7. __________ 8. __________ 9. __________ B级 1.______ 2.______





课时跟踪检测(十二)

A级 1.D 2.C 3.C 4.D

5. C 由条件可知 f(1)f(2)<0, 选 即(2-2-a)(4-1-a)<0, a(a-3)<0, 即 解之得 0<a<3. 6.选 C 依题意得,函数 f(x)是以 2 为周期的函数,在同一坐标系下画出函数 y=f(x) 与函数 y=g(x)的图象,结合图象得,当 x∈[-5,5]时,它们的图象的公共点共有 8 个,即函 数 h(x)=f(x)-g(x)在区间[-5,5]内的零点个数是 8.

7. 解析: 因为 f(x)=x3+3x-1 是 R 上的连续函数, f(0)<0, 且 f(0.5)>0, f(x)在 x∈(0,0.5) 则 上存在零点,且第二次验证时需验证 f(0.25)的符号. 答案:(0,0.5) f(0.25) 8.解析:函数 f(x)的零点个数就是函数 y=ax 与函数 y=x+a 的图象交点的个数,易知 当 a>1 时,两图象有两个交点;当 0<a<1 时,两图象有一个交点. 答案:(1,+∞) 9.解析:因为 Δ=(1-k)2+4k=(1+k)2≥0 对一切 k∈R 恒成立,又 k=-1 时,f(x)的 零点 x=-1?(2,3), 故要使函数 f(x)=x2+(1-k)x-k 的一个零点在(2,3)内, 则必有 f(2)· f(3)<0, 即 2<k<3. 答案:(2,3) 10.证明:令 g(x)=f(x)-x. 1 1 1 1 1 ∵g(0)= ,g?2?=f?2?- =- , 4 ? ? ? ? 2 8 1 ∴g(0)·?2?<0. g? ?

1 又函数 g(x)在?0,2?上连续, ? ? 1 ∴存在 x0∈?0,2?,使 g(x0)=0, ? ? 即 f(x0)=x0. 11.解:设 f(x)=x2+(m-1)x+1,x∈[0,2], ①若 f(x)=0 在区间[0,2]上有一解, ∵f(0)=1>0,则应有 f(2)<0, 又∵f(2)=22+(m-1)×2+1, 3 ∴m<- . 2 ②若 f(x)=0 在区间[0,2]上有两解,则

?Δ≥0, ? m-1 ?0<- 2 <2, ?f?2?≥0, ?
??m-1? -4≥0, ? ∴?-3<m<1, ?4+?m-1?×2+1≥0. ?
2

?m≥3或m≤-1, ?-3<m<1, ∴? ?m≥-3. ? 2

3 ∴- ≤m≤-1. 2

由①②可知 m 的取值范围(-∞,-1]. 12.解:(1)当 a=0 时,函数 f(x)=-x-1 为一次函数,则-1 是函数的零点,即函数 仅有一个零点. (2)当 a≠0 时,函数 f(x)=ax2-x-1 为二次函数,并且仅有一个零点,则一元二次方程 1 1 ax2-x-1=0 有两个相等实根.则 Δ=1+4a=0,解得 a=- .综上,当 a=0 或 a=- 时, 4 4 函数仅有一个零点. B级 1.选 B 如图,函数 y=|x -6x|的图象关于直线 x=3 对称,将 直线 y=a 从下往上移动可知:P 中所有元素的和可能是 6,9,12. 2.解析:∵f(0)=1,∴c=1.又∵f(0)+2f(-1)=0,∴f(-1)=-1 1 1 -b+1=- ,得 b= .∴当 x>0 时,g(x)=2x-2=0 有唯一解 x=1; 2 2
2

3 1 当 x≤0 时,g(x)=-x2+ x+1,令 g(x)=0,得 x=2(舍去)或 x=- , 2 2 即 g(x)=0 有唯一解.综上可知, g(x)=f(x)+x 有 2 个零点. 答案:2 3.证明:(1)∵f(1)=0,∴a+b+c=0, 又∵a>b>c,∴a>0,c<0,即 ac<0. 又∵Δ=b2-4ac≥-4ac>0,∴方程 ax2+bx+c=0 有两个不等实根,∴函数 f(x)有两个 零点. f?x1?-f?x2? 1 1 (2)令 g(x)=f(x)- [f(x1)+f(x2)],则 g(x1)=f(x1)- [f(x1)+f(x2)]= , 2 2 2 f?x2?-f?x1? 1 g(x2)=f(x2)- [f(x1)+f(x2)]= , 2 2 f?x1?-f?x2? f?x2?-f?x1? 1 ∴g(x1)· 2)= g(x · =- [f(x1)-f(x2)]2. 2 2 4 ∵f(x1)≠f(x2),∴g(x1)· 2)<0. g(x ∴g(x)=0 在(x1,x2)内必有一实根. 1 即 f(x)= [f(x1)+f(x2)]在(x1,x2)内必有一实根. 2


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