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2012-2013学年浙江省宁波市余姚中学高一(上)期中数学试卷(理科)


2012-2013 学年浙江省宁波市余姚中学高一(上)期中数学试卷(理科)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 2 1. (5 分)已知集合 A={x∈R|x =a},使集合 A 的子集个数为 2 个的 a 的值为( ) A.﹣2 B.4 C .0 D.以上答案都不是 2. (5 分)函数

y=loga(4x﹣1)﹣1, (a>0 且 a≠1)图象必过的定点是( A.(4,﹣1) B.(1,0) C.(0,﹣1) ) D.

3. (5 分)设 ( ) A .1

,则使 f(x)=x 为奇函数且在(0,+∞)上单调递增的 α 的值的个数是

α

B.2

C .3

D.4

4. (5 分) (2012?淄博二模)函数 A. B.

(0<a<1)的图象的大致形状是( C.

) D.

5. (5 分) (2011?浙江)设函数 f(x)= A.﹣4 或﹣2 B.﹣4 或 2

,若 f(a)=4,则实数 a=( C.﹣2 或 4

) D.﹣2 或 2

6. (5 分)若 A .2

且 abc≠0,则 B.1

=(

) C .3 D.4
2

7. (5 分) 若一系列函数的解析式和值域相同, 但其定义域不同, 则称这些函数为“同族函数”, 例如函数 y=x , x∈[1, 2 2]与函数 y=x ,x∈[﹣2,﹣1]即为“同族函数”.请你找出下面哪个函数解析式也能够被用来构造“同族函数”的是 ( ) A. B.y=2x C. D.

8. (5 分)设对任意实数 x∈[﹣1,1],不等式 x +ax﹣3a<0 恒成立,则实数 a 的取值范围是( A.a>0 B. C.a>0 或 a<﹣12 D.

2



9. (5 分)已知定义在 R 上的函数 y=f(x)满足下列三个条件: ①对任意的 x∈R 都有 f(x+4)=f(x) ; ②对于任意的 0≤x1<x2≤2,都有 f(x1)<f(x2) ;

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③y=f(x+2)的图象关于 y 轴对称. 则下列结论中,正确的是( ) A .f (6.5) >f (5) >f (15.5) B.f (5) <f (6.5) <f (15.5) C .f (5) <f (15.5) <f (6.5) D.f(15.5)>f(6.5)>f (5)

10. (5 分)已知函数

,现给出下列命题:

①当图象是一条连续不断的曲线时,则 a= ; ②当图象是一条连续不断的曲线时,能找到一个非零实数 a,使得 f(x)在 R 上是增函数; ③当 ④当
2

时,不等式 f(1+a)?f(1﹣a)<0 恒成立; 时,则方程 f(x +1)﹣f(2x+4)=0 的解集为{﹣1,3};

⑤函数 y=f(|x+1|)是偶函数. 其中正确的命题是( ) A.①②③ B.②④⑤ 二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分) 11. (4 分)求值:log8(log216)= _________ . 12. (4 分)已知函数 ,则

C.①③④

D.①②③④⑤

=

_________ .

13. (4 分)函数

的值域为 _________ .

14. (4 分)已知函数 f(x)=

则满足等式 f(1﹣x )=f(2x)的实数 x 的集合是

2

_________ .

15. (4 分)设函数 f(x)=x +(m﹣1)x+1 在区间[0,2]上有两个零点,则实数 m 的取值范围是 16. (4 分)下列各式中正确的有 _________ . (把你认为正确的序号全部写上) (1) (2)已知
x

2

_________ .

; 则a ;
﹣x

(3)函数 y=3 的图象与函数 y=﹣3
2

的图象关于原点对称;

(4)函数 y=lg(﹣x +x)的递增区间为(﹣∞, ]; (5)若函数 f(x)=2lg(x﹣a)﹣lg(x+1)有两个零点,则 a 的取值范围是 .

