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宁夏银川一中2015届高考数学四模试卷(理科) (Word版含解析)


宁夏银川一中 2015 届高考数学四模试卷(理科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1. (5 分)已知全集 U={1,2,3,4},集合 A={1,2},B={2,3},则?U(A∪B)=() A.{1,3,4} B.{3,4} C.{3} D.{4} 2. (5 分)已知 1+i

= ,则在复平面内,复数 z 所对应的点在() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3. (5 分)已知向量 =(1,2x) , =(4,﹣x) ,则“x= A.充分不必要条件 C. 充要条件

”是“ ⊥ ”的()

B. 必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

4. (5 分)已知﹣2,a1,a2,﹣8 成等差数列,﹣2,b1,b2,b3,﹣8 成等比数列,则 等于() A. B. C. D. 或
2

5. (5 分)已知 a∈{﹣2,0,1,3,4},b∈{1,2},则函数 f(x)=(a ﹣2)x+b 为增函数 的概率是() A. B. C. D.

6. (5 分)已知一个几何体的正视图和俯视图如图所示,正视图是边长为 2a 的正三角形, 俯视图是边长为 a 的正六边形,则该几何体的侧视图的面积为()

A. a

2

B.

a

2

C.3a

2

D.

a

2

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7. (5 分)执行如图的程序框图,则输出的值 P=()

A.12
2

B.10

C. 8

D.6

8. (5 分) 过抛物线 y =4x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A, B 两点, O 为坐标原点. 若|AF|=3, 则△ AOB 的面积为() A. B. C. D.2

9. (5 分)设 x,y 满足约束条件

,若目标函数 z=ax+by(a>0,b>0)的最小

值 2,则 ab 的最大值为() A.1 B. C. D.

10. (5 分)若函数 f(x)=x +ax+ A.[﹣1,0] B.[﹣1,∞]

2

是增函数,则 a 的取值范围是() C.[0,3] D.[3,+∞] 的正

11. (5 分)已知三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的侧棱与底面垂直,体积为 ,底面是边长为 三角形,若 P 为底面 A1B1C1 的中心,则 PA 与平面 ABC 所成角的大小为() A. B. C. D.

12. (5 分)已知方程 则下面结论正确的是() A.sina=acosb B.sina=﹣acosb

=k 在(0,+∞)上有两个不同的解 a,b(a<b) ,

C.cosa=bsinb

D.sinb=﹣bsina

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.

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13. (5 分)

dx=.

14. (5 分)已知定义在 R 上的偶函数 f(x)在[0,+∞)上单调递增,且 f(1)=0,则不等 式 f(x﹣2)≥0 的解集是. 15. (5 分)已知函数 f(x)=sin(ωx+φ) (ω>0,|φ|< 则 a1+a2+a3+…+a2014=. )的部分图象如图,令 an=f( ) ,

16. (5 分)给出下列四个命题: ①圆(x+2) +y =4 与圆(x﹣2) +(y﹣1) =9 相交; ②总体的概率密度函数 f (x) = 的最大值为 . e , x∈R 的图象关于直线 x=3 对称; f (x)
2 2 2 2

③已知 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若 S7>S5,则 S9>S3; ④若函数 y=f(x﹣ )为 R 上的奇函数,则函数 y=f(x)的图象一定关于点 F( ,0)成 中心对称. 其中所有正确命题的序号为.

三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 17. (12 分)已知函数 f(x)= sin(ωx)﹣2sin
2

+m(ω>0)的最小正周期为 3π,当

x∈[0,π]时,函数 f(x)的最小值为 0. (1)求函数 f(x)的表达式; (2)在△ ABC 中,若 f(C)=1,且 2sin B=cosB+cos(A﹣C) ,求 sinA 的值. 18. (12 分) 在如图所示的多面体中, EF⊥平面 AEB, AE⊥EB, AD∥EF, EF∥BC, BC=2AD=4, EF=3,AE=BE=2,G 是 BC 的中点. (1)求证:BD⊥EG; (2)求平面 DEG 与平面 DEF 所成锐二面角的余弦值.
2

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19. (12 分)甲乙两班进行消防安全知识竞赛,每班出 3 人组成甲乙两支代表队,首轮比赛 每人一道必答题,答对则为本队得 1 分,答错不答都得 0 分,已知甲队 3 人每人答对的概率 分别为 , , ,乙队每人答对的概率都是 .设每人回答正确与否相互之间没有影响,用 ξ 表示甲队总得分. (Ⅰ)求随机变量 ξ 的分布列及其数学期望 E(ξ) ; (Ⅱ)求在甲队和乙队得分之和为 4 的条件下,甲队比乙队得分高的概率.

20. (12 分)如图,已知椭圆 C 的方程为

=1(a>b>0) ,双曲线

=1 的两条

渐近线为 l1,l2.过椭圆 C 的右焦点 F 作直线 l,使 l⊥l1,又 l 与 l2 交于点 P,设 l 与椭圆 C 的两个交点由上至下依次为 A,B. (Ⅰ)若 l1 与 l2 的夹角为 60°,且双曲线的焦距为 4,求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)求 的最大值.

