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初中数学与高中数学衔接紧密的知识点送审稿

时间:2015-10-03


初中数学与高中数学衔接紧密的知识点
专题一 数与式的运算
一、知识要点 1、实数的分类
(1).按定义分类:

(2).按性质符号分类:

注:0 既不是正数也不是负数. 2、绝对值 (1)代数意义:正数的绝对值是它本身;负数的绝对值是它的相反数;0 的绝对值是 0.可用式子表示为:

(2

)几何意义:一个数 a 的绝对值就是数轴上表示数 a 的点与原点的距离.距离是一个非负数,所以绝对值的几何 意义本身就揭示了绝对值的本质,即绝对值是一个非负数.用式子表示:若 a 是实数,则|a|≥0.

3、 二次根式
(1)二次根式的概念: 式子 叫做二次根式. 是一个非负数.

(2)二次根式的性质:

二、经典例题
例1. (2010上海)下列实数中,是无理数的为( )

A. 3.14

B.

C. 是分数,

D. =3是整数,它们都是有理数; 是无理数.

解:因为3.14,

故选C 例 2. (2010湖南益阳)数轴上的点A到原点的距离是6,则点A表示的数为( ) A. 或 B. 6 C. D. 或

解: 数轴上的点A到原点的距离是6的点有两个,原点的左边、右边各有一个,它们表示数的绝对值 为6。 故选A

例3.

已知

a ? 1 ? 2,| b| ? 3 ,且 a ? b ,则 a ? b 的值为_________。

解:

? ?2 ? 2

?a ? 1 ? 2 或 a ? 1 ? ?2 ?a ? 3 或 a ? ?1
同理可得 b ? ? 3

?a ? b

? a ? 3,b ? ?3 或 a ? ?1,b ? ?3
故 a ? b 的值为0或 ?4

例 4. 将下列式子化为最简二次根式. (1) 12b;(2) a2b(a≥0);(3) 4x6y(x<0). 解:(1) 12b=2 3b; (2) a2b=|a| b=a b(a≥0); (3) 4x6y=2|x3| y=-2x3 y(x<0). 例5 试比较下列各组数的大小: (2)
2 和 2 2- 6 . 6?4

(1) 12 ? 11 和 11 ? 10 ; 解: (1)∵ 12 ? 11 ?

12 ? 11 ( 12 ? 11)( 12 ? 11) 1 , ? ? 1 12 ? 11 12 ? 11 10 ? 1 1? 1 10 ? ( 1 ?1 1 0 )? ( 11 10 ) ? 1 1? 1 0 1 ?1
, 10

1 1?

1

又 12 ? 11 ? 11 ? 10 , ∴ 12 ? 11 < 11 ? 10 . (2)∵ 2 2- 6 ?

2 2- 6 (2 2- 6)(2 2 + 6) 2 ? ? , 1 2 2+ 6 2 2+ 6 又 4>2 2, ∴ 6+4> 6+2 2, 2 ∴ < 2 2- 6 6?4
(2) x 2 ?

例 6

化简: (1) 9 ? 4 5 ;

1 ? 2(0 ? x ? 1) . x2

解: (1)原式 ? 5 ? 4 5 ? 4
? ( 5) 2 ? 2 ? 2 ? 5 ? 22 ? (2 ? 5) 2

? 2? 5 ? 5 ?2.

1 1 (2)原式= ( x ? )2 ? x ? , x x ∵ 0 ? x ? 1, 1 ∴ ?1? x , x 1 所以,原式= ? x . x

三、课后练习
1.(1)若|x|=5,则 x=_______;若|x|=|-4|,则 x=______. (2)如果|a|+|b|=5, 且 a=-1, 则 b=________; 若|1-c|=2, 则 c=________. 2. 下列叙述正确的是( ) A. 若|a|=|b|,则 a=b B. 若|a|>|b|,则 a>b C. 若 a<b,则|a|<|b| D. 若|a|=|b|,则 a=± b 1- 3 3. (1) =_________; 1+ 3 (2)4 24-6 54+3 96-2 150=_________. x x 4. 等式 = 成立的条件是( ) x-2 x-2 A. x≠2 B. x>0 C. x>2 D. 0<x<2
5.比较大小:2- 3 5- 4(填“>”,或“<”) .