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17. (4 分)设定义域为 R 的函数 f(x) 同的实数根,则 b 的取值范围是 _________ . 三、解答题: (本大题共 5 个小题,共 72 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 18. (14 分)设全集 U=R,集合 A={x||x﹣a|<1},B={x| (1)求集合 B; (2)若 A?CUB,求实数 a 的取值范围. 19. (14 分)已知函数 . }. ,若关于 x 的方程 2f (x)+2bf(x)+1=0 有 8 个不
2

(1)判断函数 f(x)的单调性,并证明; (2)若 f(x)为奇函数,求实数 a 的值; (3)在(2)的条件下,解不等式:



20. (14 分)已知函数 (1)求 M; (2)当 x∈M 时,求函数 f(x)=a?2
x+2 x

的定义域为 M.

+3?4 (a<﹣3)的最小值.

21. (15 分)已知函数 (1)当 0<a<b,且 f(a)=f(b)时,求 的值; (2)是否存在[a,b]?[1,+∞) ,使得 f(x)在[a,b]上的值域为[ma,mb](m≠0)?如果存在,请求出 m 的取值 范围;反之,请说明理由.
2

22. (15 分)设 f(x)=ax +bx+1, (a,b 为常数) .若 (1)若 (2)若

,且 f(x)的最小值为 0,

在[1,2]上是单调函数,求 k 的取值范围. ,对任意 x∈[1,2],存在 x0∈[﹣2,2],使 g(x)<f(x0)成立.求 k 的取值范围.

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2012-2013 学年浙江省宁波市余姚中学高一(上) 期中数学试卷(理科)
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 2 1. (5 分)已知集合 A={x∈R|x =a},使集合 A 的子集个数为 2 个的 a 的值为( ) A.﹣2 B.4 C .0 D.以上答案都不是 考点: 子集与真子集. 专题: 计算题. x 分析: 根据题意,设集合 A 中有 x 个元素,由集合元素个数与子集个数的关系可得 2 =2,解可得 x 的值,分析可 2 得方程 x =a 只有 1 解,分析可得 a 的值,即可得答案. 解答: 解:根据题意,设集合 A 中有 x 个元素, x 又由集合 A 的子集个数为 2,则有 2 =2, 2 解可得 x=1,即集合 A 中只有 1 个元素,必有 x =a 只有 1 解; 2 若方程 x =a 只有 1 解,必有 0﹣4a=0,即 a=0; 故选 C. 点评: 本题考查集合的子集以及集合子集个数的求法,关键是分析得到集合中元素的个数.
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2. (5 分)函数 y=loga(4x﹣1)﹣1, (a>0 且 a≠1)图象必过的定点是( A.(4,﹣1) B.(1,0) C.(0,﹣1)

) D.

考点: 对数函数的单调性与特殊点. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由 loga1=0,知 4x﹣1=1,即 x= 时,y=﹣1,由此能求出函数 y=loga(4x﹣1)﹣1(a>0 且 a≠1)图象必过
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的定点的坐标. 解答: 解:∵loga1=0, ∴当 4x﹣1=1,即 x= 时,y=﹣1, ∴函数 y=loga(4x﹣1)﹣1, (a>0 且 a≠1)图象必过的定点( ,﹣1) . 故选 D. 点评: 本题考查对数函数的性质和特殊点,解题时要认真审题,仔细解答,避免出错.
α

3. (5 分)设 ( ) A .1

,则使 f(x)=x 为奇函数且在(0,+∞)上单调递增的 α 的值的个数是

B.2

C .3

D.4

考点: 幂函数的单调性、奇偶性及其应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据幂函数图象和性质,将

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的值一一验证即可.
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解答: 解:f(x)=xα,当 α>0 时函数 f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,故﹣1 不符合题意; 当 α= 时,f(x)= ,定义域为{x|x≥0},不是奇函数,

当 α=1 时,f(x)=x,定义域为 R,是奇函数, 2 当 α=2 时,f(x)=x ,定义域为 R,不是奇函数, 3 当 α=3 时,f(x)=x ,定义域为 R,是奇函数, α 故使 f(x)=x 为奇函数且在(0,+∞)上单调递增的 α 的值的个数是 2, 故选 B. 点评: 本题主要考查了幂函数的性质,同时考查了函数奇偶性的判定,属于基础题.

4. (5 分) (2012?淄博二模)函数 A. B.

(0<a<1)的图象的大致形状是( C.

) D.