21. (12 分)定义在 R 上的函数 f(x)满足 . (1)求函数 f(x)的解析式; (2)求函数 g(x)的单调区间;



(3)如果 s、t、r 满足|s﹣r|≤|t﹣r|,那么称 s 比 t 更靠近 r.当 a≥2 且 x≥1 时,试比较 和 e
﹣1

x

+a 哪个更靠近 lnx,并说明理由.

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三、请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.答时 用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.选修 4-1;几何证明选讲 22. (10 分)如图所示,AB 为圆 O 的直径,CB,CD 为圆 O 的切线,B,D 为切点. (1)求证:AD∥OC; (2)若圆 O 的半径为 2,求 AD?OC 的值.

选修 4-4:坐标系与参数方程 23.在直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程为 (θ 为参数) .

(1)以原点为极点、x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求圆 C 的极坐标方程; (2)已知 A(﹣2,0) ,B(0,2) ,圆 C 上任意一点 M(x,y) ,求△ ABM 面积的最大值.

选修 4-5:不等式选讲 3 3 2 2 24. (1)已知 a,b 都是正数,且 a≠b,求证:a +b >a b+ab ; (2)已知 a,b,c 都是正数,求证: ≥abc.

宁夏银川一中 2015 届高考数学四模试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1. (5 分)已知全集 U={1,2,3,4},集合 A={1,2},B={2,3},则?U(A∪B)=() A.{1,3,4} B.{3,4} C.{3} D.{4} 考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 计算题. 分析: 根据 A 与 B 求出两集合的并集,由全集 U,找出不属于并集的元素,即可求出所 求的集合. 解答: 解:∵A={1,2},B={2,3}, ∴A∪B={1,2,3},
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∵全集 U={1,2,3,4}, ∴?U(A∪B)={4}. 故选 D 点评: 此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握各自的定义是解本题的关键.

2. (5 分)已知 1+i= ,则在复平面内,复数 z 所对应的点在() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 利用复数的运算法则和几何意义即可得出. 解答: 解:∵1+i= , ∴z= = = 在复平面内, 复数 z 所对应的点 在第一象限.

故选:A. 点评: 本题考查了复数的运算法则和几何意义,属于基础题.

3. (5 分)已知向量 =(1,2x) , =(4,﹣x) ,则“x= A.充分不必要条件 C. 充要条件

”是“ ⊥ ”的()

B. 必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: 先求出 ⊥ 的充要条件是 x=±
2

,从而得到答案. ,

解答: 解: ⊥ ? ? =0?4﹣2x =0?x=± 故 x=± 是 ⊥ 的充分不必要条件,

故选:A. 点评: 本题考查了充分必要条件的定义,考查了向量垂直的性质,是一道基础题.

4. (5 分)已知﹣2,a1,a2,﹣8 成等差数列,﹣2,b1,b2,b3,﹣8 成等比数列,则 等于() A. B. C. D. 或

考点: 等差数列的通项公式;等比数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列.
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分析: 由等差数列和等比数列可得 a2﹣a1=﹣2,b2=﹣4,代入要求的式子计算可得. 解答: 解:∵﹣2,a1,a2,﹣8 成等差数列, ∴a2﹣a1= =﹣2,

又∵﹣2,b1,b2,b3,﹣8 成等比数列, 2 ∴b2 =(﹣2)×(﹣8)=16,解得 b2=±4, 2 又 b1 =﹣2b2,∴b2=﹣4, ∴ = =

故选:B 点评: 本题考查等差数列和等比数列的通项公式,属基础题. 5. (5 分)已知 a∈{﹣2,0,1,3,4},b∈{1,2},则函数 f(x)=(a ﹣2)x+b 为增函数 的概率是() A. B. C. D.
2

考点: 几何概型. 专题: 概率与统计. 分析: 首先求出所以事件个数就是集合元素个数 5,然后求出满足使函数为增函数的元素 个数为 3,利用公式可得. 解答: 解:从集合{﹣2,0,1,3,4}中任选一个数有 5 种选法,使函数 f(x)=(a ﹣2) x+b 为增函数的是 a ﹣2>0 解得 a>
2 2

或者 a<
2

,所以满足此条件的 a 有﹣2,3,4

共有 3 个,由古典概型公式得函数 f(x)=(a ﹣2)x+b 为增函数的概率是 ; 故选:B. 点评: 本题考查了古典概型的概率求法; 关键是明确所有事件的个数以及满足条件的事件 公式,利用公式解答. 6. (5 分)已知一个几何体的正视图和俯视图如图所示,正视图是边长为 2a 的正三角形, 俯视图是边长为 a 的正六边形,则该几何体的侧视图的面积为()

A. a

2

B.

a

2

C.3a

2

D.

