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2005年苍南县“姜立夫”杯数学竞赛高一试卷

时间:2011-10-01


2005 年苍南县“姜立夫杯”高中数学竞赛 高 一 试 卷
2005 年 12 月 11 日 一、选择题(每题 5 分,共 40 分) 1、三元实数集 A= {x , xy , x + y} ,B= {0 , | x | , y} ,且 A=B,则 x A、0 B、1 C、2 D、-1
2006

命题人

沈世总

+ y 2006 =(



2、若某等差数列{an}中, a 2 + a 6 + a16 是一个确定的常数,则其前 n 项和 Sn 中也为确定的常数的是 ( ) A、 S15 3、设函数 f ( x) = ? A、 (0,10) B、 S 14 C、 S 8 D、 S 7 )

?21? x ? 1 ?lg x

( x < 1) ,若 f ( x0 ) > 1 ,则 x0 的取值范围是( ( x ≥ 1)
C、 (-∞,-2)

B、 (-1,+∞)

D、 (-∞,0)∪(10,+∞)

4、等差数列 {a n } 的前 n 项和为 Sn,且

S S4 1 = ,则 8 = ( S8 3 S16
1 9
D、



A、

1 8

B、

1 3

C、

3 10

5、已知集合 P = {u | u = 12m + 8n + 4l , m , n , l ∈ Z } , 集合 Q = {u | u = 20 p + 16q + 12r , p , q , r ∈ Z } ,则 P 与 Q 的关系为( )

A、P=Q B、P∩Q =φ C、 P∪Q =R D、P∪Q =Z 6、数列 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4……,则这个数列的第 2006 个数是( ) A、62 B、63 C、64 D 、65 7、已知函数 f(x)是 R 上的减函数,A(0,-2) ,B(-3,2)是其图象上的两点, 则不等式|f(x+2)|>2 的解集是( ) A、 (-1,2) B、 (-∞,-1)∪(2,+∞) C、 (-∞,-5)∪(-2,+∞) D、 (-∞,-3)∪(0,+∞) 8、某火车站在节日期间的某个时刻候车旅客达到高峰,此时旅客还在按一定的流量到达。如果只打 开 3 个检票口,需要 30 分钟才能使所有滞留旅客通过检票口。如果打开 6 个检票口,只需要 10 分 钟就能让所有滞留旅客通过。现要求在 5 分钟内使所有滞留旅客通过,则至少同时需要打开的检票 口数为(假设每个检票口单位时间内通过量相等) ( ) A、9 B、10 C、11 D、12 二、填空题(每题 5 分,共 30 分) 条件。 1、命题 p:|x|≤2,命题 q:|x+1|≤1,则非 q 是非 p 的 2、如果一个正整数集合中没有 3 个数是两两互质的,则称之为“异质”的,则集合{2,3,4, …16}中

“异质”的子集合的元素最多有 3、函数 f ( x ) = x + x +
2

个。

1 的定义域是[n,n+1](n 为给定的自然数) ,则函数 f(x)的值域中所含整数 2


的个数是 4、设函数 f ( x) =

4x 1 4 7 2005 ,则 f ( )+ f ( )+ f ( ) +? + f ( )= x 4 +2 2006 2006 2006 2006
2

5、对于任何 t ∈ [?2 , 2] ,函数 f ( x ) = tx ? 2 x + 1 ? t 总小于 0,则 x 的取值范围是 6、在圆 x + y =
2 2

25 3 内,过点(0, )有 n 条弦的长度成等差数列,最短弦长为数列的首项 a1, 4 2 1 1 最长弦为 an,若公差 d ∈ ( , ] ,则 n 的取值集合为 6 3

三、解答题(每题 10 分,共 30 分) 1、 等差数列{an} (n∈N+) 满足 a1=76, 且 3a5=8a12 (1) 若 bn=anan+1an+2 (n∈N+), 则数列{bn}的项中是否均为正数? 如果是,请说明理由; 如果不是, 则数列{bn}中有多少项是正数? (2) 若数列{bn}的前 n 项和为 Tn, 则当 n 取多大值时, Tn 取得最大值?并证明你的结论.

2、 规定[t]为不超过 t 的最大整数, 例如[13.7]=13, [-3.5]=-4, [3]=3, 对于实数 x, f 1 ( x) = [ 4 x] , 令

g ( x) = 4 x ? [4 x] ,进一步令 f 2 ( x) = f1[ g ( x)]
⑴若 x =

7 ,分别求 f 1 ( x) 和 f 2 ( x) ; 16

⑵若 f 1 ( x) =1, f 2 ( x) =3 同时满足,求 x 的取值范围。

3、已知函数 f ( x ) =

x , x ∈ (0 , 1) 1 + x2

⑴设 x1 , x 2 ∈ (0 , 1) ,证明: ( x1 ? x2 ) ? [ f ( x1 ) ? f ( x2 )] ≥ 0

3a 2 ? a 3b 2 ? b 3c 2 ? c ⑵设 a , b , c ∈ R ,且 a +b + c = 1 ,求 u = + + 的最小值。 1+ a2 1+ b2 1+ c2
+

2005 年苍南县“姜立夫杯”高中数学竞赛 高一答题卷
一、选择题(每小题 5 分,共 40 分) 题号 答案 二、填空题(每小题 5 分,共 30 分) 1、__________________ 4、_________________ 2、___________________ 5、___________________ 3、____________________ 6、____________________ 1 2 3 4 5 6 7 8

三、解答题(每小题 10 分,共 30 分) 1、等差数列{an} (n∈N+) 满足 a1=76, 且 3a5=8a12 (1) 若 bn=anan+1an+2 (n∈N+), 则数列{bn}的项中是否均为正数? 如果是,请说明理由; 如果不是, 则数列{bn}中有多少项是正数? (2) 若数列{bn}的前 n 项和为 Tn, 则当 n 取多大值时, Tn 取得最大值?并证明你的结论.