考点: 指数函数的图像与性质. 专题: 图表型;数形结合. 分析: 先根据 x 与零的关系对解析式进行化简,并用分段函数表示,根据 a 的范围和指数函数的图形选出答案. 解答: 解:因 ,且 0<a<1,
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故选 D. 点评: 本题考查函数的图象, 函数是高中数学的主干知识, 是高考的重点和热点, 在高考中占整个试卷的 左右. 复 习时,要立足课本,务实基础(特别是函数的图象与性质等) .

5. (5 分) (2011?浙江)设函数 f(x)= A.﹣4 或﹣2 B.﹣4 或 2

,若 f(a)=4,则实数 a=( C.﹣2 或 4

) D.﹣2 或 2

考点: 分段函数的解析式求法及其图象的作法. 专题: 计算题. 分析: 分段函数分段处理,我们利用分类讨论的方法,分 a≤0 与 a>0 两种情况,根据各段上函数的解析式,分别 构造关于 a 的方程,解方程即可求出满足条件 的 a 值. 解答: 解:当 a≤0 时 若 f(a)=4,则﹣a=4,解得 a=﹣4 当 a>0 时 2 若 f(a)=4,则 a =4,解得 a=2 或 a=﹣2(舍去) 故实数 a=﹣4 或 a=2 故选 B 点评: 本题考查的知识点是分段函数,分段函数分段处理,这是研究分段函数图象和性质最核心的理念,具体做 法是:分段函数的定义域、值域是各段上 x、y 取值范围的并集,分段函数的奇偶性、单调性要在各段上分 别论证;分段函数的最大值,是各段上最大值中的最大者.
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6. (5 分)若 A .2

且 abc≠0,则 B.1

=(

) C .3 D.4

考点: 指数式与对数式的互化. 专题: 计算题. 分析: 通过指数取常用对数,转化为所求比值求解即可. 解答: 解:因为 ,
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所以取常用对数得:alg5=blg2= , 所以 =2lg5+2lg2=2(lg5+lg2)=2.

故选 A. 点评: 本题考查指数与对数的互化,对数的基本运算,考查计算能力. 7. (5 分) 若一系列函数的解析式和值域相同, 但其定义域不同, 则称这些函数为“同族函数”, 例如函数 y=x , x∈[1, 2 2]与函数 y=x ,x∈[﹣2,﹣1]即为“同族函数”.请你找出下面哪个函数解析式也能够被用来构造“同族函数”的是 ( ) A. B.y=2x C. D.
2

考点: 专题: 分析: 解答:

函数的定义域及其求法;函数的值域;函数解析式的求解及常用方法. 新定义. 根据新定义可以直接排除单调函数,即可得解. 解:根据“同族函数”定义:解析式和值域相同, 可知单调函数不可能出现值域相同情况,从而不可能被用来构造“同族函数”, 所以对于 B 选项,是单调函数,故排除, 对于 A 选项,根据其图象和性质可知也不可能出现值域相同情况,从而不可能被用来构造“同族函数”,故 排除, 对于 D 选项,其定义域为 R,根据解析式可知 x 变大时 y 也增大,故该函数是增函数,故排除, 故选 C. 点评: 本题考察新定义问题,此类问题近几年很“流行”,主要考察学生的接受新知应用新知的能力,重点把握在理 解新定义上即可. 此题可以利用树形结合理解:单调函数不可能出现值域相同情况,从而不可能被用来构造“同族函数”.
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8. (5 分)设对任意实数 x∈[﹣1,1],不等式 x +ax﹣3a<0 恒成立,则实数 a 的取值范围是( A.a>0 B. C.a>0 或 a<﹣12 D.

2



考点: 函数恒成立问题;二次函数的性质. 分析: 2 法一:y=x +ax﹣3a 的对称轴是 x= .①当﹣ ≥1 时,x=﹣1 时有最大值 a> ,与 a≤﹣2 相矛盾.②当
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时,x=﹣1 或 x=1 时,有最大值.x=﹣1 有最大值 a> ,故 ﹣2a<0,a ,故 .③当

;当 x=1 有最大值 1 ,a≥2.由此
6

≤﹣1,即 a≥2 时,x=1 时有最大值 1﹣2a<0,a
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能求出实数 a 的范围. 法二:设 f(x)=x +ax﹣3a,由对任意实数 x∈[﹣1,1],不等式 x +ax﹣3a<0 恒成立,知 ,由此能求出实数 a 的范围. 解答:
2 2 2

