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清北学长精心打造——华约自主招生数学模拟试题及参考答案(二)

时间:2013-12-22


清北学长精心打造—— 华约自主招生数学模拟试题及参考答案(二)
3 1、设数列 ? an ? 满足 a0 ? 0, an ?1 ? can ? 1 ? c, c ? N * , 其中c 为实数

(Ⅰ)证明: an ? [0,1] 对任意 n ? N * 成立的充分必要条件是 c ? [0,1] ;

1 ,证明: an ? 1

? (3c) n ?1 , n ? N * ; 3 1 2 2 2 2 (Ⅲ)设 0 ? c ? ,证明: a1 ? a2 ? ? an ? n ? 1 ? ,n? N* 3 1 ? 3c
(Ⅱ)设 0 ? c ?

2、设非负等差数列 ? an ? 的公差 d ? 0 ,记 S n 为数列 ? an ? 的前 n 项和,证明: (1)若 m, n, p ? N ,且 m ? n ? 2 p ,则
*

1 1 2 ? ? ; Sm Sn S p

(2)若 a503 ? .

2007 1 1 ? 2008 。 ,则 ? 1005 n ?1 S n

3、设椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 过点 M ( 2,1) ,且着焦点为 F1 (? 2, 0) a 2 b2

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)当过点 P(4,1) 的动直线 l 与椭圆 C 相交与两不同点 A, B 时,在线段 AB 上取点 Q , 满足 AP ?QB ? AQ ?PB ,证明:点 Q 总在某定直线上

??? ??? ? ?

???? ??? ?

4、如果 f ? x0 ? 是函数 f ? x ? 的一个极值,称点 ?x0 , f ?x0 ?? 是函数 f ? x ? 的一个极值点.已知 函数 f ?x ? ? ?ax ? b?e x ?x ? 0且a ? 0? (1)若函数 f ? x ? 总存在有两个极值点 A, B ,求 a, b 所满足的关系; (2)若函数 f ? x ? 有两个极值点 A, B ,且存在 a ? R ,求 A, B 在不等式 x ? 1 表示的区 域内时实数 b 的范围. (3)若函数 f ? x ? 恰有一个极值点 A ,且存在 a ? R ,使 A 在不等式 ? 内,证明: 0 ? b ? 1 .
a

? x ?1 ?y ?e

表示的区域

5、已知△ABC 的外角∠EAC 的平分线与△ABC 的外接圆交于点 D,以 CD 为直径的圆分别交 BC,CA 于点 P、Q,求证:线段 PQ 平分△ABC 的周长。 E A Q D

B

P

C

6、对每一对实数(x,y),函数 f(t)满足 f(x+y)=f(x)+f(y)+xy+1。若 f(-2)=-2,试求满足 f(a)=a 的所有整数 a.

7、设集合 S ? {1, 2,?,50} , X 是 S 的任意子集,且 X ? n .求最小的正整数 n ,使得 X 中必有三个数为直角三角形的三边长.

参考答案: 1、证:(1)必要性:∵ a1 ? 0,∴ a2 ? 1 ? c , 又∵ a2 ? [0,1],∴0 ? 1 ? c ? 1 ,即 c ? [0,1] 充分性:设

c ? [0,1] ,对 n ? N * 用数学归纳法证明 an ? [0,1]

当 n ? 1 时, a1 ? 0 ? [0,1] .假设 ak ? [0,1](k ? 1)
3 3 则 ak ?1 ? cak ? 1 ? c ? c ? 1 ? c ? 1,且 ak ?1 ? cak ? 1 ? c ? 1 ? c ?? 0

∴ ak ?1 ? [0,1] ,由数学归纳法知 an ? [0,1] 对所有 n ? N * 成立
(2) 设 0 ? c ? 当 n ? 2 时,

1 ,当 n ? 1 时, a1 ? 0 ,结论成立 3

3 2 ∵ an ? can ?1 ? 1 ? c,∴1 ? an ? c(1 ? an?1 )(1 ? an?1 ? an?1 )

∵0 ? C ?

