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直线与椭圆位置关系练习


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[例 2]

x2 y2 已知斜率为 2 的直线经过椭圆 + =1 的右 5 4

焦点 F1,与椭圆相交于 A,B 两点,求弦 AB 的长.

[思路点拨]

可先求出A,B两点坐标,再转化为两

点间的距离问题;也可以

利用弦长公式求解.

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x2 y2 [精解详析] 法一:∵直线 l 过椭圆 + =1 的右焦 5 4 点 F1(1,0), 又直线的斜率为 2,∴直线 l 的方程为 y=2(x-1), 2x-y-2=0, ? ? 2 2 即 2x-y-2=0.由方程组?x y + =1, ? ?5 4 5 4 得交点 A(0,-2),B( , ). 3 3 |AB|= ?xA-xB?2+?yA-yB?2 = 52 42 ?0- ? +?-2- ? = 3 3 125 5 = 5. 9 3
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法二:设 A(x1,y1),B(x2,y2), 2x-y-2=0, ? ? 2 2 则 A,B 的坐标为方程组?x y 的解. + =1 ? ?5 4 5 消 y 得 3x2-5x=0,则 x1+x2= ,x1· x2=0. 3 ∴|AB|= ?x1-x2?2+?y1-y2?2 = ?x1-x2?2?1+k2 AB?
2 = ?1+k2 AB?[?x1+x2? -4x1x2]



52 5 5 ?1+2 ?[? ? -4×0]= . 3 3
2

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2x-y-2=0, ? ? 2 2 法三:由方程组?x y + =1, ? ?5 4 消 x 得 3y2+2y-8=0, 2 8 则 y1+y2=- ,y1y2=- . 3 3 ∴|AB|= ?x1-x2?2+?y1-y2?2 = = = 1 ?y1-y2? · ? 2 +1? kAB
2

?1+ 2?[?y1+y2?2-4y1y2] kAB 1 22 8 5 5 ?1+ ?· [?- ? -4×?- ?]= . 4 3 3 3

1

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[一点通]

关于弦长的求法,基本思路是:①求出弦端

点的坐标, 利用两点间的距离公式求解;②结合根与系数的 关系,利用变形公式 l= ?1+k2?[?x1+x2?2-4x1x2] 或 l = 1 ?1+ 2?[?y1+y2?2-4y1y2]求解. k

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3.直线 y=x- 3与椭圆 x2+4y2-4=0 交于 A,B 两点,O 为 坐标原点,求△AOB 的面积. ? ?y=x- 3, 2 解:由? 2 消去 y 并整理得 5 x -8 3x+8=0. 2 ? x + 4 y - 4 = 0 , ?
8 3 8 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2= ,x1x2= , 5 5 ∴|AB|= 2· ?x1+x2? -4x1x2= 2 又 O 到 AB 的距离 d= 3 6 = , 2 2
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2

64×3 32 8 - = . 25 5 5

1 2 6 ∴S△AOB= ·|AB|·d= . 2 5

4.已知椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍,且焦点在 x 轴上,又知椭 16 2 圆截直线 y=x+2 所得线段 AB 的长为 .求椭圆的方程. 5 x2 y2 解:∵a=2b,∴设椭圆方程为 2+ 2=1(b>0). 4b b

y=x+2, ? ? 2 联立? x 得 5x2+16x+16-4b2=0, y2 2+ 2=1, ? ?4b b ?Δ=162-20?16-4b2?=16?5b2-4?>0, ? ?x +x =-16, 2 5 ∴? 1 ? 16-4b2 ?x1x2= . 5 ?

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∴|AB|= 2

?x1+x2?2-4x1x2

4 2 16 2 = · 5b2-4= . 5 5 ∴5b2-4=16. ∴b2=4,即 b=2,满足 Δ>0. x2 y2 ∴椭圆的方程为 + =1. 16 4

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[例 3]

焦点分别为(0,5 2)和(0,-5 2)的椭圆截直线 y=

1 3x-2 所得弦的中点的横坐标为 ,求此椭圆的方程. 2

[思路点拨] 法一: 设出椭圆的方程, 再与直线方程联立 1 消去 y.由中点横坐标为 建立方程,再与 a2-b2=c2 解方程组 2 即可得 a2,b2. 法二:由“点差法”求解.