解法一:y=x +ax﹣3a 的对称轴是 x=



①当﹣ ≥1,即 a≤﹣2 时,x=﹣1 离对称轴最远,而函数开口向上,所以有最大值, 其最大值是 a> ,与 a≤﹣2 相矛盾. ∴a∈?; ②当 ,即﹣2<a<2 时,

x=﹣1 或 x=1 时,有最大值. 由①知,x=﹣1 有最大值时,其最大值是 a> ,故 当 x=1 有最大值时,其最大值是 1﹣2a<0,即 a ∴ ③当 ; ≤﹣1,即 a≥2 时, ,故 ; .

x=1 时有最大值, 其最大值是 1﹣2a<0,a ∴a≥2. 综上所述,a> . 故选 B. 2 解法二:设 f(x)=x +ax﹣3a, 2 ∵对任意实数 x∈[﹣1,1],不等式 x +ax﹣3a<0 恒成立, ∴ , ,







,故



故选 B. 点评: 本题考查函数的恒成立问题,考查运算求解能力,推理论证能力;考查化归与转化思想.对数学思维的要 求比较高,有一定的探索性.综合性强,难度大,是高考的重点.解题时要认真审题,仔细解答,注意分 类讲座思想的合理运用. 9. (5 分)已知定义在 R 上的函数 y=f(x)满足下列三个条件: ①对任意的 x∈R 都有 f(x+4)=f(x) ;
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②对于任意的 0≤x1<x2≤2,都有 f(x1)<f(x2) ; ③y=f(x+2)的图象关于 y 轴对称. 则下列结论中,正确的是( ) A .f (6.5) >f (5) >f (15.5) B.f (5) <f (6.5) <f (15.5) C .f (5) <f (15.5) <f (6.5) D.f(15.5)>f(6.5)>f (5) 考点: 函数的周期性;函数单调性的判断与证明. 专题: 压轴题;阅读型. 分析: 先把函数的性质研究清楚,由三个条件知函数周期为 4,其对称轴方程为 x=2,在区间[0,2]上是增函数, 观察四个选项发现自变量都不在已知的单调区间内故应用相关的性质将其值用区间[0,2]上的函数值表示 出,以方便利用单调性比较大小. 解答: 解:由①②③三个条件知函数的周期是 4,在区间[0,2]上是增函数且其对称轴为 x=2 ∴f(5)=f(1) , f(15.5)=f(3.5)=f(2+1.5)=f(2﹣1.5)=f(0.5) , f(6.5)=f(2.5)=f(2+0.5)=f(2﹣0.5)=f(1.5) ∵0<0.5<1<1.5<2,函数 y=f(x)在区间[0,2]上是增函数 ∴f(0.5)<f(1)<f(1.5) ,即 f(15.5)<f(5)<f(6.5) 故选 A. 点评: 本题主要考查了函数的周期性,以及利用函数的周期性、单调性、对称性进行比较函数值的大小,同时考 查了转化的数学思想,属于中档题.
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10. (5 分)已知函数

,现给出下列命题:

①当图象是一条连续不断的曲线时,则 a= ; ②当图象是一条连续不断的曲线时,能找到一个非零实数 a,使得 f(x)在 R 上是增函数; ③当 ④当
2

时,不等式 f(1+a)?f(1﹣a)<0 恒成立; 时,则方程 f(x +1)﹣f(2x+4)=0 的解集为{﹣1,3};

⑤函数 y=f(|x+1|)是偶函数. 其中正确的命题是( ) A.①②③ B.②④⑤ 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 综合题. 分析: 当图象是一条连续不断的曲线时
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C.①③④

D.①②③④⑤

f(x)=

[(3a﹣1)x+5a]=8a﹣1=

f(x)=

loga x=0,

解方程后可判断①; 由①中结论,判断 f (x)在 R 上的单调性,可判断②; 当 a∈{m| <m< ,m∈R}时,1+a>1,1﹣a<1,不等式 f(1+a)?f(1﹣a)<0 可化为[(3a﹣1) (1﹣a) +5a]?[loga (1+a)]<0,解不等式可判断③; 当 时,解方程 f(x +1)﹣f(2x+4)=0,可判断④;
2

