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人教A版高中数学必修2知识点


必修 2 知识点归纳
第一章 空间几何体
1、空间几何体的结构:空间几何体分为多面体和旋转体和简单组合体 ⑴常见的多面体有:棱柱、棱锥、棱台;常见的旋转体有:圆柱、圆锥、圆台、球。简单组合 体的构成形式: 一种是由简单几何体拼接而成,例如课本图 1.1-11 中(1) (2)物体表示的几何体; 一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成,例如课本图 1.1-11

中(3) (4)物体表示 的几何体。

第二章 点、直线、平面之间的位置关系及其论证
1、公理 1:如果一条直线上两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内。

α

A

B

l

? A ? l, B ? l ?l ?? ? ? A ?? , B ??

公理 1 的作用:判断直线是否在平面内

2、公理 2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。

α

C A

B

若 A,B,C 不共线,则 A,B,C 确定平面 ?

推论 1:过直线的直线外一点有且只有一个平面

简单组合体

α
⑵棱柱:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平 行,由这些面所围成的多面体叫做棱柱。 ⑶棱台:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与截面之间的部分,这样的多面体叫做 棱台。

A
A l
m

l

若 A?l ,则点 A 和 l 确定平面 ?

推论 2:过两条相交直线有且只有一个平面

α

若m?n ?

A ,则 m, n 确定平面 ?

推论 3:过两条平行直线有且只有一个平面

1、空间几何体的三视图和直观图
把光由一点向外散射形成的投影叫中心投影,中心投影的投影线交于一点;把在一束平行 光线照射下的投影叫平行投影,平行投影的投影线是平行的。 (1)定义: 正视图:光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图; 侧视图:光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图; 俯视图:光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图。 几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图。 (2)三视图中反应的长、宽、高的特点: “长对正” , “高平齐” , “宽相等” 2、空间几何体的直观图(表示空间图形的平面图). 观察者站在某一点观察几何体,画 出的图形.

α

m n

若 m ? n ,则 m, n 确定平面 ?

公理 2 及其推论的作用:确定平面;判定多边形是否为平面图形的依据。

3、公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点 的公共直线。
β α
P

·

L

P ?? , P ? ? ? ? ? ? ? l且P ? l

3、斜二测画法的基本步骤:
①建立适当直角坐标系 xOy (尽可能使更多的点在坐标轴上) ②建立斜坐标系 ?x O
' ' ' ' ' 0 0 y' , 使 ?xOy =45(或 135 ) , 注意它们确定的平面表示水平平面;


公理 3 作用: (1)判定两个平面是否相交的依据; (2)证明点共线、线共点等。

4、 公理 4: 也叫平行公理, 平行于同一条直线的两条直线平行. a ? b, c ? b ? a ? c
公理 4 作用:证明两直线平行。

5、定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补。
③画对应图形,在已知图形平行于 X 轴的线段,在直观图中画成平行于 X 轴,且长度保持 不变;在已知图形平行于 Y 轴的线段,在直观图中画成平行于 Y 轴,且长度变为原来的一半;


a
1 b a' 2 b' a 1 a' 2 b'

a ? a ?, b ? b?且?1与?2方向相同 ? ?1=?2

b

=2 一般地,原图的面积是其直观图面积的 2 2 倍,即 S原图
4、空间几何体的表面积与体积
⑴圆柱侧面积; S 侧面

2S直观

方向相同则 ∠ 1=∠ 2

方向相反则 a ? a ?, b ? b?且?1与?2方向相反 ? ?1 ? ?2=180? ∠1+∠2=180°

? 2? ? r ? l

作用:该定理也叫等角定理,可以用来证明空间中的两个角相等。

r l r l A S侧=2πr?l AB=2πr B

6、线线位置关系:平行、相交、异面。 a ? b ,
(1)没有任何公共点的两条直线平行 (2)有一个公共点的两条直线相交 (3)不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线

a ? b ? A,

a, b异面

a ?A
b

7、线面位置关系:

⑵圆锥侧面积: S 侧面
A l V θ l r h l B

? ? ?r ?l
图中:扇形的半径长为l, 圆心角为θ,弧AB 的长 L θ?l(注:扇形的弧长等于 圆心角乘以半径.提醒圆心角 π 为弧度角,例如60° 弧度, 3 π π 45° 弧度,90° 弧度等等) 4 2

a ?
(2)

a ? A
(3)

?
(1)

a

(1)直线在平面内,直线与平面有无数个公共点; a ? ? (2)直线和平面平行,直线与平面无任何公共点; a ? ? (3)直线与平面相交,直线与平面有唯一一个公共点; a ? ?