a

2

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考点: 简单空间图形的三视图. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 利用正视图与左视图的高相等, 求得左视图的高, 再利用俯视图与左视图的宽相等 求得左视图三角形的底边长,代入三角形的面积公式计算. 解答: 解:由主视图是边长为 2a 的正三角形,得正六棱锥的高为 a, ∴左视图的高为 a, ∵俯视图是边长为 a 的正六边形,可得左视图三角形的底边长为 2× ∴几何体的左视图的面积 S= × a× a= a .
2

a,

故选:A. 点评: 本题考查了由几何体的正视图与俯视图求左视图的面积, 根据正视图与左视图的高 相等,俯视图与左视图的宽相等来求解. 7. (5 分)执行如图的程序框图,则输出的值 P=()

A.12

B.10

C. 8

D.6

考点: 程序框图. 专题: 图表型;算法和程序框图. 分析: 模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的 S,k 的值,当 S=208 时,不满足条 件 S<100,退出循环,输出 P 的值为 10. 解答: 解:模拟执行程序框图,可得 k=1,S=0 满足条件 S<100,S=4,k=2 满足条件 S<100,S=16,k=3 满足条件 S<100,S=48,k=4 满足条件 S<100,S=208,k=5 不满足条件 S<100,退出循环,得 P=10,输出 P 的值为 10. 故选:B. 点评: 本题主要考查了循环结构的程序框图,依次写出每次循环得到的 S,k 的值是解题 的关键,属于基本知识的考查. 8. (5 分) 过抛物线 y =4x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A, B 两点, O 为坐标原点. 若|AF|=3, 则△ AOB 的面积为()
2

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A.

B.

C.

D.2

考点: 直线与圆锥曲线的关系;抛物线的简单性质. 专题: 压轴题. 分析: 设直线 AB 的倾斜角为 θ,利用|AF|=3,可得点 A 到准线 l:x=﹣1 的距离为 3,从 而 cosθ= ,进而可求|BF|,|AB|,由此可求 AOB 的面积. 解答: 解:设直线 AB 的倾斜角为 θ(0<θ<π)及|BF|=m, ∵|AF|=3, ∴点 A 到准线 l:x=﹣1 的距离为 3 ∴2+3cosθ=3 ∴cosθ= ∵m=2+mcos(π﹣θ) ∴ ∴△AOB 的面积为 S= =

故选 C. 点评: 本题考查抛物线的定义, 考查三角形的面积的计算, 确定抛物线的弦长是解题的关 键.

9. (5 分)设 x,y 满足约束条件

,若目标函数 z=ax+by(a>0,b>0)的最小

值 2,则 ab 的最大值为() A.1 B. C. D.

考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 由约束条件作差可行域, 由可行域得到使目标函数取得最小值的点, 联立方程组求 得最优解的坐标,代入目标函数得到关于 a,b 的等式,然后利用基本不等式求最值.

解答: 解:由约束条件

作差可行域如图,

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联立

,解得 A(2,3) .

由图可知,目标函数 z=ax+by 在点(2,3)上取到最小值 2,即 2a+3b=2. ∴ab= 当且仅当 2a=3b=1,即 . 时等号成立.

故选:C. 点评: 本题考查了线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题.
2

10. (5 分)若函数 f(x)=x +ax+ A.[﹣1,0] B.[﹣1,∞]

是增函数,则 a 的取值范围是() C.[0,3] D.[3,+∞]

考点: 利用导数研究函数的单调性. 专题: 导数的综合应用. 分析: 由函数 在 ( , +∞) 上是增函数, 可得 ﹣2x 在( ,+∞)上恒成立,构造函数求出 ≥0

在( ,+∞)上恒成立,进而可转化为 a≥

﹣2x 在( ,+∞)上的最值,可得 a 的取值范围. 解答: 解:∵ 故 即 a≥ 在( ,+∞)上是增函数, ≥0 在( ,+∞)上恒成立, ﹣2x 在( ,+∞)上恒成立, ﹣2x, ﹣2,

令 h(x)= 则 h′(x)=﹣

当 x∈( ,+∞)时,h′(x)<0,则 h(x)为减函数.

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∴h(x)<h( )=3 ∴a≥3. 故选:D. 点评: 本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性, 恒成立问题, 是导数的综合应用, 难度中档.

11. (5 分)已知三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的侧棱与底面垂直,体积为 ,底面是边长为 三角形,若 P 为底面 A1B1C1 的中心,则 PA 与平面 ABC 所成角的大小为() A. B. C. D.

的正

考点: 直线与平面所成的角. 专题: 空间位置关系与距离;空间角. 分析: 利用三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的侧棱与底面垂直和线面角的定义可知,∠APA1 为 PA 与平面 A1B1C1 所成角,即为∠APA1 为 PA 与平面 ABC 所成角.利用三棱锥的体积计算公 式可得 AA1,再利用正三角形的性质可得 A1P,在 Rt△ AA1P 中,利用 tan∠APA1= 可得出. 解答: 解:如图所示, ∵AA1⊥底面 A1B1C1,∴∠APA1 为 PA 与平面 A1B1C1 所成角, ∵平面 ABC∥平面 A1B1C1,∴∠APA1 为 PA 与平面 ABC 所成角. ∵ = = . = = ,解得 . =1, 即

∴V 三棱柱 ABC﹣A1B1C1=

又 P 为底面正三角形 A1B1C1 的中心,∴ 在 Rt△ AA1P 中, ∴ 故选 B. .