答案: 1. (1)± 5 ± 4 (2)± 4 -1 或 3 2. D 3. (1) 3-2 (2)-8 6 ?1- 3?2 1-2 3+3 解析:(1)原式= = = 3-2; 1-3 ?1+ 3??1- 3? (2)原式=8 6-18 6+12 6-10 6=-8 6. ?x≥0, 4. C 解析:∵? ∴x>2. ?x-2>0, 5. > 1 1 解析:∵2- 3= , 5- 4= , 5? 4 2? 3 而2? 3 ? 5 ? 4 ;



1 2? 3

>

1 5? 4

.

即 2- 3> 5- 4.

专题二
一、知识要点
1. 因式分解定义:

因式分解

把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变化叫做把这个多项式因式分 解。 2.因式分解方法: (1)提公因式法. (2)运用公式法,常用的乘法公式: ①平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2; ②完全平方公式(a± b)2=a2± 2ab+b2; ③立方和公式(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3; ④立方差公式(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3; ⑤(5)三数和平方公式(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ac); ⑥两数和立方公式(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3; ⑦两数差立方公式(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3. 以上各式从左到右是代数式的乘法公式,从右到左就是因式分解公式. (3)分组分解法, 分组的原则是:分组后有公因式可提或能运用公式. (4)十字相乘法, ①x2+(p+q)x+pq 型的因式分解: 这类式子在许多问题中经常出现,其特点是:①二次项系数是 1;②常数项 是两个数之积;③一次项系数是常数项的两个因数之和. ∵x2+(p+q)x+pq=x2+px+qx+pq=x(x+p)+q(x+p)=(x+p)(x+q), ∴x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q). 运用这个公式,可以把某些二次项系数为 1 的二次三项式分解因式. ②一般二次三项式 ax2+bx+c 型的因式分解: 我们由 a1a2x2+(a1c2+a2c1)x+c1c2=(a1x+c1)(a2x+c2)可发现,二次项系数 a 分解成 a1a2,常数项 c 分解成 c1c2,把 a1,a2,c1,c2 写成 ,这里按斜线交 2 叉相乘,再把积相加,就得到 a1c2+a2c1,如果它正好等于 ax +bx+c 的一次项 系数 b,那么 ax2+bx+c 就可以分解成(a1x+c1)(a2x+c2),其中 a1,c1 位于上一 行,a2,c2 位于下一行.这种借助画十字交叉线分解系数,从而将二次三项式分 解因式的方法,叫做十字相乘法. 。

二、经典例题
例1 分解因式: (1)ax-ay; (2)6xyz-3xz2; (3)-x3z+x4y. 解:(1)ax-ay=a(x-y). (2)6xyz-3xz2=3xz(2y-z). (3)-x3z+x4y=x3(xy-z).

例2

分解因式: (1)(x+y)2-9y2; (2)10b(x-y)2-5a(y-x)2. 解:(1) (x+y)2-9y2=(x+y)2-(3y)2 =(x+y+3y)· (x+y-3y) =(x+4y)(x-2y). (2) 10b(x-y)2-5a(y-x)2 =5(x-y)2(2b-a). 例 3 分解因式: (1)x2-3x+2;(2)2x2+4x-6. 解:(1)如图 1,将二次项系数 1 分解成图中的两个 1 的积,再将常数项 2 分 解成-1 与-2 的乘积,而图中的对角线上的两个数乘积的和为-3,就是 x2-3x +2 中的一次项系数,所以有 x2-3x+2=(x-1)(x-2).

(2)由图 2,得 2x2+4x-6=(2x+6) (x-1). 例 4 分解因式: (1)x2-a xy+bxy-aby2 ; (2)a2-b2+a+b. 解: (1)x2-a xy+bxy-aby2 =(x2-a xy)+(bxy-aby2) = x(x-a y) +by (x-a y) = (x-a y)( x+by) (2)a2-b2+a+b =( a2-b2) +(a+b) =(a+b)(a-b)+(a+b) =(a+b)(a-b+1). 【方法规律】 1. 因式分解时,无论有几项,首先考虑提取公因式.提公因式时,不仅注 意数,也要注意字母,字母可能是单项式也可能是多项式,一次提尽; 2. 当某项完全提出后,该项应为“1”; 3. 注意(a-b)2n=(b-a)2n,(a-b)2n+1=-(b-a)2n+1; 4. 分解结果:(1)不带中括号;(2)数字因数在前,字母因数在后;单项式在 前,多项式在后;(3)相同因式写成幂的形式;(4)分解结果应在指定范围内不能