?A

圆锥的侧面展开图是扇形, 扇形面积S扇形
r l

8、面面位置关系:平行、相交。

1 弧长 半径 2

⑶圆台侧面积: S 侧面
O1 h O2 R

? ? ?r ?l ?? ? R?l

9、线面平行: (即直线与平面无任何公共点)

R

O d O1

⑴判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。 (只需在平面内找一条直线和平面外的直线平行就可以)

⑷体积公式:

V柱体 ? S ? h ; V锥体

1 V台体 ? h S上 ? S上 ? S下 ? S下 3
⑸球的表面积和体积:

?

1 ? S ? h; 3

r

?

d= R2-r2
证明两直线平行的主要方法是:

a ??? ? b ? ? ? ? a // ? a // b ? ?
①三角形中位线定理:三角形中位线平行并等于底边的一半; ②平行四边形的性质:平行四边形两组对边分别平行; ③线面平行的性质: 如果一条直线平行于一个平面, 经过这条直线的平面与这个平面相交,

S球

4 ? 4?R 2,V球 ? ?R 3 .一般地, 面积比等于相似比的平方, 体积比等于相似比的立方。 3

那么这条直线和它们的交线平行;

12、面面垂直: ⑴定义:两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直。

? ? a?? ? ? a ?b ? ? ? ? b? ?
④平行线的传递性: a ? b, c ? b ? a ? c ⑤面面平行的性质:如果一个平面与两个平行平面相交,那么它们的交线平行;

a ??

⑵判定:一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个平面垂直。

? ??

? ? ? ? ? ? a? ? a ? b ? ? ? ? b? ?
a ??? ? ? a ?b b ?? ?

l ? ?? l ???

? ? ? ? ? (只需在一个平面内找到另一个平面的垂线就可证明面面垂直)

⑶性质:两个平面互相垂直,则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。

???
⑥垂直于同一平面的两直线平行;

⑵直线与平面平行的性质:如果一条直线平行于一个平面,经过这条直线的平面与这个平面相 交,那么这条直线和它们的交线平行; (上面的③) 证明两直线垂直和主要方法:

? ? ? ? ? m? ? ??l ? ? l ?? ? ? l?m ?
①利用勾股定理证明两相交直线垂直; ②利用等腰三角形三线合一证明两相交直线垂直; ③利用线面垂直的定义证明(特别是证明异面直线垂直) ; ④利用三垂线定理证明两直线垂直( “三垂”指的是“线面垂” “线影垂” , “线斜垂” )
P 斜 α A 影 O a 线

10、面面平行: (即两平面无任何公共点)
(1)判定定理:一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行。

a ? ?,b ? ? ? ? a ?b ? A ? ?? ?? a ? ?,b ? ? ? ?
判定定理的推论: 一个平面内的两条相交直线与另一个平面上的两条直线分别平行,两 平面平行

如图:PO ? ? ? OA是PA在平面? 上的射影? 又直线a ? ? , 且a ? OA 即:线影垂直 ? 线斜垂直,反之也成立。

? ? a ? PA ?

④利用圆中直径所对的圆周角是直角,此外还有正方形、菱形对角线互相垂直等结论。

a, b ? ? ? a ?b ? A ? ? ? ?? ?? a ? a?, b ? b?? a?, b? ? ? ? ?
(2)两平面平行的性质: 性质Ⅰ:如果一个平面与两平行平面都相交,那么它们的交线平行;

空间角及空间距离的计算
1.异面直线所成角:使异面直线平移后相交形成的夹角,通常在在两异面直线中的一
条上取一点,过该点作另一条直线平行线,

如图:直线a与b异面,b//b?,直线a与直线b?的夹角为两异 面直线 a与b所成的角,异面直线所成角取值范围是(0?,90?]

? ??