1 2 ,由(1)知 an ?1 ? [0,1] ,所以 1 ? an ?1 ? an ?1 ? 3 且 1 ? an ?1 ? 0 3

∴1 ? an ? 3c(1 ? an ?1 )
∴1 ? an ? 3c(1 ? an ?1 ) ? (3c)2 (1 ? an ?2 ) ? ? ? (3c) n?1 (1 ? a1 ) ? (3c) n?1 ∴ an ? 1 ? (3c)n ?1 (n ? N * )
(3)设 0 ? c ?

1 2 ,当 n ? 1 时, a12 ? 0 ? 2 ? ,结论成立 3 1 ? 3c

当 n ? 2 时,由(2)知 an ? 1 ? (3c) n ?1 ? 0
2 ∴ an ? (1 ? (3c)n?1 )2 ? 1 ? 2(3c)n?1 ? (3c)2( n?1) ? 1 ? 2(3c)n?1 2 2 2 2 ∴ a 2 ? a2 ? ? ? an ? a2 ? ? ? an ? n ? 1 ? 2[3c ? (3c)2 ? ? ? (3c)n ?1 ] 1

? n ?1?

2(1 ? (3c)n ) 2 ? n ?1? 1 ? 3c 1 ? 3c

2、设非负等差数列 ? an ? 的首项为 a1 ? 0 ,公差为 d ? 0 。 (1)因为 m ? n ? 2 p ,所以 m ? n ? 2 p , p ? mn , am ? an ? 2a p 。
2 2 2

2

a 从而有 (a p ) ? am ·n 。因为 Sn ?
2

n(a1 ? an ) n(n ? 1) ? na1 ? d ,所以有 2 2

S n ? S m ? (m ? n)a1 ?

n(n ? 1) ? m( m ? 1) d 2 n2 ? m2 ? 2 p ? 2 pa1 ? d 2 2 p2 ? 2 p ? 2 pa1 ? d ? 2S p 2
n(a1 ? an ) m(a1 ? am ) mn 2 ? ? a1 ? a1 (am ? an ) ? am an ? 2 2 4
2

S n ·m ? S

2 ? p (a ? a ) ? p2 2 ? ? a1 ? 2a1a p ? a p a p ? ? ? 12 p ? ? ? S p ? 4 ? ?

于是

2S p 1 1 Sm ? Sn 2 ? ? ? ? 。 Sm Sn Sm Sn SpSp Sp
(2)

?1 ? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 ? 1 ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?? n ?1 n ? S1 S2007 ? ? S2 S2006 ? ? S1003 S1005 ? S1004 2*1003 ? 1 2007 ? ? S1004 S1004
2007

?S

1

又因为 S1004 ? 1004a1 ?

1004· 1003 1004 ,所以有 d ? 1004(a1 ? 502d ) ? 1004a503 ? 2 1005
2007 n ?1

?S

1
n

?

2007 2007 ? 1005 ? 2008. S1004 1004

3、解:(1)由题意:

?c 2 ? 2 ? x2 y2 ?2 1 ?1 ? 2 ? 1 ,解得 a 2 ? 4, b2 ? 2 ,所求椭圆方程为 ? ? 2 4 2 a b ? ?c 2 ? a 2 ? b 2 ?
(2)方法一 设点 Q、A、B 的坐标分别为 ( x, y), ( x1 , y1 ), ( x 2 , y2 ) 。

??? ? ??? ??? ???? ??? ? ? ? AP 由题设知 AP , PB , AQ , QB 均不为零,记 ? ? ??? ? ? PB
又 A,P,B,Q 四点共线,从而 AP ? ?? PB, AQ ? ? QB 于是 4 ?

???? AQ ??? ,则 ? ? 0 且 ? ? 1 ? QB

??? ?

??? ???? ?

??? ?

x1 ? ? x2 y ? ? y2 ,1 ? 1 1? ? 1? ?

x?
从而

x1 ? ? x2 y ? ? y2 ,y? 1 1? ? 1? ?