再分解为止;若无指定范围,一般在有理数范围内分解. 三、课后练习 1 ? 1 1 ?1 1. (1)9a2-4b2=?2b+3a?( ); ? ? (2)(4m+ )2=16m2+4m+( ); (3)(a+2b-c)2=a2+4b2+c2+( ). 1 2. (1)若 x2+2mx+k 是一个完全平方式,则 k 等于( ) 1 1 1 A. m2 B. 4m2 C. 3m2 D. 16m2 (2)不论 a,b 为何实数,a2+b2-2a-4b+8 的值( ) A. 总是正数 B. 总是负数 C. 可以是零 D. 可以是正数也可以是负数 3. 多项式 2x2-xy-15y2 的一个因式为( ) A. 2x-5y B. x-3y C. x+3y D. x-5y 4. 分解因式: (1)x2+6x+8;(2)8a3-b3; (3) a3+1;(4)4x4-13x2+9; 5. 分解因式:x2+x-(a2-a). 1 1 1 1 答案:1. (1) a- b (2) (3)4ab-2ac-4bc 3 2 2 4 1 ??1 1 ? 1 1 ?1 解析:(1)9a2-4b2=?2b+3a??3a-2b?. ? ?? ? 1? 1 ? (2)?4m+2?2=16m2+4m+4. ? ? (3)(a+2b-c)2=a2+4b2+c2+4ab-2ac-4bc. 1 1 ?1 ? ? 1 ? 2. (1)D (2)A 解析:(1)x2+2mx+?4m?2=?x+4m?2,∴k=16m2. ? ? ? ? 2 2 2 2 (2)a +b -2a-4b+8=(a-1) +(b-2) +3>0. 3. B 解析:2x2-xy-15y2=(x-3y)(2x+5y). 4. (1)x2+6x+8=(x+2)(x+4). (2)8a3-b3=(2a)3-b3=(2a-b)(4a2+2ab+b2). (3)a3+1=(a+1)(a2-a+1). (4)4x4-13x2+9=(x2-1)(4x2-9) =(x+1)(x-1)(2x-3)(2x+3). 5. x2+x-(a2-a)=x2-a2+x+a=(x+a)(x-a)+(x+a) =(x+a)(x-a+1).

专题三 一元一次方程与一元二次方程

一、知识要点
1. 一元一次方程
⑴当 a ? 0时, x ? ? 的解:

b ; a ⑵ 当a ? 0,b ? 0时, x为一切实数; ⑶ 当a ? 0, b ? 0时,无解 2.一元二次方程的根的判别式与求根公式 对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0),有 (1) 当 Δ>0 时,方程有两个不相等的实数根: -b± b2-4ac x1,2= ; 2a (2)当 Δ=0 时,方程有两个相等的实数根: b x1=x2=-2a; (3)当 Δ<0 时,方程没有实数根. 3. 一元二次方程根与系数的关系(韦达定理) 若一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根 -b+ b2-4ac -b- b2-4ac x1= , x = , 2 2a 2a b c 则有 x1+x2=-a,x1· x2=a.这一关系也被称为韦达定理. 特别地,对于二次项系数为 1 的一元二次方程 x2+px+q=0,若 x1,x2 是其 两根,由韦达定理可知 x1+x2=-p,x1· x2=q,即 p=-(x1+x2),q=x1· x2, 故以两个数 x1,x2 为根的一元二次方程(二次项系数为 1)是 x2-(x1+x2)x+ x1· x2=0.

二、经典例题
例1. 解关于x的方程 (a ? 2) x ? a ? 3

解:当 a ? 2 ? 0 ,即 a ? ?2 时,方程有唯一解:

x?

a?3 a?2

当 a ? 2 ? 0,即 a ? ?2 时,原方程可化为: 0x ? ?5 ,方程无解 总结:此方程为什么不存在无穷解呢?因为只有当方程可化为 0x ? 0 时,方程才能有 无穷解,而当 a ? 2 ? 0时, a ? 3 ? 0 ; a ? 3 ? 0 时, a ? 2 ? 0 ,a不可能既等于-2又等于 3。所以不存在无穷解。

变式

对于任意实数m,等式 ( m ? 2) x ? ( m ? 1) y ? m ? 7 ? 0,求x, y的值。

解:法一、? m为任意实数,故可设m ? 0

得, ? 2 x ? y ? 7 ? 0

(1) ( 2)