2、规定[t]为不超过 t 的最大整数,例如[13.7]=13,[-3.5]=-4,[3]=3, 对于实数 x, f 1 ( x) = [ 4 x] , 令

g ( x) = 4 x ? [4 x] ,进一步令 f 2 ( x) = f1[ g ( x)]
⑴若 x =

7 ,分别求 f 1 ( x) 和 f 2 ( x) ; 16

⑵若 f 1 ( x) =1, f 2 ( x) =3 同时满足,求 x 的取值范围。

3、已知函数 f ( x ) =

x , x ∈ (0 , 1) 1 + x2

⑴设 x1 , x 2 ∈ (0 , 1) ,证明: ( x1 ? x2 ) ? [ f ( x1 ) ? f ( x2 )] ≥ 0 ⑵设 a , b , c ∈ R + ,且 a +b + c = 1 ,求 u =

3a 2 ? a 3b 2 ? b 3c 2 ? c + + 的最小值 1+ a2 1+ b2 1+ c2

2005 年苍南县“姜立夫杯”高中数学竞赛 高一试题参考答案
一、选择题(每小题 5 分,共 40 分) 题号 答案 1 C 2 A 3 D 4 D 5 A 6 B 7 C 8 C

二、填空题(每小题 5 分,共 30 分) 2、11 1、必要不充分 4、

3、2n+2 6、

669 2

5、

7 ?1 3 +1 <x < 2 2

{4、5、6}

三、解答题(每小题 10 分,共 30 分)

1、解:(1) 、∵3 a 5=8 a 12 ∴3( a 1+4 d )=8( a 1+11 d ) ∴ d =-5 ∵ a 1=76 ∴ a n=81-5n ……………………2 分 ∴ a 1> a 2> a 3…… > a 16>0> a 17> a 18>…… 又∵ b n= a n· a n+1· a n+2 ∴ b 1>0, b 2>0,…… b 14>0 b 15= a 15· a 16· a 17<0, b 16= a 16· a 17· a 18>0 b 17<0, b 18<0 …… ………………4 分 ∴数列 {b n }项中有 15 项为正数 ………………5 分

(2)、由(1)得:当 n≤14 时, b n>0, 当 n≥17 时, b n<0 且 b 15<0, b 16>0 ∴T1<T2<T3……<T14,而 T14>T15,T15<T16,T16>T17>T18>…… ………8 分 ∵T16-T14= b 15+ b 16= a 15 a 16 a 17+ a 16 a 17 a 18= a 16 a 17( a 15+ a 18)=-3 a 16 a 17>0 ∴T16>T14 ∴当 n=16 时, Tn 取得最大值 ……………………10 分 7 7 2、解:(1)、∵ x = ∴ 4x= 16 4 7 ∴f1( x )=[ ] =1 ………………1 分 4 7 3 ∴ g( x )= -1= …………3 分 4 4 3 f2( x )=f1[g( x 1)]=f1( )=[3]=3 …………5 分 4 (2)、f1( x )=[4 x ]=1 g( x )=4 x -1 f2( x )=f1[g( x )]=[16 x -4]=3 …………………7 分

∴ ∴

1≤4 x <2 3≤16 x -4<4
7 1 ≤x< 16 2

………………9 分 ………………10 分

3、(1) 、证明:设 0< x 1< x 2<1 f( x 1)-f( x 2)=

x1 x2 2 1 + x1 1 + x 2 2

(x1 ? x 2) ? x1 x 2) (1 = < 0 2 (1 + x1 )(1 + x 2 2 ) ∴( x 1- x 2)[f( x 1)-f( x 2)]>0 同理:若 x 1> x 2 有 ( x 1- x 2)[f( x 1)-f( x 2)] >0 若 x 1= x 2 有 ( x 1- x 2)[f( x 1)-f( x 2)]=0 ∴( x 1- x 2)[f( x 1)-f( x 2)]≥0 (2) 、 ∵ a + b +c=1 且 a 、 b 、c ∈ R ∴0< a <1,0< b <1,0<c<1 1 1 由(1)得:( a - )[f( a )-f( )]≥0 3 3 1 a 3 ∴( a - )[ - ]≥0 3 1 + a 2 10 1 a2 ? a 3 ≥ 3 (a-1 ) ∴ 1 + a2 10 3 即 3a 2 ? a 9 1 ≥ (a- ) 2 1+ a 10 3 3b 2 ? b 9 1 ≥ (b - ) 2 1+ b 10 3 3c 2 ? c 9 1 ≥ (c- ) 2 1+ c 10 3 ∴u≥ 9 1 1 1 ( a - + b - +c- )=0 10 3 3 3 ∴u 的最小值为 0
+

……………… 3 分

……………… 5 分 ……………………6 分

………………8 分

同理:

………………10 分


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