nbhkdz.com冰点文库

导数


高二数学导数单元练习(文)
一、选择题 1. 一个物体的运动方程为 S=1+t+t^2 其中 s 的单位是米,t 的单位是秒,那么物体在 3 秒末 的瞬时速度是( ) A 7 米/秒 B 6 米/秒 C 5 米/秒 D 8 米/秒
2 2. 已知函数 f(x)=ax +c,且 f ?(1) =2,则 a 的值为(

) D. 0


A.1

B. 2

C.-1

3 f ( x ) 与 g ( x) 是定义在 R 上的两个可导函数,若 f ( x ) , g ( x) 满足 f ' ( x) ? g ' ( x) ,则

f ( x) 与 g ( x) 满足(
A f ( x) ? 2 g ( x) C f ( x ) ? g ( x) ? 0

) B f ( x) ? g ( x) 为常数函数 D f ( x) ? g ( x) 为常数函数 ) C (??,??) D

4. 函数 y = x3 + x 的递增区间是( A

(??,1)

B

(?1,1)

(1,??)

5.若函数 f(x)在区间(a ,b)内函数的导数为正,且 f(b)≤0,则函数 f(x)在(a, b) 内有( ) A. f(x) 〉0 B.f(x)〈 0 C.f(x) = 0 ) D.无法确定

6. f '( x0 ) =0是可导函数y=f(x)在点x=x0处有极值的 ( A.充分不必要条件 C.充要条件 A C

B.必要不充分条件 D.非充分非必要条件 ) B (2,8) D (2,8) 和 (?1, ?4) 有 ( ) B. 极小值-2,极大值 3 D. 极小值-2,极大值 2
'

7.曲线 f ( x) = x3 + x - 2 在 p0 处的切线平行于直线 y = 4 x - 1,则 p0 点的坐标为(

(1, 0) (1, 0) 和 (?1, ?4)
3

8.函数 y ? 1 ? 3x ? x

A.极小值-1,极大值 1 C.极小值-1,极大值 3

9 对于 R 上可导的任意函数 f ( x ) ,若满足 ( x ?1) f ( x) ? 0 ,则必有( A B f (0) ? f (2) ? 2 f (1) f (0) ? f (2) ? 2 f (1) C



f (0) ? f (2) ? 2 f (1)

D

f (0) ? f (2) ? 2 f (1)

10.函数 f ( x) 的定义域为开区间 ( a, b) ,导函数 f ?( x) 在 ( a, b) 内的图象如图所示,则函数

f ( x) 在开区间 ( a, b) 内有极小值点(
A. 1 个 二、填空题 11 . 函 数 B. 2 个
3



y

y ? f ?( x)

C. 3 个
2

D. 4 个
a
O

b

x

y? x ?x ?x 的 单 调 区 间 为

___________________________________. 12.已知函数 f ( x) ? x3 ? ax 在 R 上有两个极值点,则实数 a 的取值范围是 13.曲线 y ? x 3 ? 4 x 在点 (1, ?3) 处的切线倾斜角为__________. 14. 曲 线 y ? x 3 在 点 ?1,1? 处 的 切 线 与 __________。 15. 已知曲线 y ? .

x 轴、直线 x ? 2 所围成的三角形的面积为

1 3 4 x ? ,在点 P(2, 4) 的切线方程是______________ 3 3

16. 某公司一年购买某种货物 400 吨,每次都购买 x 吨,运费为 4 万元/次,一年的总存储 费用为 4 x 万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则 x ? 吨.

三、解答题: 15.求垂直于直线 2 x ? 6 y ? 1 ? 0 并且与曲线 y ? x3 ? 3x2 ? 5 相切的直线方程

16.如图,一矩形铁皮的长为 8cm,宽为 5cm,在四个角上截去 四个相同的小正方形,制成一个无盖的小盒子,问小正方形的边长 为多少时,盒子容积最大?

17.已知 f ( x) ? ax4 ? bx2 ? c 的图象经过点 (0,1) ,且在 x ? 1 处的切线方程是 y ? x ? 2 , 请解答下列问题: (1)求 y ? f ( x) 的解析式; (2)求 y ? f ( x) 的单调递增区间。

3 18.已知函数 f ( x) ? ax ?

3 (a ? 2) x 2 ? 6 x ? 3 2

(1)当 a ? 2 时,求函数 f ( x) 极小值; (2)试讨论曲线 y ? f ( x) 与 x 轴公共点的个数。

19.已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c 在 x ? ? (1)求 a , b 的值与函数 f ( x ) 的单调区间

2 与 x ? 1 时都取得极值 3

(2)若对 x ?[?1, 2] ,不等式 f ( x) ? c2 恒成立,求 c 的取值范围

20.已知 x ? 1 是函数 f ( x) ? mx3 ? 3(m ? 1) x2 ? nx ? 1 的一个极值点, 其中 m, n ? R, m ? 0 , (1)求 m 与 n 的关系式; (2)求 f ( x) 的单调区间; (3)当 x ?? ?1,1? 时,函数 y ? f ( x) 的图象上任意一点的切线斜率恒大于 3m,求 m 的取值 范围.