2 2 x12 ? ? 2 x2 y 2 ? ? 2 y2 ? 4 x , ?? (1) 1 ? y , ?? (2) 1? ?2 1? ?2

又点 A、B 在椭圆 C 上,即
2 2 x12 ? 2 y12 ? 4,?? (3) x2 ? 2 y2 ? 4,?? (4)

(1)+(2)×2 并结合(3)(4)得 4s ? 2 y ? 4 , 即点 Q( x, y ) 总在定直线 2 x ? y ? 2 ? 0 上

方法二 设点 Q( x, y ), A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,由题设, PA , PB , AQ , QB 均不为零。

??? ??? ???? ??? ? ? ?

??? ? ??? ? PA PB 且 ???? ? ??? ? AQ QB
又 P, A, Q, B 四点共线,可设 PA ? ?? AQ, PB ? ? BQ(? ? 0, ?1) ,于是

??? ?

???? ??? ?

??? ?

4 ? ?x 1? ? y (1) , y1 ? 1? ? 1? ? 4 ? ?x 1? ? y (2) x2 ? , y2 ? 1? ? 1? ? x1 ?
由于 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 在椭圆 C 上,将(1)(2)分别代入 C 的方程 x ? 2 y ? 4, 整 ,
2 2

理得

( x 2 ? 2 y 2 ? 4)? 2 ? 4(2 x ? y ? 2)? ? 14 ? 0 (3) ( x 2 ? 2 y 2 ? 4)? 2 ? 4(2 x ? y ? 2)? ? 14 ? 0
(4)-(3) 得 8(2 x ? y ? 2)? ? 0 (4)

∵? ? 0,∴ 2 x ? y ? 2 ? 0
即点 Q( x, y ) 总在定直线 2 x ? y ? 2 ? 0 上

a 4、解: (1) f ' ( x) ? a ? e ? (ax ? b)( ? 2 ) ? e x x

a x

a

2 2 令 f ? ? x ? ? 0 得 x ? ax ? b ? 0 ? a ? 4b ? 0 又? a ? 0且x ? 0

?b ?
2

a2 且b ? 0 4

(2) x ? ax ? b ? 0 在 (?1,1) 有两个不相等的实根.

?? ? a 2 ? 4b ? 0 ? ? ?1 ? a ? 1 ? 即? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? ? 1? a ? b ? 0 ?



?4b ? a 2 ? 2 ?a ?4 ? b ? ?1 ?

??1 ? b ? 1且b ? 0
2 (3)由① f ?( x) ? 0 ? x ? ax ? b ? 0 ( x ? 0)

①当 b ? 0 f ? ? x ? ? a ? e x ?

a

x 2 ? ax ? b 在 x ? a 左右两边异号 x2

? (a, f (a)) 是 y ? f ? x ? 的唯一的一个极值点
由题意知 ?

?-1 ? a ? 1且a ? 0 2 ? ? e ? ( a ? b )e ? e



? 0 ? a2 ? 1 即 ? 2 ? ?1 ? a ? 1

0 ? a2 ? 1
②当 b ? 0 时,

存在这样的 a 的满足题意

?b ? 0 符合题意

? ? a 2 ? 4b ? 0 即 4b ? a 2
这里函数 y ? f ( x) 唯一的一个极值点为 ( , f ( ))

a 2

a 2

? a ? 2 ? 1且a ? 0 ? 由题意 ? 1 ? ? e ? ( a ? b )e 2 ? e ? ? 2

? 0 ? a2 ? 4 ? 1 即 ? 1 a2 2 ? b ? e2 ? ?e ? ? 2



? 0 ? 4b ? 4 ? 1 ? 1 ??e 2 ? b ? e 2 ?

