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阿波罗尼斯圆的解题运用

时间:2015-03-06



考第17题:
如图1,在平面直角 坐标系xOy中,点A(0, 3),直线Z:Y一2x一4,设 圆C的半径为1,圆心在 Z上. (1)若圆心C也在 直线了一z一1上,过点A 作圆C的切线,求切线的 方程;
。 ‘y

赵春雷

常国庆

让我们首先来回顾一下2013年江苏高

r />O),B(1,O),如果动点P满足】PAl=2IPBl, 则点P的轨迹所包围的面积等于
A.7c B.47c C.8n (
D.9n



皤r

图1


2.(2008年江苏卷)若AB=2,AC=

√2BC,则S△ABc的最大值是



既然阿波罗尼斯圆经常会在高考中考 查到,那么我们有必要对阿波罗尼斯圆的理 解与解题运用再作一次深入的探究.先仿照 课本习题做一个练习:



矽例1 已知点P(z,y)与两定点A(一导,
0),B(一5,0)的距离之比为导,那么点P的
坐标应满足什么关系?

(2)若圆C上存在点M,使MA=2MO,
求圆心C的横坐标盘的取值范围. 解答省略.

此题第(2)小题中点M的轨迹为圆,并 且此圆有一个名称,叫做阿波罗尼斯圆.如
果能清楚这个阿波罗尼斯圆的概念,此题就




由题意侍两PA=了3,即嚣一吴,
.9、2


很容易转化为两个圆之间的位置关系:两圆 有公共点,即两圆相交或相切(包括内切和
外切).

所以专j矗衙一旦25,整理得25T2+81
l z十i J十y。


+90x+25y2=9x2+9y2+25×9+90x,所 以16x2+16y2=16×9,即z2+∥2=9.

但是阿波罗尼斯圆在课本上并没有给
出明确的定义,只有这样一道习题:已知点

这道题本质上就是阿波罗尼斯圆定义 的一个直接运用.反过来,我们知晓了阿波 罗尼斯圆的定义之后,可以很方便地找到一 些题目的解题方法.

M(x,y)与两定点O(0,o),A(3,0)的距离之


比为÷,那么点M的坐标应满足什么关系?


事实上,阿波罗尼斯圆的定义如下:在

t例2 已知两定点A(一詈,o),B(一5,
o),点P在圆z 解 略.

平面上给定两点A,B,设点P在同一平面上
D^

2+y2=9上,求嚣.

且满足嚣一A,当A>o且A≠1时,点P的
轨迹是一个圆. 课本上虽然没有阿波罗尼斯圆的定义,

此题不过是已知阿波罗尼斯圆和两个

定点,然后求这个比值而已.我们事先就应 该知道这个比值是一个定值,且是不为1的 正数.事实上,只要给出其中一个定点的坐

但在高考中的考查却并非第一次.如:
1.(2006年四川卷)已知两定点A(一2,

●_。、

i瞄险、目_-m!腑州。Uilif.,er酊ty‘L:lttnlnce匹《。?mn£幻n 万方数据


标,另一个定点的坐标就已经确足J. 一一79,所以A


眵例3

已知圆O:x2+22=9,点B(一5,

O),在直线OB上,存在定点A(不同于点

以A(一号,o)
在此题中 点共线的结论.事实上,即便不清楚这个结 论,也一样可以求出比值和另一个定点.

B),满足对于圆0上任意一点P,都有万PA—
i3,试求所有满足条件的点A的坐标. 解设P(xo,yo),A(t,o),£≠一5且tE

■例5

已知圆O:z2+了2—9,点B(一5,

R,则zj+yj一9,因为嚣一詈,所以瓦pA酽2一

0),是否存在定点A(不同于点B),满足对于

鑫,即毫糕=磊9,整理得器
Z0

圆。上任意一点P,都有篙为一常数?若
存在,求所有满足条件的点A的坐标,并求

0 +9 50t 1 8— 25t 22一 81,此方程对无 一磊9,即(+ 一磊,即( )z。一25 )z。一 ,此方程对无

篙;若不存在,说明理由.
‘解题过程请同学们自己动手. 由本题可以看出,运用阿波罗尼斯圆的 定义,只要圆方程和其中一个定点的坐标确 定,另一个定点的坐标就已经确定了,而且 比值也确定了.至于条件是否给出比值,是 否运用两个定点与圆心三点共线的结论,一 样可以求出结果,差别就是运算过程中字母 的多少与运算的繁简. 事实上,像2013年江苏高考题的第17 题,对阿波罗尼斯圆的考查是比较直接的, 也是比较能容易看出来的,而有的时候考查 得却比较隐蔽.如上文提到的2008年江苏 高考题,此题的难度在于首先要有解析几何 的思想方法,建系以后可以得到圆方程,这 样本题就迎刃而解了.当然此题也可以用解

穷多个z。恒成立,巨fi

pj,{90-1-50t=0'.所以£

一一詈,所以A(一詈,o/1.
0 \


例2是已知圆方程和两个定点,求出比 值;例3是知道圆方程、一个定点和比值,求 出另一个定点.那么把两者结合,能否由圆 方程和一个定点出发,同时求出比值和另二 个定点呢?