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[精解详析]

x2 y2 法一:设椭圆的方程为 2+ 2=1(a>b>0), b a ①

且 a2-b2=(5 2)2=50. x2 y2 ? ? 2+ 2=1, 由?b a 消去 y 得 ? ?y=3x-2, (a2+9b2)x2-12b2x+4b2-a2b2=0. x1+x2 1 6b2 1 ∵ = .∴ 2 = , 2 2 a +9b2 2 即 a2=3b2.②此时 Δ>0. 由①②得 a2=75,b2=25, x2 y2 ∴椭圆的方程为 + =1. 25 75

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y2 x2 法二:设椭圆方程为 2+ 2=1(a>b>0), a b 直线 y=3x-2 与椭圆交于 A,B 两点,且 A(x1,y1),B(x2,y2),则
2 2 ?y1 x1 ?a2+b2=1, ① ? 2 2 y x 2 ? 2+ 2 ② 2=1. a b ?

①-②得

?y1+y2??y1-y2? ?x1+x2??x1-x2? =- . a2 b2 y1-y2 a2?x1+x2? a2x1+x2 即 = =- 2 . b y1+y2 x1-x2 -b2?y1+y2?
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1 1 ∵kAB=3,AB 中点为(x0,y0),x0= ,y0=- , 2 2 a2 a2 ∴3=- 2 = 2,即 a2=3b2. b 1 b 2×?- ? 2 又 a2-b2=(5 2)2=50,∴a2=75,b2=25, y2 x2 ∴椭圆方程为 + =1. 75 25 1 2× 2

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[一点通] 关于中点弦问题,一般采用两种方法解决: (1)联立方程组,消元,利用根与系数的关系进行设而不 求,从而简化运算. x2 y2 (2)利用“点差法”求解即若椭圆方程为 2+ 2=1,直线 a b 与椭圆交于点 A(x1,y1),B(x2,y2),且弦 AB 的中点为 M(x0, y0),则
2 2 ?x1 y1 ?a2+b2=1, ? 2 2 y2 ?x 2 + =1. ?a2 b2

① ②
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2 2 2 2 ①-②得 a2(y1 -y2 2)+b (x1-x2)=0,

y1-y2 b2 x1+x2 b2 x0 ∴ =- 2· =- 2· . a y1+y2 a y0 x1-x2 这样就建立了中点坐标与直线的斜率之间的关系,从而 使问题能得以解决.

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5.直线 y=x+m 被椭圆 2x2+y2=2 截得的线段的中点横 1 坐标为 ,则中点的纵坐标为________. 6 ? ?y=x+m, 解析:法一:由? 2 2 消去 y 并整理得 3x2+2mx+ ? ?2x +y =2,
m2-2=0.设线段的端点为 A(x1,y1),B(x2,y2), 1 则 x1+x2= , 3 2m 1 1 ∴- = ,m=- . 3 3 2 1 1 1 1 由中点在直线 y=x- 上得纵坐标 y= - =- . 2 6 2 3

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法二:设线段的端点为 A(x1,y1),B(x2,y2),
2 2 2 则 2x1 +y1 =2,2x2 2+y2=2.相减得

2(x1-x2)(x1+x2)+(y1-y2)· (y1+y2)=0. y1-y2 y1+y2 1 1 把 =1,x1+x2= 代入上式得 =- , 3 2 3 x1-x2 即为中点的纵坐标.

1 答案:-3

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x2 y2 6.已知点 P(4,2)是直线 l 被椭圆36+ 9 =1 所截得的线段的 中点,求直线 l 的方程.
解:法一:由题意可设直线 l 的方程为 y-2=k(x-4),而椭 圆的方程可以化为 x2+4y2-36=0. 将直线方程代入椭圆的方程有 (4k2+1)x2-8k(4k-2)x+4(4k-2)2-36=0. 8k?4k-2? 1 ∴x1+x2= =8,∴k=-2. 4k2+1 1 ∴直线 l 的方程为 y-2=-2(x-4),即 x+2y-8=0.
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法二:设直线 l 与椭圆的交点为 A(x1,y1),B(x2,y2),
2 2 ? ?x1+4y1-36=0, ∴? 2 2 ? ?x2+4y2-36=0.