?0 ? b ? 1
综上知:满足题意 b 的范围为 b ? [0,1) . 5、证:如图,连结 DB、OP、DQ,因∠ABD+ ∠ACD,∠EAC=∠ABC+∠ACB,则∠EAC=∠ DBC+∠DCB,即:2∠DAC=∠DBC+∠DCB;又 ∠DAC=∠DBC,则:∠OBC=∠DCB;故△DBC

A Q

D

B

P

C

1 BC。在圆内接四边形 ABCD 中,由托勒密定理得: 2 BC ? AD 2 BP ? AD AC·BD=BC·AD+AB·CD,因 BD=CD,则:AC-AB= ,又 DQ⊥AC,则 ? BD BD AQ AD BP ? AD AC ? AB △ADQ∽△BDP, 所以 , 即: AQ= 。 AC-AB=2AQ, AQ= 故 即 。 ? BP BD BD 2 1 AC ? AB 1 1 从而:CQ+CP=(AC-AQ)+ BC=(AC) ? BC= (AB+BC+CA)。 2 2 2 2
为等腰三角形,因 OP⊥BC,则 CP= 6、当 x=y=0 时,得 f(0)=-1 当 x=y=-1,由 f(-2)=-2,得 f(-1)=-2 又当 x=1,y=-1,可得 f(1)=1 ∴ x=1 时,得 f(y+1)=f(y)+y+2 ∴ f(y+1)-f(y)=y+2 ∴当 y 为正整数时,f(y+1)-f(y)>0 于是由 f(1)=1>0 可知,对一切正整数 y,均有 f(y)>0 因此当 y∈N 时,f(y+1)=f(y)+y+2>y+1 即对于一切大于 1 的正数 t 恒有 f(t)>t. 同理可求得 f(-3)=-1,f(-4)=1 下面证明:当整数 t≤-4 时,f(t)>0(≠t) 因为 t≤-4,故-(t+2)>0 又 f(t)-f(t+1)=-(t+2)>0 即 f(-5)-f(-4)>0,f(-6)-f(-5)>0,…… f(t+1)-f(t+2)>0,f(t)-f(t+1)>0 相加得 f(t)-f(-4)>0 即 f(t)>f(-4)=1>0 ∴ f(t)>0>t 综上所述,满足 f(a)=a 的整数只有 a=1 或 a=-2 解法二:同解法一,可求出 f(1)=1,当 y=1 时,得 f(x+1)=f(x)+f(1)+x+1=f(x)+x+2 ∴当 x=n∈Z 时,f(n+1)-f(n)=n+2 1 3 用叠加法可求得 f(n)=2n2+2n-1 令 f(n)=n,解得 n=1 或-2,即 a=1 或-2 7、解:设直角三角形三边长分别为 x, y, z ,有 x ? y ? z ,其正整数解可表示为:
2 2 2
* x ? k (a 2 ? b 2 ) ,y ? 2kab ,z ? k (a 2 ? b 2 ) ①, 其中 a, b, k ? N , (a, b) ? 1, a ? b , x, y, z 则

中必有一个为5的倍数.若否,则 a, b, c 都是 5m ? 1, 5m ? 2型的数, m ? N ,所以有

a 2 ? ?1(mod 5) ; b2 ? ?1(mod 5) , c 2 ? ?1(mod 5) ,而 c 2 ? a 2 ? b2 ? 0, ?2 ,矛盾!令
集合 A ={S 中所有与 5 互质的数},则 A ? 40 ,若以 10,15,25,40,45 分别作直角三角形的某 边 长 , 则 由 ① 知 A 中 找 到 相 应 的 边 构 成 如 下 直 角 三 角 形 :

(10,8,6);(26,24,10);(15,12,9);(42,27,36);(39,36,15);(25,24,7);(40,32,24);(41,40 ,9);(42,27,36),此外,A 中再没有能与 10,15,25,40,45 构成直角三角形的三条边.令 M=

A?{10,15, 25, 40, 45} \ {8,9, 24,36} ,则 M ? 41 ,有上知 A 中数不能够成直角三角形,
故 n ? 42 。下面我们来构造例子:由①知 B={3,4,5;15,17,18;29,21,20;25,24,7;34,16,30;37,35,12;50,48,14;41,40,9; 45,36,27}可满足,所以 B ? 27 , S \ B ? 50 ? 27 ? 23 ,在 S 中任取42个数,由 于 42 ? 23 ? 19 , 所取42个数中必有含有 B 中的19个数, 所以, 中至少有 B 中一组数, B 出现在所选的42个数中,即任取42个数,满足题意。综上所述, nmin ? 42 .


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