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陕西省榆林一中2013届高三第七次模拟考试数学(理)试题


陕西省榆林一中 2013 届高三第七次模拟考试数学(理)试题
第 Ⅰ卷 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的(本大 题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1. 若 A ? x 2 ? 2 x ? 16  x ? Z B ? {x | x 2 ? 2 x ? 3 ? 0} ,则 A ? B 中元素个数为 A.0 2. 复数 B.1

r />1? i 的共轭复数是 1? i

?

?

C.2

D.3

A. i

B. ? i

C.1

D. 1 ? i

3. 等差数列 ?a n ?前 n 项和为 S n , a3 ? 7, S 6 ? 51 ,则公差 d 的值为 A. 2 B. 3 C. -3 D. 4

? ? 3? ? 4. 下列函数中,周期为 ? ,且在区间 ? , ? 上单调递增的函数是 ?4 4 ?

A. y ? sin 2 x

B. y ? cos 2 x

C. y ? ? sin 2 x

D. y ? ? cos 2 x

x 5. 命题 p :函数 f ? x ? ? a ? 2 ( a ? 0 且 a ? 1 )的图像恒过点 (0, ?2) ;

命题 q :函数 f ( x) ? lg x ? x ? 0 ? 有两个零点. 则下列说法正确的是 A. “ p 或 q ”是真命题 C.
?

B. “ p 且 q ”是真命题 D.
?

p 为假命题

q 为真命题

6. 已知某几何体的三视图如图所示, 若该几何体的 体积为 24,则正视图中 a 的值为 A. 8 C. 4 B. 6 D. 2

7. 已知 a 为执行如图所示的程序框图输出的结果,

1

1 ? ? 2 则二项式 ? a x ? ? 的展开式中含 x 项的系数是 x? ?

6

A. 192 C. 96

B. 32 D. -192

8. 如 图 , 已 知 ?ABC中 , 点 M 在 线 段 AC 上 , 点 P 在 线 段 BM 上 且 满 足
??? ??? AM MP ? ? 2 ,若 AB ? 2, AC ? 3, ?BAC ? 120? ,则 MC PB
??? ???

AP ? BC 的值为

A. ?2

B. 2

C.

2 3

D. ?

11 3

9. 已知 f (x) 是定义域为 R 的奇函数, f (?4) ? ?1 , f (x) 的 导函数 f ' ( x) 的图象如图所示。若两正数 a, b 满足
f (a ? 2b) ? 1,则

y

y= f ' ( x)

x O

a?2 的取值范围是 b?2

1 1 A. ( ,2) B. (??,?1) C. (?1,0) D. ( ,3) 3 2 10.对 于 函 数 f ( x) 与 g ( x) , 若区 间 [a ,b ] f ( x) ? g ( x) 的 最 大 值 称 为 f ( x) 与 上 ...
g ( x) 的 “绝 对 差 ”, 则 f ( x) ?

1 2 , g(x) ? x 2 ? x 在 ?1,4? 上的 “绝 对 差 ”为 x ?1 9
C.
29 45

A.

271 72

B.

23 18

D.

13 9

二、填空题:把答案填在答题卡相应题号后的横线上(本大题共 5 小题,每小 题 5 分,共 25 分) 11. 抛物线 y ? ?4 x 2 的准线方程为________________. 12. 观察以下不等式
1 1 1 1 1 3 1 ; 1? ? ? 1; 1? ? ??? ? ; 2 2 3 2 3 7 2 1 1 1 1 1 1 5 1? ? ??? ? 2 ; 1? ? ??? ? ;    ? 2 3 31 2 2 3 15 1?

由此猜测第 n 个不等式为________________.
2 2 13. 若圆 O : x ? y ? 4, (圆心为O) 与圆 C : x 2 ? y 2 ? 2 y ? 6 ? 0

相交于 A, B ,

2

则 ?ABO 的面积为________. 14. 下列结论中正确命题的序号是 ①积分 ? 2? cos xdx 的值为 2;
? 2

.(写出所有正确命题的序号)

?