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点评: 熟练掌握三棱柱的性质、体积计算公式、正三角形的性质、线面角的定义是解题的 关键.

12. (5 分)已知方程 则下面结论正确的是() A.sina=acosb B.sina=﹣acosb

=k 在(0,+∞)上有两个不同的解 a,b(a<b) ,

C.cosa=bsinb

D.sinb=﹣bsina

考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;函数的零点与方程根的关系. 专题: 函数的性质及应用;导数的综合应用. 分析: 化简方程 =k 有两不同的解 a,b,画出两个函数 y=|sinx|和函数 y=kx 在(0,

π)上有一个交点 A(a,sina) ,在(π,2π)上有一个切点 B(b,sinb)时满足题意,a,b 是方程的根.然后求出在 B 处的切线,通过 O,A B 三点共线,推出结果. 解答: 解:∵方程 =k 有两不同的解 a,b,∴方程 =k 有两不同

的解 a,b, ∴函数 y=|sinx|和函数 y=kx 在(0,+∞)上有两交点,作出两个函数的图象,

函数 y=|sinx|和函数 y=kx 在(0,π)上有一个交点 A(a,sina) , 在(π,2π)上有一个切点 B(b,sinb)时满足题意,a,b 是方程的根. 当 x∈(π,2π)时,f(x)=|sinx|=﹣sinx,f′(x)=﹣cosx, ∴在 B 处的切线为 y﹣sinb=f′(b) (x﹣b) ,将 x=0,y=0 代入方程,得 sinb=﹣bcosb, ∴ ∴ =﹣cosb,∵O,A B 三点共线,∴ =﹣cosb,∴sina=﹣acosb. = ,

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故选:B. 点评: 本题考查函数的零点与方程的跟的关系, 数形结合的应用, 函数的切线方程的求法 与应用,考查分析问题解决问题的能力. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13. (5 分) dx=6.

考点: 定积分. 专题: 导数的综合应用. 分析: 直接利用定积分的运算法则求解即可. 解答: 解: dx=3lnx =6.

故答案为:6. 点评: 本题考查定积分的求法,注意求解原函数是解题的关键. 14. (5 分)已知定义在 R 上的偶函数 f(x)在[0,+∞)上单调递增,且 f(1)=0,则不等 式 f(x﹣2)≥0 的解集是{x|x≥3 或 x≤1}. 考点: 抽象函数及其应用. 专题: 计算题. 分析: 根据题意,分析可得不等式 f(x﹣2)≥0 等价为 f(|x﹣2|)≥f(1) ,进而可以将其 转化为|x﹣2|≥1,解可得答案. 解答: 解:∵偶函数 f(x)在[0,+∞)上为增函数,f(1)=0, ∴不等式 f(x﹣2)≥0 等价为 f(|x﹣2|)≥f(1) , 即|x﹣2|≥1, 即 x﹣2≥1 或 x﹣2≤﹣1, 即 x≥3 或 x≤1, 故不等式的解集为{x|x≥3 或 x≤1}, 故答案为:{x|x≥3 或 x≤1}. 点评: 本题主要抽象函数的应用, 涉及利用函数的奇偶性和单调性的运用以及绝对值不等 式的解法,解题的关键是依据函数的性质将原不等式转化为|x﹣2|≥1. 15. (5 分)已知函数 f(x)=sin(ωx+φ) (ω>0,|φ|< 则 a1+a2+a3+…+a2014=0. )的部分图象如图,令 an=f( ) ,

考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;数列的求和.
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专题: 算法和程序框图. 分析: 先根据图象确定 ω,φ 的值,从而求出函数 f(x)的解析式,然后分别写出数列 an 的各项,注意到各项的取值周期为 6,从而可求 a1+a2+a3+…+a2014 的值. 解答: 解:由图象可知, T= 函数的图象过点( =sin(2x+ a1=sin(2× a2=sin(2× a3=sin(2× a4=sin(2× a5=sin(2× a6=sin(2× a7=sin(2× a8=sin(2× … 观察规律可知 an 的取值以 6 为周期,且有一个周期内的和为 0,且 2014=6×335+4, 所以有:a2014=sin(2× + )=﹣1. =0. ) . + + + + + + + + )=1 )= )=﹣ )=﹣1 )=﹣ )= )=1 )= ,1)故有 1=sin(2× ,解得 T=π,故有 +φ) ,|φ|< ,故可解得 φ= . ,从而有 f(x)

则 a1+a2+a3+…+a2014=a2011+a2012+a2013+a2014=1+

故答案为:0. 点评: 本题主要考察了由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式和数列的求和,其中 找出各项的取值规律是关键,属于中档题. 16. (5 分)给出下列四个命题: 2 2 2 2 ①圆(x+2) +y =4 与圆(x﹣2) +(y﹣1) =9 相交; ②总体的概率密度函数 f (x) = 的最大值为 . e , x∈R 的图象关于直线 x=3 对称; f (x)