又设m ? 1,得 ? x ? 2 y ? 8 ? 0

由 (1)(2) 组成方程组,解得x ? ?2 ,y ? 3

法二、原方程可化为: m( x ? y ? 1) ? 2 x ? y ? 7 ,因为 m 为任意实数,所以 ? x ? ?2, ? x ? y ? 1 ? 0, 解得 ? ? ? y ? 3. ?2 x ? y ? 7 ? 0, 例 2 判定下列关于 x 的方程的根的情况(其中 a 为常数),如果方程有实数 根,求出方程的实数根. (1)x2-3x+3=0;(2)x2-ax-1=0; (3) x2-ax+(a-1)=0;(4)x2-2x+a=0. 解:(1)因 Δ=32-4×1×3=-3<0,所以方程没有实数根. (2)该方程的根的判别式 Δ=a2-4×1×(-1)=a2+4>0, 所以方程一定有两 个不等的实数根: a+ a2+4 a- a2+4 x1= , x = . 2 2 2 (3)由于该方程的根的判别式为 Δ=a2-4×1×(a-1)=a2-4a+4=(a-2)2, 所以,①当 a=2 时,Δ=0,方程有两个相等的实数根 x1=x2=1; ②当 a≠2 时,Δ>0,方程有两个不相等的实数根 x1=1,x2=a-1. (4)由于该方程的根的判别式为 Δ=22-4×1×a=4-4a=4(1-a), 所以,①当 Δ>0,即 4(1-a)>0,即 a<1 时,方程有两个不相等的实数根 x1=1+ 1-a,x2=1- 1-a; ②当 Δ=0,即 a=1 时,方程有两个相等的实数根 x1=x2=1; ③当 Δ<0,即 a>1 时,方程没有实数根. 例 3 已知方程 5x2+kx-6=0 的一个根是 2,求它的另一个根及 k 的值. 解:法一:∵2 是方程的一个根, ∴5×22+k×2-6=0,∴k=-7. 3 ∴方程为 5x2-7x-6=0,解得 x1=2,x2=-5. 3 ∴方程的另一个根为-5,k 的值为-7. 6 法二:设方程的另一个根为 x1,则 2x1=- , 5 3 ∴x1=-5. k ? 3? 由?-5?+2=-5,得 k=-7. ? ? 3 ∴方程的另一个根为-5,k 的值为-7. 变式 1 已知关于 x 的方程 x2+2(m-2)x+m2+4=0 有两个实数根,并且这

两个实数根的平方和比两个根的积大 21,求 m 的值. 解:设 x1,x2 是方程的两根,由韦达定理得 x1+x2=-2(m-2),x1· x2=m2+4. 2 ∵x1 +x2 x2=21, 2-x1· 2 ∴(x1+x2) -3x1· x2=21, 2 即[-2(m-2)] -3(m2+4)=21, 化简得 m2-16m-17=0, 解得 m=-1 或 m=17. 当 m=-1 时,方程为 x2-6x+5=0,Δ>0,满足题意; 当 m=17 时,方程为 x2+30x+293=0,Δ=302-4×1×293<0,不合题意, 舍去. 综上,m=-1. 变式 2 已知两个数的和为 4,积为-12,求这两个数. 法一:设这两个数分别是 x,y, 则 x+y=4,① xy=-12.② 由①得 y=4-x,代入②得 x(4-x)=-12, 即 x2-4x-12=0,∴x1=-2,x2=6. ?x1=-2, ?x2=6, ∴? 或? ?y1=6 ?y2=-2. 因此,这两个数是-2 和 6. 法二:由韦达定理可知,这两个数是方程 x2-4x-12=0 的两个根,解这个 方程,得 x1=-2,x2=6. 所以,这两个数是-2 和 6

三、课后练习
1. 方程 x2-2 3kx+3k2=0 的根的情况是( ) A. 有一个实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 没有实数根 2. 若关于 x 的方程 mx2+(2m+1)x+m=0 有两个不相等的实数根, 则实数 m 的取值范围是( ) 1 1 A. m<4 B. m>-4 1 1 C. m<4且 m≠0 D. m>-4且 m≠0 3. 已知关于 x 的方程 x2+kx-2=0 的一个根是 1, 则它的另一个根是( ) A. -3 B. 3 C. -2 D. 2 4. 下列四个说法: ①方程 x2+2x-7=0 的两根之和为-2,两根之积为-7; ②方程 x2-2x+7=0 的两根之和为-2,两根之积为 7; 7 ③方程 3x2-7=0 的两根之和为 0,两根之积为-3; ④方程 3x2+2x=0 的两根之和为-2,两根之积为 0.