参考答案
一、选择题 AACACBBCCCA 二、填空题 11.递增区间为: (-∞,

1 1 ) , (1,+∞)递减区间为( ? ,1) 3 3 1 (注:递增区间不能写成: (-∞, )∪(1,+∞) ) 3

12. ( ??, 0)

3 ? 4 8 14. 3
13. 15. y ? 4 x ? 4 ? 0 16.20 三、解答题: 17.解:设切点为 P (a, b) ,函数 y ? x3 ? 3x2 ? 5 的导数为 y' ? 3x2 ? 6x 切线的斜率 k ? y' |x?a ? 3a2 ? 6a ? ?3 ,得 a ? ?1 ,代入到 y ? x ? 3x ? 5
3 2

得 b ? ?3 ,即 P(?1, ?3) , y ? 3 ? ?3( x ? 1),3x ? y ? 6 ? 0 18.解:设小正方形的边长为 x 厘米,则盒子底面长为 8 ? 2 x ,宽为 5 ? 2 x

V ? (8 ? 2x)(5 ? 2x) x ? 4x3 ? 26x2 ? 40x
V ' ? 12 x 2 ? 52 x ? 40, 令V ' ? 0, 得x ? 1, 或x ?
10 10 ,x? (舍去) 3 3

V极大值 ? V (1) ? 18 ,在定义域内仅有一个极大值, ?V最大值 ? 18
19.解: (1) f ( x) ? ax ? bx ? c 的图象经过点 (0,1) ,则 c ? 1 ,
4 2

f ' ( x) ? 4ax3 ? 2bx, k ? f ' (1) ? 4a ? 2b ? 1,
切点为 (1, ?1) ,则 f ( x) ? ax ? bx ? c 的图象经过点 (1, ?1)
4 2

得 a ? b ? c ? ?1, 得a ?

5 9 ,b ? ? 2 2

f ( x) ?

5 4 9 2 x ? x ?1 2 2

(2) f ' ( x) ? 10 x3 ? 9 x ? 0, ?

3 10 3 10 ? x ? 0, 或x ? 10 10

单调递增区间为 (?
20.解: (1)

3 10 3 10 , 0), ( , ??) 10 10

a 2 f ' ( x) ? 3ax 2 ? 3(a ? 2) x ? 6 ? 3a( x ? )( x ? 1), f ( x) 极小值为 f (1) ? ? 2 a

(2)①若 a ? 0 ,则 f ( x) ? ?3( x ? 1)2 ,? f ( x) 的图像与 x 轴只有一个交点; ②若 a ? 0 , ? f ( x) 极大值为 f (1) ? ?

a 2 ? 0 ,? f ( x) 的极小值为 f ( ) ? 0 , 2 a

? f ( x) 的图像与 x 轴有三个交点;
③若 0 ? a ? 2 , f ( x) 的图像与 x 轴只有一个交点; ④若 a ? 2 ,则 f ' ( x) ? 6( x ? 1)2 ? 0 ,? f ( x) 的图像与 x 轴只有一个交点; ⑤若 a ? 2 ,由(1)知 f ( x) 的极大值为 f ( ) ? ?4( 轴只有一个交点; 综上知,若 a ? 0, f ( x) 的图像与 x 轴只有一个交点;若 a ? 0 , f ( x) 的图像与 x 轴有三个 交点。 21.解: (1) f ( x) ? x ? ax ? bx ? c, f ( x) ? 3x ? 2ax ? b
3 2 ' 2
' 由 f (? ) ?

2 a

1 3 2 3 ? ) ? ? 0 ,? f ( x) 的图像与 x a 4 4

1 2 12 4 ? a ? b ? 0 , f ' (1) ? 3 ? 2a ? b ? 0 得 a ? ? , b ? ?2 2 3 9 3 ' 2 f ( x) ? 3x ? x ? 2 ? (3x ? 2)( x ?1) ,函数 f ( x) 的单调区间如下表: 2 2 2 (??, ? ) ? ( ? ,1) 1 x (1, ??) 3 3 3

f ' ( x)
f ( x)
?

?

0
极大值

?
?

0
极小值

?
?