根据函数奇偶性的定义,判断函数 y=f(|x+1|)的奇偶性,可判断⑤ 解答: 解: f(x)= [(3a﹣1)x+5a]=8a﹣1, f(x)= loga x=0,

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∵图象是一条连续不断的曲线, ∴8a﹣1=0,a= ,故①正确; 当图象是一条连续不断的曲线时, a= ,f (x)在 R 上是减函数,故②不正确; 当 a∈{m| <m< ,m∈R}时,1+a>1,1﹣a<1, 不等式 f(1+a)?f(1﹣a)<0 可化为[(3a﹣1) (1﹣a)+5a]?[loga (1+a)]<0, ∵loga (1+a)<0, (3a﹣1) (1﹣a)+5a>0 恒成立 ∴不等式 f(1+a)?f(1﹣a)<0 恒成立,故③正确; 当 log 时,则方程 f(x +1)﹣f(2x+4)=0 可化为: (x +1)﹣log
2 2 2

(2x+4)=0, (x≥

) ,解得 x=3,x=﹣1

或 log

(x +1)+ x﹣ =0, (x<

) ,此时方程无解

综上原方程的解集为{﹣1,3};故④正确; 函数 y=f(|x+1|)是偶函数不成立.即⑤不正确. 故选 C. 点评: 本题考查命题的真假判断与应用,解题时要注意极限和连续的合理运用. 二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分) 11. (4 分)求值:log8(log216)= .

考点: 对数的运算性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用对数的运算性质即可求出. 解答: 解:∵ ,∴log8(log216)=log84=
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= .

故答案为 . 点评: 熟练掌握对数的运算性质是解题的关键.

12. (4 分)已知函数

,则

=

0 .

考点: 对数的运算性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用函数的奇偶性即可得出. 解答: 解:∵ ,解得﹣1<x<1,∴函数 f(x)的定义域为{x|﹣1<x<1}.
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∵f(x)+f(﹣x)=﹣x+ ∴ 故答案为 0. =0.

+x+

=0,

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点评: 熟练掌握函数的奇偶性是解题的关键.

13. (4 分)函数

的值域为 (0,2)∪(2,+∞) .

考点: 指数函数的定义、解析式、定义域和值域. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 令 t= ,分享常数后,根据反比例函数的图象和性质可得 t≠1,进而根据指数函数的图象和性质可得函数
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的值域. 解答: 解:令 t= 则 t≠1 故 y= =2 , (t≠1)
t

=1+

则 y>0,且 y≠2 故函数 的值域为: (0,2)∪(2,+∞)

故答案为: (0,2)∪(2,+∞) 点评: 本题考查的知识点是指数函数的值域,熟练掌握反比例函数,指数函数的图象和性质是解答本题的关键.

14. (4 分) 已知函数( f x) =

则满足等式( f 1﹣x ) =f (2x) 的实数 x 的集合是 {x|x≤﹣1, 或 x=

2

} .

考点: 专题: 分析: 解答:

函数的值. 计算题.

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要根据已知函数解析式讨论 1﹣x 与 2x 的范围,从而确定其对关系,解方程可求 2 解:∵f(1﹣x )=f(2x) 当 即 0≤x≤1 时,则 ,解可得,x=

2



即 x<﹣1 时,则 f(1﹣x )=f(2x)=1 满足题意

2



﹣1≤x<0 时,由 f(1﹣x )=f(2x)可得(1﹣x ) +1=1,解可得 x=﹣1 满足题意

2

2

2



即 x>1 时,由(1﹣x )=f(2x)=1 可得,1=(2x) +1,解可得 x=0 不满足题意

2

2

综上可得,x= 或 x≤﹣1 故答案为:x= 或 x≤﹣1 点评: 本题主要考查了分段函数的函数值的求解,解题的关键是确定函数的解析式,体现了分类讨论思想方法的 应用 15. (4 分) 设函数 f (x) =x + (m﹣1) x+1 在区间[0, 2]上有两个零点, 则实数 m 的取值范围是
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考点: 函数的零点与方程根的关系. 专题: 函数的性质及应用. 2 分析: 当 f(x)在[0,2]上有两个零点时,即方程 x +(m﹣1)x+1=0 在区间[0,2]上有两个不相等的实根,由此 构造关于 m 的不等式组,解不等式组可求出 m 的取值范围. 解答: 解:当 f(x)在[0,2]上有两个零点时, 2 此时方程 x +(m﹣1)x+1=0 在区间[0,2]上有两个不相等的实根,
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解得 实数 m 的取值范围 故答案为:



点评: 本题考查二次函数与方程之间的关系,二次函数在给定区间上的零点问题,要注意函数图象与 x 轴相切的 情况,属于中档题. 16. (4 分)下列各式中正确的有 (3) . (把你认为正确的序号全部写上) (1) (2)已知
x

; 则a ;
﹣x

(3)函数 y=3 的图象与函数 y=﹣3
2

的图象关于原点对称;

(4)函数 y=lg(﹣x +x)的递增区间为(﹣∞, ]; (5)若函数 f(x)=2lg(x﹣a)﹣lg(x+1)有两个零点,则 a 的取值范围是 .

考点: 命题的真假判断与应用;对数函数图象与性质的综合应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据指数的运算性质,求出该指数式的值,可判断(1)的正误;根据对数的运算性质,解对数不等式,求 x 出 a 的范围,可判断(2)的真假;根据函数对称变换,求出函数 y=3 的图象关于原点对称的函数图象的解 析式,可判断(3)的正误;根据对数函数的定义域,可判断(4)的真假;根据 a=﹣1 时,函数 f(x)只 有一个零点,可判断(5)的真假; 解答: 解: = = =2,故(1)错误;
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当 a>1 时,可得

恒成立;当 0<a<1 时,由

可得 0<a< ,综上,0<a< 或 a>1,

故(2)错误; x x 设函数 y=3 的上一点 P 关于原点的对称点为(x,y) ,则 P 点坐标为(﹣x,﹣y) ,由 P 点在 y=3 的图象, ﹣x ﹣x ﹣x x 故﹣y=3 ,则 y=﹣3 ,故函数 y=3 的图象与函数 y=﹣3 的图象关于原点对称,即(3)正确; 2 2 2 当 x≤0 时,﹣x +x≤0,此时函数 y=lg(﹣x +x)的解析式无意义,故(4)函数 y=lg(﹣x +x)的递增区间 为(﹣∞, ],错误;
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当 a=﹣1 时,f(x)=lg(x+1)有且只有 0 一个零点,不满足要求,故(5)错误; 故答案为: (3) 点评: 本题又命题的真假判断为载体考查了指数函数和对数函数的图象和性质,熟练掌握指数函数和对数函数的 图象和性质及图象变换法则,是解答的关键.

17. (4 分)设定义域为 R 的函数 f(x) 同的实数根,则 b 的取值范围是 ﹣1.5<b<﹣ .

,若关于 x 的方程 2f (x)+2bf(x)+1=0 有 8 个不

2

考点: 根的存在性及根的个数判断. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 题中原方程 2f2(x)+2bf(x)+1=0 有 8 个不同实数解,即要求对应于 f(x)=某个常数 K,有 2 个不同的 K,再根据函数对应法则,每一个常数可以找到 4 个 x 与之对应,就出现了 8 个不同实数解 故先根据题意作出 f(x)的简图: 由图可知,只有满足条件的 K 在开区间(0,1)时符合题意.再根据一元二次方程根的分布理论可以得出 答案. 解答: 解:根据题意作出 f(x)的简图: 2 由图象可得当 f(x)∈(0,1)时,有四个不同的 x 与 f(x)对应.再结合题中“方程 2f (x)+2bf(x)+1=0 2 2 有 8 个不同实数解“,可以分解为形如关于 K 的方程 2k +2bK+1=0 有两个不同的实数根 K1、K ,且 K1 和 K2 均为大于 0 且小于 1 的实数.
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列式如下:

,即

,可得﹣1.5<b<﹣

故答案为:﹣1.5<b<﹣

点评: 本题考查了函数的图象与一元二次方程根的分布的知识,属于难题,采用数形结合的方法解决,使本题变 得易于理解.数形结合是数学解题中常用的思想方法,能够变抽象思维为形象思维,有助于把握数学问题 的本质;另外,由于使用了数形结合的方法,很多问题便迎刃而解,且解法简捷. 三、解答题: (本大题共 5 个小题,共 72 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 18. (14 分)设全集 U=R,集合 A={x||x﹣a|<1},B={x| (1)求集合 B; (2)若 A?CUB,求实数 a 的取值范围. 考点: 集合关系中的参数取值问题. 专题: 计算题. 分析: (1)利用题设条件,通过求解分式不等式,能够求出集合 B.
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}.