? ? ? ? ? ? a? ? a ? b ? ? ? ? b? ?
性质Ⅱ:平行于同一平面的两平面平行;

2. 斜线与平面成成的角:斜线与它在平面上的射影成的角。如图:PA 是平面 ? 的
一条斜线,A 为斜足,O 为垂足,OA 叫斜线 PA 在平面 ? 上射影, ?PAO 为线面角。

? ?? ? ? ?? ?? ? ?? ?
性质Ⅲ:夹在两平行平面间的平行线段相等;

3.二面角:从一条直线出发的两个半平面形成的图形,如图为二面角 ? ? l ? ? ,二
面角的大小指的是二面角的平面角的大小。二面角的平面角分别在两个半平面内且角的两边与 二面角的棱垂直
如图:在二面角? - l - ?中,O棱上一点,OA ? ?,OB ? ?,

? ??

? A, C ? ? ? ? ? ? AC ? BD B, D ? ? ? AB ? CD ? ?

且OA ? l , OB ? l , 则?AOB为二面角? - l - ?的平面角。
用二面角的平面角的定义求二面角的大小的关键点是: ①明确构成二面角两个半平面和棱; ②明确二面角的平面角是哪个? 而要想明确二面角的平面角,关键是看该角的两边是否都和棱垂直。 (求空间角的三个步骤是“一找” 、 “二证” 、 “三计算” )

性质Ⅳ:两平面平行,一平面上的任一条直线与另一个平面平行;

? ?? ? ? ?? ? ? ? a ? ?或 ? ? a ?? a ??? a ? ??
11、线面垂直:
⑴定义: 如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线, 那么就说这条直线和这个平面垂直。 ⑵判定:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。

4.异面直线间的距离:指夹在两异面直线之间的 公垂线段的长度。如图 PQ 是两异面直线间的距离
(异面直线的公垂线是唯一的,指与两异面直线垂直且相交的直线) 5.点到平面的距离:指该点与它在平面上的 射影的连线段的长度。 如图:O 为 P 在平面 ? 上的射影, 线段 OP 的长度为点 P 到平面 ? 的距离 求法通常有:定义法和等体积法 等体积法:就是将点到平面的距离看成是 三棱锥的一个高。如图在三棱锥 V 中有: VS ? ABC

l?m l?n m?n ?

? ? ? ?? l ?? A? m, n ? ? ? ?

? ABC

⑶性质Ⅰ:垂直于同一个平面的两条直线平行。

a ??? ? ? a ?b b ?? ?
性质Ⅱ:垂直于同一直线的两平面平行

? VA?SBC ? VB?SAC ? VC ?SAB

? ? l? ? ?? ?? ? ? l?

第三章

直线与方程

1.直线方程的概念:一条直线 l 与一个二元一次方程 F ( x, y) ? Ax ? By ? C ? 0 有如下两个对应:

①直线 l 上任意一点的坐标 ( x, y ) 都满足方程 F ( x, y ) ? Ax ? By ? C ? 0 ; ②以方程 F ( x, y ) ? Ax ? By ? C ? 0 的解为坐标的点 ( x, y ) 都在直线 l 上。 则称方程 F ( x, y ) ? Ax ? By ? C ? 0 为直线 l 的方程,直线 l 为方程的直线。 方程组求解,即:

? A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 ① ? ? A2 x ? B2 y ? C2 ? 0

当①有唯一解时,两直线相交;当①无解时,两直线平行;当①有无数个解时,两直线重合 。 (2)过两直线 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0, l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 交点的直线系方程为:

2.直线倾斜角的定义:把直线向上的方向与 x 轴的正方向形成的最小正角叫直线 的倾斜角。 3.直线倾斜角的范围: 0? ? ? ? 180? ,当直线与 x 轴平行或者是重合时,倾斜角为 0? 4.直线斜率的定义:倾斜角不为 90? 直线,倾斜角的正切值叫直线的斜率 。
记作 k ? tan ? (? ? 90?) 当倾斜角为 90? 时直线的斜率不存在。

A1 x ? B1 y ? C1 ? ? ( A2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0
将含有一个参数的直线方程化为直线系方程 的样式就可解决直线恒过定点问题。

(3)两点间距离公式:

5、直线 l 过点 P ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 ) ,则直线的斜率为: k ? 1 6、直线方程的表示形式:
⑴点斜式: y ? y0 ? k ? x ? x0 ? , 当斜率不存在时,直线与 x 轴垂直,倾斜角为 90? , 此时直线方程为: x ? x0 ,如右图,特别地 y 轴所在 直线方程为 x ? 0 。 当直线斜率 k 直线方程为: ⑵斜截式:

y2 ? y1 x2 ? x1

PP ? 1 2

?x

2

? x1 ? ? ? y2 ? y1 ?
2

2

( x1 ? x2 )
(4)点 P ( x0 , y0 ) 到直线 l : Ax ? By ? c ? 0 距离公式: d ? 0 (5)两平行线间的距离公式:对于直线

Ax0 ? By0 ? C A ?B
2 2

l1 : A x ? B y ? C1 ? 0, l2 : A x ? B y ? C2 ? 0 , l1 与 l 2 间的距离为: d

?

|C ?C |
2 1

A ?B
2

2

? 0 时,直线与 x 轴平行或者是重合

y ? y0 , x 轴所在的直线方程为 y ? 0 。

? x ? x1 ? x2 ? ? 2 (6)线段中点坐标公式: ? ? y ? y1 ? y2 ? ? 2

, A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , M ( x, y ) 是线段 AB 的中点。

y ? kx ? b ( b 为直线在 y 轴上的截距)

第四章

圆与方程

当直线过

y 轴上一定点 (0, b) 时,通常设直线方程为: y ? kx ? b ,例如直线 l 过定点

1、圆的第一定义:到定点的距离等于定长的点的集合. P ? {M ( x, y) | MO |? r} 圆的第二定义:到两个定点的距离之比等于常数(不等于 1)的点的集合。 2、圆的标准方程: ? x ? a ?2 ? ? y ? b ?2 ? r 2 ,圆心为 ( a, b) ,半径为 r 。

(0, 2) ,设 l : y ? kx ? 2 。
当直线过 x 轴上一定点( a, 0 )时, ,通常设直线方程为: x ? my ? a ,例如直线 l 过定 点 (2, 0) ,设 l : x ? my ? 2 ⑶两点式:

y ? y1 y2 ? y1
x a ? y b

?

x ? x1 x2 ? x1

3、圆的一般方程: x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0( D ? E ? 4F ? 0) 。
2 2 2 2

⑷截距式:

? 1( a ? 0, b ? 0) ,
圆心为 ( ?
2 2

D 2

x y ? 1( a ? 0, b ? 0) 。 一般地,问题中出现两个截距时,通常设直线方程为 ? a b
方程中 a , b 分别表示直线的横截距和纵截距, 一般地,在直线方程中,令 y ? 0 可求得横截距 a ,令 x ? 0 可求得纵截距 b ⑸一般式: Ax ? By ? C ? 0 ( A ? B ? 0) ,所有直线方程都可化为一般式。
2 2

,?

E 2

) ,半径 r

?
2

1 2

D ? E ? 4F 。
2 2

当 D ? E ? 4 F ? 0 时,方程 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 表示点 ( ?
2
2 2

D 2

,?

E 2

)

当 D ? E ? 4 F ? 0 时,方程 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 不表示任何图形。
2 2

当 B ? 0 ,直线的斜率 k

??

A B

,当 B ? 0 时,直线斜率不存在,方程可化为 x ? ?

C A

4、点 P ( x
0

0

, y ) 与圆
0

? x ? a?

2

2 ? ? y ? b ? ? r 的位置关系的判定: 2

7、两直线的位置关系的判定: 当两直线倾斜角相等时,即 ? ? ? 时,两直线平行 ; 当两直线倾斜角满足 | ? ? ? |? 90? 时,两直线垂直; 当两直线倾斜角不相当时,两直线相交。 对于直线 l1 : y ? k1 x ? b1 , l2 : y ? k2 x ? b2 有:

(1)当 P ( x0 , y0 ) 满足 ? x0 ? a ? ? ? y0 ? b ? ? r 时点 P 在圆上; 0
2 2 2

(2)当 P ( x0 , y0 ) 满足 ? x0 ? a ? ? ? y0 ? b ? ? r 2 时点 P 在圆内; 0
2 2

(3)当 P ( x0 , y0 ) 满足 ? x0 ? a ? ? ? y0 ? b ? ? r 2 时点 P 在圆外; 0
2 2

5、求圆方程的方法,主要有两种:
(1)待定系数法:使用待定系数法求圆方程的一般步骤:

⑴ l1 / / l2 ?