2 ,1) ; 3 2 2 22 1 2 3 ?c (2) f ( x) ? x ? x ? 2 x ? c, x ? [ ?1, 2] ,当 x ? ? 时, f ( ? ) ? 3 3 27 2
所以函数 f ( x ) 的递增区间是 ( ??, ? ) 与 (1, ??) ,递减区间是 ( ? 为极大值,而 f (2) ? 2 ? c ,则 f (2) ? 2 ? c 为最大值,要使 f ( x) ? c , x ?[?1, 2]
2

2 3

恒成立,则只需要 c2 ? f (2) ? 2 ? c ,得 c ? ?1, 或c ? 2 22.解(1) f ?( x) ? 3mx2 ? 6(m ? 1) x ? n 因为 x ? 1 是函数 f ( x) 的一个极值点, 所以 f ?(1) ? 0 ,即 3m ? 6(m ? 1) ? n ? 0 ,所以 n ? 3m ? 6 (2)由(1)知, f ?( x) ? 3mx2 ? 6(m ? 1) x ? 3m ? 6 = 3m( x ? 1) ? x ? ?1 ?

? ?

? ?

2 ?? ? m ?? ?

当 m ? 0 时,有 1 ? 1 ?

2 ,当 x 变化时, f ( x) 与 f ?( x ) 的变化如下表: m

x
f ?( x )

2? ? ? ??,1 ? ? m? ?
?0
调调递减

1?
0

2 m

2 ? ? ?1 ? ,1? ? m ?
?0
单调递增

1

?1, ???
?0
单调递减

0 极大值

f ( x)

极小值

故有上表知,当 m ? 0 时, f ( x) 在 ? ??,1 ? 在 (1 ?

? ?

2? ? 单调递减, m?

2 ,1) 单调递增,在 (1, ??) 上单调递减. m

(3)由已知得 f ?( x) ? 3m ,即 mx2 ? 2(m ? 1) x ? 2 ? 0

2 2 2 2 (m ? 1) x ? ? 0 即 x 2 ? (m ? 1) x ? ? 0, x ? ? ?1,1? ① m m m m 1 2 2 设 g ( x) ? x ? 2(1 ? ) x ? ,其函数开口向上,由题意知①式恒成立, m m
2 又 m ? 0 所以 x ?

2 2 ? ? g (?1) ? 0 ?1 ? 2 ? ? ? 0 所以 ? 解之得 ?? m m ? g (1) ? 0 ? ??1 ? 0
4 ? ? m又m? 0 3 4 所以 ? ? m ? 0 3
即 m 的取值范围为 ? ? ,0 ?

? 4 ? 3

? ?


常用的基本求导公式

g 7、MATLAB 软件计算题 2 x 例 6 试写出用 MATLAB 软件求函数 y = ln( x + x + e ) 的二阶导数 y′′ 的命令语句。 解:>>clear; >>syms x ...

导数有关知识点总结、经典例题及解析、近年高考题带答案

导数有关知识点总结、经典例题及解析、近年高考题带答案_理化生_高中教育_教育专区。导数及其应用【考纲说明】 1、了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度,加速度,...

一般常用求导公式

基本初等函数的导数公式和求导法则 基本初等函数的求导公式和上述求导法则, 在初等函数的基本运算中起着重要的作 用, 我们必须熟练的掌握它, 为了便于查阅, 我们把...

导数基础知识

导数基础知识_数学_高中教育_教育专区。导数复习(1)一、知识网络 导数的概念 导数的几何意义、物理意义 常见函数的导数 导数 导数的运算 导数的运算法则 函数的...

导数的概念、导数公式与应用

导数的概念及运算知识点一:函数的平均变化率 (1)概念: 函数 中,如果自变量 在 处有增量 ,那么函数值 y 也相应的有增量△ y=f(x0+ △ x)-f(x0) ,其...

导数基本概念

导数基本概念_数学_自然科学_专业资料。第一节 导数的概念与运算 一、 思维导图 二、知识模块 【知识点 1】导数的定义 1. 导数的概念 设函数 y ? f ( x...

导数教学

x ? x0 ,当 ?x 趋近于 0 时, x 趋近于 x 0 ,因此, 导数的定义式可写成 f ?( x0 ) ? lim ?x ?o f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) f (...

导数问题中的分类讨论

导数问题中的分类讨论_军事/政治_人文社科_专业资料。导数问题中分类讨论的方法摘要:近年,高考解答题对导数部分的考察几乎都会涉及到对某个参数的分类讨论,而 考生的...

高二导数讲义

高二导数讲义_数学_高中教育_教育专区。导数讲义 全,精心总结 导数【知识归纳】 1、导数的概念 函数 y=f(x),如果自变量 x 在 x 0 处有增量 ?x ,那么函数...

常见导数公式

常见导数公式: ① C'=0(C 为常数函数);② (x^n)'= nx^(n-1) (n∈Q*);③ (sinx)' = cosx; (cosx)' = - sinx; (tanx)'=1/(cosx)^2=(...