? ? ? ? ②若 a ? b ? 0 ,则 a 与 b 的夹角为钝角;
③若 a, b ? [0,1] ,则不等式 a 2 ? b 2 ?
1 ? 成立的概率是 ; 4 16

④函数 y ? 3x ? 3? x ? x ? 0 ? 的最小值为 2. 15. (考生注意:只能从 A,B,C 中选择一题作答,并将答案填写在相应字母后 的横线上,若多做,则按所做的第一题评阅给分.) A.选修 4-1:几何证明选讲 已知 Rt△ABC 的两条直角边 AC,BC 的长分别为 3cm, 4cm, AC 为直径的圆与 AB 交于点 D, BD 的值为____. 以 则 B.选修 4-4:坐标系与参数方程 在极坐标系中,已知圆 ? ? 2 cos? 与直线 3? cos? ? 4? sin? ? a ? 0 相切,求实 数 a 的值______. C.选修 4-5:不等式选讲 不等式 a 2 ? 3a ? x ? 3 ? x ? 1 对任意实数 x 恒成立,求实数 a 的取值范围____. 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤(本大题共 6 小题, 共 75 分) 16. (本小题满分 12 分) 已 知 数 列 { an } 是 首 项 为 a1 ?
1 1 ,公比 q? 的等比数列. 设 4 4
1 . bn ? bn ?1

bn ? 2 ? 3log 1 an ( n ? N* ) ,数列 { cn } 满足 cn ?
4

(Ⅰ)求证:数列 { bn } 成等差数列; (Ⅱ)求数列 { cn } 的前 n 项和 S n . 17. (本小题满分 12 分)

3

在 ?ABC 中 , 角 A, B, C 的 对 边 分 别 为 a, b, c , 且 向 量
?? m?

?

3 ? ,

? ? A 2 A i n ? ? 2, c 2 s? s n o 2 ?

?

?? ? ? 1 A ?c,且 m2‖ n , A 为锐角. , o s ?

(Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若 a ? 2 , b ? c ? 4 ,求 ?ABC 面积. 18. (本小题满分 12 分) 如图,在四边形 ABCD ,对角线 中

AC ? BD 于 O , OB ? OD ? 1, OA ? 3, OC ? 3 , F 为 ?BCD 的重心,过点 F 的直线
PQ 分别交 CB, CD 于 P, Q 且 PQ ‖ BD ,沿 BD 将 ?ABD 折起,沿 PQ 将 ?CPQ 折

起, A, C 正好重合于 A1 . (Ⅰ) 求证:平面 A1 BD ? 平面 BPQD ; (Ⅱ)求平面 A1 BD 与平面 A1 PQ 夹角的大小. 19. (本小题满分 12 分) 2011 年 4 月 28 日世界园艺博览会将在陕西西安浐灞生态区举行,为了接 待来自国内外的各界人士, 需招募一批志愿者, 要求志愿者不仅要有一定的气质, 还需有丰富的人文、地理、历史等文化知识。志愿者的选拔分面试和知识问答两 场, 先是面试, 面试通过后每人积 60 分, 然后进入知识问答。 知识问答有 A,B,C,D 四个题目,答题者必须按 A,B,C,D 顺序依次进行,答对 A,B,C,D 四题分别得 20 分、20 分、40 分、60 分,每答错一道题扣 20 分,总得分在面试 60 分的基础上 加或减。答题时每人总分达到 100 分或 100 分以上,直接录用不再继续答题;当 四道题答完总分不足 100 分时不予录用。 假设志愿者甲面试已通过且第二轮对 A,B,C,D 四个题回答正确的概率依次
1 1 1 1 是 , , , ,且各题回答正确与否相互之间没有影响. 2 2 3 4

(Ⅰ) 用 X 表示志愿者甲在知识问答结束时答题的个数,求 X 的分布列和数学 期 望;

(Ⅱ)求志愿者甲能被录用的概率.

4

20. (本小题满分 13 分) 设椭圆 C:
x2 y2 3 3 . ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 过点 P(1, ) , 且离心率 e ? 2 2 2 a b

(Ⅰ)求椭圆C的方程; (Ⅱ)过右焦点 F 的动直线交椭圆于点 A、B ,设椭圆的左顶点为 C 连接 CA、CB 且交动直线 l : x ? m 于 M、N ,若以 MN 为直径的圆恒过右焦点 F,求 m 的值. 21. (本小题满分 14 分)
x 已知函数 f ( x) ? e ? 1 ? x

(Ⅰ)求 y ? f ( x) 在点 ?1, f (1) ? 处的切线方程;
4? ? (Ⅱ)若存在 x0 ? ? ?1, ln ? ,满足 a ? e x ? 1 ? x ? 0 成立,求 a 的取值范围; 3? ?

