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2015一轮复习数学第二章第九节课后限时自测

时间:2015-02-06


课后限时自测

A组

基础训练

一、选择题 1.某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整,调整后初期利润增长迅速,后来增长越来 越慢,若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润 y 与时间 x 的关系,可选用( ) A.一次函数 B.二次函数 C.指数型函数 D.对数型函数 【解析】 由利润 y 随时间 x 增长的速度先快后慢知,应选 D. 【答案】 D 2.某公司招聘员工,经过笔试确定面试对象人数,面试对象人数按拟录用人数分段计算,计算公 式为:

?4x,1≤x≤10, y=?2x+10,10<x≤100, ?1.5x,x>100,
其中 x 代表拟录用人数,y 代表面试对象人数.若应聘的面试对象人数为 60 人,则该公司拟录用 人数为( ) A.15 B.40 C.25 D.30

【解析】 若 x∈[1,10],则 y=4x≤40. 若 x∈(100,+∞),则 y=1.5x>150, ∴60=2x+10,∴x=25. 【答案】 C 3.在股票买卖过程中,经常用到两种曲线,一种是即时价格曲线 y=f(x),一种是平均价格曲线 y=g(x),如 f(2)=3 表示开始交易后 2 小时的即时价格为 3 元,g(2)=4 表示开始交易后两小时内所 有成交股票的平均价格为 4 元,下面所给出的四个图像中,实线表示 y=f(x),虚线表示 y=g(x),其 中可能正确的是( )

【解析】 f(0)与 g(0),应该相等,故排除 A,B 中开始交易的平均价格高于即时价格,D 中恰好 相反,故正确选项为 C. 【答案】 C 4.在养分充足的情况下,细菌的数量会以指数函数的方式增加.假设细菌 A 的数量每 2 个小时可 以增加为原来的 2 倍;细菌 B 的数量每 5 个小时可以增加为原来的 4 倍.现在若养分充足,且一开始 两种细菌的数量相等,要使细菌 A 的数量是 B 的数量的两倍,需要的时间为( ) A.5 h B.10 h C.15 h D.30 h

x
【解析】 假设一开始两种细菌数量均为 m, 则依题意经过 x 小时后, 细菌 A 的数量是 f(x)=m22,

x
【答案】 B

x

x

细菌 B 的数量是 g(x)=m45,令 m22=2m45,解得 x=10.

5.(2012·江西高考)如图 2-9-4 所示,|OA|=2(单位:m),|OB|=1(单位:m),OA 与 OB 的夹 π 角为 , 6

图 2-9-4 以 A 为圆心,AB 为半径作圆弧 与线段 OA 延长线交于点 C.甲、乙两质点同时从点 O 出发,

甲先以速率 1(单位:m/s)沿线段 OB 行至点 B,再以速率 3(单位:m/s)沿圆弧 行至点 C 后停止; 乙以速率 2(单位:m/s)沿线段 OA 行至点 A 后停止.设 t 时刻甲、乙所到达的两点连线与它们经过的 路径所围成图形的面积为 S(t)(S(0)=0),则函数 y=S(t)的图像大致是( )

【解析】

由题意知,当 0<t≤1 时,甲从 O 向 B 移动,乙从 O 向 A 移动,则 t 时刻,|OB|=t,

1 π 1 2 |OA|=2t,此时 S(t)= ·|OB|·|OA|sin = t ,此段图像为抛物线;当 t>1 时,设圆弧半径为 r, 2 6 2 1 π 1 3r 甲从 B 沿圆弧移动到 C 后停止,乙在 A 点不动,则此时 S(t)= ×1×2·sin + ·r·3(t-1)= 2 6 2 2

t+

1-3r ,此段图像为直线,当甲移动至 C 点后,甲、乙均不再移动,面积不再增加,故选 A. 2 【答案】 A 二、填空题 6. 生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本, 某企业一个月生产某种商品 x 万件时的生产成

1 本为 C(x)= x2+2x+20(万元).一万件售价是 20 万元,为获取更大利润,该企业一个月应生产该商 2 品数量为________. 【解析】 1 2 利润 L(x)=20x-C(x)=- (x-18) +142,当 x=18 时,L(x)有最大值. 2

【答案】 18 万件 7.某工厂产值连续三年持续增长,这三年的增长率分别为 x1,x2,x3,则这三年的平均增长率 p =________. 3 【解析】 依题意(1+x1)(1+x2)(1+x3)=(1+p)3,所以 p= (1+x1)(1+x2)(1+x3)-1. 3 【答案】 (1+x1)(1+x2)(1+x3)-1 8.如图 2-9-5 是某受污染的湖泊在自然

图 2-9-5 净化过程中,某种有害物质的剩留量 y 与净化时间 t(月)的近似函数关系:y=at(t≥0,a>0 且 a≠1).有以下叙述

1 ①第 4 个月时,剩留量就会低于 ; 5 ②每月减少的有害物质量都相等; 1 1 1 ③若剩留量为 , , 所经过的时间分别是 t1, t2 , t3,则 t1+ t3 =2t2. 其中所有正确的叙述是 2 4 8 ________. 【解析】 4 2 ?2?t 由 a2= ,得 a= ,∴y=? ? . 9 3 ?3?

?2?4 16 1 当 t=4 时,y=? ? = < .所以①对; 81 5 ?3? ?2?t ?2?t+1 1?2?t 由? ? -? ? = ? ? 是一个与 t 有关的变量,得②错; 3?3? ?3? ?3? ?2?t1 1 ?2?t2 1 ?2?t3 1 ∵? ? = ,? ? = ,? ? = , 2 ?3? 4 ?3? 8 ?3? ?2?t1 ?2?t3 ??2?t2?2 ∴? ? ·? ? =?? ? ? , ?3? ?3? ??3? ?