③已知 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若 S7>S5,则 S9>S3;

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④若函数 y=f(x﹣ )为 R 上的奇函数,则函数 y=f(x)的图象一定关于点 F( ,0)成 中心对称. 其中所有正确命题的序号为①②③. 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 函数的性质及应用;等差数列与等比数列;直线与圆. 分析: 求出圆心距,并判断与半径和与半径差的关系,可判断①;分析函数函数 f(x) = e ,x∈R 的图象和性质,可判断②;根据等差数列的性质可说明③正

确;直接由函数图象的平移说明④错误. 解答: 解:圆(x+2) +y =4 与圆(x﹣2) +(y﹣1) =9 的半径分别为 2,3, 故半径和为 5,半径差为 1, 圆(x+2) +y =4 与圆(x﹣2) +(y﹣1) =9 的圆心距 d= 故圆(x+2) +y =4 与圆(x﹣2) +(y﹣1) =9 相交,故①正确; 函数 f(x)= e ,f(6﹣x)
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

=

∈[1,5],

=

=

=

=f(x) ,故函数 f(x)的图

象关于直线 x=3 对称; 由 的最大值为 0,故 x=3 时,f(x)的最大值为 .故②正确;

等差数列{an}若 S7>S5,则 2a1+11d>0,则 S9﹣S3=6a1+33d>0,即 S9>S3,命题③正确; 对于④,函数 y=f(x﹣ )为 R 上的奇函数,则其图象关于(0,0)中心对称, 而函数 y=f(x)的图象是把 y=f(x﹣ )的图象向左平移 个单位得到的, ∴函数 y=f(x)的图象一定关于点 F(﹣ ,0)成中心对称.命题④错误. 故正确命题的序号为:①②③ 故答案为:①②③. 点评: 本题考查了命题的真假判断与应用,考查了圆的位置关系,函数图象和性质,等差 数列,考查了函数图象的平移,是中档题. 三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 17. (12 分)已知函数 f(x)= sin(ωx)﹣2sin
2

+m(ω>0)的最小正周期为 3π,当

x∈[0,π]时,函数 f(x)的最小值为 0. (1)求函数 f(x)的表达式;
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(2)在△ ABC 中,若 f(C)=1,且 2sin B=cosB+cos(A﹣C) ,求 sinA 的值. 考点: y=Asin(ωx+φ)中参数的物理意义;同角三角函数基本关系的运用. 分析: (1)根据二倍角公式和辅角公式先将函数 f(x)化简成:f(x)=2sin(ωx+ )

2

﹣1+m,再由最小正周期 T=(2π)÷ω=3π 求出 ω,又当 x∈[0,π]时,函数 f(x)的最小值 为 0 可以得出 m 的值,进而得到函数 f(x)的表达式. (2)将 f(C)=1 代入(1)中 f(x)的表达式中求出 C 的值,再化简 2sin B=cosB+cos(A ﹣C)又根据三角形的内角和为 π 求出 sinA 的值. 解答: 解: (Ⅰ) . 依题意:函数 所以 . , 所以 f(x)的最小值为 m.依题意,m=0. . (Ⅱ)∵ ∴ 在 Rt△ ABC 中,∵ ∴ ∵0<sinA<1,∴ . . . , , . .
2

点评: 本题主要考查三角函数 y=Asin(ωx+φ)中参数的物理意义.这里要注意 A 表示振 幅,ω 与周期、频率有关,φ 表示初相,以及 ωx+φ 表示相位. 18. (12 分) 在如图所示的多面体中, EF⊥平面 AEB, AE⊥EB, AD∥EF, EF∥BC, BC=2AD=4, EF=3,AE=BE=2,G 是 BC 的中点. (1)求证:BD⊥EG; (2)求平面 DEG 与平面 DEF 所成锐二面角的余弦值.

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考点: 用空间向量求平面间的夹角;直线与平面垂直的性质. 专题: 综合题. 分析: 解法 1 (1)证明 BD⊥EG,只需证明 EG⊥平面 BHD,证明 DH⊥EG,BH⊥EG 即可; (2)先证明∠GMH 是二面角 G﹣DE﹣F 的平面角,再在△ GMH 中,利用余弦定理,可求 平面 DEG 与平面 DEF 所成锐二面角的余弦值; 解法 2 (1)证明 EB,EF,EA 两两垂直,以点 E 为坐标原点,EB,EF,EA 分别为 x,y,z 轴, 建立空间直角坐标系用坐标表示点与向量,证明 (2)由已知得 ,可得 BD⊥EG;