(Ⅲ)当 x ? 0 时, f ( x) ? tx 恒成立,求 t 的取值范围.
2

5

榆林市第一中学高三年级第七次模拟考试

(理科)试题答案
一、选择题(每题 5 分,共 50 分) 1 B 2 A 3 B 4 C 5 A 6 B 7 D 8 A 9 D 10 D

二、填空题: (每题 5 分,共 25 分)

11、 y

?

1 16

12、1 ?

1 1 1 n ? ??? n ? ;  2 3 2 ?1 2
C、 ? 1 ? a ? 4

13、

3

14、③

15、A、

16 5

B、 a ? 2或 ? 7

16.解: (Ⅰ)由已知可得, a n ? a1 q n ?1 ? ( ) n , bn ? 2 ? 3 log 1 ( ) ? 3n
n 4

1 4

1 4

? bn ? 3n ? 2 ? bn?1 ? bn ? 3, ?{bn } 为等差数列,其中 b1 ? 1, d ? 3 .
(Ⅱ) cn ?

------6 分 -----12 分

n 1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) , Sn ? 3n ? 1 bn ? bn ?1 (3n-2) (3n+1) 3 3n-2 3n+1 ?

三、解答题: (共 75 分) 17、解:(Ⅰ) 由已知可得, n ? ? cos A, cos 2 A ?

?

?? ? m ? n ? 3 c o s 2 ? 2 s iA A n

cA? os

0

?? ? ?2 s i ? A ? ? ? n 2 3? ?
(Ⅱ)

0

2A ?

?
3
2

??

?A?

?
3

-------6 分

a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 4 ? ? b ? c ? ? 2bc ? bc

又? b ? c ? 4

? 4 ? 16 ? 3bc
3

?bc ? 4
-------12 分

1 ? S? ? b c i n 6? 0 ? s 2

6

18、解:(Ⅰ) 由题知: A1O ? 3,

OF ? 1,

FA1 ? 2

? A1O 2 ? OF 2 ? FA12
? A1O ? OF

??A1OF ? 90?
? A1O ? 平面 BCD

又? A1O ? OD

? A1O ? 平面 A1 BD

? 平面 A1 BD ? 平面 BPQD ------6 分

(Ⅱ) 如图建立空间直角坐标系
? A1 0 , 0 ,

?

?3 B,?

1 ,?0 ,D ? , 0 ?

?1, 0 , 0

?2 ? ? 2 ? F ? 0,1, 0 ? , P ? ,1, 0 ? , Q ? ? ,1, 0 ? ?3 ? ? 3 ?

? FO ? BD ? FO ? 平面 A1BD
? ? 平面 A1 BD 的一个法向量为 n ? ? 0,1, 0 ? -------8 分
又 QP ? ?

??? ?

?4 ? , 0, 0 ? ?3 ?

???? FA1 ? 0 ,? 1 ,

?

?3

设平面 A1 PQ 的一个法向量为 n ? ? x, y , z ?

?

?? ??? ? ? ?n2 ? QP ? 0 ? ? ? ?? ???? ? ?n2 ? FA1 ? 0 ?
取 y ? 3, z ? 1

?4 ? x?0 ??3 ?? y ? 3z ? 0 ?
? ?n ? 0 ,

?

?? ?? ? 3 , 1 ? cos n1 , n2 ?

?

3 3 ? 1? 2 2

? 平面 A1 BD 与平面 A1 PQ 的夹角为 30?
19、解:设某题 M 答对记为“M”,答错记为“ M ”

-------12 分

(Ⅰ) X 的可能取值为 2,3,4
P? X ? 2? ? AB ? 1 4 P? X ? 3? ? ABC ? ABC ? 7 12 1 6

P? X ? 4? ? 1 ? P?? ? 2? ? P?? ? 3? ?



或 P? X ? 4? ? ABC D ? D ? ABC D ? D ? ABC D ? D ? ABC D ? D ?

?

?

?

?

?

?

?

?

7 12

X 的分布列为: X 2 3 4

7

P

1 4

1 6

7 12

EX ? 2 ?