?k1 ? k2 ;⑵ l ? ?b1 ? b2

和 l 2 相交 ? k1 ? k2 ; 1

①根据提设,选择标准方程或一般方程; ②根据条件列出关于 a、b、r 或 D、E、F 的方程组;
③解出 a、b、r 或 D、E、F,代入标准方程或一般方程。 (2)利用三角形外心的定义及其垂径定理求圆心坐标; ①三角形外心的定义 :三角形三边垂直平分线的交点就是外心; ②垂径定理:垂直于弦的半径平分弦并平分弦所对的弧; ③弦的垂直平分线必经过圆心,因此求出两条弦的垂直平分线方程,联立解方程组求 得圆心坐标,而圆心到圆上任意一点的距离都等于半径,最终写出圆的标准方程。

⑶ l1 和 l 2 重合 ?

?k1 ? k2 ;⑷ l ? ?b1 ? b2

1

? l2 ? k1k2 ? ?1 .

对于直线 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0, l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 有:

? A1 B2 ? A2 B1 ⑴ l1 / / l2 ? ? ; (2) l ? B1C2 ? B2C1
⑶ l1 和 l 2 重合 ?

1

和 l 2 相交 ? A1 B2 ? A2 B1 ;

? A1 B2 ? A2 B1 ;⑷ l ? ? B1C2 ? B2 C1

6、直线与圆的位置关系的判定:
? l2 ? A1 A2 ? B1 B2 ? 0 .
几何法(1)相切:圆心到直线的距离 d = r ;

1

?r; d (3)相离:圆心到直线的距离 ? r 。
(2)相交:圆心到直线的距离 d

8、交点与距离公式
(1) 两直线 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0, l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 的交点坐标需将两直线方程组成

l:Ax+By+C=0 d r C(a,b) d= |Ax0+By0+C|

l:Ax+By+C=0 d r C(a,b)

l:Ax+By+C=0 d

A2+B2 圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2 相切:d=r

A2+B2 圆C:(x-a) +(y-b) =r2
2 2

d=

|Ax0+By0+C|

r |Ax0+By0+C| C(a,b) d= A2+B2 圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2

代数法:将直线方程与圆的方程联立组成方程组 ? (1)若方程①有唯一一个解,直与圆相切;

? y ? kx ? b
2 2 ?x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0

若圆心 C1 到公共弦的距离等于半径 r1 ,或者是圆心 C 2 到公共弦的距离等于半径 r2 ,则两圆 ① 相切(外切或者内切) ; 若圆心 C1 到公共弦的距离等于小于 r1 ,或者是圆心 C 2 到公共弦的距离小于半径 r2 ,则两圆 相交;

(2)若方程①有唯两个不等实数个解,直线与圆相交; (3) )若方程①有无解,直线与圆相离。 特别地,当直线 l 与圆 C 相离时, P 为圆上 的动点, | PH | 为点 P 到直线 l 的距离,设 d 为圆心到直线 l 的距离,则

8、坐标法是解决几何问题的重要方法,其步骤是:
第一步:建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何元素,将平面几何 问题转化为代数问题;

| PH |

max

? d ? r , | PH |

min

? d ? r.

第二步:通过代数运算,解决代数问题; 第三步:将代数运算结果“翻译”成几何结论.

直线与圆相切,求圆的切线方程:一般用圆心到直线的距离等于半径来求解

?1? 过圆外一点的切线:①k不存在,验证是否成立;②k 存在,设点斜式方程,
用圆心到该直线距离 ? 半径,求解k,得到直线方程【一定有两解】

9、 空间直角坐标系
确定空间直角坐标系中点的坐标的知识要点: 1. 空间直角坐标系 :从空间某一个定点 O 引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴

? 2 ? 过圆上一点的切线方程:圆 ? x ? a ? ? ? y ? b ? ? r ,圆上一点为( x ,y 过此点的切线方程为 ? x ? a ?? x ? a ? ? ? y ? b ?? y ? b ? ? r
2 2 2 0 2 0 0

0

),则

Ox , Oy, Oz ,这样的坐标系叫做空间直角坐标系 O ? xyz ,点 O 叫做坐标原点, x 轴、 y 轴、

z 轴叫做坐标轴.
xOz 平面.