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(2)由集合 B,求出 CUB,利用含绝对值不等式的解法求出集合 A,再由 A?CUB,列出不等式组,由此 能够求出实数 a 的取值范围. 解答: 解: (1)∵ ∴ , ,解得 x<2,或 x≥5,

∴B={x|x<2,或 x≥5}. (2)∵B={x|x<2,或 x≥5}, ∴CUB={x|2≤x<5}, ∵A={x||x﹣a|<1}={x|a﹣1<x<a+1},A?CUB, ∴ ,

解得 3≤a≤4. 点评: 本题考查集合的性质和应用,解题时要认真审题,注意分式不等式和含绝对值不等式的合理运用. 19. (14 分)已知函数 .

(1)判断函数 f(x)的单调性,并证明; (2)若 f(x)为奇函数,求实数 a 的值; (3)在(2)的条件下,解不等式:



考点: 指、对数不等式的解法;奇偶性与单调性的综合. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: (1)由 ,知 x∈R,利用定义法能证明 f(x)在 R 上单调递增.
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(2)由函数 (3)由 f(x)为奇函数, R 上单调递增,知

为奇函数,知 f(0)=0,由此能求出 a. ,知 f( ,由此能求出不等式: )>﹣f(1)=f(﹣1) ,由 f(x)在 的解.

解答: 解: (1)函数 f(x)是增函数.下用定义法证明: ∵ ,∴x∈R,

在 R 内任取 x1,x2,令 x1<x2, 则 f(x1)﹣f(x2)=a﹣ ﹣(a﹣ )

=

>0,

∴f(x)在 R 上单调递增. (2)∵函数 ∴f(0)=a﹣ 解得 a=1. =a﹣1=0, 为奇函数,

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(3)∵f(x)为奇函数, ∴f( )>﹣f(1)=f(﹣1) , ,

∵f(x)在 R 上单调递增, ∴ ,解得 0<x<4. ∴不等式: 的解集为{x|0<x<4}.

点评: 本题考查函数单调性的判断,考查函数的奇偶性和单调性的应用,考查不等式的解法.解题时要认真审题, 仔细解答.

20. (14 分)已知函数

的定义域为 M.

(1)求 M; x+2 x (2)当 x∈M 时,求函数 f(x)=a?2 +3?4 (a<﹣3)的最小值. 考点: 复合函数的单调性;对数函数的定义域. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: (1)利用被开方数非负,真数大于 0,建立不等式组,即可求得函数的定义域; (2)换元,利用配方法,结合函数的定义域,分类讨论,即可求得结论. 解答:
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解: (1)由题意,

,解得 1≤x≤2,∴M=(1,2];

(2)令 t=2 (t∈(2,4]) ,f(x)=g(t)=﹣4at+3t =3(t+ 1°﹣6<a<﹣3,即 2<﹣ 2°a≤﹣6,即﹣ <4 时,g(t)min=g(﹣ )=﹣

x

2

)﹣ ;

2

≥4 时,g(t)min=g(4)=48+16a

∴f(x)min=



点评: 本题考查函数的定义域,考查函数的最值,考查配方法的运用,属于中档题.