1 1 7 10 ? 3? ? 4 ? ? 4 6 12 3

-------6 分

(Ⅱ) 志愿者甲能被录用的概率
P ? AB ? ABC ? ABC ? ABCD ? ABCD ? ABCD

?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 25 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 2 2 3 2 2 3 2 2 3 4 2 2 3 4 2 2 3 4 48 48

-------12 分

或 P ?1-ABC D ? ABC D ? ABC D ? ABC ( D ? D) ? 25
20. 解:

(Ⅰ)由题意知

c 3 1 3 ? , 2 ? 2 ? 1 ,解得 a ? 2, b ? 2 a 2 a 4b

x2 y2 ? 椭圆方程为: ? ?1 4 2

-------5 分

(Ⅱ)设 A ? x1 , y1 ? , A ? x2 , y2 ?
(i) K 存在时,设直线 AB : y ? k x ? 2

?

?

? x2 y 2 ?1 ? ? 4 2 ? ?y ? k x ? 2 联立 ?

?

?

2 2 2 2 得 2k ? 1 x ? 4 2k x ? 4k ? 4 ? 0

?

?

x1 ? x2 ?
又 CA : y ?

4 2k 2 4k 2 ? 4 , x1 x2 ? 2 2k 2 ? 1 2k ? 1

-------8 分

y1 ? x ? 2? x1 ? 2

? ? y ? M ? m, 1 ? m ? 2 ? ? ? x1 ? 2 ? ???? ? ? ???? ? ? ? y y ? FM ? ? m ? 2, 1 ? m ? 2 ? ? 同理 FN ? ? m ? 2, 2 ? m ? 2 ? ? -----10 分 x1 ? 2 x2 ? 2 ? ? ? ?

? m? 2

?

?

2

?

y1 y2 2 ? m ? 2? ? 0 ? x1 ? 2 ?? x2 ? 2 ?
8

k 2 x1 x2 ? 2 ? x1 ? x2 ? ? 2 y1 y2 3? 2 2 ? ?? x1 x2 ? 2 ? x1 ? x2 ? ? 4 2 ? x1 ? 2?? x2 ? 2?

?

?

? m? 2

?

?

2

? ?

2 ?1 2

?

2

? m ? 2?

2

?0
-------12 分

解得 m ? 2 2 (ii)

? M m, m ? 2 A
综上 m ? 2 2 .

?

当 k 不存在时, ?MNF 为等腰 Rt?

? ?

2,1

?,

由 C、B、M 三点共线易得到 m ? 2 2

-------13 分
x

21、解:(Ⅰ) f ? ? x ? ? e ? 1

f ?1? ? e ? 2

? f ? x ? 在 ?1, f ?1? ? 处的切线方程为: y ? e ? 2 ? ? e ? 1?? x ? 1?
即 y ? ? e ? 1? x ? 1

-------3 分
令 f ? ? x? ? e ?1 ? 0
x

(Ⅱ)

a ? ex ?1 ? x

即 a ? f ? x?

x?0

? x ? 0 时, f ? ? x ? ? 0 , x ? 0 时, f ? ? x ? ? 0
? f ? x ? 在 ? ??, 0 ? 上减,在 ? 0, ?? ? 上增
又 x0 ? ? ?1, ln ? 时, ? f ? x ? 的最大值在区间端点处取到. 3

? ?

4? ?

f ? ?1? ? e?1 ? 1 ? 1 ?

1 e

4 ? 4? 4 f ?l n ? ? ? 1 l n ? 3 ? 3? 3 4 1 1 l n? ? ? 3 e 3 4 ln ? 3 0

? 4? 1 4 f ? ?1? ? f ? l n ? ? ? ? ? 1 ? 3? e 3

? 4? ? f ? ?1? ? f ? ln ? ? 3?
故 a 的取值范围是: a <

1 4? ? ? f ? x ? 在 ? ?1, ln ? 上最大值为 , 3? e ? 1 e.
-------8 分

( Ⅲ ) 由 已 知 得 x ? 0, 时 e x ? x ? 1 ? tx 2 ? 0 恒 成 立 , 设 g ? x ? ? e x ? x ? 1 ? tx 2 .

? g ' ? x ? ? e x ? 1 ? 2tx.

9

10


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