是平面 DEF 的法向量,求出平面 DEG 的法向量 ,利用向量的夹角公式,可求平面 DEG 与平面 DEF 所成锐二面角的

余弦值. 解答: 解法 1 (1)证明:∵EF⊥平面 AEB,AE?平面 AEB,∴EF⊥AE, 又 AE⊥EB,EB∩EF=E,EB,EF?平面 BCFE, ∴AE⊥平面 BCFE.…(2 分) 过 D 作 DH∥AE 交 EF 于 H,则 DH⊥平面 BCFE. ∵EG?平面 BCFE, ∴DH⊥EG.…(4 分) ∵AD∥EF,DH∥AE,∴四边形 AEHD 平行四边形, ∴EH=AD=2, ∴EH=BG=2,又 EH∥BG,EH⊥BE, ∴四边形 BGHE 为正方形, ∴BH⊥EG,…(6 分) 又 BH∩DH=H,BH?平面 BHD,DH?平面 BHD, ∴EG⊥平面 BHD.…(7 分) ∵BD?平面 BHD, ∴BD⊥EG.…(8 分) (2)解:∵AE⊥平面 BCFE,AE?平面 AEFD,∴平面 AEFD⊥平面 BCFE 由(1)可知 GH⊥EF,∴GH⊥平面 AEFD ∵DE?平面 AEFD,∴GH⊥DE…(9 分)
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取 DE 的中点 M,连接 MH,MG ∵四边形 AEHD 是正方形,∴MH⊥DE ∵MH∩GH=H,MH?平面 GHM,GH?平面 GHM,∴DE⊥平面 GHM,∴DE⊥MG ∴∠GMH 是二面角 G﹣DE﹣F 的平面角,…(12 分) 在△ GMH 中, ,∴ …(13 分) .…(14 分)

∴平面 DEG 与平面 DEF 所成锐二面角的余弦值为

解法 2 (1)证明:∵EF⊥平面 AEB,AE?平面 AEB,BE?平面 AEB,∴EF⊥AE,EF⊥BE, 又 AE⊥EB,∴EB,EF,EA 两两垂直.…(2 分) 以点 E 为坐标原点,EB,EF,EA 分别为 x,y,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系. 由已知得,A(0,0,2) ,B(2,0,0) ,C(2,4,0) ,F(0,3,0) ,D(0,2,2) ,G (2,2,0) .…(4 分) ∴ ∴ ∴BD⊥EG.…(8 分) (2)解:由已知得 设平面 DEG 的法向量为 ∵ 是平面 DEF 的法向量.…(9 分) , , , ,…(7 分) ,…(6 分)



,即

,令 x=1,得

.…(12 分)

设平面 DEG 与平面 DEF 所成锐二面角的大小为 θ,



…(13 分)

∴平面 DEG 与平面 DEF 所成锐二面角的余弦值为

.…(14 分)

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点评: 本题考查线线垂直, 考查面面角, 考查利用空间向量解决立体几何问题, 两法并举, 注意体会. 19. (12 分)甲乙两班进行消防安全知识竞赛,每班出 3 人组成甲乙两支代表队,首轮比赛 每人一道必答题,答对则为本队得 1 分,答错不答都得 0 分,已知甲队 3 人每人答对的概率 分别为 , , ,乙队每人答对的概率都是 .设每人回答正确与否相互之间没有影响,用 ξ 表示甲队总得分. (Ⅰ)求随机变量 ξ 的分布列及其数学期望 E(ξ) ; (Ⅱ)求在甲队和乙队得分之和为 4 的条件下,甲队比乙队得分高的概率. 考点: 条件概率与独立事件;离散型随机变量的期望与方差. 专题: 概率与统计. 分析: (Ⅰ)由题设知 ξ 的可能取值为 0,1,2,3,分别求出 P(ξ=0) ,P(ξ=1) ,P(ξ=2) , P(ξ=3) ,由此能求出随机变量 ξ 的分布列和数学期望 E(ξ) . (Ⅱ)设“甲队和乙队得分之和为 4”为事件 A,“甲队比乙队得分高”为事件 B,分别求出 P (A) ,P(AB) ,再由 P(B/A)= ,能求出结果.

解答: 解: (Ⅰ)由题设知 ξ 的可能取值为 0,1,2,3, P(ξ=0)=(1﹣ ) (1﹣ ) (1﹣ )= ,

P(ξ=1)= (1﹣ ) (1﹣ )+(1﹣ )× ×(1﹣ )+(1﹣ ) (1﹣ )× = , P(ξ=2)= P(ξ=3)= = , + + = ,

∴随机变量 ξ 的分布列为: ξ 0 P 数学期望 E(ξ)=0× +1× +2×

1

2

3

+3× =



(Ⅱ)设“甲队和乙队得分之和为 4”为事件 A,“甲队比乙队得分高”为事件 B, 则 P(A) = + + = ,

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P(AB)=

=



P(B|A)=

=

= .

点评: 本题考查离散型随机变量的期分布列和数学期望,考查条件概率的求法,是历年 2015 届高考的必考题型之一,解题时要注意排列组合知识的合理运用.