21. (15 分)已知函数 (1)当 0<a<b,且 f(a)=f(b)时,求 的值; (2)是否存在[a,b]?[1,+∞) ,使得 f(x)在[a,b]上的值域为[ma,mb](m≠0)?如果存在,请求出 m 的取值 范围;反之,请说明理由. 考点: 奇偶性与单调性的综合;函数的定义域及其求法;函数的值域;函数的值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1) 利用 y=f (x) 在[0, 1) , (1, +∞) 上的单调性, 及f (a) =f (b) , 可得 1﹣ = ﹣1, 从而求出 的值; (2)可假设存在[a,b]?[1,+∞) ,使得 f(x)在[a,b]上的值域为[ma,mb](m≠0) .再由函数 y=f(x)
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的定义域为[a,b],值域为[ma,mb](m≠0) ,结合(1)的结论知可判断出 a,b 是方程 mx﹣ 个根,利用函数思想,即可得到实数 m 所满足的不等式,解出实数 m 的取值范围. 解答: 解: (1)y=f(x)在[0,1)上为减函数,在(1,+∞)上为增函数, 由 0<a<b,且 f(a)=f(b) 可得 0<a<1<b,且 1﹣ = ﹣1, ∴ =2; (2)假设存在[a,b]?[1,+∞) ,使得 f(x)在[a,b]上的值域为[ma,mb](m≠0) 由[a,b]?(1,+∞) ,y=f(x)在(1,+∞)上为增函数,有 ,此时 a,b 是方程 mx﹣ +1=0 的两个根,
2

+1=0 的两

而 m=﹣

,x>1,令 t=

∈(0,1) ,m=﹣t +t,?0<m< ,

或 t=

∈(0,1) ,g(t)=mt ﹣t+1,有

2

?0<m< , 故存在[a,b]?[1,+∞) ,使得 f(x)在[a,b]上的值域为[ma,mb](m≠0) .m 的取值范围为: ( 0, ) . 点评: 本题的考点是函数与方程的综合应用,考查了分段函数,函数的定义域、值域构造方程的思想,二次方程 根与系数的关系等,解题的关键是理解题意,将问题正确转化,考查了推理判断能力,是一道综合性较强 的题.
2

22. (15 分)设 f(x)=ax +bx+1, (a,b 为常数) .若 (1)若 (2)若

,且 f(x)的最小值为 0,

在[1,2]上是单调函数,求 k 的取值范围. ,对任意 x∈[1,2],存在 x0∈[﹣2,2],使 g(x)<f(x0)成立.求 k 的取值范围.

考点: 函数恒成立问题. 专题: 综合题;函数的性质及应用. 分析: 2 (1)由 f(x)=ax +bx+1,
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,f(x)的最小值为 0,解得(x)=4x ﹣4x+1.所以 ﹣4=4 ﹣4,再由 在[1,2]上是单调

2

=4x+ ﹣4≥2

函数,能求出 k 的取值范围. 2 (2)当 x0∈[﹣2,2]时,f(x0)=4x0 ﹣4x0+1 在 x0=﹣2 时取最大值 f(x0)max=25.故 =4x+ ﹣4<25 在[1,2]恒成立,等价于 4x ﹣29x+k<0 在[1,2]恒成立,由此能求 出 k 的范围. 解答: 解: (1)∵f(x)=ax +bx+1,
2 2

,f(x)的最小值为 0,

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2

,解得 a=4,b=﹣4,

∴f(x)=4x ﹣4x+1. ∴ =4x+ ﹣4≥2 ﹣4=4 = ﹣4, 时,g(x)取最小值 4 在[1,2]上是单调函数, ,或 , ﹣4.

当且仅当 4x= ,即 x= ∵ ∴

解得 k≤4,或 k≥16. (2)∵
2

,对任意 x∈[1,2],存在 x0∈[﹣2,2],使 g(x)<f(x0)成立.

当 x0∈[﹣2,2]时,f(x0)=4x0 ﹣4x0+1 在 x0=﹣2 时取最大值 f(x0)max=f(﹣2)=4×4﹣4×(﹣2)+1=25. ∴
2

=4x+ ﹣4<25 在[1,2]恒成立,

∴4x ﹣29x+k<0 在[1,2]恒成立, ∴k<25. ∴k 的取值范围是(﹣∞,25) . 点评: 本题考查满足条件的实数的取值范围的求法,解题时要认真审题,仔细解答,注意均值定理、二次函数的 灵活运用.

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参与本试卷答题和审题的老师有:刘长柏;gongjy;zlzhan;翔宇老师;minqi5;俞文刚;孙佑中;吕静;danbo7801; qiss;zuozuo(排名不分先后)
菁优网 2013 年 10 月 24 日

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