通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面 ,分别称为 xOy 平面、 yOz 平面、 如图:边长为 2 的正方体各顶点坐标分别 为:

D (0, 0, 0)

A( 2, 0, 0)

B ( 2, 2, 0)

C (0, 2, 0) A1 ( 2, 0, 2 ) B1 ( 2, 2, 2 )

注意解决直线与圆位置关系问题时, 经常需要设定直线方程, 设直线方程的技巧: ①若直线 l 过轴上的定点 ( a , 0) 则可设直线 l : x ? my ? a ②若直线过定点为 (0, b ) ,则一般设
直线 l : y ? kx ? b ;③若直线过点 ( x0 , y0 ) ,则设直线 l : y ? y0 ? k ( x ? x0 ) 。

C ( 0, 2, 2 ) D ( 0 , 0 , 2 ) 1 1
请注意:在写空间中点的坐标遇到困难时,通常先写出该点在 xOy 平面上的射影点的的 坐标,然后加上相应的竖坐标即可。

7、两圆位置关系的判定:设圆心距 d ? C C
1

2

2.右手直角坐标系:在空间直角坐标系中,让右手拇指指向 x 轴的正方向,食指指向 ⑶相交: | R ? r |? d ? R ? r 的正方向,若中指指向 z 轴的正方向,则称这个坐标系为右手直角坐标系.

y轴

几何法⑴相离: d ? R ? r ; ⑵外切: d ? R ? r ; ⑷内切: d ?| R ? r | ; ⑸内含: d ?| R ? r | .

3.空间直角坐标系中的坐标:对于空间任一点 M,作出 M 点在三条坐标轴 Ox 轴、 Oy 轴、
相交:有两个公共点,圆心距 |r1-r2|<|C1C2|=r1+r2

相离:无共点,圆心距|C1C2|>r1+r2

外切:有一个公共点, 圆心距|C1C2|=r1+r2

Oz 轴上的射影,若射影在相应数轴上的坐标依次为 x、y、z,则把有序实数组(x, y, z)叫做
M 点在此空间直角坐标系中的坐标,记作 M(x, y, z),其中 x 叫做点 M 的横坐标,y 叫做点 M 的纵坐标,z 叫做点 M 的竖坐标. 4.坐标轴上的点与坐标平面上的点的坐标的特点:

r1 C1

C2 r2
C1 r1 r2

C2
C1

r1

C2 r2

圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0 圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0

圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0 圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0

圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0 圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0

x 轴上的点的坐标的特点: P ( a , 0, 0) ,纵坐标和竖坐标都为零.

y 轴上的点的坐标的特点: P (0, a , 0) ,横坐标和竖坐标都为零.
z 轴上的点的坐标的特点: P (0, 0, a ) ,横坐标和纵坐标都为零.
,竖坐标为零. xOy 坐标平面内的点的特点: P ( a , b, 0) )

xOz 坐标平面内的点的特点: P ( a, 0, b) ,纵坐标为零.
yOz 坐标平面内的点的特点: P (0, a , b ) ,横坐标为零.
5. 中点坐标公式 :设A (x1 , y1 , z1) , B ( x2 , y 2 , z 2 ) 则线段AB的中点坐标为( x1 ? x2 y1 ? y 2 z1 ? z 2 , , ) 2 2 2

? x 2 ? y 2 ? D1 x ? E1 y ? F1 ? 0 代数法;将两圆的方程组成方程组 ? 2 2 ? x ? y ? D2 x ? E2 y ? F2 ? 0
(1)若方程有一个解,两圆相切(内切或外切) ; (2)若方程有两个不同解,两圆相交; (3)若方程有无解,两圆外离或内含 特别地, 方程 x ? y ? D1 x ? E1 y ? F ? ? ( x ? y ? D2 x ? E2 y ? F ) ? 0 表示过两圆交点的 1
2 2 2 2

6、空间中两点间距离公式:

PP ? 1 2

?x

2

? x1 ? ? ? y2 ? y1 ? ? ? z2 ? z1 ?
2 2

2

圆系方程。

在这个方程组中 ?

? x 2 ? y 2 ? D1 x ? E1 y ? F1 ? 0 ? x ? y ? D2 x ? E2 y ? F2 ? 0
2 2

用①-②消去平方项后得一个直线方程,该

直线方程过两圆的交点,因此该直线方程也叫两圆的公共弦所在的直线方程。


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