20. (12 分)如图,已知椭圆 C 的方程为

=1(a>b>0) ,双曲线

=1 的两条

渐近线为 l1,l2.过椭圆 C 的右焦点 F 作直线 l,使 l⊥l1,又 l 与 l2 交于点 P,设 l 与椭圆 C 的两个交点由上至下依次为 A,B. (Ⅰ)若 l1 与 l2 的夹角为 60°,且双曲线的焦距为 4,求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)求 的最大值.

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: (Ⅰ)由已知得∠POF=30°,从而 a= (Ⅱ)直线 l 的方程为 y= 解得点 P(

.由此能求出椭圆 C 的方程. ,联立直线 l 与 l2 的方程,

,直线 l2 的方程为 y=

) ,由此入手结合已知条件能求出

的最大值.

解答: 解: (Ⅰ)因为双曲线方程为



所以双曲线的渐近线方程为 y= 因为两渐近线的夹角为 60°且 所以
2 2

. ,所以∠POF=30°. . ,b=1.

. 所以 a=

因为 c=2,所以 a +b =4,所以 a= 所以椭圆 C 的方程为

.…(4 分)

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(Ⅱ)因为 l⊥l1,所以直线 l 的方程为 y= 直线 l2 的方程为 y= 设 =λ,则 =

,其中 c=

.…(5 分) ) .…(6 分)

,联立直线 l 与 l2 的方程,解得点 P( .…(7 分)

因为点 F(c,0) ,设点 A(x0,y0) ,则有(x0﹣c,y0)=λ( 解得 ,y0= .…(8 分)



) .

因为点 A(x0,y0)在椭圆

上,

所以
2 2 2 2 4

+
2 2 2

=1.

即(c +λa ) +λ a =(1+λ) a c . 4 2 2 2 2 2 等式两边同除以 a ,得(e +λ) +λ =e (1+λ) ,e∈(0,1) , 所以 (
2

=﹣(2﹣e + ) .…(10 分)
2

2

)+3≤

=3﹣2

=

所以当 2﹣e =

,即 e=

时,λ 取得最大值





的最大值为

.…(12 分)

点评: 本题考查椭圆方程的求法,考查两线段比值的最大值的求法,解题时要认真审题, 注意函数与方程思想的合理运用.

21. (12 分)定义在 R 上的函数 f(x)满足 . (1)求函数 f(x)的解析式; (2)求函数 g(x)的单调区间;



(3)如果 s、t、r 满足|s﹣r|≤|t﹣r|,那么称 s 比 t 更靠近 r.当 a≥2 且 x≥1 时,试比较 和 e
﹣1

x

+a 哪个更靠近 lnx,并说明理由.

考点: 导数在最大值、最小值问题中的应用;函数解析式的求解及常用方法;利用导数研 究函数的单调性. 专题: 导数的综合应用.
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分析: (1)求出函数的导数,利用赋值法,求出 f′(1)=f′(1)+2﹣2f(0) ,得到 f(0) =1.然后求解 f′(1) ,即可求出函数的解析式. (2)求出函数的导数 g′(x)=e +a,结合 a≥0,a<0,分求解函数的单调区间即可. (3)构造 ,通过函数的导数,判断函数
x﹣1 x

的单调性,结合当 1≤x≤e 时,当 1≤x≤e 时,推出|p(x)|<|q(x)|,说明 比 e

+a 更靠近
x

lnx.当 x>e 时,通过作差,构造新函数,利用二次求导,判断函数的单调性,证明 比 e
﹣1

+a 更靠近 lnx. 2x﹣2 解答: 解: (1)f′(x)=f′(1)e +2x﹣2f(0) ,所以 f′(1)=f′(1)+2﹣2f(0) ,即 f (0)=1.又
2 2x 2



所以 f′(1)=2e ,所以 f(x)=e +x ﹣2x. (4 分) 2x 2 (2)∵f(x)=e ﹣2x+x , ∴

, x ∴g′(x)=e ﹣a. (5 分) ①当 a≤0 时,g′(x)>0,函数 f(x)在 R 上单调递增; (6 分) x ②当 a>0 时,由 g′(x)=e ﹣a=0 得 x=lna, ∴x∈(﹣∞,lna)时,g′(x)<0,g(x)单调递减;x∈(lna,+∞)时,g′(x)>0,g (x)单调递增. 综上,当 a≤0 时,函数 g(x)的单调递增区间为(∞,∞) ; 当 a>0 时,函数 g(x)的单调递增区间为(lna,+∞) ,单调递减区间为(﹣∞,lna) . (8 分) (3)解:设 ,∵ ,

∴p(x)在 x∈[1,+∞)上为减函数,又 p(e)=0,∴当 1≤x≤e 时,p(x)≥0,当 x>e 时, p(x)<0.∵ , ,∴q′(x)在 x∈[1,+∞)

上为增函数,又 q′(1)=0,∴x∈[1,+∞)时,q'(x)≥0,∴q(x)在 x∈[1,+∞)上为增 函数,∴q(x)≥q(1)=a+1>0. ①当 1≤x≤e 时, 设 ,则 , ,∴m(x)在 x∈[1,+∞)

上为减函数, ∴m(x)≤m(1)=e﹣1﹣a, ∵a≥2,∴m(x)<0,∴|p(x)|<|q(x)|,∴ 比 e
x﹣1

+a 更靠近 lnx.