嗲例4

已知圆0:zz+yz一9。占、B(一5,

0),在直线OB上,存在定点A(不同于点

B),满足对于圆0上任意一点P,都有万PA为
一常数,试求所有满足条件的点A的坐标,

并求嚣. 三角形的知识解决.下面再看两个题目: 解设P(z。,y。),A(£,o),£≠一5,嚣 矽例6 设复数2一z+yi(z,y∈R)且
一A,A>。且A≠1,则z;+yg=9,因为面PA一
z一1}一2
z+1

I,则复数z所对应的点的


轨迹的形状是

棚以警甜朋高等兹刊,整理
得笨筹窨甜卿(1吖+2岫。彰+9
—34A2,此方程对无穷多个z。恒成立,所以

首先此题可以直接求解出轨迹方程.代入 条件可得,/(x-1)2+夕一2 ̄/(z+1)2+y2,两 边平方得z2—2z+1+y2—4x2+8工+4+4y2,


£、2

移项得3x2+3y2+10x+3—0,即(z+昔)+
y2一芸,所以答案是圆.


{。l。O十A 2。+一2Jt4=^O。一,。,消去A2得5t2+34t+45一

但事实上没有必要求出方程,利用复数

mw‘University'/::订ira咒ce'f2叼aminatio托-一_
万方数据

,——◆

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专题五

初等数论与组合数学
谢广喜(江南大学理学院)

题意要求的)存在性问题、构造性问题、可能

~一、初等数论基础知识及有关问题
相关的常见知识和问题主要有:奇数的 平方被8除余1、质数与合数(2是唯一的偶 质数,其余质数都是奇数)、奇数与偶数(两 个整数的和与差的奇偶性相同)、不定方程 的整数解、“对于任意一个有限大的自然数

情形有多少种(计数问题)、是否存在最“好” 情形(最优化情形),等等.当然,其中部分问 题(如染色问题等)也与其他内容(如图论、 规划理论等)有交叉,我们熟悉的数列、排列 与组合等都是组合数学的重要组成部分. 总而言之,求解自主招生考试中的组合 数学部分试题,通常不像我们求解其他数学 问题那样对背景、方法较为熟悉,而主要是 结合具体的问题,采取具体的手段和方法, 其中,抽屉原理等是必须要了解的.在解题 中,如何巧妙地构造“抽屉”往往是关键.

N,N!兰N?(N一1)…??2?1中含有素

因子户的方次为[鲁]+[笋]+[笋]+…
(rz]是取整函数,此式虽然无限加下去,但 是对于任意一个有限大的自然数N,从某一 项开始向后全部为0,表达式自动截断为有 限项)”,等等.

矽例1


(2012年北约试题)在1,2,…,

012中取一组数,使得任意两数之和不能

被其差整除,最多能取多少个数?

★二、组合数学初步
组合数学的研究对象主要包括:(满足 模的几何意义,即点Z到点(1,0)的距离是 点Z到点(一1,0)的距离的2倍,再利用阿 波罗尼斯圆的定义,直接得到复数z所对应 的点的轨迹是圆,无需任何运算过程.

解析

在1,2,…,2 012中取一组数,

记其中任意两数分别为a,b(a>6),若a一6 —1,显然此时必有两数之和能被其差整除,

考此题:点B、点D即为定点,罴一2为定
,1上/

值,故点A的轨迹即为一个阿波罗尼斯圆 (同学们自己思考如何建系求点A的轨迹方 程),且圆心在BD上,故以BD为底边的 △ABD的最大的高即为圆半径,所以所求 三角形ABC面积最大值为2. 以上题目充分说明,阿波罗尼斯圆对于 求解某些数学问题发挥着很大的作用.同学 们在理解阿波罗尼斯圆概念的同时,要体会 其中的数学思想和数学方法,融会贯通,在 实际解题中灵活运用,那么一些题目我们就 能轻松解决了.

参例7

在等腰三角形

ABC中(如图2),AB—

AC,BD是腰AC的中线, 且BD=√i,则S△船。的最 大值是






图2

本题旨在考查三角形面积公式、余弦定 理,可利用解三角形的知识去解决此题(同 学们可以思考一下怎么做).换个角度去思 峰——、

瀚黪k一 万方数据