其中正确说法的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 关于 x 的一元二次方程 ax2-5x+a2+a=0 的一个根是 0,则 a 的值是 ( ) A. 0 B. 1 C. -1 D. 0 或-1 6. (1)关于 x 的方程 x2+4x+m=0 的两根为 x1, x2 满足| x1-x2|=2, 求实数 m 的值. (2)若方程 x2-8x+m=0 的两根为 x1, x2, 且 3x1+2x2=18, 则 m=________. 2 7. 已知方程 x -3x-1=0 的两根为 x1 和 x2,求(x1-3)(x2-3)的值. 8. 解关于x的方程 mx ? n ? nx ? m

答案 1. C 解析:∵(2 3k)2-4×1×3k2=0, ∴方程 x2-2 3kx+3k2=0 有两个相等的实数根. 1 2. D 解析:由 Δ=(2m+1)2-4m2>0,且 m≠0,得 m>-4且 m≠0. 3. C 解析:设另一个根为 x1,由韦达定理知 1×x1=-2,∴x1=-2. 4. B 解析:由韦达定理得:①x1+x2=-2,x1· x2=-7; ②x1+x2=2,x1· x2=7; 7 ③x1+x2=0,x1· x2=-3; 2 ④x1+x2=-3,x1· x2=0. 综上可知,①③正确. 5. C 解析:因为方程为一元二次方程,故 a≠0, a2+a 由韦达定理知:x1×0= a ,即 a+1=0,∴a=-1. 6. (1)由题意知 x1+x2=-4,x1· x2=m,又|x1-x2|=2, 2 2 则(x1-x2) =4,即(x1+x2) -4x1x2=4, ∴16-4m=4,∴m=3. (2)由条件知 x1+x2=8,① 又 3x1+2x2=18,② ①②联立得:x1=2,x2=6, ∴x1· x2=m=12. 7. 由韦达定理得 x1+x2=3,x1· x2=-1, ∴(x1-3)(x2-3)=x1x2-3(x1+x2)+9, =-1-9+9=-1. 8. 解:原方程可化为 (m ? n) x ? m ? n
当 m ? n ? 0 ,即 m ? n 时,方程有唯一解: x ? 1 当 m ? n ? 0 ,即 m ? n 时,方程有无数解 总结:此方程没有无解的情况,因为方程可化为 0x ? 0 ,而不会出现 0 x ? b 的情形。

专题四
一、知识要点

二次函数

1. 二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)具有下列性质: (1) 当 a > 0 时 , 函 数 y = ax2 + bx + c 图 象 开 口 向 上 ; 顶 点 坐 标 为 2 b b ? b 4ac-b ? ?- , ?, 对称轴为直线 x=-2a; 当 x<-2a时, y 随着 x 的增大而减小; 4a ? ? 2a b b 当 x>-2a时,y 随着 x 的增大而增大;当 x=-2a时,函数取得最小值 y= 4ac-b2 4a .(如图 1)

图1 图2 2 (2) 当 a < 0 时 , 函 数 y = ax + bx + c 图 象 开 口 向 下 ; 顶 点 坐 标 为 2 b b ? b 4ac-b ? ?- , ?, 对称轴为直线 x=-2a; 当 x<-2a时, y 随着 x 的增大而增大; 4a ? ? 2a 4ac-b2 b b 当 x>-2a时, y 随着 x 的增大而减小; 当 x=-2a时, 函数取得最大值 y= 4a . (如图 2) 2. 二次函数的三种表示形式 (1)一般式:y=ax2+bx+c(a≠0); (2)顶点式:y=a(x+h)2+k(a≠0),其中顶点坐标是(-h,k). (3)交点式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),其中 x1,x2 是二次函数图象与 x 轴交 点的横坐标. 【方法规律】 ①给出三点坐标设一般式; ②给出两点,且其中一点为顶点时设顶点式. ③给出三点,其中两点为与 x 轴的两个交点(x1,0),(x2,0)时设交点式.

二、经典例题

例 1 判断二次函数 y=-3x2-6x+1 图象的开口方向,求对称轴、顶点坐 标、最大值(或最小值),并指出当 x 取何值时,y 随 x 的增大而增大(或减小),并 画出该函数的图象. 解:∵y=-3x2-6x+1=-3(x+1)2+4, ∴函数图象的开口向下; 对称轴是直线 x=-1; 顶点坐标为(-1,4); 当 x=-1 时,函数 y 取最大值 y=4; 当 x<-1 时,y 随着 x 的增大而增大;当 x>-1 时,y 随着 x 的增大而减 小; ?2 3-3 ? 采 用 描 点 法 画 图 , 选 顶 点 A( - 1,4) , 与 x 轴 交 于 点 B ? ,0? 和 3 ? ? ? 2 3+3 ? ?,与 y 轴的交点为 D(0,1),过这四点画出图象(如图所示). C? - 3 ,0? ?