?2?t1+t3 ?2?2t2 即? ? =? ? , ?3? ?3? ∴t1+t3=2t2,所以③对. 故正确的叙述是①③. 【答案】 ①③ 三、解答题 9.为研究某病毒的发展规律及其预防,将病毒注入一只小白鼠体内进行实验,经实验表明,每天 病毒数量是前一天的 2 倍.已知该种病毒在小白鼠体内的个数超过 108 时小白鼠将死亡,但注射某种 药物可杀死其体内该病毒的 98%. (1)为了使小白鼠在实验过程中不死亡,第一次最迟应在何时注射该种药物?(精确到天) (2)第二次最迟应在何时注射该种药物,才能维持小白鼠的生命? (精确到天)(参考数据 lg 2= 0.3010) 【解】 (1)由题意知病毒关于时间 n 的函数为 y=2n-1,n∈N*,则由 2n-1≤108,两边取对数得(n -1)lg 2≤8,解得 n≤27.6,即第一次最迟应在第 27 天注射该种药物. (2)注入药物后小白鼠体内剩余的病毒为 226×2%,再经过 x 天后小白鼠体内病毒为 226×2%×2x, 由题意 226×2%×2x≤108,两边取对数得 26lg 2+lg 2-2+xlg 2≤8,得 x≤6.2.故再经过 6 天必须 注射药物,即第二次最迟应在第 33 天注射药物. 10. 已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为 10 万元, 每生产 1 千件需另投入 2.7 万元. 设 该公司一年内共生产该品牌服装 x 千件并全部销售完,每千件的销售收入为 R(x)万元,且

x ? ?10.8-30(0<x≤10), R(x)=? 108 1 000 ? ? x - 3x (x>10).
2 2

(1)写出年利润 W(万元)关于年产量 x(千件)的函数解析式; (2)年产量为多少千件时,该公司在这一品牌服装的生产中所获得利润最大?(注:年利润=年销 售收入-年总成本) 【解】 (1)当 0<x≤10 时,W=xR(x)-(10+2.7x)=8.1x- 1 000 -2.7x. 3x

x3
30

-10;

当 x>10 时,W=xR(x)-(10+2.7x)=98-

? ?8.1x-30-10(0<x≤10), W=? 1 000 98- -2.7x(x>10). ? 3x ?
x3
(2)①当 0<x≤10 时,由 W′=8.1-

x2
10

=0,

得 x=9,且当 x∈(0,9)时,W′>0;当 x∈(9,10]时,W′<0, ∴当 x=9 时,W 取最大值,且 Wmax=8.1×9- 1 ·93-10=38.6. 30 1 000 ·2.7x=38, 3x

②当 x>10 时,W=98-(

1 000 +2.7x)≤98-2 3x

当且仅当

1 000 100 100 =2.7x,即 x= 时,W=38,故当 x= 时,W 取最大值 38. 3x 9 9

综合①②知当 x=9 时,W 取最大值 38.6 万元,故当年产量为 9 千件时,该公司在这一品牌服装 的生产中所获年利润最大. B组 能力提升

1.根据统计,一名工人组装第 x 件某产品所用的时间(单位:分钟)为

c ? ? x,x<A f(x)=? (A,c c ,x≥A ? ? A

为常数).已知工人组装第 4 件产品用时 30 分钟,组装第 A 件产品用时 15 分钟, 那么 c 和 A 的值分 别是( ) A.75,25 B.75,16 C.60,25 D.60,16 【解析】 D. 【答案】 D 2. 某钢厂的年产量由 1993 年的 40 万吨增加到 2003 年的 50 万吨, 如果按照这样的年增长率计算, 则该钢厂 2013 年的年产量约为________万吨. 由条件可知,4<A,所以 f(4)=

c
4

=30,c=60,所以 f(A)=

60

A

=15,A=16.故选

【解析】

5 依题意,设年增长率为 x,则 40(1+x)10=50,即(1+x)10= , 4 5 4

∴该钢厂 2013 年的年产量约为 50(1+x)10=50×

=62.5(万吨). 【答案】 62.5 3.某商人计划经销 A,B 两种商品,据调查统计,当投资额为 x(x≥0)万元时,在经销 A,B 商品 中所获得的收益分别为 f(x)万元与 g(x)万元,其中 f(x)=a(x-1)+2(a>0),g(x)=6ln(x+b)(b> 0),已知投资额为零时,收益为零. (1)求 a,b 的值; (2)如果该商人准备投入 5 万元经营这两种商品, 请你帮他制定一个资金投入方案, 使他能获得最 大收益,并求出其收入的最大值.(精确到 0.1,参考数据:ln 3≈1.10) 【解】 (1)根据问题的实际意义,可知 f(0)=0,g(0)=0, ?-a+2=0, ?a=2, 即? ∴? ?6ln b=0, ?b=1. (2)由(1)的结果可得 f(x)=2x,g(x)=6ln(x+1). 依题意,可设投入 B 商品的资金为 t 万元(0≤t≤5), 则投入 A 商品的资金为(5-t)万元,所获得的收入为 S(t)万元,则有 S(t)=2(5-t)+6ln(t+1)=6ln(t+1)-2t+10(0≤t≤5). ∵S′(t)= 6 -2,令 S′(t)=0,得 t=2. t+1

当 t<2 时,S′(t)>0;当 t>2 时,S′(t)<0. ∴t=2 时 S(t)在区间[0,5]上的唯一极大值点, 此时 S(t)取得最大值 S(t)max=S(2)=6ln 3+6≈12.6(万元),此时 5-t=3(万元). 答: 该商人可对 A 商品投入 3 万元, 对 B 商品投入 2 万元, 这样可以获得约 12.6 万元的最大收益.


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