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②当 x>e 时,

, 设 n(x)=2lnx﹣e
x﹣1

﹣a,则



,∴n′

(x)在 x>e 时为减函数, ∴ =2﹣a﹣e
e﹣1

,∴n(x)在 x>e 时为减函数,∴n(x)<n(e) <0,
x﹣1

∴|p(x)|<|q(x)|,∴ 比 e 综上:在 a≥2,x≥1 时, 比 e

+a 更靠近 lnx.

x﹣1

+a 更靠近 lnx. (12 分)

点评: 本小题主要考查函数与导数的综合应用能力, 具体涉及到用导数来描述函数的单调 性等情况. 本小题主要考查考生分类讨论思想的应用, 对考生的逻辑推理能力与运算求解有 较高要求. 三、请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.答时 用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.选修 4-1;几何证明选讲 22. (10 分)如图所示,AB 为圆 O 的直径,CB,CD 为圆 O 的切线,B,D 为切点. (1)求证:AD∥OC; (2)若圆 O 的半径为 2,求 AD?OC 的值.

考点: 相似三角形的性质. 专题: 选作题;立体几何. 分析: (1) 连接 BD, OD, 利用切线的性质, 证明 BD⊥OC, 利用 AB 为直径, 证明 AD⊥DB, 即可证明 AD∥OC; (2)证明 Rt△ BAD∽Rt△ COB,可得 解答: (1)证明:连接 BD,OD, ∵CB,CD 是圆 O 的两条切线, ∴BD⊥OC, 又 AB 为直径,∴AD⊥DB, ∴AD∥OC. (5 分) (2)解:∵AD∥OC,∴∠DAB=∠COB, ∴Rt△ BAD∽Rt△ COB, ,即可求 AD?OC 的值

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∴AD?OC=AB?OB=8. (10 分)

点评: 本小题主要考查平面几何的证明,具体涉及到圆的切线的性质,三角形相似等内 容.本小题重点考查考生对平面几何推理能力. 选修 4-4:坐标系与参数方程 23.在直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程为 (θ 为参数) .

(1)以原点为极点、x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求圆 C 的极坐标方程; (2)已知 A(﹣2,0) ,B(0,2) ,圆 C 上任意一点 M(x,y) ,求△ ABM 面积的最大值. 考点: 简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程. 专题: 坐标系和参数方程. 分析: (1)圆 C 的参数方程为 ,通过三角函数的平方关系式消去参数

θ,得到普通方程.通过 x=ρcosθ,y=ρsinθ,得到圆 C 的极坐标方程. (2)求出点 M(x,y)到直线 AB:x﹣y+2=0 的距离,表示出△ ABM 的面积,通过两角 和的正弦函数,结合绝对值的几何意义,求解△ ABM 面积的最大值. 解答: 解: (1)圆 C 的参数方程为
2 2

(θ 为参数)

所以普通方程为(x﹣3) +(y+4) =4. (2 分) , 2 2 x=ρcosθ,y=ρsinθ,可得(ρcosθ﹣3) +(ρsinθ+4) =4, 2 化简可得圆 C 的极坐标方程:ρ ﹣6ρcosθ+8ρsinθ+21=0. (5 分) (2)点 M(x,y)到直线 AB:x﹣y+2=0 的距离为 △ ABM 的面积 所以△ ABM 面积的最大值为 (10 分) 点评: 本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识, 具体涉及到极坐标方程与平面直 角坐标方程的互化、 平面内直线与曲线的位置关系等内容. 本小题考查考生的方程思想与数 形结合思想,对运算求解能力有一定要求. 选修 4-5:不等式选讲 3 3 2 2 24. (1)已知 a,b 都是正数,且 a≠b,求证:a +b >a b+ab ;
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(7 分)

(2)已知 a,b,c 都是正数,求证:

≥abc.

考点: 不等式的证明. 专题: 证明题;不等式. 2 2 分析: (1)由条件 a≠b 推出:a ﹣2ab+b >0,通过变形,应用不等式的性质可证出结论; (2)利用基本不等式,再相加,即可证明结论. 解答: 证明: (1)∵a≠b,∴a﹣b≠0,∴a ﹣2ab+b >0,∴a ﹣ab+b >ab. 2 2 而 a,b 均为正数,∴a+b>0,∴(a+b) (a ﹣ab+b )>ab(a+b) 3 3 2 2 ∴a +b >a b+ab 成立; (2)∵a,b,c 都是正数, ∴a b +b c ≥2acb ,a b +c a ≥2bca ,c a +b c ≥2abc , 2 2 2 2 2 2 三式相加可得 2(a b +b c +c a )≥2abc(a+b+c) , 2 2 2 2 2 2 ∴a b +b c +c a )≥abc(a+b+c) , ∴ ≥abc.
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

点评: 本题考查不等式的证明,考查基本不等式的运用,考查综合法,属于中档题.

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