例 2 已知某二次函数的最大值为 2,图象的顶点在直线 y=x+1 上,并且 图象经过点(2,-1),求该二次函数的解析式. 解:∵二次函数的最大值为 2,而最大值一定是其顶点的纵坐标,∴顶点的 纵坐标为 2. 又顶点在直线 y=x+1 上, ∴2=x+1,∴x=1. ∴顶点坐标是(1,2). 设该二次函数的解析式为 y=a(x-1)2+2(a<0), ∵二次函数的图象经过点(2,-1), ∴-1=a(2-1)2+2,解得 a=-3. ∴二次函数的解析式为 y=-3(x-1)2+2,即 y=-3x2+6x-1.

三、课后练习
1. 如图, 若 a<0, b>0, c<0, 则抛物线 y=ax2+bx+c 的大致图象为( )

2. (1)二次函数 y=2x2-mx+n 图象的顶点坐标为(1, -2), 则 m=________, n=________.

(2)已知二次函数 y=x2+(m-2)x-2m,当 m=________时,函数图象的顶 点在 y 轴上; 当 m=________时, 函数图象的顶点在 x 轴上; 当 m=________时, 函数图象经过原点. (3)函数 y=-3(x+2)2+5 的图象的开口向________, 对称轴为________, 顶 点坐标为________ ;当 x=________ 时,函数取得最 ________ 值 ________ ;当 ________时,y 随着 x 的增大而减小. 1 3. 函数 y=-2(x+1)2+2 的顶点坐标是( ) A. (1,2) B. (1,-2) C. (-1,2) D. (-1,-2) 4. 指出下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大(小)值及 y 随 x 的 变化情况,并画出其图象. (1)y=x2-2x-3;(2)y=-x2+6x+ 1.

5. 根据下列条件,分别求二次函数的解析式. (1)图象经过点(1,-2),(0,-3),(-1,-6); (2)当 x=3 时,函数有最小值 5,且经过点(1,11); 答案: 1. B 解析:∵a<0,∴开口向下, b 又∵b>0,∴对称轴 x=-2a>0, 又当 x=0 时,y=c<0.故选 B. 2. (1)4 0 (2)2 - 2 0 (3) 下 x =- 2 ( - 2,5) - 2 m 解析:(1)对称轴 x= 4 =1,∴m=4, ∴-2=2×12-m+n,∴n=0. (2)若顶点在 y 轴上,则顶点横坐标为 0, m-2 ∴x=- 2 =0,∴m=2. 若顶点在 x 轴上,则函数最小值为 0. m-2 即当 x=- 2 时,y=0. ? m-2?2 ? m-2? ? +(m-2)· ?- ?-2m,得 m=-2. ∴0=?- 2 ? 2 ? ? ? 若函数图象过原点,则 0=02+(m-2)×0-2m,得 m=0. (3)函数 y=-3(x+2)2+5=-3x2-12x-7, 知其开口向下,对称轴为 x=-2. 顶点坐标为(-2,5). 当 x=-2 时,函数取得最大值 y=5. 当 x≥-2 时,y 随着 x 的增大而减小. 3. C 4. (1)由 y=x2-2x-3=(x-1)2-4,知开口向上,



5

x≥2

对称轴为 x=1,顶点坐标为(1,-4). 当 x=1 时,ymin=-4; 当 x≤1 时,y 随着 x 的增大而减小; 当 x>1 时,y 随着 x 的增大而增大. (2)由 y=-x2+6x +1=-(x-3)2+10,

知开口向下,对称轴 x=3, 顶点坐标为(3,10), 当 x=3 时,ymax=10; 当 x≤3 时,y 随着 x 的增大而增大; 当 x>3 时,y 随着 x 的增大而减小. 5. (1)设该二次函数为 y=ax2+bx+c(a≠0), 由图象经过(1,-2),(0,-3),(-1,-6)可得

?-2=a+b+c, ?-3=c, ?-6=a-b+c,

?a=-1, 解得?b=2, ?c=-3.

∴y=-x2+2x-3. (2)由当 x=3 时,函数最小值为 5, 可设 y=a(x-3)2+5,又函数过点(1,11), 3 即 11=4a+5,∴a=2. 3 ∴y=2(x-3)2+5.


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