两式相减,有 (x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0. y1-y2 1 又 x1+x2=8,y1+y2=4,∴ =- , 2 x1-x2 1 即 k=- .∴直线 l 的方程为 x+2y-8=0. 2
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[例 4]

已知点 P 在圆 C:x2+(y-4)2=1 上移动,点 Q

x2 2 在椭圆 4 +y =1 上移动,求|PQ|的最大值.

[思路点拨]

结合图形可知,要求|PQ|的最大值,只

要考虑圆心到椭圆上的点的距离即可,而椭圆上的点的

坐标是有范围的,于是转化为二次函数在闭区间上的最
值问题.

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[精解详析] 设椭圆上的一点 Q(x,y),又 C(0,4), 故|QC|2=x2+(y-4)2 =4(1-y2)+(y-4)2 =-3y2-8y+20 4 76 =-3(y+ )2+ . 3 3 ∵-1≤y≤1, ∴当 y=-1 时, |QC|max=5. ∴|PQ|的最大值为 5+1=6.
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[一点通]

解决与椭圆有关的最值问题,一般是用坐

标法,即设出椭圆上任一点的坐标(x,y),依据椭圆方程
将距离(或距离的平方)转化为关于x或y的二次函数,而椭 圆的范围限制了x,y的取值范围,因此问题转化为定区 间上二次函数的最值问题,从而可解.

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b+c x2 y2 7.已知 c 是椭圆a2+b2=1(a>b>0)的半焦距,则 a 的取值 范围是 A.(1,+∞) C.(1, 2] ( B.( 2,+∞) D.(1, 2) )

b+c 2 b2+2bc+c2 解析:( a ) = a2 a2+2bc 2bc 2bc 2bc = a2 =1+ a2 =1+ 2 2≤1+2bc=2, b +c 当且仅当 b=c 时取等号, b+c 2 b+c ∴1<( a ) ≤2,∴1< a ≤ 2.

答案:C

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x2 2 8.设点 F1 是椭圆 2 +y =1 的左焦点,弦 AB 过椭圆的右焦点, 求△F1AB 的面积的最大值.
解:如图, S? F1 AB? S? F1F2 A ? S? F1F2B .设 A(x1,y1). B(x2,y2), 1 |y1-y2|=|y1-y2| S? F1 AB = ·|F1F2|· 2 (∵c=1). 设直线 AB 的方程为 x=my+1,代入 椭圆方程,得 (2+m2)y2+2my-1=0,

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-2m -1 y1+y2= ,y y = , 2+m2 1 2 2+m2 从而|y1-y2|= ?y1+y2?2-4y1y2 = 4m2 4 + ?2+m2?2 2+m2 1 . 1+m + 1+m2
2

2 2 m2+1 = = 1+m2+1

2 2

1 ∵ 1+m + ≥2, 1+m2
2

当且仅当 m=0 时等号成立, 2 2 ∴|y1-y2|≤ 2 = 2, 即△F1AB 面积的最大值为 2.
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x2 y2 1.点 P(x0,y0)与椭圆 2+ 2=1 的位置关系: a b x2 y2 0 0 P 在椭圆上? 2+ 2=1; a b x2 y2 0 0 P 在椭圆外? 2+ 2>1; a b 2 x2 y 0 0 P 在椭圆内? 2+ 2<1. a b

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(2)在解决直线与圆锥曲线的位置关系问题时,一

定要注意判别式的应用,在有些问题中,这一条件是暗含
的,易忽略. (3)解决解析几何中的最值问题,一般先根据条件 列出所求目标函数的关系式,然后根据函数关系式的特征 选用配方法、判别式法或基本不等式法及三角函数的最值

求法求出它的最大值或最小值及范围.

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